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1、2023新高考新教材版数学高考第二轮复习综合测试二（时间：120分钟，分值：150分）一、单 项 选 择 题（本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（2022 哈尔滨九中二模,1）已知集合 A=x|x=2n+l,neZ,B=x|G 3厕 AnB=（）A.1,3 B.135,7,9C.3,5,7 D.1,3,5,7）答案 B B=X|G ，1 1 11 ，.11 1 1 ,1 1，11 ,TT，1 ，X TTAC-FN=(AB+AD)(FA+AIV)=AB-FA+AD-FA+AB-AN+AD-AN=0+|AD|FA|cos；+|4B|4Nk
2、cosr +4 40=/2-&=0,故选 C.第1页 共14页4.(2022西安二模,5)现有语文、数学、英语、物理各1 本书，把这4 本书分别放入3 个不同的抽屉里.要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里，则 放 法 种 数 为()A.1 8 B.24 C.30 D.36答 案 C将4 本书分为3 组，语文和数学不在同一个组，有第-1=5种分组方法，将分好的3 组放到3个抽屉里，有的=6种安排方法,则有5x6=30种放法，故选C.5.(2022 长沙长郡中学第一次月考,6)已知 a e(0,1)且 1 2cos2a+7sin 2a-4=0,若 tan(a+p户3,则 tan=(
3、)A.-表或-7 B.(或 1C1 口吃答案 D 由 1 2cos2a+7sin 2a-4=0,得 4cos2a+7sin acos a-2sin2a=0,/.2tan2a-7tan a-4=0,由得 tan a=4.又,tan(a+0)=3,二 tan 0=tan(a+0-a)=恒=_ 白，故选 口.厂，厂 厂，l+tan(a+p)tana 1 4-3tana 1 36.(2021 重庆南开中学月考,7)自点A(-2,l)发出的光线1 经过x 轴反射，其反射光线所在直线正好与圆M：x2+y2-4x-6y+9=0相切，则反射光线所在直线的所有斜率之和为()4 8B.2 C.1 D.4答案 C
4、圆 M:x2+y2-4x-6y+9=0 可化为(x-2)2+(y-3)2=4,圆心为 M(2,3),半径为 r=2点 A(-2,l)关于 x 轴对称的点为砥-2,-1),所以设反射光线所在直线的方程为y+l=k(x+2),即 kx-y+2k-l=0.由反射光线正好与圆M 相切，得 隼 翼 辿=2,即 3k2-8k+3=0,解得kl=与 ,k2=空,于 是 kl+k2=?+jH+i 3 3 34+夕 8”、山小一一=.故选C.7.(2022福建南平1 0月联考,7)已知定义在R 上的偶函数f(x)满足f(-x)=-f(2+x),当-2WxW0时,f(x)单调递增，则()A.f(tan g)/(2
5、 021)/(log30B.f(tan g)/(lo g31)f(2 021)C.f(log3i)/(2 021)/(tan g)第2页 共1 4页D.f(log3i)/(ta n g)f(2 021)答案 A 因为 f(x)为偶函数所以 f(-x)=f(x),又 f(-x)=-f(2+x),所以 f(x)=-f(2+x),所以 f(x)=f(x+4),即 f(x)是周期为4的函数，则f(2周l)=f(505x4+l)=f.因为3 曰?,所以1 t a n吊 V3,f(log3 m=f(-log 32)=f(log 32),0log 32l.因为 f(x)为偶函数，且当-2WxW0 时.f(x
6、)单调递增,所以当0WX W2 时,f(x)单调递减，故 f(ta n 引 f(l)f(log32),即 f(ta n 引 。(2 021)3-c o s 2x=g+；(gcos2x+亨sin2x)-cos 2xV3._ 3 _,1 冉.心,1-sin 2x-cos 2x+-=-s i n2x-)+-,则 f(x)的最大值为等,A 正确.令2 x?=尹kkeZ)得 x若+g(keZ),即为f(x周象的对称轴方程,C 正确.易知f(x)图象的对称中心的纵坐标为a B 错误.由 f(x)=y sin(2x-)+1 =0,得 sin(2x-=-苧，当 0,2哪寸,2x-4,。手 .因为sin()=s
7、 in 手=一曰 0),过其准线上的点T(l,-1)作 C 的两条切线，切点分别为A、B,下列说法正确的是()A.p=lB.TA1 TBC.直线AB的斜率为3D.线段AB中点的横坐标为1答 案 B C D 易知准线方程为y=-1,，p=2,C:x?=4y.设过点T 的直线方程为y+1 =k(x-1)代入,得9-kx+k+l=0,当直线与C 相切时，有 A=0,即 k2-k-l=0,设 TA,TB的斜率分别为卜欣,易知由人是方程k2-k-l=0 的两根，故 kik2=-l,故 TA1 TB.第4页 共1 4页设 A(xi,yi),B(X2,y2),其中 yi哼,y2=学,则直线 TA:y-=y(
8、x -x l),即 y=,x -y l,把(1,-1)代入得 xl-2yl+2=0.同理可得 x2-2y2+2=0,故直线 AB:x-2y+2=0,故 kAB=由 kAB=xj3=口=空=3，得 空=1，即线段A B中点的横坐标为1.故选BCD.1 1.(2022河北神州智达省级联测二,1 2)已知三棱柱ABC-AIBIG的6个顶点全部在球O的表面,AB=AC,ZBAC=1 2O,=|ABC-AiBiCi的侧面积为8+4 g,则球O的 表 面 积 可 能 是()A.4兀 B.8兀C.1 6TI D.32 兀答 案C D因为三棱柱的6个顶点全部在球O的表面上，所以三棱柱为直三棱柱.设三棱柱ABC
9、-AIBIG的高为h,AB=AC=a.因为NBAC=1 20。,所以BC=V5a,则该三棱柱的侧面积为(2+V3)ah=8+4百，故ah=4.设4A B C的外接圆半径为r,则心五痣凉=a.设球O的半径为R,则R +g)2=a2+?=居+当且仅当h=2声时等号成立，故球O的表面积为4兀R2对6兀故选CD.1 2.(2022广东汕头一模,1 0)已知正实数a,b满足a+2b=ab,则以下不等式正确的是()2 1A.F 工22 B.a+2b28a bC.log2a+log2b0,b0,a+2b=ab,所以 a+2b22/2ab=2 J2(a +2b),当且仅当 a=2b 时取等号，所以(a+2b)
10、2?8(a+2b),因为a+2b0,所以 a+2b28,所以 B 正确;对于 C,若 Iog2a+log2bv3,则 logza+Iog2b=log2(ab)3=log28,所以 ab8,所以a+2bv8,而由选项B可知a+2b28,所以log2a+log2b0)=0.9,则P(2 2)=05且日=2,所以 P(X4)=l-P(X0)=0.1,所以 P(22)-P(X4)=0.4.第5页 共1 4页14.(2020浙江15,6分)已知直线y=k x+b(k 0)与圆x2+y2=l和圆(x-4p+江=1均相切，则k=,b=,答 案V 3 2 V 3,-3 3解析 解法一:由直线与圆相切的充要条件
11、知号T(b4k+b,a=苧(舍非正数),照 坦=1 niz)|=VFTT J,_2V3.A/F+1(0 3 ,解法二:如图所示.由图易知，直线y=k x+b经过点(2,0),且倾斜角为3()。,从而k=?,且0=言+b=b=言.15.(2022江苏苏州常熟抽测二,14)已知A(1,V3),F是椭圆C：y 4-=1的左焦点，点P是椭圆C上的动点,则|PA|+|PE的最小值为.答 案4解析 设椭圆C的右焦点为F,依题意，知F(2,0)而椭圆的定义得|PF|+|PF|=6,而|PAHPF|W|AF|=J(2-1)2+(百尸=2,即-2W|PAHPF|W2,有|PF卜 2W|PA|W2+|PF|,因此
12、|PA|+|PF闫PF|+|PF2=4,当且仅当点P是线段A F的延长线与椭圆C的交点时取“=，所以PA|+|PF|的最小值为4.16.(2021山东青岛模拟,14)设函数f(x)=ex(x+1)的图象在点(0,1)处的切线为y=a x+b,若方程隆川小有两个不等实根,则实数m的 取 值 范 围 是.答 案(0,1)解析由 f(x)=e*(x+l)可得 f(x)=e、(x+l)+eX=eX(x+2),则函数 f(x)的图象在点(0,1)处的切线斜率为 k=f(0)=2e=2,所以a=2,将(0,1)代入y=a x+b可得b=l,所以方程|a、-b|=m即2-1|=m有两个不等实根,等价于y=|
13、2、-l|的图第6页 共1 4页象与直线y=rn有两个不同的交点，作y=|2-l|的图象如图所示，由图知:若y=|2的图象与直线y=m有两个不同的交点，则0ml.四、解答题本题共六小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(2022T8联考,18)设等差数列 加 的前n项和为S。,已知a i=3,S3=5a i.求数列%的通项公式；设bn=l+|，数列 bn的前n项和为T”.定义区为不超过X的最大整数例如。3=0,口.5=1.当 Tl+T2+-+Tn=63 时，求 n 的值.解 析(1)设等差数列 a j的公差为d,因为a i=3,所以S3=3a i+3d=9+3d.又因为
14、S3=5a i=15,所以 9+3d=15,得 d=2.所以数列an的通项公式是an=3+2(n-l)=2n+1.(2)因为 S n=3 n+x 2=n2+2n,所以 bn=l+-=14-2=1+-zSn nn+Z)n n+z所以T产n+(l _ g +d)+G 1)+)=n+l+一 六 一 磊 一当 n2 时，因为 ;0,所以 Tn=n.当 n23 时，因为 0之一所以 Tn=n+1.L n+1 n+z L因为 T1+T2+Tn=63,所以 1+2+4+5+(n+l)=63,即 3+(n-2)(：+n+i)=63,即/+311-130=0,即(n-10)(n+13)=0.因为neN*,所以n
15、=10.18.(2021 山东烟台二模,18)从si n A=c os/2a c os A=bc os C+c c os B,a c os C+(2b+c)-c os A=0 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题:在4 A B C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,.求A;第7页 共1 4页 若 a=2,求AABC面积的最大值.解析 若选:由sin A=cos?可得2sin?c o s 夕=cos 因为0 4 兀,所以cos g 0,故 2sin?=1,即 sin U，由 0 3 可知J=2 所以A=*(2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 b2+c2
16、=bc+4.因为b2+c222bc,所以beW4,当且仅当b=c=2时“二”成立.所以 ABC面积的最大值为:besin A=I x 4 X y =V3.若选:由正弦定理可得 2sin Acos A=sin Bcos C+cos Bsin C,BP 2sin Acos A=sin(B+C).因为 A+B+C=7c,所以 sin(B+C)=sin A.故 2sin Acos A=sin A,解得 cos A因为0 Av兀，所以A=(2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 b2+c2=bc+4.因为b2+c222bc,所以bc0,所以 cos A=-1.因为 0 V A V 兀,所
17、以A=1TL(2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 b2+c2=4-bc.因为b2+c22bc,所以be4当且仅当b=c=争 寸 =”成立.所以4ABC面积的最大值为besin A=1、，4 V3 V3-X-X=.2 3 2 31 9.(2022新高考II,1 9)在某地区进行流行病学调查，随机调查了 1 00位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：第8页 共1 4页(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%该地区年
18、龄位于区间 40,50)的人口占该地区总人口的16%从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 40,50),求此人患这种疾病的概率似样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.000 1).解 析(1)平均年龄为(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002)x10=47.9(岁).(2)设事件A=该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 20,70)”，则P(A)=l-P(/i)=1 -(0.001+0.002+0.006+0.002)x 10=1-
19、0.11=0.89.(3)设事件B=任选一人年龄位于区间 40,50)”，事件C=任选一人患这种疾病”.由条件概率公式可得P(C旧 尸 箫=%；黑1=：23=0.00 1 437 5 0,001 4.20.(2021湖南永州二模,19)在如图所示的圆柱O Q?中,A B为圆。的直径,C,D是部的两个三等分点,EA,FC,GB都是圆柱Oi O2的母线.(1)求证于01平面ADE;若BC=FC=2,求二面角B-AF-C的余弦值.第9页 共1 4页解 析(1)证明:连接O C Q Q,因 为 A B 为 圆 O i的直径,C,D是部的两个三等分点，所以NAO|D=/DOIC=NCOIB=60。,又
20、O|A=O|B=OiC=OQ,所以AO|D,aCOQABOiC 均为等边三角形，所以 Oi A=AD=DC=O|C,所以四边形ADCOi是菱形，所 以 COi AD,又因为CO田平面ADE,ADu平 面 ADE,所 以 CO/平 面 ADE.因 为 EA,FC都是圆柱0)02的母线，所 以 EAFC,又因为FC&平 面 ADE,EAu平面ADE,所 以 FC平面ADE.又 CO,FCu平 面 FCOi,COi nFC=C，所以平面FCOi 平面ADE,又 FO,c平面FCOi,所以 FOi平面 ADE.(2)因 为 FC是圆柱OQ?的母线，所 以 F C,圆 柱 Oi。2的底面，所 以 FC，
21、AC,FC，BC,因 为 A B 为 圆 O1的直径，所以 NACB=90,所以直线CA,CB,CF两两垂直，以 C 为原点建立空间直角坐标系如图，则 C(0,0,0),A(2VI,0,0),B(0,2,0),F(0,0,2),则 荏=(-2 俗 2,0)方=(-2 遍,0,2),由题知平面 ACF 的一个法向量为而=(0,2,0),设 平 面 ABF的法向量为n=(x,y,z),则 卜 AB-2-/3x+2y-0,令*=1,则 y=6,z =V5.n=(1,/3,V3).In AF=-2v3x+2z=0,所 以 cos=繇=鬻=手.由图可知,二面角B-A F-C 的平面角为锐角，所以二面角B
22、-A F-C 的余弦值为亨.21.(2022八省八校联考二,21)已知双曲线:/=l(a 0/0)过 点P(国且 的渐近线方程为y=遍 x.求 的方程；第1 0页 共1 4页如图过原点O作互相垂直的直线h,12分别交双曲线于A.B两点和C.D两点,A,D在x轴同侧，请从两个问题中任选一个作答.如果多选，则按所选的第一个计分.求四边形A C B D面积的取值范围;设直线A D与两渐近线分别交于M,N两点,是否存在直线AD.使M,N为线段A D的三等分点?若存在,求出直线A D的方程;若不存在,请说明理由.解 析(1)由题意有，=V3,b=8a，将点P(V3,代入双曲线方程得京-微=1，联 立 解
23、 得 二 故 的方程为x2-9=1.(2)选:易知直线li,12的斜率均存在且不为0,设A(xi,yi),B(X 2,y2),C(X 3,y3),D(X 4,y4),直线L的斜率为k,直线b的斜率为-?11的方程为y=k x,12的方程为y=-%y kx,由久2一片=1消去y整理得(3上21-3=0.直线h与双曲线r交于两点，所以3-k 2Ko且A!=12(3-k2)0,k20,k2i(I 3k 2X31赤，x4-禹，则|CD|=|X3-X4|=2(3(l+fc2)d 3H-1根据对称性可知四边形A C B D为菱形，其面积第1 1页 共1 4页S 四 边 形 ACBD=/|A B|,|CD|
24、3(1+九2)/3(1+H)=23-fc23k 2-1=6(1+k2)216fc2-3(l+/c2)2=60 _-_16H-4 k 2 0,W得 k?w3 且 k2Vm2+3.由根与系数的关系得2 km%+%2=,-m2-3%2=中,.-=产 需 尹.=kx+m,=V3x,x=解得(y=m友,点的 坐 标 为 岛，盥），同理可得N点的坐标为（湍,能）,M N=J（最 温 丫 +（盥-箴2=产 黑 笋.因为M,N为线段AD的三等分点，所以AD|=3|MN|,l(l+k2)(12m2-12k2+36)_ I12(l+k2)m2J (3-2)2=3,(3.2)2，整理得k2+8m2-3=0.V AB
25、 1C D,AO 1 D O A O -DO=0,x1x2+yiy2=0.第12页 共14页X i x2+yi y2=xi x2+(k xi 4-m)(k x2+m)=(l+k2)xi x2+k m(xi+x2)+m2=(l+k2)-:|+m2 =0,整理得一3k 2+2m2-3=0.联立解得k 2=-卷,无解，故没有满足条件的直线AD.22.(2021 山东青岛二模,21)已知函数 f(x)=a ln x-V+l(x0),a eR.讨论f(x)的单调性；(2)若对任意xe(0,+8卜均有f(x)W0,求a的值：(3)假设某篮球运动员每次投篮命中的概率均为0.81,若其10次投篮全部命中的概率
26、为p,证明:pe-2.解析 函数f(x)的定义域为(0,+8),(X)-2=宇.若a WO,则f，(x)0恒成立，此时函数f(x)在(0,+8)上为减函数；若 a 0,由 f(x)0 可得 0 x4a 2,由 f(x)4a2,此时，函数f(x)的单调递增区间为(0,4a、单调递减区间为(4a 2,+oo).综上所述，当a W O时，函数f(x)在(0,+8)上为减函数:当a 0时，函数f(x)在(0,4a 2)上单调递增，在(4a 2,+oo)上单调递减.当a W O时，函数f(x)在(0,+oo)上为减函数，且f=0,当0 xf=0不合题意当 a 0 时,由知 f(x)ma x=f(4a2)
27、=a ln(4a2)-2a+l=2a ln(2a)-2a+l 0,令 t=2a,t0,可得 ti n t-t+lWO,即 In t-l+WO,令g(t)=ln t+1-1,其中 t 0,则 g t)=：一1=德当0tl时,g，(t)l时,g，(t)0,此时函数g(t)单调递增.所以,g(t)mi n=g 6=0,则 g g =0,又 g(t)WO,所以 g(t)=O,所以 2a=t=l,解得 a=1.(3)由题意可得p=0.8J,由可知，当 a=；时,竽一石+1W0,即 In xW2(爪一 1),所以 In 0.8110=101n 0.81 20(V081-l)=-2,因此,pe.第1 3页 共1 4页第1 4页 共1 4页