《2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第四章导数及其应用第四节 第2课时导数与函数零点.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第四章导数及其应用第四节 第2课时导数与函数零点.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 2课时 导数与函数零点O-、才点棵兔 悟法培优/自主练透)，考点 一 利用导数探究函数的零点或方程根的个数问题1.函数F(x)=2*+f-2在区间(0,1)内的零点个数是(A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选 B.f (x)=2 I n 2+3*,在(0,1)内/(x)0恒成立，所以/(x)在(0,1)上单调递增，因为0)=1 0,故函数在区间(0,1)内的零点个数为1个.2.函数fG)的定义域为 1，4,部分对应值如表，其导函数尸/(x)的图象如图,X-10234/(X)23030当 0 a l 时，函数y=/(x)(2a+2)fx)+a?+2a 的零点个数为()A.4 B.5 C.
2、6 D.7【解析】选 D.由导函数的图象和原函数的关系得，f(-1)=2,f(0)=3,f(2)=0,A 3)=3,f(4)=0,函数 y=/(x)(2a+2)f(x)+，+2a=f(x)a C O (a+2),令 y=0,得 f(x)=a,或 f(x)=a+2,当 0 a V l 时，y=f(x)与 y=a 有 3 个交点，当 O V a V l 时，即2 V a+2 V 3,y=f(x)与 尸 a+2 有 4个交点，所以函数y=d(x)(2a+2)F(x)+4+2 a 的零点有7 个.3 .若函数f(x)=矛一 x-7,g(x)=x+e ,力(x)=x+l n x的零点分别为不，如 吊，则
3、()A.a *3 矛 B.C.x x2 x3 D.x3xi0),则 f(x)()A.有 2 个零点B .有 1 个零点C.在区间g,1)上有零点，在区间(1,e)上无零点D.在区间g,1)上无零点，在区间(1,e)上有零点【解析】选 A D.因 为/(x)=J -,所以当x d(0,3)时，f(x)V0,f(x)单调递减；x3 x (3,十8)时，f(x)0,F(x)单调递增.而 O V，l e 0,/(I)e 3 e0,/(e)=1 l 0,所以/(x)在区间已，11 上无33ve/零点，在区间(1,e)和区间(e,6)上各有一个零点.5.(多选题)下列函数有一个零点的是()A.f(x)=e
4、 一才 一 1B.f(x)=|x+|3 x 1C.f(x)=f+3f+3*一1D.f(x)=I n x-x【解析】选 A C.对于选项A,函数y=e*与y=x+l 的图象相切于点(0,1),因此f(x)=e 一刀一1 只有一个零点；对于选项B,画出y=|x+l|和 尸;x+1 的图象，可知它们有两个交点，因此f(x)有两个零点；对于选项C,f (X)=3/+6X+3=3(X+1)20,所以/(x)在(一8,十8)上单调递增,所以f(x)在(-8,+o o)上只有一个零点；对于选项D,因为F (x)=,易知/(x)在(0,0上单调递增，在(1,+8)上单调递A减，所以/1(x).a*=F(l)=
5、-1 0,所以函数此时单调递增,而f(D=eTl V0,f(0)=l 0,所以此时函数f (x)=e +x：,有唯一零点；当 x 0 时，令 f (x)=3 x =0,解得/=x 3=x =3 1n x,此时原函数的零点为函数g(x)=x333 1n x的零点，g (x)=1 一 一 ，因此当x 3 时 g (x)=1 0,函数单调递增，X X3当 0 x 3 时，g (x)=1-0,函数单调递减，Xg(3)=3-3 1n 3 =3(l-l n 3)0,g(6)=6-3 1n 6=3(2-l n 2)0,所以函数在(0,3)和(3,+8)内各有一个零点，所以一共有3 个零点.2.设函数 f(x
6、)=。x?+(x 1)/(其中 k d R),乙 当 4=0 时，求函数/(X)在(1，0)处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当A W O 时，讨论函数 M 的零点个数.【解析】(1)当在=0 时，F(x)=(x l)e ，f(x)=x e ，则有6(1)=e,于是得y=e(x-1),即 尸 e x e,所以函数/U)在(1，0)处的切线方程为尸e x e；(2)依题意，f(x)=A x+x e*=x(e*A),当 4 W0 时，当 xQ 时，f(x)0 时，f(x)0,于是得F(x)在(-8,0)上单调递减，在 0,+8)上单调递增，当 A 0 时，由 F (x)=0 得
7、x=0 或 x=l n A,当 0A Vl 时，当 x 0 时，f(x)0,当 l n A x 1 时，当 x VO 或 x l n A 时，f(x)0,当 0 V x l n A 时，f(x)0,于是得f (x)在(-8,0)和(I nk +8)上单调递增，在 0,I n 4 上单调递减，所以当4 W 0 时，/1 时，f(x)在(-8,0)和(I n k,+8)上单调递增，在 0,I n 幻上单调递减；因 为 A W O,则当A=0 时，f(x)=0,即(x l)e =0,解得x=l,即 f (x)在 R上只有一个零点，k当 4 Vo 时，显然/()=1,而 F(l)=/0,又/(x)在
8、0,+8)上单调递增，于是得f(x)在 o,+8)上只有一个零点，当x v o 时，0ev(2 1产+。-1)-1=一9 o,又 f(x)在(一8,0)上单调递减，于是得/l,x0)有且仅有一个解，令力(x)=H x(a1,x 0),则下列结论错误的是()A.a=eB.力(x)在区间(1,e)上单调递减C.x=e 是力(x)的零点D.力(1)是力(x)的极小值，x=e 是力(x)的极大值点I p t o y【解析】选 D.由题意，x In a=a In x 即=，在 x 0 上有且仅有一个解，a x./、In x i,/、1 -In x令 f(x)=，则 f(x)=一,X X所以当OVxVe时
9、，f(x)0 即 f(x)递增；当x e 时，f(x)V O,即 f(x)递减，所以F(x)的图象如图：於 尸 竽go y e XIn a In x所以当OVaVl,a=e 时，-=-仅有一个解，而己 1,所以a=e,A正确；力(e)=a xecee=O,C 正确；由力(x)=e一若力(x)=e“一eM|=0,则 e=e4，两边取对数整理得 x1=(e1)In x,令 A(x)=(el)ln xx+l,则 4,(x)=一1=一一，X X所以当 o x0,A(x)递增，当 xe-l 时 k(x)VO,4(x)递减；又 0V1 V e1 Ve 且 4(1)=A(e)=0,所以当 OVxVl,xe
10、时 4(x)VO 即方(%)0,/?(x)递增；当 1 VxVe 时 4(x)0 即力(x)V 0,力(x)递减;故 B正确，D错误.(2)(一题多解)已知函数/(才)=点一111X一1(40).若函数/(才)有且只有一个零点，求实数A的值.【解析】方法一：fx)=kxr x1,/、1 kx 1 z、f (x)=k一 一 =-(x 0,左 0),X X当 才 时，f(才)=0;当 OV x V,时，f1(x)v o；k k当 x 时，ff(x)0.K所以f(x)在(o,詈上单调递减，在(,+8)上单调递增，所以=In k,因为f(x)有且只有一个零点，所以In k=0,所以4=1.方法二：由
11、题 意 知 方 程 In x1=0 仅有一个实根，由4 x-In 上 一 =0 得 k=Jn 丫 七!(x 0),x.,、In x+1,、，、-In x令 g(x)=-(x 0),g(x)=-i-,X X当 x=l 时，g(x)=0；当 O VxVl 时，g(x)0；当 x l 时，g U)0 时，两图象必须有两个交点，假设两图象当x 0 时至多只有一个交点，1p v(%2)尽*-m i l (-.f(x)=e a*0 恒成立，不合题意，所以a 0,1则 e=a*恒成立，即,q 占小一/，外)耳 一当 g (x)0 时，x 2,当 g 2e则 g(x)而,=g(2)，即若 a3，X(x)V0
12、时,0 x 0 时至多只有一个交点,故若函数f(x)=e ax?在(0,+8)上有两个不同的零点所以实数a 的取值范围是件，+8).P X方法二：f(x)=e HV=O 等价于 a=，Xev e*(x2)设 g(x)=，则 g W=一，当 g (x)0,e 2,则 a,x 2,当 g x).x 4所以实数a 的取值范围是6，+8).x 4 x 2 2.(多选勘已知函数式x)=|，若关于x 的方程f(x)=加恰有三个不I n才+1,才 1_(%+汨)2同头数解小，如*3(*l 时，尸 l n x+l l,所以由图象可知R W(1,2)时关于x 的方程f(x)=加恰有三个不同实数解，2又用+吊=2
13、 义(一2)=4,一勺一4 为一2 =l n 豆+1,所以e-=一(一父-4x)(七一1)=(In 冬+3)(冬一1),又因为 RW(1，2),所以 In 总+i e(b 2)，所以为(1，e)，设 g(x)=(l n x+3)(xl)(xe(l,e),所以 g (x)1=-+l n x+3 =l n x +4,x x显 然 父(x)在(1,e)上单调递增，所以H(x)y(1)=3 0,所以g(x)在(1，e)上单调递增，所以 g(x)e G(l),g(e),即 g G)e(0,4 e-4),所以 e-y(0,4 e-4),K l e 4 e-4 e2,所以可取1,2.建w【加练备选】已知函数
14、f(x)=：l n x+m 在区间(，e)内有唯一零点，则实数m 的取值范围为()A-TTT 2+1J B-+T)C.(三，1)D.(-1,三+1)e 十1 2“、人 ，/、/I,、x In x ./x In x A【解析】选 B.令 f(x)=0,则 m(一 +1)=l n x,m=，令 h (x)=(-x 0,则函数 y =k (x)在区间(e,e)上单调递增，k(x)k(e )=e-1 0,所以 h (x)0 函数 y=h(x)在区间(e，e)上单调递增，所以有 h(e-)h(x)h(e),即 三 h(x),所 以 三 m x lX ，若 F(x)=i-亍 x ：L乙 乙所以 f f(x
15、)+l =l n f (x)+1,综上，对V x GR,=l n /G)+1.所以Hx)=f f(x)+l +/有两个零点x”及，即方程In f(x)+l +加=0有两个根x”x2,即方程f(x)=e 一l 有两个根汨，如 不妨设小豆.易知函数f(x)在(一8,1)上单调递减，在口，+8)上单调递增，所 以 当 时，l n x 2 =e-l；当x V l 时，1 =e,1.令1,因为 1 5 1 ,所 以-；.所以 X 2=e ,X=2 2 t,所以 X i+x 2=e 2%+2,t 1 .令 g(D=e/2 t+2,t-1 ,所以 g (t)=e -2,令 g (t)=0,所以-=l n 2
16、.所 以;V t V l n 2 时，g Q)l n 2 时，g(i)0,所以函数g(。在&In 2)上单调递减，在(In 2,+8)上单调递增，所以当t=l n 2 时gQ)而 k g(l n 2)=el n 2-2 1 n 2+2=4 2 1 n 2.所以函数g(的值域为 4 2 1 n 2,+8),即为+总 的取值范围是 4 2 1 n 2,+-).2 +l o g X i x l(2)已知函数f(x)=2 8 ，若 f(a)=f(b)(a b),则a b 的最小值为()2 1 X=log2i.2所以劭=生 胃（2VZW4）.构造函数力（D=*萼（1W-W4）（稍微放大力的范围）（f）=
17、乙?4 T n 2 1幅 14-/-=4 1In t-77-.令勿（。-In t（K t0,加（4）In 2In 21一8 （in 24 In 2-由于 In#l n l n e,所以。ln 21,7 （in 2）21,28 （in 2）2V8,/1 8 （in 2）/所以勿（4）=-0.z z 7（l）勿（4）0).当 a=；时，讨论函数/(x)的单调性，并证明：(1+自 1+3 0+/)1+5)0?GN*,G 2)；若函数y=f(x)与 y=二+l n 2的图象恰有三个不同的交点，求实数a 的取值范围.X.【解析】当 a=1时，f(x)=l n x+=.z.1 1 1 (T1)2所以 =x
18、-2 五=丁 W 0，所以f(x)在(0，+8)上是单调递减函数.又 f(l)=0,所以当 X G(1,+)时/(*)0,即 In 一；.令 x=l+4乙 A X U(匹 N,n则 In (1+A)1 1+5 -=T0=2尸 对 3+W)=1 (尚 一 看 从而 m(1+H (1+3 +l n (1+/)+l n 1+A)|(1-1 +|+|+-京 T1+2)1 (i+(l =Z 3所以 1+：J 0),所以(x)=乙 x1 4 a-ax+x-4 a;r=-(x 0)设 A(x)=a x +x 4 a,则4=1 一1 6a l当，即时，g (x)WO,所以g(x)在(0，+8)上单调递减，所以
19、g(x)、a 0 4不可能有三个不同的零点；当即0 a 0,4 2 a 2 a所以王 为 0.又因为4(x)=且 f+矛 一 4且开口向下,所以当0入 天时衣G)V 0,即(*)0,即g，(x)0,所以g(x)在(x,X)上单调递增;当 x 及时，k(x)0,即 g (x)0,所以g(x)在(吊，+8)上单调递减.因为 g(2)=l n 1 2a+-y=0,且 不的=4,所以 2 V 及，所以 g(x)V g(2)=0 a 0.所以加(a)在(0,力 上单调递增，所以应(a)(I =-ln2-2 1n 4J _4+4 8：，=31 n 2一4+上 0,即用 0.又吊一5-A =号)+4|=l
20、n 寺ax0+l n a +y =0 且 g(xO)=0,所以=0.I乙 X。)XQ 4 WAb4 4 _1 yj l-1 6 才及 1+AJI-1 6 才 2 a2 a所以0 V(Vx”所以g(x)在区间。X)上有唯一的一个零点(，故当。B.a 0Z u I 乙(4C.l a 0 D.a 0,f (x)在 R 上单调递增，图象与x 轴只有一个交点，不符合题意；当 a 0 时/G)=(x)0,式X)单调递增;当今，+8)时，f (x)0,f(x)单调递减，要使得函数f(x)的图象与x轴有三个交点，则满足f(x)极小=|一 目+1V0,解得一5 a 0恒成立，所以一卷 a 0,解得 xl 或 x
21、V-l,由 _/0,解得一IVxVl,所以 3x在(-8,1)上递增，在(-1,1)上递减，在(1,+)上递增，当x=-1时，了=/一3矛取得极大值且为(-1)3 3*(1)=2,当x=l时，y=f 3x取得极小值且为 3Xl=-2,因为直线y=a与函数尸H 3x的图象有三个不同的交点，所以实数a的取值范围为(-2,2).3.已知函数/U)=a(*2x)+：有且仅有两个零点，则实数a=()32 32 27 27A，27 B，-27 C-32 D，-32【解析】选C.令f(x)=a(1 2x)+-=0,则a=一(/。、有两个不同的根,x xx-2x)令 3 =一式占，则 3 =尤方，当 x0,当
22、 时，g(x)0,当!2 时，g(x)0,O当时，g(x)=|，在同一坐标系中作出尸a,y=0。乙因为函数f(*)=g-2/+：有且仅有两个零点，由图象知：实数a=|.教师专用备选考点隐零点问题 典例 设函数 F(x)=l n x；aVbx.若 x=l 是/0,此时f(x)单调递增；当x l 时，f G)1.因为函数向矛)=f(x)4/有唯一零点，即 x*n刀一彳=0 有唯一实数解,设 g(x)=A x n XX,则 g (x)=-.令 g(x)=0,2 A xl=0.因为4 0,所以4=1+840,方程有两异号根，设 为&0，因为x 0,所以为应舍去.当 x G(0,而)时，g(x)0,g(
23、x)在(0,而)上单调递减；当XG(X 2，+8)时，g 0,g(x)在(也，+8)上单调递增.故g(x)而=g(x 2).因为g(x)=0有唯一解，所以g&)=0,g(x z)=0 f x2 I n 吊一济=0则/即 彳 2 ，g xj=0 A 2 1 =0因为4 0,所以2 1 n x 2+及-1=0(*)，设函数为(x)=2 1 n x+x1,因为当x 0 时，力(x)是增函数，所以为(x)=0至多有一个解.因为力(D =0,所以方程(*)的解为吊=1，代入方程组解得4=1.，规律方法隐零点问题的解题技巧能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”.对于隐零点问题，常用代数变形、整体
24、代换、构造函数、不等式应用等技巧.，对点训练1.已知函数/(X)=a V a x x I n x,且 f(x)2 0.求a.(2)证 明:f(x)存在唯一的极大值点如 且 e-2/U)l 时，g (x)X 0,g(x)单调递增.所以x=l是 g(x)的极小值点，故g(x)2 g(1)=0.综上，a=l.(2)由(1)知/(x)=/一 x x I n x,f(x)=2 x 2 l n x,设力(x)=2 x 2 I n x,h(x)x当 时，h(%)0,所以力(x)在(0,上单调递减，在+8)上单调递增.又 h(eT)0,h g)0；当 x W(x。，1)时，h(x)0.因为 f (x)=h(x
25、),所以 x =x()是 f(x)的唯一极大值点，由 f(X。)=0 得 I n x o=2(x()1),故 f(X。)=x 0(l X。)，由 x()e(0,得 f(x o)f(eT)=，2,所以 e V f(x。)2 了2.已知函数 f(x)=x I n x x.(1)求 f(x)的极值；设 g(x)=f(x)+l x-a|,a R.e 为自然对数的底数.若函数g(x)恰有两个零点，求实数a的取值范围；当e时，求函数g(x)的最小值.【解析】(l)f(x)的定义域为(0，+)f(x)=l n x+1 l =l n x,当 *6(0,1)时，f(x)0,f(x)单调递增.所以/(x)的极小值
26、为/U)=-l,f(x)无极大值；函数g(x)=f(x)+|x a|有两个零点，等价于x I n x x=一|x a|有两个不同的根,等价于f(x)=x I n X x的图象与力(x)=l x a|的图象有两个不同的交点.令 f(x)=x l n x%=0,则 x=e,又 f(x)=l n x,f(e)=1,结合f(x)的单调性和极值情况，作函数f(x)=x I n x x和力(x)=一|X 臼的图象如图：由图象得矛=0 时，f(x)与力(x)的图象相切，此时只有一个交点.令 f (x)=l n X=1,则 x=:,当力(x)的右半边图象与/(x)相切时，切点为七，=a-1),则切线为y+|=
27、-J,即 尸 一X，与 X 轴的交点为：，0),/1(*)与力(*)的图象相切，此时只有一个交点.结合图象得，a的取值范围为(一；，0)U(0,e)；(i)因为 二，e,当 时，gx=x In x x-x a=x I n x a.g(x)=l +l n xe e20恒成立，所以g(x)在 5 e上单调递增，所以此时g(x)的最小值为J=-1 a；(i i)当 时，gx=x I n xx+ax=x I n x-2 x+a,g(x)=l n x-1 W O 在 e上恒成立，所以g(x)在%e上单调递减，所以此时g(x)的最小值为g(e)=a e；(i i i )当,V z V e 时，若!W x W a,则 g(x)=x I n xx+ax=x I n x-2X+H,e e若 a W x W e,则 g(x)=x I n x x+x a=x I n x a,由(i),(i i)知 g(x)在%a 上单调递减，在 a,e 上单调递增，所以此时g(x)的最小值为g(a)=a I n aa.综上有：当a W：时，g(x)的最小值为一(一a；当(VaVe时，g(x)的最小值为a I n a a；当a e时g(x)的最小值为ae.