《2022年黑龙江哈尔滨高考数学五模试卷（理科）（附答案详解）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年黑龙江哈尔滨高考数学五模试卷（理科）（附答案详解）.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022年黑龙江哈尔滨九中高考数学五模试卷（理科）1.已知集合4=-1,0,1,B=yy=x2-x+l,x e A ,则4UB的元素个数为（）A.3 B.4C.5D.62 .当lm 0上的最大值为（）A.1 B.-C.2 D.329 .若Q 0,h 0,求亲+*的最小值为（）A.V 2B.2C.2V 2D.41 0.已知直线/与双曲线1一 =1 交于M,N两点，线段MN中点7 在第一象限，且在抛物线y 2 =2p x上，T 到抛物线焦点的距离为p,求直线/斜率()A.-B.1 C.D.22 21 1 .数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1 6 4 0 年提出了以下猜想：Fn=22n+
2、l(n =0,1,2,)是质数.直到1 7 32年才被善于计算的大数学家欧拉算出F s =6 4 1 x 6 7 0 0 4 1 7,不是质数.现设a n =l o g2cl-1)，厮 的前 项和为立,则使不等式卷 +卷+”+三 一 4,则实数。范 围 是()A.(-0 0,-3)B.(-o o,-3)U(l,+o o)C.(-3,1)D.(l,+o o)1 3.若f x2 dx=9,则a =.1 4 .(x2-3x+2)3的展开式中x 的系数为.1 5 .为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了 3 名男教师和2 名女教师去支援边疆工作，分配到3 所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学
3、校，则两名女教师 分 到 同 一 所 学 校 的 情 况 种 数 为.1 6 .已知正四面体P-A B C 外接球。表面积为5 4 兀，则 该 正 四 面 体 棱 长 为；若 M为平面A 8 C 内一动点，且P M =4&,则 A M最小值为.1 7 .已知函数/(x)=s i n(2x+g)+c o s(2x+，)+2s i n xc o s x.(1)求函数/(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若锐角 A B C 中角A、B,C所对的边分别为a、b、c,且f(4)=0,求g的取值范围.1 8.如图，四棱锥P-4 B C C 中侧面P A B 为等边三角形且垂直于底面4 3c ,4 B1
4、 BC,BC/AD,AB=BC=AD.(1)在图中作出过点C与平面P A B 平行的四棱锥P -4 B C 0 的截面，不需要说明理由；(2)求二面角8-P C-。的余弦值.第 2 页，共 15页p19.2021年4月6日，我 国 发 表 了 人类减贫的中国实践白皮书，白皮书提到占世界人 口近五分之一的中国全面消除绝对贫困，提 前10年实现减贫目标，为了巩固脱贫成果，哈尔滨市某地区积极引导人们种植一种名贵中药材，并成立药材加工厂对该药材进行切片加工，包装成袋出售，己知这种袋装中药的质量以某项指标值k(40 S k S 100)为衡量标准，k值越大，质量越好，该质量指标值的等级及出厂价如表所示；
5、质 量 指 标 值A40,60)60,80)80,90)90,100等级三有二级一级优级出厂价(元/袋)100120150190该药材加工厂为了解生产这种袋装q口药的经济效益，从所生产的这彳仲袋装中药中随机抽取了 1000袋，测量了每袋中药成品的k值，得到如图所示的频率分布直方图.(1)视频率为概率，求该药材加工厂所生产的袋装中药成品的质量指标值k的平均数(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；(2)现 从 质 量 指 标 值 为60到80中分层抽取6袋，某 人 在6袋 中 抽 取2袋，已知其中一 袋 在 指 标 值 为60到70内的条件下，求另一袋指标值在70到80内的概率；(3)假定该中
6、药加工厂一年的袋装中药的产量为10万袋，且全部都能销售出去，若每袋袋装中药的成本为90元，工厂的设备投资为200万元，问：该中药加工厂是否有可能在一年内通过加工该袋装中药收回投资？并说明理由.20.已 知 椭 圆C：l(a b 0)的长轴长为4,离心率为当.(1)求 椭 圆C的方程：(2)直 线/与 椭 圆C交 于A,8两 点，。为坐标原点,耐+证=2而，若|而|=1,求A/lOB面积的最大值.21.已知函数/(x)=Inx-ax-g.(1)讨论函数/(x)的单调性：(2)若x=1是函数g(x)=的极值点，求证：函数g(x)存在唯一的极大值点x(),且一；gQo)0.(参考数据：ln2 0.6
7、93)22.在极坐标系下，设点4 为曲线C：p=2cos。在极轴Qx上方的一点，月.0 6 J,以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy.(1)求曲线C 的参数方程；(2)以A 为直角顶点，AO为 一 条 直 角 边 作 等 腰 直 角 三 角 形 在 A 的右下方)，求点B轨迹的极坐标方程.23.已知函数/(%)=|x-1|+3|.(国)解不等式/1(X)0,b 0,a+b=c,求证：+第4页，共15页答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合4 =1,0,1 ,B=yy=x2 x+l,x E A=1,3 ,则 A U B =-1,0,1,3),4 U B 的元素个数为4.故选
8、：B.求出集合8,利用并集定义求出力UB,由此能求出S U B 的元素个数.本题考查集合的运算，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2 .【答案】D【解析】解：(3 +i)+m(2-i)=3 +2 m+(1 -m)i,v 1 m 0,1 m 0,b 0,b 1 b 1 a aa2+b工+。=一a2 +b工 +不2 +27b 1 a a 444 4-a2 b 2 2、14=43=2E当且仅当2=1=3 时等号成立，a，b 2；.*+a 的最小值为2 鱼.故选：C.把卷+3 +a 变形，再由基本不等式求其最小值.a2 b本题考查不等式的性质，训练了利用基本不等式求最值，是基础题.1
9、0.【答案】A【解析】解：M 在抛物线y 2 =2px(p 0)上,且 M 到抛物线焦点的距离为p,则有抛物线的定义可得，%M+=P，时的横坐标为3 二用,)，设4 abyJ 8(42，丫 2)，即有 i +x 2=P，7i +y2=2P 则我近=1,电一琏=1,A a2 a2 a2 a2两式相减，并将线段A8 中点M 的坐标代入,可得*p(%i -X2)-2 P(y i -y2)=0=0,，直线/的斜率为：皿=：.X1-X2 2故选：A.利用抛物线的定义，确定M 的坐标，利用点差法将线段A2中点M 的坐标代入，化简整理由离心率公式即可求得结论.本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，
10、考查学生的计算能力，属于中档题.11.【答案】。【解析】解：由题意知册=10g2 2 2 n =2n =2(2 -1),1 2则 上 二=-吏-=工(二-)，SnSn+1 2(2n-l)x 2(2n+1-l)4 k2n-l 2n+1-ly2,22,2n 1.1、，511“乂SiS2 s2s3 S,Sn+1 4 1 2兀+1-1，2046目nr 1，1022 12n+1-l 1023 1023所以加可得2n+1 102 4,即n +l 10,n 9,2 1 x 1 102 3故满足条件的正整数n的最大值为8,故选：D.首先求出外,再利用裂项相消法求出不等式言+三+二 二 2 2 c o s x,
11、则g(%)4,即/(小+1)-2 -(/(2。-2)-2),必有(。2)-g(2a 3),即g(M)：g(3-2Q),又由g(x)在 R上为减函数，则Q2 3-2Q,解可得：一 3 a=3,故答案为3.根据定积分的运算法则，找到/的原函数，即可求解；此题考查定积分的简单运算，此题是求积分的上限，并没有直接求定积分，此题比较简单.14.【答案】-36【解析】解：多项式(M-3x+2T表示3 个(/-3x+2)因式的乘积，则从3 个因式中选1个(-3 乃，剩下两个选2,即可得x 的系数为盘x(-3)X 22=-36,故答案为:-36.多项式Q2-3x+2尸表示3个Q2-3 x +2)因式的乘积，则
12、从3个因式中选1个(3x),剩下两个选2,由此即可求解.本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.15.【答案】36【解析】解：若2 位女老师和1名男老师分到一个学校有废胆=18种情况；若2 位女老师分在一个学校，则 3 名男教师分为2 组，再分到3 所学校，有废a=18种情况，故两名女教师分到同一所学校的情况种数为18+18=36种.故答案为：36.将 5 名老师分为3组，讨论2 为女老师所在学校有2 人和3 人的情况进行计算即可.本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题.16.【答案】62V3-2V2【解析】解：设该正四面体棱长为a,过点P
13、作PD 1 ABC,则点。为AABC的重心，则/W=a,PD=a,3 3又正四面体P-外接球O表面积为54几,B则4兀/?2=5 4兀,则 R=,2即P0=4 0 =越，2又 4。2=AD2+OD2,则（吟2=（等）2+（生_吟2,解得：a=6；又 M 为平面A8C内一动点，且PM=4V,则DM=y/PM2-PD2=V32-24=2伍即点M 的轨迹为以。为圆心，2或 为半径的圆，又 4。=2V3,则由点与圆的位置关系可得AM最小值为：2百一 2vL故答案为：6；2V3-2V2.先利用正四面体P-ABC外接球。表面积求出其半径，然后由（乎）2=（苧+（9a-苧产求出正四面体的棱长，由M 为平面A
14、8C内一动点，且PM=4&,则DM=JPM2-PD2=V 32-24=242,即点M 的轨迹为以。为圆心，2&为半径的圆，最后结合点与圆的位置关系求解即可.本题考查了空间几何体的外接球的表面积公式，重点考查了点的轨迹问题，属中档题.17.【答案】解：(l)/(x)=sin(2x+7)+cos(2x+-)+2sinxcosx3 61 V3 V3 1=-sin2x+-cos2x+-cos2x-sin2x+sin2x2 2 2 2=sin2x+V3cos2x=2sin(2x+g),所以函数的最小正周期7=-=7 T,2又由一三 +2kli 4 2.x H W F 2/C T T=-F kn%F k7
15、T(k G Z),23 2 12 12 v 7所以函数/的增区间为 一:+*+时 Z)；(2).缶)=0,M*,b _ sinB _ sin(+C)_ yCOsC+jsinC _ 6 1c sinC sinC sinC 2tanC 2.三角形是锐角三角形，.0 C 3 0 B=y-C p得 视 C y,W4 2,畔 f,再求 的取值范围即可.本题考查三角函数的图像与性质，考查学生的运算能力，属于中档题.1 8.【答案】解：(1)如图所示，取 AO 的中点M,P。的中点M则平面C MN 即为所求的平面.理由如下：由于M,N 为中点，由三角形中位线的性质可知M N P 4由线面平行的判断定理可得M
16、N 平面PAB,同理可得C M 平面PAB,由面面平行的判断定理可得平面C M N 平面P 4 B.(2)如图所示，取 A8的中点O,CZ)的中点K,以点。为坐标原点，OB,0 K,。尸方向分别为x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系，设4 B =2,贝 I：B(l,0,0),P(0,0,6)，C(l,l,0),)(-1,2,0),设平面B P C 的法向量为记=(X i，y i，z j,则/记 理=(%i，y i，Z i)(1,0,-V 3)=0,(jm-PC=(x1(y j.Z j)-(1,1,-V 3)=0据此可得记=(V 5,0,l),设平面P C 的法向量为有=(x2,y2，z2)则
17、1 五 .%=(%丫2,Z2)(-2,1,0)=0 ,(n -P C=(x2,y2,z2)-(1,1,-V 3)=0据此可得记=(1,2,6)，据此可得c o s 沆，力=-当，|m|x|n|v4xV8 4观察可得二面角为钝角，故二面角的余弦值为-乎.4【解析】(1)如图所示，取 AO的中点M,尸。的中点M则平面CMN即为所求的平面.(2)建立空间直角坐标系，求得相应半平面的法向量，然后利用空间向量计算二面角的余弦值即可.本题主要考查面面平行的判定及其应用，二面角的计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题.19.【答案】解：(1)平均数为:k=45 x 0.1+55 x 0.15+65 x 0
18、.15+75 x 0.3+85 x 0.25+95 x 0.05=71,可以估计该中药加工厂生产的袋装中药的指量指标值的平均数为71.(2)从质量指标值为60到 80中分层抽取6 袋，则指标值为60到 70内抽取62袋，设为a,h,在 70到 80内抽取6 X 烂。-=4 袋,设 为 C,D,E,F,0.015+0.030某人在6 袋中抽取2 袋，已知其中一袋在指标值为60到 70内，基本事件有：(a,b),(a,C),(a,D),(a,E),(a,F),(b,C),(b,D),(瓦E),(B,F),共 9 个，其中一袋在指标值为60到 70内的条件下，另一袋指标值在70到 80内包含的基本事
19、件有：(a,C),(a,0),(a,E),(a,F),(b,C),(6,0),(瓦E),(B,F),共 8 个，;其中一袋在指标值为60到 70内的条件下，另一袋指标值在70到 80内的概率为P=I9(3)设每袋袋装中药的销售利润为z元，则样本中每袋的平均利润为：z=10 x 0.25+30 X 0.45+60 x 0.25+100 x 0.05=36(元/袋)，利用样本平均数估计总体平均数可得该厂一年内生产该袋装中药的盈利约为：36 x 100000=3600000(元)=360万元，360万元200万元，.该 中药加工厂有可能在一年内通过加工该袋袋装中药收回投资.【解析】(1)根据频率分布
20、直方图中平均数的计算公式能求出结果；(2)利用分层抽样和条件概率、列举法求解；(3)求出每袋药物的平均利润，即可得到利润总额，由此能求出结果.本题考查平均数、概率、利润总额、分层抽样、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.20.【答案】解：由题意可知2a=4,：=当-a=2,c=遮，h2=a2 c2=1,v2 椭 圆 C的方程为：?+y2=1.(2)由6？+而=2 丽 可知点M 是 A 3的中点，第12页，共15页当直线/的斜率为0时，|而|不可能等于I,设直线/：x=my+n,做孙为)，B(x2,y2)联立方程1 4 得加+必 +2m H y+n2-4 =0,则%+y2=-舞，%丫
21、2=霖，/+&=m O t+y2)+2n=点 M(f,-表)，4+m2 4+mz1 八蛆=J(而 产+(一m百/=n1，/7=会(4+m2)2，记直线/与x轴的交点为D(n,O),则A A O B的面积S=|0。|%-丫21=加1 仅1一段1，1 S2=；彦(乃 _ 及产=,2 ,+y2)2 _ 4 yl y2=:鬻 黎 设t=m2+4(t 4),则52=1,、)t2+24t+144 1+答+24 27144+24当且仅当t=12,即巾=2&，n =土历时，Z iAO B的面积取得最大值1.【解析】(1)由题意可知a=2,再结合离心率和炉=a2 c2,求出6的值，从而得到椭 圆C的方程.(2)
22、由题意可知点M是A B的中点，且直线/的斜率不为0,设直线/：x =m y+n,力(X i，%),B(x2,y2),与椭圆方程联立，利用韦达定理求出点例的坐标，代入|0 M|=1可得小=(:;二；,代入力。8的面积公式得52=n2(y1-y2)2=粤警，再利用换元法结合基本不等式即可求出力0 B的面积取得最大值.(mz+16)z本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了基本不等式的应用，是中档题.21.【答案】解：(1)函数定义域是(0,+8),f(x)=i-a,当a 0,f(x)在(0,+8)上增函数;当a 0时，0%0,x a时，,(无)0,所以/(x)在(0,6上递
23、增，在G，+8)是递减.(2)证明:g(x)=xf(x),g(x)=f(x)+xfx)=In%ax +x(：-a)=In x -2ax+12f11 11g(r)=-2a+-=0,a=-,g(x)=In x设/i(x)=In x|x +p 贝!h(x)刍j，当0 x 0 h(x)递增,当 2时，h!(x)/i(x)递减，所以/i(2)是/i(x)的极大值也是最大值，九(2)=l n 2-j0,/i(l)=0,/i(e2)=2-|e2+-0,Q 7/i(4)=l n 4-|0 ,.-.xo G(I,4),g(x)在(0,1)和Q o，+8)均递减，在(1,殉)上递增，只有一个极大值点出.或 与)=
24、l n x0-|x0+=0,l n x0=|x0 g(&)=xo0 n%o-o-1)=x()G 殉-1)=:诏-X。=;(x0-2)2-l.Xo G (3,4),；.5(x0)=2 0-2)2 _ 1 沦-2 A _ 1=_看 综 上,-1 g(x o)0.【解析】(1)求出导函数(工),然后分类讨论确定r(x)的正负，得单调区间；(2)求出g(x),由g(l)=0 求得“，再设h(x)=g(x),求出由/i(x)确定出g(无)的单调性，极值，得g(x)存在两个零点1和殉，其中勺是极大值点，1是极小值点.并确定沏 (1,4),利用g O o)=0 可化9(沏)为g(%o)=:以 x0,从而得证
25、-9()且0 4 M 4 1弧=。-？1 日P =2 c os(0 -y),0 0-第14页，共15页:.p=2 V2 c os(0 +Y-2 兀，点 B轨迹的极坐标方程为p=2 近 C O S(。+力，y 0 2 7 T.【解析】(1)先将曲线c的极坐标方程化成直角坐标系中的方程，再利用圆的参数方程即可得解；(2)设 4为So,拆)，则po=2 c os0o,1.0 e0 ,再设8为(p,0),再根据题意可得(2P =P 又po=2 c os。，且从而得点 B狐=8 _r轨迹的极坐标方程.本题考查极坐标方程与直角坐标系中的方程的转化，直角坐标下圆的参数方程，属基础题.2 3.【答案】(回)解
26、：/(X)x +1,即|%1|+|%3|4%+1.当 1时，不等式可化为4 2 x W x +1,解得X N 1,又,%1,x e 0；当1W X W 3时，不等式可化为2W x+l,解得工2 1,又1 x 3,-1%3时，不等式可化为2%-44x +1,解得工4 5,又%3,A 3%|(1 -%)+(%-3)|=2,-c =2,即a +b =2.令 Q+1 =?H,/?+1 =n,则 m l,n 1,a =m 1,b=n 1,m+n=4,a2 b2(m-I)2(n I)2a+lb+1 m n1 1=m+nH-1-4m n=2m nL之(_殁孕=i当且仅当机=几即Q=b 时取等号，原不等式得证.【解析】本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式的运用，考查转化思想，是中档题.(团)/(%)4 +1,即氏-1|+|久一3|三 工 +1.通过当久V 1时，当14%W 3 时，当x3时，去掉绝对值符号，求解即可.(团)由绝对值不等式性质得，|%-1|+|%-3|(1 -%)+(%-3)|=2,推出Q+b=2.令Q+l=zn,6 +1 =n,利用基本不等式转化求解证明即可.