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1、2022届广西贵港市高级中学高三毕业班5月模拟考试数学（理）试题一、单选题1 .已知集合人=卜|y=lo g 2（x+l）,1 =迫”8 ,则 ApB=（）A.x|-lx3 B.x|-lx2|C.x|-1 4 x4 3 D.|x|-lx T ,B=d x3 ,所以 Ac3=x|-1 0,b 0,则“a+6 =l”是的()a bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：当。+8=1 时，当且仅当2 =:，即“=2时，取等号，a b 2所以，+:,a bI 1 1 2当=6=
2、一时，-+-=64,此时 +b =w l,3 a b 3所以“a+b =1 是?2 4”的充分不必要条件.a b故选：A.5 .在 二 项 式 的 展 开 式 中 只 有 第 5 项的二项式系数最大，则展开式中的第4项系 数 为(),3 5 7A.7 B.7 C.D.8 4【答案】B【分析】根据题意得 =8,分析求解即可.【详解】由的展开式中只有第5 项的二项式系数最大可知 =8,/、3 16+3 19则展开式中的第4 项 为 层 亍=-7户，系数为-7,故选：B.6 .5 G 基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至2 0 2 1 年 7 月底，A地区已经累计开通5 G 基站3 0 0 个，
3、未来将进一步完善基础网络体系，加快推进5 G 网络建设.已知2 0 2 1年 8 月该地区计划新建50个 5G基站，以后每个月比上一个月多建40个，预计4 地区累计开通4640个 5G基站要到（）A.2022年 10月底 B.2022年 9 月底C.2022年 8 月底 D.2022年 7 月底【答案】B【分析】转化为等差数列，利用等差数列求和公式进行求解【详解】由题意得，2021年 8 月及之后该地区每个月建设的5G基站数量为等差数列，则公差为40,假设要经过上个月，则50k+空二40=4640-300,2解得：=1 4,所以预计A地区累计开通4640个 5G基站要到2022年 9 月底，故
4、选：B.7.已知曲线y=xe*+lnx在点（l,ae）处的切线方程为y=3 x+b,则（）A.=e,b=-2 B.a=e,b=2C.a=e-1,b=-2 D.a=e-1,h=2【答案】C【分析】求出函数的导函数，依题意可得）/1 1=3,即可求出。，再将切点代入切线方程，即可求出匕；【详解】解：y=ae+axe+,k=y xx=as+ae+=2ae+1 =3,xae=1 ,a=-=e1.将（1,1）代入 y=3x+b 得 3+6=1,/.h=-2.e故选：C.8.若双曲线C：4-=1（。0）的一条渐近线被圆（x-2+丁=4 所截得的弦长为2,a 4则双曲线C 的离心率为（）A.空 B.73 C
5、.2/D,3 3【答案】A【分析 1 根据勾股定理和点到直线的距离公式求出。，再根据从=4求出。，然后由离心率公式可求出结果.2【详解】双曲线C 2r-三=1（。0）的渐近线为y=9 x,即ar2y=0,a 4 2根据对称性不妨取y=圆（x 2）?+y2=4的圆心为（2,0）,半径厂=2,又弦长为2,所以圆心到渐近线y =g x的距离为在二1 =7 3，又圆心到渐近线y =：x的距离为4共，所 以 者!=6，解得 =2 6.2 +4 ，少+4所以。2=+=1 6,得C=4,所以离心率6 =空.a 3故选：A.【答案】C【分析】利用函数的奇偶性，以及特殊点的函数值符号即可由排除法选出正确图象.【
6、详解】f(x)+)C O S (x)=(x )C O S X=f(x),所以函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故排除选项4 D,因为当0 x 0,co s x 0,所以 f(x)0,co s x 0,所以x)0,故在区间(0,2万)与x轴有三个交点，故排除B.故选：C.1 0.九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵A B C-44 G中,A A=4C=5,AB=3,8 c=4,则在堑堵A 8 C-A B C 中截掉阳马G-A B 8M 后的几何体的外接球的体积与阳马G的体积比为)B.25岳12D.50
7、万C.6【答案】B【分析】根据题意将三棱锥G-ABC放入长方体中，长方体的外接球为三棱锥的外接球，求出长方体外接球半径，即可求出外接球体积；再由“堑堵”的性质求剩余四棱锥的体积即可.【详解】由题知：剩余的几何体为三棱锥G-4 8 C,CC 平面ABC,ABVBC.将三棱锥G-ABC放入长方体，长方体的外接球为三棱锥的外接球，如图所示:外接球半径R=,+：+5?=半,所 以 外 接 球 体 积 匕 孚）=也咨，125&l阳马G ABAA的体积为匕=L 3X5X4=2 0.匕 -2 5后.3=-=-匕 20 12故选：B.1 1.已 知 乎 s in 2 s+cos2 s;=1（G 0）在尤w （
8、。,2乃）有且仅有6 个实数根，则实数0 的取值范围为（）c.3 5253D.3 5213【答案】D【分析】先 化 简 且 sin2 x+cos2s=l 0)为sin(2 0 r+a=g,再根据题意得出-2(OX+-0),得 日 sin 2a)x+g cos 2cox=；(g 0),即 sin(2 s+)=.设/(x)=sin(26yx+?),即 x)=g 在x e(0,2乃)有且仅有6 个实数根,因为不 2 5 +%4口乃+不,故只需61+2ca B.abcC.bac D.cha【答案】D【分析】由对数函数的性质可比较出/的大小，再 构 造 函 数/)=手，利用导数求出其单调区间，从而可比较
9、出。,c 的大小和a，c的大小，从而可得结果【详 川 星】tz=7iln52=7rln25,b=7iln25=7tln32,由于 7dn25 v R n 32,所以a b,设/(x)=W，贝 IJ r (x)=，当 Xe(e,+8)时，广(x)()，所以/(x)在xe(O,e)单调递增，在x e(e,+8)上单调递减，所以 4)兀)，即 学=学 皿，即/(2)兀)，所以兀ln221mr,得：57rln2101n7i,即Z?c,又 蛆 则，所以7dn5v51ri7i,得：2?iln5 lOlruc,即。b a,故选：D二、填空题x+2 y 41 3 .若 x,y 满足约束条件0【答案】0【分析】
10、作出可行域，根据线性规划的几何意义可求得答案.x+2 y0|x-y +1 =0 x=-2/、联立J v+1 =(),解得、,=_ ，即3(-2,-1),由可行域可知，当直线y =过点8(-2,1)时，Z 取得最大值，最大值为z =2 2*(-1)=0,故答案为：01 4 .已知S,是等比数列%的前 项和，且 其，S,$6 成等差数列，a2+a5=6,则【答案】3【解析】设等比数列的公比为4,讨论 0故答案为：2夜.1 6 .正方体AB C。-A 与GQ的棱长为2,E,F,G分别为8C,C C,B B 1 的中点,给出下列四个命题：上底边G R 的中点在平面A E F内直线 G与平面A E F不
11、平行平面AEP截正方体所得的截面面积为点C 与点G 到平面A E F的距离相等.错 误 的 命 题 是.【答案】【分析】对于：根据题意得EF/BC,BG/AR,所以E尸 A。，所以A,E,F,。四点共面，分析即可判断；对于：取 AG 的中点。，连接AQ,G Q,由条件可知GQ/EF,Q H A E,分析判断即可；对于：因为RS=AS=,4?+2?=2 6,AD、=2五,求 出 再 求 解 即 可；对于：记点C 与点G 到平面AEF的距离分别为，1，,C-AEF=VA-CEF,C-AEF A-CEF 分析即可判断.【详解】在中，如图所示，连接R F,R A,延长。尸，AE交于点S,因为E,F为B
12、C,G C 的中点，所以E F/B G，B C H A D ,所以E F A R,所以A,E,F,。四点共面，所以截面即为梯形A E F R,所以上底边G 2 的中点不在平面4 所 内，故错误；在中，如图所示，取 4 G 的中点。，连接A。，G Q,由条件可知GQ 所，A.Q/AE,且GQnAO=。，E F H A E =E,所以平面平面的，又因为A G u 平面A G Q,所以AG 平面A F,故错误；在中，由可知，因为RS=AS=，不+22=2方,AD、=2 0 ,所以L a s=g x 2 夜 x j(2后 J竽=6,所以S梯畴即=6x1=?,故正确；在中，记点C 与点G 到平面AE尸的
13、距离分别为九，为,因 为 匕/砂=匕 8 尸=所以,J J Z 3 0A AEF又因为 A E P =1，S&AEF,为=%G E F =1，及 也2=2,2=TJ-nc.r c Z.i/lcr L n Jtr C C C 3 3 2 3%所以故错误.1 7.在AABC中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且 孚 sinCb-csin 3-sin A(1)求角A；(2)若 a=2G,2atan Ab c-1-tan B tan C,求AABC的面积.【答案】(呜3百【分析】(1)由正弦定理得到=尸+C2-历，再由余弦定理求出A=g;(2)由正弦定理及三角恒等变换得到sin(B+=1,结
14、合8 0,可求出B=,结合第一问求出C=j,利用面积公式进行求解.【详解】(1)由题意及正弦定理得巴 皮=”，c b-a即 b2-a2=be-c19 B P a2=b2+c2-be所以cosA=；,因为A e(),7t),所以A=g2。h c 由 记 了=言+氤得2acosA bcosB ccosC-=-+-sinA sinB sinC所以由正弦定理得cosB+cos C=2 cos A=1,又因为B+C等所以cosB+c o s t-B)=l,百cosB+sinB=1,2 2所以 s i n（8+3）=l又 5 0,兀），所以B 所以C =g,从而a A B C 是等边三角形.因为4 =2百
15、，所以 SABC ；absinC=3百.1 8.数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势,下表为20 1 7-20 21 年中国在线直播用户 规 模（单位：亿人），其中20 1 7年-20 21 年对应的代码依次为1-5.年份代码X12345市场规模y3.9 84.5 65.0 45.866.36（1）由上表数据可知，可用函数模型y =+a 拟合y 与 x的关系，请建立y 关于x的回归 方 程 3，。的值精确到0.0 1）;（2）己知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物与不在品牌官方直播间购物的人数之比为4：1,按照分层抽样从这两类用户中抽取5 人，再从
16、这5 人中随机抽取2人，求这2人全是选择在品牌官方直播间购物用户的概率.5参考数据：亍=5.1 6,3=1.68,2 匕 乂 =45.1 0,其中匕=毒.*=1参考公式：对于一组数据（K，yJ,（彩,必），（%），其回归直线y =A+a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为Z =R-，4=$-加.E匕,e-0),称圆心在原点。，半径为，片+外的圆是椭圆c的“海中圆”.若椭圆C 的一个焦点为F 电,0),其短轴上的一个端点到厂的距离为73 .(1)求椭圆C 的方程和其“海中圆”方程;(2)点 P是椭圆C 的“海中圆”上的一个动点，过点尸作直线乙，12,使得4,4 与椭圆C都只有一个交点.求证：4
17、，儿【答案】(1)y+y=1；x2+r=4；(2)证明见解析.【分析】(1)由题意得=夜，。=百，直接计算可得;(2)分无斜率和有斜率两种情况证明，无斜率时可直接求出直线4,12,有斜率时联立方程组，利用判别式和韦达定理解决.【详解】解：(1)因为c =&，a=也,所以b =l,所以椭圆的方程为：+/=1,“海中圆”的方程为：X2+/=4.3(2)当4，4中有一条无斜率时，不妨设4 无斜率，因为4 与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =b 或x =当4 方程为x=石 时，此时4 与“海中圆”交于点(6 1),(A-1),此时经过点(有)或(6,-1)且与椭圆只有一个公共点的直线是y=i (或y
18、=-i),即4 为 y=i (或 尸 一 1),显然直线4,4 垂直;同理可证4方程为X=-百 时，直线4，2垂直.当4，4 都有斜率时，设点P(%,%)，其中片+y；=4,设经过点尸小。,先),与椭圆只有一个公共点的直线为y=r(x-x0)=心-%)+%,则 2，+/=113消去y 得至1 f+3|+(%)-3 =0,即(1+3/+6/5 _/)+3(%_ 5)2 _3=0,=6乂%_/)=-4(1 +3-)3(%_/)，_3卜 0,化简得：(3-X：)+2X(W +1-M；=0,因为x；+y：=4,所以有(3-%)/+2与电+卜：-3)=0,设4,的斜率分别为4,%因为4，4 与椭圆都只有
19、一个公共点，所以4,右满足上述方程(3-4)/+2%即+(片-3)=0,所以七G=一，即4，6 垂直.【点晴】在解决有关直线与圆锥曲线的位置关系的题型中，最容易忽视的就是直线的斜率是否存在的问题，要牢记在心，再一点要深刻体会设而不求的思想，简化运算，才能游刃有余的解决圆锥曲线问题.21.已知函数/(1)=这一1 仪 8(尢)=k 2-必+能.讨论X)的单调性；1M(2)当0 “0,都有y(x)g(x).O,求证：2ln?0),分4,0 和。0 两种情况讨论即可得答案：(2)由(1)根据函数零点存在定理存在内1 0。),4：,+8),使 得%)=/)=0,由对于任意的x0,都有，x）g（x）.O
20、,可得和毛也是函数gQ）的两个零点，即内,马是方 程/一 加+m=0的根，所以X +%=%石%2=机，又g=始 知52=工2，所以l n m =111（）=I n X j 4-l n x,=a（玉 +9），所以2l n/n 等价于2（x +3）/；%，由02 ,即证 ：-占，构造函数P（X）=fix）即可证明.【详解】解:g）的定义域为（0,田）,fM=a-,X当q,o时，对于任意的xo,都有ra）0时，令r（x）0,解得xL；令/（x）o,解得0 x!，a a所以/（X）在（oj）内单调递减，在 内 单 调 递 增；（2）证明：因为当时，f（x）在（04）内单调递减，在（田）内单调递增，又/
21、（L）=l +I n al _ l n 4 0J（e）=21 n a+L 0,所以存在用e（0,：,*2 e,+e）,使 得/（%）=/（）=0，且当 X（）,x J 时，/（X）0 ,当工 石,工2）时，/（X）0 ,因为对于任意的x0,都有/（g（x）.O,所以A，9也是函数g（x）的两个零点，即内，工2是方程f 加+机=0的根，所以芭+x2=n,xx2=m ,又因为O Y =l n xI,a2=I n x2,所以 I n/%=l n(x w)=l n X i H-l n =ax+9),所以2l n，（等价于2 “（%+）审因为0 a -|.、2、2要证 X 1 +x2 ,即证 x -X
22、,a a因 为 匕,/-%e（：,z o）j（x）在&,+8）内单调递增，所以只需证/仇）/（|一西），又因为%）=/（毛），所以也只需证因为+，所以当x e(o,|时，(x)0,即 F(X)/T),因为占6(0,小，所 以 为)/(：一占)，2所以X 1+X,一成立，即。(芭+马)2,a1 7因此;2 nm.4【点睛】关键点点睛：本 题(2)问解题的关键是根据函数零点存在定理判断存在王(0,1),马(),+8),使得/(X j=/(%)=O,从而可得和三也是函数g(X)的两个7?零点，即飞，三是方程f 一心+,=0 的根，进而将欲证不等式2 I n 机等价转化为证4明 2 (X +X?)0,
23、p e R）.co s 2d(1)求直线I的极坐标方程和曲线c 的直角坐标方程;rr 7T 若 直 线 与 直 线,交 于 点 心直线与曲线c 交于点A8且A M A.B M ,求实数”的值.答案 A co s，+0 s in，=2,x2-y2=a(2)1x=OCOS0【分析】(1)消去参数f可把参数方程化为普通方程，由公式,“可把极坐标方程与直角坐标方程互化；(2)用极 坐 标 法 求 出 的 极 坐 标，|他|=3-2|,再利用直角三角形性质可求得a.x =1 +6 t【详解】由 厂 a 为参数)得x+y =2,y =1-yJ 2 t直线I的极坐标方程为夕co s 6+夕s in 6=2.
24、由夕2=-得 p1 co s2 0=a,p2(co s2 1 9-s in2 0)=af p2 co s2-p2 s in2 0=aco s2 0 7-y.曲线C的直角坐标方程为V y 2=.(2)直线I的极坐标方程为。co s。+ps in0=2,将。=代入直线/的极坐标方程得4p=V 2,二点M的极坐标为(近孑)将e=g代入曲线c的极坐标方程p-=得p、=历,0,=-历，6co s 2 0AB=px-p-2 ylci.AM I B M ,且。为线段A 8的中点，:.0M=AB=y/2,即 痴=夜，a=1.2 3.若不等式|x-l|+|2 x 3|的解集为(,2).求的值；(2)若正实数，b,。满足 a+Z?+c=/?2,证明：4 ab+be+ac Sabc.【答案】=：2证明见解析【解析】(1)由题意知：2为方程1冗-1|+|2工 一3|二根的根，所以|2-1|+|4-3|=机，即机=2,由|x l|+|2 x 3|2,2 2当x l时，l-x+3-2冗 ,即1 x l；3 3当 1 cxe时，x-l+3-2 x 0,B P 1 x ；2 23 3当时，x-l+2 x-3 2 ,解得x 2,R P x 2,2 2综上，-x 8,即4aZ?+c+ac2 8ahe成立.a b c