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1、第 十 九 章 一 次 函 数本章复习提升教学设计教学目标1.理解函数概念及其图像的意义。2.理解掌握正比例函数,一次函数解析式及其性质。3.理解一次函数与一元一次方程，一元一次不等式，二元一次方程组的关系，会用其解决数学和实际问题。教学重点1.变量与函数图像之间的关系。2.待定系数法求解析式3.数形结合思想在解题中的应用。教学过程一、本章知识框架变化的世界建立数学模型一 般 地，在 一 个 变 化 过 程 中，如果有两个变量x与），并且对于x的每一个确定 的 值，n都有唯 一 确定的值与其对 应，那 么我们就说x是 自 变 量，少是x的函数函 数一次函数）x +6（A W 0）的图象是 一
2、条 直 线，我们称它为直线y=k x+b,它可以看作由直线y=k x向 上（卜）平 移 网 个 单 位 长度 而 得 到（当6 0时，向上平移；当*0时，向下。移）一 般 地，形如 y kx+b（A，8是 常 数，A H O）的 函 数，叫做一次函数4图 象I应用一 次函数J性 质|再认识_ Z _当A 0时，直 线 严 履+A从 左 至 右 上 升，即3 随 工 的 增 大 而 增大；当 2C.口 齿。D.水一2 解析由一次函数的性质知要使y随x的增大而增大，力必须满足勿+2 0,则加2.故选B.类型之二确定一次函数的解析式思想方法：确定一次函数y=fcr+优 匕b 为 常 数,且 AW0）
3、的解析式一般常用方法：一是待定系数法，选取关于X,y 的两对对应值代入一次函数的解析式=履+从建立关于4,b的二元一次方程组，从而求出A和 5 的值；二是平移坐标法，直线y=A x+的平移规律可理解为“左加右减，上加下减”，而在同一直角坐标系内平移直线时，平移前后两直线解析式 中 的 保 持 不 变.例 2 已知一次函数的图象过点（1,1）与（2,-1）,求这个函数的解析式.解析由一次函数的定义，可设这个函数的解析式为y=k x+b（k,b为常数，k W O）,把 x =l,y=l 和 x =2,y=1 这两对值代入，求出k 和 b的值即可.解：设这个一次函数的解析式为y=k x +b.则l
4、=k+b,l=2 k +b,解得k=-2b =3.所以这个函数的解析式为y=2 x+3.【针对训练】2.如图直线m是一次函数y=k x+b 的图象，则 k的值是（）A.-2 -1 C.I D.2 归纳总结一般地，形如y=k x +b（k,b为常数，k W O）的函数叫做一次函数，因此求一次函数的解析式时，首先设定一次函数的解析式为丫=1 +13,利用条件建立关于k,b的二元一次方程组，只要求出k和 b的值，便可确定一次函数的解析式.类型之三求函数图象与坐标轴围成的三角形面积思想方法：由于一次函数的图象是直线，所以当它与两坐标轴相交时，可能产生一个三角形，于是就出现了把一次函数与三角形内容相联系
5、的许多问题,大多以考查三角形的周长、面积问题为主.求解此类题时，要多注意利用点的坐标来表示三角形的底与高.例 3 已知一次函数y=k x+b 的图象经过点（1,一2）和（3,2）.（1）求常数k,b的值;（2）若直线分别交坐标轴于A,B 两点，0为坐标原点，求A A O B 的面积.解；工）担 庐 工”一2）与,K+五一一2 ,3 Z r+Z y-2,角 军 左2 ,Z =-4.次 喻 土 的 解 析 找*4.处 乎 次 嘴 士 =2JST4,-r=O,至 J-4 s _F=O,至 J=2,J.五 X 4 X 2 ;=4【针对训练】4 4 43 .如 图 1 9 T 2,直线尸一可入+4与 y
6、 轴交于点4 与直线/=三X+交于点8 且直6 o 04 4线 尸工x+鼻与x 轴交于点C,则/8 C 的面积为 3 解析根据题意，得 1（0,4）,0或 kx+b x 4.解析 把二元一次方程m x+n y=p 转化为一次函数y=k x+b(k W O)的形式，准确地画出这两个一次函数的图像，不难解决以上问题.解：(D y=-4 x+5 和 y=g x 4.(2)画出的图象如图19 7 3 所示.5y1OT-2-3-4-22 3Zi：y=-4x+5XN(2,T)图 19-7-3(3)过交点A 分别作X轴、y 轴的垂线，垂足所对应的点的坐标即为交点A 的横、纵坐标，由图可知：A(2,-3).(
7、4)解方程组，得x=2,y=3.设直线L 表示y=-4 x +5 的图象，直 线 上表示y=1x4 的图象，因 为 L 上的各点的坐标值都是方程y=-4 x+5 的解，卜上的各点的坐标值都是方程y=g 4 的解，所以从图象上说，L 与 k 的交点A(2,3)既 在 直 线 上，又在直线k 上;从数量关系上来说，方程组4x+y=5,X-2 y=8 的解既是方程4x+y=5 的解，又是方程x 2y=8的解.因此，两个一次函数图象的交点坐标即是两个函数解析式所组成的方程组的解.归纳总结本题主要考查一次函数与二元一次方程组、一元一次不等式的关系，综合了方程、函数式、不等式等重要知识内容.如第(3)问从
8、形的方面解二元一次方程组；第(4)问是从数量关系上解二元一次方程组，注意，从图上求两条直线的交点只是近似值，而用代数方法求出的方程组的解才是准确的；第(5)问是从形的方面求一元一次不等式的解.通过以上几间全面了解二元一次方程组的解与两条直线的交点的关系，这样，所学过的一次函数、二元一次方程组、一元一次不等式就和谐地统一起来了.(5)不等式5 4 x$x -4的解集可利用图象来解，即求直线1 的点的纵坐标(即y 值)大于直线k上的点的纵坐标(即y 值)的所有点的横坐标，也就是直线L上所有在直线k上方的点的横坐标，以 A(2,3)为分界点，所 以 当 x|x-4,即解集为x 2.【针对训练】4.已
9、知函数yl=k x 2 和 y 2=-3 x+b 的图象相交于点A(2,1).(1)求 k,b 的值，并在同一坐标系中画出两个函数的图象.(2)利用图象求出当x取何值时有：yy2；yl 2 y2.(3)利用图象求出当x 取何值时有：yl O 且 y2 0；yl O 且 y2 c o.2 k 2=-19解：因为点A(2,1)是直线yi=k x-2 和 y2=-3x+b 的交点，所以有 6+b=-1.k=1,解得J 2、b=5.这时两个函数分别为yi=1x 2和 y2=-3 x+5.图象如图19 7 4所示.5(3)由图象可知：当不:x 4 时，y 0 且 yK O.类型之五函数思想在实际生活中的
10、应用思想方法：函数思想是指利用函数知识解决问题，函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，因此利用函数解决问题时必须用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，抽象升华出函数的模型，进而解决有关问题，灵活运用函数思想可以解决许多实际问题.例 5 某校计划购买甲、乙两种树苗共1 0 0 0 株用以绿化校园，甲种树苗每株2 5 元，乙种树苗每株3 0 元，通过调查了解，甲、乙两种树苗成活率分别是9 0%和 9 5%.(1)若购买两种树苗共用去2 8 0 0 0 元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？(2)要使这批树苗的总成活率不低于9 2%,则甲种树苗最多购买多少株？(3)在(2)的条件下，应如何选购树苗
11、，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用.解：(1)设购买甲种树苗x 株，乙种树苗y 株.x+y=1 0 0 0,fx=4 0 0,由题意，得,解得|2 5 x+3 0 y=2 8 0 0 0,y=6 0 0.答：购买甲种树苗4 0 0 株，乙种树苗6 0 0 株.(2)设购买甲种树苗a 株，则购买乙种树苗(1 0 0 0 a)株.由题意，得9 0%a+9 5%(1 0 0 0-a)9 2%X 1 0 0 0,解得a W 6 0 0.答：甲种树苗最多购买6 0 0 株.(3)设购买树苗的总费用为W元.由题意，得W=2 5 a+3 0 (1 0 0 0-a)=-5 a+3 0 0 0 0.k=-5
12、 V 0,随 a的增大而减小.：0 a)收费.设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y与 x之间的函数关系如图1 9 7 3 所示.(1)求 a的值，某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？(2)求 b的值，并写出当x 1 0 时，y与 x之间的函数解析式；(3)已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费4 6 元，求他们上月分别图19 一7一 3解：(1)当 x W 1 0 时，有丫=2*.将 x =1 0,y=1 5 代入，得 a=1.5.用8吨水应收水费8 XI.5 =1 2(元).当 x 1 0 时，有 y=b(x-1 0)+1 5,将 x=2 0,y=3 5 代入，得 3 5=1 0 b+1 5,解得b=2.故当 x 1 0 时，y=2 x 5(3)V I.5 X1 0+1.5 X1 0+2 X4 4 6,.甲、乙两家上月用水均超过10吨.设甲、乙两家上月用水分别为m吨，n 吨，n=m4,fm=16,则,解得2n5+2m5=46,n=12.答：居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨.三、作业本章复习题