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1、第 1 节直线与方程灵活方医方致偎影选题明细表课时作业知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练直线的倾斜角与斜率1,2直线方程5,9,1 0两条直线的位置关系3,4,71 1,1 31 8距离问题81 2,1 4,1 7对称问题61 5,1 6A级基础巩固练1 .直线x+6y+l=0 的倾斜角是（D）A.-B6 3C.D.3 6解析：由直线的方程得直线的斜率为k=-）设倾斜角为a,则 t a n a*.又 a e 0,n）,所以a =V-故选D.2 .若平面内三点A（l,-a）,B a%C I）共线，则a 等于（A）A.1 土鱼或0 8.或 0C.D.竽 或 0解析：由题意知kAB=kAc,
2、日|产 47 +。_砂Q+。2 1 3 i即 a(a2-2 a-l)=0,解得 a=0 或 a 二 l V.故选A.3 .在同一平面直角坐标系中，直线l i：a x+y+b=O 和直线l2:bx+y+a=O 有解析：由题意 l i：y=-a x-b,l2:y=-bx-a,当 a 0,b0 时，-a 0,b0)过点(1,1),则 a+b的最小值等于(C)a bA.2 B.3 C.4 D.5解析:将(1,1)代入直线为白1,a b得工+工 1,a 0,b0,a b故 a+b=(a+b)(-+1)=2+-+2+2=4,等号当且仅当a=b时取到.故选C.a b a b6.点(1,2)关于直线x+y-2
3、=0 的对称点是(B)A.(1,0)B.(0,1)C.(0,-1)D.(2,1)解析:设点A(1,2)关于直线x+y-2=0 的对称点是B(a,b),fb2 _ i则有”-1 一，解得e日 四 +空 2=0 1%=1,、2 2 故点(1,2)关于直线x+y-2=0 的对称点是(0,1).故选B.7.(多选题)(2 0 2 1山 东 模 拟)若 三 条 直 线 l1：a x+y +l =0,l2:x+a y+l=0,l3：x+y+a=0 不能围成三角形，则(ABC)A.3=1 B.3=-1C.a=-2 D.a=2解析:当a=l 时一,直线L,1 2,k 重合,不能构成三角形,符合题意.当 aWl
4、时，若三条直线交于一点，则也不能构成三角形.由忙。?=：得直线1 2,k 的交点坐标为(-a-1,1).代入直线L的方程a x+y+l=0 得 a2+a-2=0,解得a=-2 或 a=l (舍去)，符合题意.三条直线中有两条平行或重合,若L和 L平行或重合,则a=l;若 12和 k 平行或重合,则a=l;若 L和 b 平行或重合,则-a=-L,得a=l,符a合题意.综上,可得实数a 所有可能的值为-1,1,-2.故选ABC.8.已知坐标原点关于直线l,:x-y+l=0 的对称点为A,设直线k 经过点A,则当点B(2,-1)到直线卜的距离最大时，直线k 的 方 程 为(B)A.2 x+3 y+5
5、=0 B.3 x-2 y+5=0C.3 x+2 y+5=0 D.2 x-3 y+5=0-+l=0,解析:设A(x。,y。)，依题意可得q解 得 心=丁 即 A(T,1).(Jo=L设点B(2,-1)到直线k 的距离为d,当 d=|AB|时取得最大值,此时直线1 2 垂直于直线AB.1-3乂 kAB 2,所以直线k 的方程为y-l=|(x+l),即 3 x-2 y+5=0.故选B.9 .已知直线1:(a-2)x+(a+l)y+6=0,则直线1 恒过定点.解析：直线1 的方程变形为a(x+y)-2 x+y+6=0,由俨+y=0，+y+6=0,解得 x=2,y=-2,所以直线1 恒过定点(2,-2)
6、.答案：(2,-2)1 0 .菱形ABCD的顶点A,C 的坐标分别为A(-4,7),C(6,-5),BC边所在直线过点P(8,-1).求：(1)AD边所在直线的方程；对角线BD所在直线的方程.W：(l)kBc=6-8-=2,因为ADBC,所以 k.D=2.所以AD边所在直线的方程为y-7=2(x+4),即 2 x-y+1 5=0.因为菱形的对角线互相垂直，所以 BDJL AC,所以kBo=2-6因为AC的中点（1,1）,也是BD的中点，所以对角线BD所在直线的方程为y-l=7（x-l）,即 5x-6y+l=0.B级综合运用练1 1.已知直线l i：x+2 y+l=0 与 l2:a x-y+2=
7、0 平行，则实数a的值是（C）A.i B.22C.-D.-22解析：因为直线l i：x+2 y+l=0 与 l2:a x-y+2=0 平行,所 以 启 吟解得a=-1.故选C.1 2.若三条直线y=2 x,x+y=3,mx+n y+5=0 相交于同一点，则点(m,n)到原点的距离的最小值为(A)A.V5 B.V6C.2 V3 D.2 V5解析：联立:；3,解得x=l,y=2,把(1,2)代入 mx+n y+5=0 得 m+2 n+5=0,即 m=-5-2 n.点(m,n)至 lj原点距离 d=Vm2+n2=J(5-2n)2+n2=Js(n+2)2+5 2V5.当且仅当n=-2,m=-l 时，取
8、“二”.故选A.1 3 .与直线x-2 y+3=0 平行,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4 的直 线 方 程 是.解析:设所求直线方程为x-2 y+入=0,令 x=0,得 y=g;令 y=0,得 x=-入，由题意得目,一 入 1=4,解得入=4.答案：x-2 y4=01 4 .两平行直线L,b分别过点P (-1,3),Q -1),它们分别绕P,Q 旋转,但始终保持平行,则L,卜 之 间 的 距 离 的 取 值 范 围 是.解析：因为L b,且 P L,Q b,所以L,1 2 间的最大距离为|P Q|2-(-1)2+(-1-3)2=5.又 1】与 1 2 不重合，所以L,L之间距离的取值范围是
9、(0,5 L答案：(0 5 1 5.曲线C:x2+y2-2 x=0 关于直线x-2 y=0 对 称 的 曲 线 方 程 是.解析：由 x2+y2-2 x=0 得(x-l)2+y2=l,圆心为C(l,0),半径为1.设 C(l,0)关于直线X-2 y=0 的对称点为C (x0,y。),，上:-2,则有 3=-1.X-X又 P P 的中点在直线3 x-y+3=0 上，所以3 X 工产上产+3=0.由得(3 X+L+3与I5把 x=4,y=5 代入得x=-2,y =7,所以点P(4,5)关于直线1 的对称点P 的坐标为(-2,7).(2)用分别代换x-y-2=0 中的x,y,得关于1 对 称 的 直
10、 线 方 程 为 士 产-巴 丝-2=0,化简得 7 x+y+2 2=0.(3)在直线 1:3 x-y+3=0 上取点 M(0,3),设点M 关于(1,2)的对称点M(x，y ),所以弓2=1,x=2,等=2,y=1,所以 M(2,1).直线1 关于点(1,2)的对称直线平行于1,所以k=3,所以对称直线方程为y-l=3 X(x-2),即 3 x-y-5=0.1 7.已知点 P(2,-l).求过点P 且与原点的距离为2的直线1 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线1 的方程,并求出最大距离；是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线?若存在,求出方程；若不存在,请说明理由.解：(1)
11、过点P的直线1 与原点的距离为2,而点P的坐标为(2,-1),显然,过点P(2,-1),且垂直于x 轴的直线满足条件，此时1的斜率不存在，其方程为x=2;若斜率存在,设1 的方程为y+l=k(x-2),即 kx-y-2 k-l=0.由 已 知 得 者 省解得k=*此时直线1的方程为3 x-4 y-1 0=0.综上可得,直线1的方程为x=2或3 x-4 y-1 0=0.作图可得过点P与原点0的距离最大的直线是过点P,且与P 0垂直的直线,如图.由 1.L 0 P,得 k1 kop-1,因为 kOp=-1,所以 ki=-1 -2.kop由直线方程的点斜式得y+l=2 (x-2),即即-y-5=0.
12、所以直线2 x-y-5=0是过点P且与原点0的距离最大的直线,最大距离为 青 遮不存在.由可知,过点P不存在到原点的距离超过遥的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线.C级应用创新练1 8.如图,在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线y*(x+l)上从左向右依次取点A k,B k(k=l,2,其中凡是坐标原点)，使A kB kA k+i是等边三角形,则A i oB i oA”的边长是.解析:直线y=?(x+l)的倾斜角为3 0。，与 x 轴的交点为P(-1,0).又 A B A 是等边三角形，所以NP B 也=9 0 ,所以等边A B A?的边长为1,且 AZBIA 3 B 2 A i
13、H,A 2 B 1 与直线 y=/(x+l)垂直，故A zB B,A 3 B 2 B 3,A B B,AIBBK)均为直角三角形,且依次得至l j A2B2=2,A3B3=4,A.8,A5B5=1 6,A6B6=3 2,A7B7=6 4,A8BS=1 2 8,A gB g=2 5 6,A i oB i o=5 1 2,故A i B oA u 的边长是5 1 2.答案：5 1 2第 2 节圆与方程课时作业三选题明细表灵活方医方致偎影知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练圆的方程1,4直线与圆的位置关系2,3,6,7,8,91 2,1 4,1 5圆与圆的位置关系5综合问题1 01 1,1 3,
14、1 6,1 71 8A级基础巩固练1 .方程x2+y2+2 x-4 y-6=0 表示的图形是(D )A.以(1,-2)为圆心,V I I 为半径的圆B.以(1,2)为圆心,V I I 为半径的圆C.以(T,-2)为圆心,V I T 为半径的圆D.以(-1,2)为圆心,“I 为半径的圆解析：由 x2+y2+2 x-4 y-6=0 得(x+l)?+(y-2)?=1 1,故圆心为(T,2),半径为“工故选D.2.直线y=k x+l与圆x2+y2=l的位置关系是(B )A.相切 B.相交或相切C.相交 D.不能确定解析：因为直线y=k x+l过定点(0,1),而(0,1)在圆x?+y2=l上.故选B.
15、3.已知。0 的圆心是坐标原点0,且被直线x-g y+g=0 截得的弦长为3,则。0的 方 程 为(C )A.x2+y2=l B.x2+y2=2C.x2+y2=3 D.x2+y2=4解析：由题意，圆心到直线的距离d 二熹二”,由几何法可V 1+3 2知，l=2 V r2-d2=3,代入数据可得召-汽，4 4所以r2=3,所以圆的标准方程为x2+y2=3.故选C.4 .圆(x+2)2+y2=5 关于原点(0,0)对称的圆的方程为(B )A.x2+(y-2)=5 B.(x-2)2+y2=5C.x2+(y+2)J5 D.(x-l)2+y2=5解析：因为所求圆的圆心与圆(x+2)2+y2=5 的圆心(
16、-2,0)关于原点(0,0)对称，所 以 所 求 圆 的 圆 心 为(2,0),半 径 为 西，故所求圆的方程为(x-2)2+y2=5.故选 B.5 .若圆 C wxyJl 与圆 C 2：x2+y2-6 x-8 y+m=0 夕 卜 切，则 m 等于(C )A.2 1 B.1 9 C.9 D,-1 1解析：圆G的圆心为G (0,0),半径n=l.因为圆C 2 的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=2 5-m,所以圆C 2 的圆心为C2(3,4),半径r2=V 2 5-7 n (m 0),由 I AB|=2可得 r2=(V 3)2+1-4,则 a=r=2,所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)
17、2=4.显然,直线y=k x-k 恒过圆内一定点E(l,0),易得当直线y=k x-k 与C E垂直时被圆C 截得的弦长最短.因为C E 的斜率为1 =1,所以直线y=k x-k 的斜率为T.答案：(x-2 尸+(y-1)2=4 -1B 级综合运用练1 1.已知直线 1:k x+y+4=0 (k R)是圆 C:x2+y-6 x+2 y+9=0 的对称轴,过点P(1,k)作圆C 的两条切线,切点分别为A,B,则三角形P AB 的面积等于(D )A.V 3 B.C.D.2 4 4解析：因为直线k x+y+4=0 是圆C:x2+y-6 x+2 y+9=0 的对称轴，所以直线k x+y+4=0 过圆心
18、C(3,1),即 3 k-1+4=0,k=-l,所以点 P(1,T),|P C|=2,因为圆C的半径r=l,所以切线长|P A|=|P B|二 J|P C|2-r2=g,且在直角三角形中si n N AP C=si n N B P C=W_q,所以 N AP C=N B P C=3 0 ,ZAP B=6 0 ,所以三角形P AB 的面积S=-|P A|X|P B|si n ZAP B=.故选 D.2 41 2.圆x2+y2+2 x-8=0 截直线y=k x+l(k R)所得的最短弦长为(A)A.2 V 7 B.2 V 2 C.4 V 3 D.2解析:直线y=k x+l过定点(0,1),圆 x2
19、+y2+2 x-8=0 可化为(x+)2+y2=3 2,故圆心为(T,0),半径为r=3.因为(0+尸+2=2 -l,n-l),圆C:(x-l)2+(y-l)2=l,若直线1 与圆相切，则m+3n的 最 小 值 为.解析：由圆C 方程知其圆心C(l,1),半径r=l,所以圆心C 到直线1 的距离d=,v?nz+nz因为圆C 与直线1 相切，j m+n+L切入 Vm2+n2 整理可得 2 m n+2 m+2 n+l=0,即 2 (m+1)(n+l)=l,所以(m+1)(n+l)=1.因为 m -l,n-l,所以 m+l 0,n+l 0,所以 m+3n=(m+1)+3(n+l)-4 2 7 3(m
20、 +1)(n+1)-4=V 6-4 (当且仅当m+l=3(n+1),即 m=3n+2 时，取等号),所以m+3n的最小值为巡-4.答案:遍-41 7.在平面直角坐标系xO y中，点A(0,-3),若圆C:(x-a)?+(y-a+2)2=l上存在一点M满足IMA|=2|M O 则实数a的 取 值 范 围 是.解析：由题意得圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=l的圆心为(a,a-2),半径为1.设点M的坐标为(x,y),因为|M A|梦 2 1 M o所以 _|.(y+3)2=2jx2+y2,整理得 x?+(y-1)2=4,故点M的轨迹是以(0,1)为圆心,2 为半径的圆.由题意得圆C 和点M的
21、轨迹有公共点，所以 lJ a2+(a-3)0,则 有6-根 0,所以2m6,且m r4.m-2 W 6-m,2 2故2m b 0)相交于两点A,B,线段A B的a2 b2中点为M(l,1),则椭圆的离心率是(A )A.-B.C.D.-2 2 2 4解析:设 A (5),B y2),则 钝=1,例=1,作差得警1+畛=0,即丝 丸 鬼 区+.仇二组比应力,两边同时除M 匕2 aL 匕2以XX 2,得立守+当詈.”邕=0,因为X|+X 2=2,y i+y2=2,纹丝=-：,代入Q/Xx-X2 Xr-X2 4得 马 塔 ，所以14 故选A.似 b*a2 4 22 27.设 Fb F 2 为椭圆C:+
22、=l(a b 0)的左、右焦点,经过F,的直线交椭圆C 于A,B 两点,若A F 2 A B 是面积为4 8的等边三角形,则椭圆C的方程为.解析:由题意知，|A F 2|=|B F z|=|A B|=|A F i|+|B F i|,又由椭圆的定义知|A F 2|+|A F/=|B F 2 +|B F j=2 a,联立,解得|AF2|=|BF2|=|A B|=4,|AF,|=|BF,|=|a,所以S&2ABW|AB|A F2|s in 6 0 =4V 3,所以 a=3,|F E l 亭|A B|=2 g,所以 c=V 3,所以 b?=a2-c2=6,2 2所以椭圆c 的方程为白+?=1.答案2
23、28 .(2 0 2 1 浙江临海高三模拟)已知C,F 分别是椭圆r :左=1 的左顶点和左焦点,A,B分别是椭圆的下、上顶点，设A F 和 B C 交于点D,若 CD=2DB,则椭圆r的 离 心 率 为.解析:设椭圆的左焦点为F(-c,0),由题意得 A(0,-b),B(0,b),C(-a,0),由C D=2 DB 可得,C B=3DB,贝 D(-p y),AF=(-C,b),AD-(-p y),-,因 为 向 量 共 线，所以-等+?0,解得e=J：.a 5答案q2 29.椭圆血+$1 (ab0)的左、右焦点分别为Fb F2,焦距为2c.若直线y=g(x+c)与椭圆的一个交点M满足NMFF
24、2=2NMF2FI,则该椭圆的离心率为.解析：由y=V5(x+c)知直线的倾斜角为6 0,所以 NMFF2=6 0,NMF2FF30,所以 NFMF2=90.所以|MF 二c,|MF21=BC.X|MF1|+|MF2|=2a,所以c+V3c=2a,即e二 百-1.答案:10.分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)与椭圆1+(=1有相同的离心率且经过点(2,-百)；已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3,过点P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点.解：(1)由题意,设所求椭圆的方程为=+?=ti或?+9=t2(t“t20),因为椭圆过点(2,一8)，所以3 1+
25、手2=24 3_|X,(-V3)2,22 25或 t2=-.4 3 122 2故所求椭圆的标准方程为9+5=18 6、”2 丫 2或亘+亘=1.342 2(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为2+5=1 (a b 0)a2 b22 7或色曝=l(a b 0),由已知条件得像二二殳解得 a=4,c=2,所以 b2=1 2.y2 y,2 yj2 v2故椭圆方程为77+77=1 或77+77=1.16 12 16 12B级综合运用练1 1.已知圆0:x?+y 2=4,从圆上任意一点M 向x 轴作垂线段M N,N 为垂足，则线段M N 的中点P的轨迹方程为(A )A.+y2=l B.x?+
26、丝=14 4。匕 =1 口兰+匕116 4 4 16解析:设线段M N 的中点P(x,y),M(x(),y0),%=%0 r Y x、=等，解得。二 2 力又点M 在圆O x?+y 2=4上，2则 x2+(2 y)2=4,即土+y 2=l.4故选A.2 21 2.已知A,B,C 是椭圆r :+=l(a b 0)上不同的三点，且原点0是a2匕2A B C 的重心,若点C的坐标为(华,1),直线A B 的斜率为-今则椭圆的离心率为(B )A-B.这 C*D.包3 3 3 3解析:设A B 的中点为点D,因为原点0是A A B C 的重心，所以C,0,D三点共线，所以 k o D=k（）c,r+t
27、工 1 i b2 b/V 3 b2 b 1由于k o c “一a2 V 3a （-3）=_ 飞a2=一a=力3所以e 二言.故选B.1 3.已知椭圆3:1+*1 （a b 0）与圆C 2：x?+y 2=b2,若在椭圆3 上存在点a2 bzP,使得由点P 所作的圆C 2 的两条切线互相垂直，则椭圆G的离心率的取值范围是（C ）BD)z11172V2一,2-A.cV3-2DV2一,2V3一,2解析:从椭圆上长轴端点P 向圆引两条切线P A,P，B,则两切线形成的N A P B 最小.若椭圆G上存在点P,所作圆C2的两条切线互相垂直,则只需N A P BW 90,g|J a =ZA P/0W 4 5
28、,所以 s i n a =-s i n 4 5 =.a 2又 b2=a2-c2,所以2c；所以e?若,即 e 等.又 O e b 0）上一点,F F 2是椭圆的左、右焦点，焦距为2c（c 0）,若N F F F 2是直角,则（A B C）A.|0P|=c（0 为原点）B5，AF1PF2=b-C.FFF2的内切圆半径r=a-cD PF/m ax=a+c解析:R S F F F z中,0为斜边F,F2的中点，所以|0 P|g|F F 2|二c，故A正确；设|PFi|=m,|PFz|=n,则有 m2+n2=(2c)2,m+n=2a,所以 mn=1 (m+n)2-(m2+n:)=2b；所以SFiPFa
29、ginnub；故 B 正确；八 02 2(m+n+2c)r=b2,口】？：J：故 Q 正确.m+n+2c 2a+2c 2(a+c)|PF,|=a+c,当且仅当P为椭圆右顶点,此时P,Fb F2不构成三角形,故D错误.故选ABC.1 5.(多选题)已知椭圆C:4+=l(a b 0)的离心率为4，点M(2,1)在a1 bz 2椭圆C上，直线1平行于0M且在y轴上的截距为m,直线1与椭圆C交于A,B两个不同的点.下面结论正确的有(ABC)2 2A.椭圆C的方程为？+一=18 2B.k()M-2C.-2m 0,解得-2m 2,C 正确,D 错误.故选 A B C.16.(2021 浙江杭州图三模拟)如
30、图,M(l,0),P,Q 是椭圆？+y 2=l 上的两点(点Q 在第一象限)，且直线P M,Q M 的斜率互为相反数.若|P M|=2|Q M|,则直线Q M 的斜率为.解析:延长P M,交椭圆于点N,由椭圆的对称性和直线P M,Q M 的斜率互为相反数可知|Q M|=|M N|,如图所示.设直线P M 的斜率为k,所以直线P M 的方程为y=k(x-1)(k b 0)的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为A,B,且|A B|亭|B F|.(1)求椭圆C 的离心率；若斜率为2 的直线1过点(0,2),且 1交椭圆C于P,Q 两点,0P 10Q,求直线1 的方程及椭圆C 的方程.解：由已知 I A
31、B|=/B F|,V a2+b2=-a,4 a2+4 b2=5a2,4 a?+4 (a c?)=5a；所以 3a =4 c2.(2)由(1)知 a2=4 b2,所以椭圆C:冬+，=L设 P(xb y,),Q (x2,y2),直线1 的方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.c2xy+2=0,由l x2,y2 _ H 消去 y,l赤+京=1，得 x?+4(2x+2)2-4b=0,即 17x2+32x+16-4b2=0,=322+16X 17(b-4)0,解得 b 誓,32 16-4D2X i+x 2 -,X 1X 2-.17 17 因为 0P10Q,所以OP OQ=0,即 x1x2+y1
32、y2=0,XiX2+(2xi+2)(2x2+2)=0,5X IX2+4(X i+x2)+4=0.从而-5-(-1-6-4-&-2-)128+,4.=0n17 17解得b=l,满足b等.所以椭圆C的方程为+y2=l.4综上可知，直线1的方程为2x-y+2=0,椭圆C的方程为？+y2=l.4C级应用创新练2 218.已知椭圆C的方程为今+-=1,斜率为k(k#O)的直线与C相交于a，3M,N两点.若G为MN的中点，且心=-白求椭圆C的方程；4k(2)在的条件下，若P是椭圆C的左顶点,kpMkpN=W，F是椭圆的左4焦点,要使F在以MN为直径的圆内，求k的取值范围.解：设M（x i,y D,N（X2
33、,y2）,MN的中点G（x0,y。），代入椭圆方程得修+*-得（乙+久2）*（工广久2）+（丫1+丫2）*（%-、2）a2可得可二37 23.X!+X2_ _ 3.2x0_ _ 3.久0_卜X1-X2 a2 yr+y2 a2 2y0 a2 y0 因为服=7悬 所 以 福,喈=欠所以a=4,2 2椭圆c的方程为A _=i.4 3（2）设MN方程为y=kx+m,则 俨 2+4 y2=1 2,y =k x +m,(3+4 k2)x2+8 kmx+4 m2-1 2=0,-8km 47n2-12X|+X2=诉，Xix尸石藐r，y i+y 2=k(x i+x2)+2 m=k(三为+2 m=5蚩，O I a
34、 T v O I I Vy i,y2=(kx i+m),(kx2+m)=k2XiX2+km(x i+x2)+m2=k24m2-12./-8km3+4/c2、3+4H)+m2=-3m2-12k3+4/c2kp、*丫2 月*37n2 12k2 1X2+2(XJL+2)(X2+2)XI%2+2(比I+%2)+4 4m2-16km4-16/c2 4解得m=2 k(舍去)或m=-k,-若F在 以MN为直径的圆内，则F M F N gf JFM F N=(xi+1,y i),(x2+l,y 2)=XiX2+x i+x2+l+y iy 2 0,4m2-12 8km 3m2-12/c2-+-3+4k2 3+4
35、/c2 3+4/c2+K0,即 4k2-12+8k2+3k-12k2+3+4k20,即7k-90,且kWO,解得一言所以k的取值范围为（-手,0）U（且 kWO.，争.第4节 双 曲 线灵活小唬密致援卷选题明细表课时作业知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练双曲线的定义及应用4,511双曲线的标准方程9,10双曲线的几何性质1,2,3,6,714,1517综合问题812,13,1618A级基础巩固练_ 2 21.经过点M（2V3,2而）且与双曲线十三=1有相同渐近线的双曲线方程是（D ）%2 y2A.土-匕=118 12%?y2B.3-匕=112 18C.匕-二二118 12D-7I-=1
36、2 2解析:设所求双曲线的方程为十与=人，将点M （2V3,2遮）代 入 得 誓 二 杵 二X ,解得人=-6,2 2所以双曲线方程为9-3=1-12 18故选D.2 2 2 22.若实数k满足0k9,则曲线1r士=1与曲线 三-5=1的（D ）25 9一 化 Z5_/C 9A.离心率相等 B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等解析：由 0 。，b 0）的右焦点为F（2,0）,渐近线方程为a2 b2V5x y=0,则该双曲线实轴长为（A ）A.2 B.1 C.V3 D.2 V3解析：由题意知，渐近线方程为y=土8 x,则 色=8，a又焦点为F（2,0）,即 c=2,所以 c2=a2+b2
37、=4 a2=4,则 a2=l,即a=l或T （舍去），则实轴长为2 a=2.故选A.2 24.已 知 双 曲 线（a 0,b 0）的左、右焦点分别为Fb F2,点P 在双a2 b2曲线的右支上，若|P Fj-|P Fz|=4 b,且双曲线的焦距为2 遍,则该双曲线的方程为（A ）A.-y2=l B.或 匕 14 3 2C.x 2-竺=1 D.次士=14 2 3fPF1PF2 =2a=4 b,解析：由题意可得卜2=。2+匕2,、2 c =2 V5,解得 1 二:则该双曲线的方程为?-y 2=l.故选A.5.已知双曲线y-y2=l的左、右焦点分别为F F2,点P 在双曲线上，且满足|PFI|+|P
38、F2=2而，则P FF2 的面积为（A ）A.1 B.V3 C.V51-2D.2解析:在双曲线$y 2=l中,a=V3,b=l,c=2.不妨设P点在双曲线的右支上，则有|P F 一|P F2 1=2 a=2 g,又|P R|+|P R|=2 的,所以 I P F=V5+A/3,I P F2|=V5-V3.又|FF21=2C=4,而|PF1|2+|PF2|2=|FE|2,所以PFPF2,所以S F1F2=X IPFJ X|P F2 1 g x （V5+V3）X（遥-遮）=1.故选 A.2 26 .已知双曲线C:=-3=1（a。，b 0）的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一
39、条渐近线交于M,N两点.若NMA N=6 0 ,则双曲线C的离心率为（A ）手V23-B.2V32D.解析：由题意，可得A到渐近线b x+a y=O的距离为b c o s 3 0 =?b,可 得 益/臬，v a2+Z?2 2g哈 奈可得离心率为e=等,故选A.7 .已知双曲线C:g-l（a 0,b 0）的右焦点为F,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线的渐近线交于点A（A在第一象限内），以0 A为直径的圆与双曲线的另一条渐近线交于点B,若B FO A,则双曲线C 的离心率为（A ）A.手 B.V2 C,V3 D.2解析：因为A F,O F,所以点F 在圆上.又 B FO A,所以 NA 0 F=N
40、0 FB,而 NA 0 F=NB 0 F,所以A O B F是等腰三角形，所以 N0 A B=NB A F=NB 0 F=NA 0 F.又因为N0 A B+NB A F+NA 0 F=9 0 ,所以NA 0 F=3 0 ,所以 tan 3 0 =,a 3所以e J&Rl+GY =乎.故选A.2 28.（多选题）（2 0 2 1 广东深圳一模）设F2 分别是双曲线C:-，=m+n m-n1 的左、右焦点，且|FE|=4,则下列结论正确的有（A C）A.m=2B.当n=0 时,双曲线C 的离心率是2C.F,到渐近线的距离随着n的增大而减小D.当n=l 时,双曲线C 的实轴长是虚轴长的两倍解析:对于
41、选项A,由双曲线的方程可得a=m+n,b?=m-n,所以 ca+b m+n+m-n=2 m,因为2 c=4,所以c=2,所以c2=2 m=4,可得m=2,故选项A正确；对于选项B,当n=0 时，双曲线C：y-=1,此时a2=b2=2,c2=4,所以离心率e=J=V,故选项B 不正确；2 2对于选项C,在双曲线C:-=1 中，由选项Am+n m-n知，m=2,a2=2+n,b2=2-n,且双曲线的渐近线方程为y=-x,a不妨取焦点F,（-2,0）,则 3到渐近线的距离d=*=b=R,所以F,到渐近线的距离随着n的增大而减小,故选项C 正确；对于选项 D,当 n=l 时,a=V2 +1=V3,b=
42、，2 T=l,所以实轴长为2 V3,虚轴长为2,不满足双曲线C 的实轴长是虚轴长的两倍,故选项D 不正确.故选A C.9.（2 0 2 1 广东汕头高三一模）写一个焦点在y 轴上且离心率为V3的双曲线的标准方程.解析：取 c=V3,贝 1J e=K,可得a=l,a所以 b=Vc2-a2=V2,因此,符合条件的双曲线的标准方程为y2-y=l.c v-2答案:y?=1 （答案不唯一,符合要求就可以）1 0.（2 0 2 1 辽宁铁岭高三一模）已知双曲线与椭圆盘+t=l 有相同的1 6 6焦点,且双曲线的渐近线方程为y=1 x,则此双曲线的方程为解析：由题意得椭圆焦点为（同,0）,所以C=V1 O,
43、2 2设双曲线的方程为卷=1 (a 0,b 0),a2 b2则安，C L 3由 片“解得R=+ka2+b2=c2=10,5=L丫2 所以双曲线的方程为+y2=l.v2八答案y2=lB级综合运用练2 21 1.已知双曲线9-9=l(a 0,b 0)的左、右焦点分别为口(-2,0),a2 bzF2 0),P 为双曲线上位于第二象限内的一点，点Q 在 y 轴上运动,若i P Q l +l Q Fz l-|P Fj 的最小值为雪，则双曲线的离心率为(B )A.V3 B.2 V3 C.3 V3 D.4 8H|P Q l +|Q F2|-|P F1|P F2|-|P F1|=2 a,当且仅当P,Q,F2
44、三点共线时,等号成立，所以|P Q|+|Q F2 卜|P Fj 的最小值为2 a,所以2 a=竽,解得a=.由题意知c=2,所以e=-=2 V3.故选B.a2 21 2.(多选题)已知双曲线C:与-3=1 (a 0,b 0)的左焦点F(T,0),过F且与X 轴垂直的直线与双曲线交于A,B 两点,0为坐标原点，A A O B 的面积为|,则下列结论正确的有(A B D)A.双曲线C 的方程为4 x 2-当=1B.双曲线C 的两条渐近线所成的锐角为6 0 C.F 到双曲线C 的渐近线的距离为V3D.双曲线C 的离心率为2解析：因为双曲线的左焦点为F(T,0),所以c=l,又因为过F 与 x 轴垂直
45、的直线与双曲线交于A,a a所以aA O B 的面积为S=；X 1 即竺4，2 a 2 a 2又 a2+b2=c2=l,所以 a=1,I，所以双曲线C 的方程为4 x 2-警=1,故A正确；则双曲线C 的渐近线方程为y=V3 x,所以两渐近线的夹角为6 0 ,故B 正确；F 到双曲线C 的渐近线的距离为d=f,故 C 错误；双曲线C 的离心率为e/=J=2,故D 正确.故选A B D.a-22 21 3.(多选题)已知双曲线C:=1 的左、右两个焦点分别为FI,F2,直线y=k x (k WO)与 C 交于A,B 两点,A E_L x 轴，垂足为E,直线B E与 C的另一个交点为P,则下列结论
46、正确的是(A C)A.四边形A R B F2 为平行四边形B.NFFF2 9 0 解析:如图,双曲线C 关于原点对称,又直线y=k x 过原点，所以A,B关于原点对称，由|O A|=|O B|,|0FI|=|0F2|得四边形A F1 B F2 为平行四边形,A正确;当k f 0,P点趋近于右顶点，此时N F F F 2趋近于平角，因此不可能有Z F,P F2Z AE BZ AE 0=9 0,因此N P AB 9 0 ,D 错误.故选AC.1 4.（2021 浙江宁波高三开学考试）抛物线y2=4x 的焦点到双曲线g-y2=l的一条渐近线的距离是y,则 双 曲 线 的 实 轴 长 是,离心率是 解
47、析：由题意，得抛物线y Mx的焦点为(1,0),双曲线-y2=l的一条渐近线为x+a y=0,因为抛物线y Mx的焦点到双曲线马-丫2=1 的一条渐近线的距离是第，2所 以 半 袅 告 解 得 a=l.V l+a2 2所以双曲线方程为x2-y2=l,所以 c=Va2+b2=V2,所以双曲线的实轴长为2,离心率e=V2.a答案：2 V21 5.(2021 广 东 广 州 高 三 一 模)已 知 圆(x-l)2+y M 与双曲线C：马 一 1=1的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为a2 b2M,N,P,Q,且|M N|二 21 P Q|,则 C 的 离 心 率 为.解析:设k2,渐近线方
48、程是y=kx,由对称性可设aM(xb kx O,N (x i,-kx j,P(X 2,kx2),Q (x2,-kx2),则|M N|=2kx i,|P Q|=-2kx 2,所以 2kx i=2,(-2kx2),x i=-2x2.由y=kx,(%-l)2+y2=4,得(l+k?)X2-2X-3=0,x E等 3 GX|X 2赤,代入得X 22 i+k2代入得-843(1+fc2)2 1+H 解得 l+k2=1.所以 e mJ l+()=+k2=.答案:亚g1 6.(2021 浙江杭州高三模拟)在四边形ABCD 中，已知A(-1,0),B(2,0),Z ABC=2N BAC,|D B|=21 D
49、A|,若 C,D 两点关于 y 轴对称,则I CD|=.解析：设 C(x,y)(x 0),由 N ABC=2N BAC,得 t a nN ABC=t a n 2Z BAC,即 t a nZ ABC=2tanz.BXCl-tan2zBAC,当点C 在 X 轴上方时，t a nZ BAC=kAC,t a nZ ABC=-ku c,故有；当点C 在 x 轴下方时，t a nZ BAC=kAC,t a nZ ABC=ki!C,故有 k i s c=22C,1-%两者都有kBc+；yc =0,所以 ku c (1-嫉C)+2kAc=0,则 卷O +2 匕=0,x-2(x+1)x+1化简得-.2所以点C
50、的轨迹方程为X2-=1(X 1),由C,D关于y 轴对称知D(-x,y),由|D B|=2|D A|,J (-%-2)2+y2=2(-%+1)2+y2,得(x-2)2+y2=4(yW0),与 x 2-?=l(x l)联立消 y,得(x-2)03x 2-3=4,解得x=|或 x=3(舍去)，所以 I CD|=3.答案：3C级应用创新练2 21 7.已知双曲线C:-3=l(a 0,b 0)的两条渐近线均与圆M:x2+y2-6 x+5=0相切,且双曲线的右焦点为该圆的圆心,则双曲线C 的离心率为(C)A.B.C.D,3 2 5 2丫2 A.2 u解 析:双 曲 线(a 0,b 0)的渐近线方程为y=