《2022年高考数学真题与模拟题分类汇编专题04立体几何.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学真题与模拟题分类汇编专题04立体几何.pdf（49页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题0 4 立体几何1.【2022年全国甲卷】如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边【答案】BD.20【分析】由三视图还原几何体,再由棱柱的体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体，如图,则该直四棱柱的体积V=詈x 2 x 2=12.故选：B.2.【2022年全国甲卷】在长方体4BCD中，已 知 与 平 面4BCD和平面44避15所成的角均为30。，则（）A.AB =2 AD B.AB与平面人/加。所成的角为30。C.AC=CB i D.BiD与平面BBiGC所成的角为45【答案】D【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出.【详解】如图所示：不妨设AB =a
2、,AD=b,44i=c,依题以及长方体的结构特征可知，与平面4B C0所成角为乙BiDB,Bi。与平面44遂避所成角为N D BiA,所以sin30。=白=*，艮叱=c,BD=2c=yja2+62 4-c2,解得a=V2c.对于 A,AB=a,AD=b,AB=V2AD,A 错误；对于B,过B作BElA Bi于E,易知B E 1平面A/G D，所以4B与平面4BGD所成角为Z.BAE,因为tan/B AE =涯，所以2B AE 力 30。，B 错误；a 2对于 C,AC=Va2 4-b2=y/3c9 CB1=Vb2+c2=V2c,AC 丰 CB、,C 错误；对于D,3 D与平面BBiGC所成角为
3、NDB iC,sin/DBiC=且=巴=在，而0 4。8修 BD 2c 29 0,所以NOB iC=45.D 正确.故选：D.3.【2022年全国甲卷】甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为%和%.若=2,则=()A.V5 B.2V2 C.V10 D.4【答案】C【分析】设母线长为I,甲圆锥底面半径为弓，乙圆锥底面圆半径为2,根据圆锥的侧面积公式可得1 =2万，再结合圆心角之和可将小2分别用，表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为乙圆锥底面圆半径为2，则 也=辿=2=2
4、,S d nr2l r2所以q =2r2,又 罕+等=2兀,则 牛=1,所 以=|，2 =所以甲圆锥的高小=乙圆锥的高殳=所以暑“乙刎 孙 冷 泉=TTo.一 弛 如 一 *争故选：c.4.【2 0 2 2 年全国乙卷】在正方体4 B C D -48向/)1 中，E,F分别为4 B,B C 的中点，则()A.平面4EF工平面BO/B.平面8 1 E F _ L 平面&BOC.平面&EF平面A/C D.平面B i E F 平面4 C 1。【答案】A【分析】证明E F 1 平面B O D 1，即可判断A；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系,设4 8 =2,分别求出平面B i E F,&B D,
5、4 1 c l e 的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断B C D.【详解】解：在正方体A B C。一为当如劣中，AC 1 B O 且 D O 1 1 平面 4 B C D,又EFu平面4 B C O,所以E F l O O i，因为E,F 分别为A B,B C 的中点，所以E F|A C,所以E F 1 B D,乂8。C i D D i =D,所以E F 1 平面B O%,又EF u 平面4 E F,所以平面&E F _ L 平面B D D i，故 A正确；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设A B =2,则 名(2,2,2),(2,1,0),“1,2,0),8(2,2,0),4(
6、2,0,2),7 1(2,0,0),C(0,2,0),G(0,2,2),则 丽=(-1,1,0),=(0,1,2),DB=(2,2,0),西=(2,0,2),砧=(0,0,2),前=(-2,2,0),而=(-2,2,0),设平面a E F 的法向量为访=(x1,y1,z1)f则有产%f+%=,可取沅=(2,2,-1),同 理 可 得 平 面 的 法 向 量 为 瓦=(1,一 1,一1),平面4 4 C 的法向量为雨=(1,1,0),平面4 6。的法向量为诟=(1,1,一 1),则沅4=2 2+1=1 于0,所以平面B】EF与平面4 B。不垂直，故 B 错误；因为沅与荻不平行，所以平面/E F
7、与平面&AC不平行，故 C 错误；因为沅与何不平行，所以平面BiEF与平面4 G。不平行，故 D 错误，故选：A.5.【2022年全国乙卷】已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()A.-B.-C.D.3 2 3 2【答案】C【分析】先证明当四棱锥的顶点O 到底面A8CD所在小圆距离一定时，底面A8CD面积最大值为2r2,进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面为四边形A 8 C D,四边形A BC。所在小圆半径为r,设四边形A BC。对角线夹角
8、为a,则 SABCO=-AC-BD-s i n a AC-BD 2r-2r=2r2(当且仅当四边形A 8 C O 为正方形时等号成立)即当四棱锥的顶点O到底面A BC。所在小圆距离一定时，底面A BC。面积最大值为2 r 2又 N+F=1则-A BC。=1-2 r2-h =y V r2-r2-2/i2 当 J ，邛=噜当且仅当N=2F即h=当时等号成立，故选：C6.【2 0 2 2 年新高考1 卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1 4 8.5m 时，相应水面的面积为l M.O k n?；水位为海拔1 57.5m 时，相应水面的面积为1
9、 8 0.0 1 0 1?,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1 4 8.5m 上升到1 57.5m 时，增加的水量约为(6=2.6 5)()A.l.O x l O 9 m 3 B.1.2 X 1 09m3 C.1.4 X 1 09m3 D.1.6 x 1 09m3【答案】C【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出.【详解】依题意可知棱台的高为MN=1 57.5-1 4 8.5=9(m),所以增加的水量即为棱台的体积匕棱台上底面积S=1 4 0.0 fc m2=1 4 0 x 1 0 67 n2,下底面积s，=1 8 0.0 k m2=1 8 0
10、x 1 0 6 m 2,V=1/i(S+S +Vs s7)=|x 9 x (1 4 0 x 1 06+1 8 0 x 1 06+V1 4 0 x 1 8 0 x 1 01 2)=3 x(3 2 0 +6 0 V7)x 1 06 (9 6 +1 8 x 2.6 5)x 1 07=1.4 3 7 x 1 09 1.4 x 1 09(m3).B故选：C.7 .【2 0 2 2 年新高考1 卷】已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为3 6 兀，且3 W/0,当2 遍 1W3b 时，V 0,所以当1 =2 农 时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为g,又1 =3 时，|/=二
11、，=3 6 时，V =-,4 4所以正四棱锥的体枳V 的最小值为?，所以该正四棱锥体积的取值范围是孑，y.故选：C.8 .【2 0 2 2 年新高考2 卷】已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3 6 和46，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.l O O i t B.1 2 8 兀 C.l 4 4 n D.1 9 2 兀【答案】A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径万 2,再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径为“2,所以2 r l =盖，2 万=孺，即r=3,丁 2 =4,
12、设球心到上下底面的距离分别为四42,球的半径为R,所以n=7 二?d2=7R2 一 1 6,故Id】-d2|=1 或归+d2=l,g|J|V/?2-9-V/?2-1 6|=1 或加 一 9+V/?2-1 6 =1,解得R 2 =2 5 符合题意，所以球的表面积为S =4 兀R2=IOO兀故选：A.9.【2 0 2 2 年北京】己知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S 是 4 B C 及其内部的点构成的集合.设集合7 =Q e S|P Q W 5 ,则 T 表示的区域的面积为（）A.B.7 T C.2 7 r D.3 7 T4【答案】B【分析】求出以P 为球心，5 为半径的球与底面4 B C
13、的截面圆的半径后可求区域的面积.【详解】设顶点P 在底面上的投影为。，连接BO,则。为三角形力B C 的中心，且B。=-x6x =2 百，故P。=，3 6 1 2 =2 e.3 2因为P Q=5,故。Q=1,故S 的轨迹为以。为圆心，1 为半径的圆，而三角形4 B C 内切圆的圆心为。，半径为-J=遮 1,3X6故S 的轨迹圆在三角形4 B C 内部，故其面积为兀故选：B1 0.【2 0 2 2 年浙江】某几何体的三视图如图所示（单位：c m）,则该几何体的体积（单位:皿 3）是（）c1T1 I T1+T 1+2 T 1 +正视图 便视图6俯视图A.22兀 B.8兀 C.争 D丹【答案】C【分
14、析】根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可根据球，圆柱，圆台的体积公式求出.【详解】由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的底面半径，圆台的上底面半径都为1 c m,圆台的下底面半径为2 c m,所以该几何体的体积 V=|x i 7 r x l3+7 rx l2x 2+ix 2 x(7 ix 22+7tx l2+Vn x 22 x n x I2)=笃 cm3.故选：C.11.【2022年浙江】如图，已知正三棱柱Z BC-A iBiG M C =44E,F分别是棱8 C,4G上的点.记E F与4 4 i所成
15、的角为a,E F与平面力B C所成的角为6，二面角F-BC-4的平面角为y，贝4()4 _KC,A-BA.a p y B.0 a y C.p y a D.a y /5【答案】A【分析】先用几何法表示出a,/7,y,再根据边长关系即可比较大小.【详解】如图所示，过点尸作FP _L AC于P,过P作PM_LBC于M,连接PE,贝 iJa=4EFP,0=LFEP,y=FMP,tana=1,tany=tan，FP AB K PE PE PM PE 厂所以a fi/2a,则匕=匕-EFM+，C-EFM=-SAEFM=2a3，贝 lj2P3=3匕,V3=3IZ2,V3=Vr+V2 故A、B错误；C、D 正
16、确.故选：CD.14.【2022年全国甲卷】小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面4BCD是边长为8(单位：cm)的正方形，以18公 FBCA GCD,4 HZM均为正三角形，且它们所在的平面都与平面4BC。垂直.(1)证明：E F/A BC D；(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).【答案】(1)证明见解析；(2)*【分析】分 别 取 的 中 点 M,N,连接M N,由平面知识可知EM 1 1 BC,E M =F N,依题从而可证EM _L 平面ABC。，FN 1平面ABC。，根据线面垂直的性质定理可知EMF N,即可知四边形EMNF为平行四边形，于
17、是EFM N,最后根据线面平行的判定定理即可证出：(2)再分别取AD,DC中点K,3由(1)知，该几何体的体积等于长方体KMNL-EFGH的体积加上四棱锥B-M N FE体积的4倍，即可解出.【详解】(1)如图所示：分别取4B,BC的中点M,M 连接M N,因为瓦48,FBC为全等的正三角形，所以EM _ LAB,FN 1 B C,E M =F N,又平面E4B 1 平面4BC。，n E A B C t n A B C D =AB,E M u平面E 4 B,所以EM _L 平面4 8 C D,同理可得尸N 1平面ABC。，根据线面垂直的性质定理可知E M F N,而E M =F N,所以四边形
18、EMN尸为平行四边形，所以EFM N,又EF C平面AB CD,M N aA BC D,所以EF平面48CD.如图所示：分别取4),0 C 中点K,L,由(1)知，EF/MN 旦EF=M N,同理有，H E/K M,H E=K M,H G/K L,H G=K L,GF/LN,GF=L N,由平面知识可知，B D 1 MN,M N 1 MK,K M =M N =N L =L K,所以该几何体的体积等于长方体KMNZ,-EFGH的体积加上四棱锥B-MNFE体积的4倍.因为MN=NL=LK=KM=4近，EM=8sin60。=4百，点B到平面MNFE的距离即为点B到直线MN的距离d,d =2 V 2,
19、所以该几何体的体积P=(4&)2 x 4 b +4 x：x 4 a x4V3 x 2V2=128b+等 遮=等厉.15.【2022年全国甲卷】在四棱锥P-4 B C 0 中，PD JL 底面ABCD,CD|=DC=(1)证明：B D 1 P A-,(2)求尸)与平面P4B所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析;今【分析】（1）作D E 14B 于E,C FJ.4B 于尸，利用勾股定理证明4。1 B D,根据线面垂直的性质可得P D 1 B D,从而可得8D JL平面P A D,再根据线面垂直的性质即可得证：（2）以点。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【详解】（1）证明：在
20、四边形力BCD中，作DE1A B于E,CF lA B F,因为 CD/4B,4D=CD=CF=1,AB=2,所以四边形4BCD为等腰梯形，所以 4E=BF=故DE=y,BD=y/DE2+BE2=V3,所以 AD?+B D2=A B2t所以4D 1 BD,因为PD _L 平面4BCD,BD u 平面ABC。，所以PD 1 BD,又PD nAD=D,所以BD 1平面PAD,又因PA u 平面P4C,所以BD 1 PA；（2）解：如图，以点。为原点建立空间直角坐标系,BD=V 3,则4(1,0,0),8(0,V 3,0),P(0,0,V 3),则 族=(-l,0,V 3),R P =(0,-V 3,
21、V 3),D P =(0,0,V 3),设平面P A B 的法向量五=(%,y,z),则有 E 8 =r +低=。，可 取 (但 1,1)，n BP=/3y+V 3 z =0则8SW丽)=器=当，所以P D 与平面P 4 B 所成角的正弦值为9.1 6.【2 0 2 2 年全国乙卷】如图，四面体A B C D 中，AD 1 CD,AD=CD.ADB=BDC,E为AC的中点.(1)证明：平面B E D _ L 平面A C。；(2)设4 B =B D =2,乙4 c 8 =6 0。，点 F在 8。上，当AAFC的面积最小时，求三棱锥F-4 B C 的体积.【答案】(1)证明详见解析(2)T【分析】
22、(1)通过证明4c _L平面B E。来证得平面8E0，平面4CD.(2)首先判断出三角形AFC的面积最小时尸点的位置，然后求得F到平面AB C的距离，从而求得三棱锥尸一 4B C的体积.【详解】(1)由于4。=CD，E 是4C的中点，所以4C10E.,AD=CD由于，B D=B D,所以ADB WACDB,.Z.ADB =Z.CDB所以A8=C B,故4C1BC,由于DE nB O=D,DE,B D所以AC _L平面B E O,由于AC u 平面AC。，所以平面B E D，平面ACD.(2)依题意AB =B D=8C=2,.ACB=6 0,三角形力B C是等边三角形，所以4C=2,AE=CE=
23、1,B E=百，由于40=CD,4。IC O,所以三角形4C。是等腰直角三角形，所以。E =l.D E2+B E2=B D2,所以 D EI B E,由于ACnB E =E,4C,BEu平面A BC,所以DE _L平面AB C.由于AAOB WACOB,所以4FB 4=/FB C,-B F=B F由于，NFBA=乙FB C,所以 FB A=FB C,.AB =CB所以AF=C F,所以E F 1AC,由于SAAFC=9 4 C-E F,所以当E F最短时，三角形4r C的面积最小值过E 作EF J.BD,垂足为F,在Rt/kB E。中，B E-DE B D-E F,解得E F=当，所以DF=J
24、 l2-(y)2=%1 =2-OF=|,所 以 需.过F作FH JLBE,垂足为H,则FH/DE,所以FH JL 平面力BC,且 器=需=3,所以FH=：,4所以%-4B C=，SfB C FH=：X 卜 2 x 6 x：=当1 7.【2 0 2 2 年全国乙卷】如图，四面体A B C D 中，AD 1 CD,AD=CD.ADB =B DC,E 为4 C 的中点.(1)证明：平面B E O 1 平面4 c 0；(2)设4 8 =8。=2/4(7 8 =6 0。，点尸在8。上，当 A F C 的面积最小EI寸，求C F 与平面4 B D所成的角的正弦值.【答案】(1)证明过程见解析(2)C F
25、与平面4 8。所成的角的正弦值为手【分析】根据已知关系证明 A BD三A C B D,得到4 B =C B,结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；(2)根据勾股定理逆用得到B E J.D E,从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.【详解】(1)因为4。=C D，E为4 c 的中点，所以4 C J.C E；在4 8。和 C B D 中，因为A D =C D/A D B =/.CDB.DB =DB,所以 4 B D 三 C B D,所以4 B =C B,又因为E为A C 的中点，所以力C1BE：又因为C E,B E u 平面B E O,DE n B
26、 E =E,所以A C _ L 平面B E D,因为A C u 平面4 C D,所以平面B E O _ L 平面4 C D.(2)连接EF,由(1)知，4 c _ L 平面BED,因为E F u 平面B E D,所以4 C J.E F,所以SW CWAC,E F,当E F l BO时，EF最小，即 AFC的面积最小.因为ABD 三A C B D,所以CB=4B=2,又因为N4CB=60。，所以ABC是等边三角形，因为E 为4C的中点，所以4E=EC=1,B E=6,因为力D 1 C D,所以D E=4C =1,在 DEB 中，D E2+B E2=B D2,所以 BE ID E.以E为坐标原点建
27、立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则4(1,0,0),8(0,百,0),。(0,0,1),所 以 布=(-1,0,1),=(-l,V 3,0),设平面4 8 0 的一个法向量为元=(x,y,z),则n#=-x+j=0 取旷=遮,则元=(3,遮,3),又因为C(一 1,0,0),尸(0,白怖)，所 以 序=(1冷所以8 s 伍，3)=篇=六=手设CF与平面4BD所成的角的正弦值为9(0 0 /2,所以点4 到平面&B C 的距离为近；取 的 中 点 E,连接AE,如图，因为=4 8,所以4 E J.4 B,又平面为BC 1平面Z B B 1 4,平面n平面ABBMi=AtB,且4 E u 平
28、面4 B B 1 4,所以4E _L平面4 B C,在直三棱柱A B C-&B 1 G 中，BBi 1平面ABC,由BC u 平面4 8 C,B C u 平面4BC可得4E 1 B C,B Br 1 B C,乂AE,B B i u 平面4BB1&且相交，所以BC _L平面488遇1,所以两两垂直，以 B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由(1)得力E =V L 所以4&=A B =2,&B=2a,所以B C =2,则 4(0,2,0)&(0 2 2),8(0,0,0),C(2,0,0),所以 4c 的中点。(1,1,1),则 前=(1,1,1),B A=(0,2,0),B C =(2,0,0
29、),设平面2 B D 的一个法向量沆=(x,y,z),贝 心.二 x +y +z =0,m -B A=2 y=0可取记=(1,0,1),设平面B D C 的一个法向量元=(a,b,c),则 沅 呼 二 a+c =。，m -B C=2 a=0可取道=则c o s(或/=矗=康=%所以二面角A-BD-C 的正弦值为J l-(|)2=今1 9.【2 0 2 2 年新高考2 卷】如图，P。是三棱锥P-A B C 的高，P A=P B,AB 1AC,E 是P B的中点.(1)证明：0 E平面P 4 C；(2)若乙4 B0 =4 CBO =30。，P。=3,P A=5,求二面角C-Z E B 的正弦值.【
30、答案】(1)证明见解析瑶【分析】(1)连接BO并延长交4 c 于点D,连接。A、PD,根据三角形全等得到0A=0 B,再根据直角三角形的性质得到4。=。，即可得到。为BD的中点从而得到。E/P D,即可得证；(2)过点4 作4z 0 P,如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】(1)证明：连接B0并延长交4 c 于点D,连接。4、P D,因为P。是三棱锥P-4 B C 的高，所以PO_L平面4BC,4 0,B 0 u 平面4BC,所以。_L40、P 0 1 B 0,又P A=PB,所以APCUW AP O B,即。4=。8,所以4
31、048=y AB L A C,即484。=9 0 ,所以 N04B+4。力。=90,Z.O B A+Z.O DA=90,所以=4 O AD所以4。=0。，即4。=。=。8,所以。为B。的中点，又E为尸8 的中点，所以。E P。，又OE仁平面P4C,P D u 平面R4C,所以。E 平面P4C(2)解：过点4 作4z 0 P,如图建立平面直角坐标系,因为P。=3,AP =5,所以。4=y/AP2-P O2=4,又上OB A=4 OBC=3 0 ,所以 80=20A=8,则40=4,AB=4V3,所以4c=1 2,所以。(2班,2,0),B(473,0,0),P(2V I,2,3)-C(0,12,
32、0),所以E(3百，词,则 荏=(3次,1,|),AB=(473,0,0),AC=(0,12,0),设平面AEB的法向量为元=(x,y,z),则1 融 二%+丫 +产=0,令z=2,则、=I n AB=43%=0 3,x=0,所以元=(0,3,2)；设平面4EC的法向量为沅=(a,b,c),则 T E=j Q +b+/=,令&Rijc=-6,b=0,所以布=(百,0,-6)；所 以cos 元fn)=二位=一延设二面角C-A E-B为6,由图可知二面角C-A E-8 为钝二面角，所以cos。=,所以sin。=V1 cos20=13 13故二面角C AE B的正弦值为蓝；2 0.【2022年北京】
33、如图，在三棱柱4 8。-4 遇传1中，侧面B C C/i为正方形，平面B C G a 1平面力B B/i，AB=BC=2,M,N 分别为4/，AC的中点.(1)求证：MN平面B CGB i；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线A 8与平面B MN所成角的正弦值.条件：AB 1 M N；条件：B M =MN.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)取48的中点为K,连接M K,N K,可证平面MKN平面CBB,从而可证MN平面CB B iG.选均可证明B B i 1平面力BC,从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间
34、向量可求线面角的正弦值.【详解】(1)取4B的中点为K,连接MK,NK,由三棱柱力B C-4 8 传1可得四边形4BB14为平行四边形，而Bi=K 4,则MKB&,而MK C平面CB B iG，B B i u 平面CB B iG，故MK/平面CB B iG，而CN =N A,B K =KA,则NK/BC,同理可得NK平面。8当6，而NK C l MK=K,N K,M K u 平面MKN,故平面MKN/平面CB B iG，而M N u平面M K N,故MN/平面CB B】G，(2)因为侧面CB B iG为正方形，故而CB u 平面CB B iG，平面CB B iG _L平面4B B 遇1，平面C
35、B B iG n平面4B B 1a=B B i，故CB _L平面力叫 公因为NK/BC,故NK JL 平面AB B 141,因为48 u 平面4BBp4i，故NK 1 AB,若选，则/BJLMN,IfnNK A.AB,NK CMN=N,故48 _ L 平面M N K,而MK u 平面M N K,故48 1 MK,所以ABJLBBi，而C B lB B i，CB CAB=B,故B/J L 平面ABC,故可建立如所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,2,0),N(l,1,0),M(0,1,2),故 而=(0,2,0),前=(1,1,0),丽=(0,1,2),设平面BNM的法向量为元=(
36、x,y,z),则.更=0,从而取z=l,则元=(一2,2,-1),n-BM=0 +2z=。设直线48与平面BNM所成的角为8,则sin。=|cos(n,AB)|=*-|.若选，因为NK/BC,故NK_L平面A B B 1&,而KM u 平面MKN,故N K JLK M,而=BK=1,NK=1,故=NK,而&B=MK=2,MB=M N,故A BBM mA MKN,所以=4MKN=90。，故A iB ilB B i，而CB-LBBi，CB CAB=B,故BB 平面ABC,故可建立如所示的空间直角坐标系,则8(0,0,0),4(020),N(l,l,0),M(0,l,2),故 函=(0,2,0),前
37、=(1,1,0),=(0,1,2),设平面BNM的法向量为记=(x,y,z),则.处=0,从而：=，取z=-l，则元=(-2,2,-1),设直线AB与平面BNM所成的角为8,则sin。=cos(n,AB)=2=|.2 1.【2022年浙江】如图，已知4BCD和CDEF都是直角梯形，AB/DC,DC/EF,AB =5,DC=3,EF=1,AB AD=/.CDE=6 0 ,二面角F-DC-B的平面角为60。.设 M,N分 别 为 的 中 点.(1)证明：FN 1 A D；(2)求直线BM与平面4DE所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；空v 7 14【分析】(1)过点E、。分别做直线OC、48
38、的垂线EG、OH并分别交于点G、H,由平面知识易得FC=BC,再根据二面角的定义可知，Z.B CF=6 0 ,由此可知，FN LB C,FN 1C D,从而可证得FN _L平面A B C C,即得F N 1 4 D；(2)由(1)可知尸N，平面4 B C D,过点N做4B平行线N K,所以可以以点N为原点，N K,N B、NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系N-x y z,求出平面4OE的一个法向量，以及 丽，即可利用线面角的向量公式解出.【详解】过点E、Z)分别做直线DC、AB的垂线EG、DH并分别交于点交于点G、H.:四边形力BCO和EFC。都是直角梯形，AB/DC,CD/
39、EF.AB=5,DC=3,EF=1,BAD=Z.CDE=6 0 ,由平面几何知识易知，DG=AH=2,乙 EFC=LDCF=ADCB=LABC=9 0,则四边形E FCG和四边形OCB H是矩形，在 R s E G。和 RtAD凡4,EG=DH=2V3,：DC LCF,DC L C B,且CFnCB =C,.DC，平面B CF/B CF是二面角F-DC B 的平面角，贝叱B C尸=60,.B CF是正三角形，由DCu平面ZBC D,得平面4B CC 1平面B C凡.2是8。的中点，.尸 2 1 8。，又DC1平面BC F,尸 2/7尺一-AHy2022年高考模拟试题1.（2022全国模拟预测）
40、己知正方体中ABCC-ABCQ,E,G 分别为A R，的中点,则直线AG,CE所成角的余弦值为（）A 廊 口 病 r 475 n 7145-D.-_ z.-_）.-10 15 15 15【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义,取 4 8 的中点F,则NECF（或其补角）为直线A G 与CE所成角，再解三角形即可得解.【详解】如图所示:取 AB的中点凡 连接ER CF,易知4 G C F,则N E C 或其补角）为直线A Q 与 CE所成角.不妨设4?=2,则CF=0，EF=46,E C =3,由余弦定理得cos Z E C F =-9-5 =撞，即直线A G 与C E所成角的余弦值为勺叵.
41、2x3x75 15 15故选：C.2.（2022全国模拟预测（理）如图，在三棱台A B C-A 8G 中，平面ABC,ZABC=90,=8|G=1，AB=2,则 AC 与平面 BCGq 所成的角为（）A.30 B.450C.60D.90【答案】A【分析】将棱台补全为棱锥，利用等体积法求A 到面3CG耳的距离，结合线面角的定义求AC与平面8CC由所成角的大小.【详解】将 棱 台 补 全 为 如 下 棱 锥 AB C，由 ZAB C=90。，4A=A 耳=与4=1，AB =2,易知：DA=B C =2,AC=272,由 4A_L 平面 AB C,AB,AC J_ 平面 A BC,则 A A A B
42、,1 A C ,所以 B O=2 0，C D =2 /3,故 B C?+出 =c h ,所以,c”=gx2x2&=2 0，若A 到面B CC禺的距离为/?,又匕,一树=匕皿”，则gx2x；x2x2=g/?x2及，可得人=0,7 T h I 7 T综上，AC与平面BCCA所成角，e O,g,则$m。=三=9即2A C 2 6故选：A3.（2022.浙江湖州.模拟预测）如图，已知四边形AB C。，BCD是以8。为斜边的等腰直角三角形，ABD为等边三角形，B D=2,将 A5O 沿对角线B D翻折到PBQ在翻折的过程中，下列结论中不走画的是（）A.B D 1 P CB.D P 与B C可能垂直C.直
43、线OP与平面BCD所成角的最大值是45 D.四面体P B C D的体积的最大是也3【答案】C【分析】对于A,取 8。的中点，即可得到8。，面 PMC,A 选项可判断对于B,采用反证法，假设。P _ L 3 C,则3。1_面 2。，再根据题目所给的长度即可判断；对于C,当面P8D 1面 8 c。时，此时直线。尸 与平面BC。所成角有最大值，判断即可；对于D,当面夫皿上面8 c。时，此时四面体P8CQ的体积有最大值，计算最大体积判断即可【详解】如图所示，取 BD的 中 点 连 接8CO是以8。为斜边的等腰直角三角形,二BD，CM ABD为等边三角形,/.B D1P M8。_ 1 _ 面 P M C
44、 ,B D 1 P C，故 A 正确对于 B,假设D P L 3C,乂 B CL CD.-.BClffiPCD,B C L P C,XPB=2,BC=V2,PC=V2eV3-l,/3+l ,故OP与8 c 可能垂直，故 B 正确当面P8_L面8 8 时，此时月W上面BCD,/尸。3 即为直线QP与平面6 8 所成角此时/尸)8=6 0 ,故C 错误当面P81面 BCD时，此时四面体PBC。的体积最大，此时的体积为：V=-S KC n.PM=-x(-xy/2xy/2)x/3=,故 D 正确3“BCD 3 2 3故选：C4.(2022河南安阳模拟预测(理)已知球。的 体 积 为 华，高 为 1的圆
45、锥内接于球。，经过6圆锥顶点的平面a 截球。和圆锥所得的截面面积分别为S 邑，若 =子25兀，则其=()8A.2B.75C.&)D.2及【答案】c【分析】根据给定条件，求出球0半径，平面”截球。所得截面小圆半径，圆锥底面圆半径，再求出平面a截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答.A-rr 1 257r S【详解】球O半径为R,由 丁/?3=十得R=平面。截球。所得截面小圆半径4，3 6 2I E =1,点P在线段EF上，给出下列命题：存在点P,使得直线。尸 平面ACF存在点尸，使得直线O P，平面ACT直线QP与平面ABC。所成角的正弦值的取值范围是y,lQ jr三棱锥A-C D E
46、的外接球被平面A C F所截取的截面面积是?O其中所有真命题的序号是（）A.B.C.D.【答案】D【分析】取 E尸中点推理判断；假 定 平 面 A C F,分析判断；确定直线OP与平面ABCO所成角，求出临界值判断；求出AACF外接圆面积判断作答.【详解】令 ACn8=O,连接F O,D F,令EF中点为G,连 O G,如图，依题意，。是3。A C的中点，对于，在矩形8。所 中，D O/FG,D O =F G,四边形OOFG是平行四边形，直线D G/OF,。尸 u 平面ACF,）G的四个顶点都在球。的球面上，G 为 AC边的中点，E，尸分别为线段B G,0 c 上的动点（不包括端点），且B E
47、=4 2 C F，当三棱锥E-A C R 的体积最大时，过点尸作球。的截面，则截面面积的最小值为（）3 8A.2/2 B.2 万 C.-r D.g 万【答案】D【分析】根据面面垂直的判定定理得8G L平面A C D,继而表示出三棱锥E-4C/的体积，求出x=立 时，V 取得最大值，在 G C F 中，由余弦定理，得G F=P，根据球的2V2性质可知，当G尸垂直于截面时，截面圆的面积最小，继而得解.【详解】因为正方形AB C。的边长为2及，所以4 c =4.如图，由于平面A BC,平面A C O,平面A8CC平面ACD=A C,又G 为AC边的中点，则有BG J_A C,所以8GJ平面ACO.设
48、CE =x（0 x/2x)=-(/2x-x2),当 工=正 时，V 取3 2 3 2 2 3 2得最大值.由于G4=G8=GC=G O,则球。的球心即为G,且 球。的半径R=2.又在GCF中，由余弦定理，得G F =G C。+C F?-2 G C C F cos Z A C F =g,根据球的性质可知，当G F垂直于截面时，截面圆的面积最小，设其半径为r,所以r=尸=卜 一 =g,则截面面积的最小值为|兀.故选：D.9.(2022浙江乐清市知临中学模拟预测)如图，正方体A B CD-A BCQ 的棱长为，E 是棱的动点，则下列说法正确的()个.若E 为。R 的中点，则直线4E平面A3。三棱锥G
49、-ACE的体积为定值g o，E 为。的中点时，直线4 E 与平面CDDG所成的角正切值为华过点，C,E 的截面的面积的范围是 当/,血 6A.l B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】如图，以A 为原点,AB,A,A4/所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，对于、利用向量法计算证明；对于利用等体积法计算即可判断.【详解】如图，以A 为原点,AB42/L4/所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 B(a,O,O),C(a,a,O),0(0,a,0),A(0,0,a)，4(a,0,4)，Dt(0,a,a).所以 8 E =(-a,a,|o ,B =(a,0,-a),B D -(-a,a
50、,0).对于：当E为。乌的中点时，(0,。).设平面Af。的一个法向量为五=(x,y,z),则 卜 至 二。，不妨令X 则n-,B D =-a x+a y=0所以平面A 1 B D的一个法向量为元=(1,1,1).又 因 为/庭=-a +a +(-?=-0,所以5与 庭 不 垂 直，所以直线4E/平面不成立.故错误；对于：三棱锥C,-B、C E的体积等于三棱锥E-C C的体积.又5 A Bi*八。=方,高 为a,所以匕/a=g x#x a=.故错误；对于：当E为 叫 的 中 点 时，(0,吟.平面C皿G的一个法向量为而=(0,a,0),而 8|E =(_a,出一5).c ADB JE a2 2