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1、六十四条件概率与全概率公式,基础洛实练 3（）分钟60分一、单选题（每小题5 分，共 2 0 分）1.（一题多解）现有3 道理科题和2 道文科题，若不放回地依次抽取2 道题，则在第1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率为（）32 13A，W B，5 C，2 D，5【解析】选 C.解法一：设“第 1 次抽到理科题”为事件4“第 2 次抽到理科题”为事件6,3 X 2/、P（AB）5 X 4 1=飞 =2 -5解法二：在第1 次抽到理科题的条件下，还有2 道理科题和2 道文科题，故在第1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率为;.42 .（2 0 2 1 大同模拟）某射击
2、选手射击一次击中1 0 环的概率是 ，连续两次均击中1 0 环的概率 是:，已知该选手某次击中1 0 环，则随后一次击中1 0 环的概率是（）【解析】选 B.设“该选手某次击中1 0 环”为事件4“随后一次击中1 0 环”为事件民则。（4）=3,P M ，所以某次击中1 0 环，随后一次击中1 0 环的概率是尸（8 力）=筌*_5=8,3 .小刚从家骑自行车去学校要经过两个十字路口，在第一个十字路口遇到红绿灯的概率是:，O2若小刚在第一个十字路口遇到红绿灯，在第二个十字路口又遇到红绿灯的概率是弓,那么在4-5D.1-2C5-8B.2-5A.小明从家到学校时遇到两个红绿灯的概率是（）【解析】选
3、B.设 4表示小刚在第，个十字路口遇到红绿灯，i=l,2,则由已知可得尸(4)=13，9 I 9 2P(A21 4)=o-,因此由乘法公式可得(4 4)=(4)o 尸(4o|4)=鼻 X-=,即在小明从家到学2校时遇到两个红绿灯的概率为 .4.(2 0 2 1 益阳模拟)为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习.如果他前一球投进则后一球投进的概率为;如果他前一球投不进则后一球1 Q投进的概率为疝.若他第1 球投进的概率为,则他第2 球投进的概率为()3 5 7 9A-Z B-8 .正 D.-3 【解析】选 B.记事件/为“第 1 球投进”，事件6 为“第 2
4、球投进”，PBA)=,尸(例A)P(A)=,由全概率公式可得尸(0 =3 1 5P(A)PBA)+P A)尸(血 A)=(T)2+(T)2=P.4 4 o二、多选题(每小题5分，共 1 0 分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)5.已知P(/6)=0.1 2,下列说法正确的是()A.若尸(4 =0.2,则尸(4)=0.6B.若尸(4 0=0.2,则尸(=0.6C.若尸(4)=0.3,则尸(6|a=0.4D.若/(4)=0.3,则尸(加0=0.4 解析】B C.因为P(岫=尸(8)尸。,p（Aff）o 1 9所以 B =7 T=0-6,所以B正确，A不正确；因为 m=0.3,0
5、（0/）=P（AB）0.1 2 ，十收 十,收F（八-=7 T V =。-4，所以C 正确，D 不正确.1 /U.J6.（2 0 2 2 鄂州模拟）为吸引顾客，某商场举办购物抽奖活动.抽奖规则是：从装有2 个白球和 3 个红球（小球除颜色外，完全相同）的抽奖箱中，不放回地依次摸取两次，每次摸出1 个球，记为一次抽奖.若摸出的2个球颜色相同，则为中奖，否则为不中奖，下列随机事件的概率正确的是（）2A.某顾客抽奖一次，中奖的概率是三598B.某顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是许3C.在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次摸出了红球，则该顾客中奖的概率是行D.在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次摸出了
6、红球，则该顾客中奖的概率是TC2-J-C2 9【解析】选 A B D.由题意可知抽奖一次，中奖的概率为十一=，C5 5则抽奖三次，至少有一次中奖的概率为1 4 3=.设 事 件/为“第一次摸出红球”，事件8 为“中奖”，C；皿，1、尸（46）d 1则 PBA）=/（4）=y=2-5三、填空题（每小题5 分，共 10 分）7.开元通宝是我国唐代的一种货币，向开元通宝上任意投掷一粒芝麻，第一次投进方空的概率约为0.5,在第一次投进开元通宝的条件下第二次也投进方空的概率约为0.3,则这样连续两 次 都 可 把 芝 麻 投 进 方 空 的 概 率 是.【解析】设 4 表示第/次把芝麻投进方空，7 =1
7、,2,则由已知可得夕（4）=0.5,m i4）=0.3,因此由乘法公式可得尸（3 4）=尸（4）尸（4|4）=0.5 X 0.3=0.15,即连续两次都可把芝麻投进方空的概率是0.15.答案：0.158 .（20 21 宜昌模拟）甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设甲、乙、丙射中的概率分别为0.4,0.5,0.7,又设若只有1 人射中，飞机坠落的概率为0.2,若有2 人射中，飞机坠落的概率为 0.6,若有3 人射中，则飞机必坠落，则 飞 机 坠 落 的 概 率 为.【解析】设/=“飞机坠落”，B,=，个人射中飞机，7=1,2,3.产=0.4X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.3+0
8、.6 X 0.5 X 0.7 =0.36,P=0.6 X 0.5 X 0.7 +0.4X 0.5 X 0.7+0.4X 0.5 X 0.3=0.41,尸=0.4X 0.5 X 0.7 =0.14.由题设知尸（4 8）=0.2,尸（力|旦）=0.6,尸（力|8）=1,利用全概率公式得尸（4）=P PA B）+P P（A|反）+/（加P（A|）=0.36 X 0.2+0.41X 0.6+0.14X 1=0.45 8.答案：0.45 8四、解答题（每小题10 分，共 20 分）9 .袋中有6 个黄色、4 个白色的乒乓球（只有颜色不同），不放回抽取，每次任取一球，取两次，求：（1）第二次才取到黄球的概
9、率；（2）取出的两个球的其中之一是黄球时，另一个是黄球的概率.【解析】（1）设 4 表示“第一次取到白球”，6表 示“第二次取到黄球”，。表示“第二次才取到黄球”.口 /八 /4 6 4则尸（。=P（AB）=x-=.1U *7 10（2）记表示“其中之一是黄球”，少表示“两个都是黄球“，尸表示“其中之一是黄球时，另一个也是黄球则.=万厂=W10 .在某次考试中，要从20 道题中随机抽出6 道题，考生至少能答对其中4 道题即可通过，至少能答对其中5 道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10 道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率.【解析】记事件 为“该考生6 道题全答对”，
10、事件8 为“该考生答对了其中5 道题，另一道答错”，事件。为“该考生答对了其中4 道题，另 2 道答错”，事件为“该考生在这次考试中通过”，事件E 为“该考生在这次考试中获得优秀”，则 4 B,。两两互斥，且 片 4U 6 U C,5-9X6一10+6X -9410+4-9X6(w-5-9d u 8,可知 P=P(AUBU o=P(A)+。(+尸(。=65 0 1 1 0 .1 0 1 0c；o C；。12 18 0 P 一-PSo 20P M =P(A),P(BD)=P(B),PE D)=P(AD)+PB D)=P(A)，尸(8)C：。C；。P(2?)P(D)12 18 0C：。C：。或12
11、 18 0 ST13欣.故他获得优秀成绩13的概率为三.素养提升练 2。分 钟4。分1.某工厂生产的产品以10 0件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数01234概率0.10.20.40.20.1现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，则一批产品通过检验的概率为()A.0.8 14 B.0.8 0 9 C.0.7 27 D.0.6 5 2【解析】选A.以4表示一批产品中有/件次品，/=0，1，2,3,4,8表示通过检验，则由题意得，尸(4)=0.1,尸(剧4)=1,尸(4)=0.2,101 1 0产(
12、0 4)=0.9,0(=0.4,P(0 4)=3-0.8 09,10010p io尸(4)=0.2,尸(8|4)=方-0.7 27,尸(4)=0.1,P(8|4)=於 心0.6 5 2.由全概率公式，3 oo。100得4P=Z p(Ai)P(B|Ai)=0.IX l+o.2 X 0.9 +0.4X 0.8 09 +0.2X 0.7 27 +0.1 X 0.6 5 2si=00.8 14.2.(多选题)(2022 唐山模拟)甲箱中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球、3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A”Az,A3表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；
13、再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是()A./、2P(B)=5B.,、5P(B|AJ =C.事件B 与事件4 相互独立D.A”A”A：；两两互斥【解析】选 6 因为每次取一球，所以A”5 2 3因为 P(A)=言,P (A2)=,P (A3)=./0、P (BA)所以 P (B Ai)=p /.x1 n i 75 5ToxTT-5Io5TTA2,A3 是两两互斥的事件，故正确;9故8正确；24同理，P(B|A2)=P (BA2)(A2)-2 10P=TT34/1 、P (BAOP(BA)=y(y7OXH-3-To4IT5 5 2 4 3 4所以 P(
14、B)=P(Ai)P(BIAj +P(A2)P(BIA2)+P(A3)P(B|A3)=X+X 4-X=9而，故 4 C错误.3.将三颗骰子各掷一次，设事件A 为“三个点数都不相同”，B 为“至少出现一个6 点”，则条件概率 p(A B)=,P(B|A)=.【解析】P(A|B)的含义是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，”三个点数都不相同”的概 率.因为“至少出现一个6点”有 6 X 6 X 6-51X 5 X 5 =9 1(种)情况，“至少出现一个6点且三个点数都不相同”共有q X 5 X 4=6 0(种)情况，所以P(A|B)=黑.P(B|A)的含义是
15、在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，”至少出现一个6点”的概率.因为“三个点数都不相同”有 6 X 5 X 4=120（种）情况，所以 P(B1A)=g .二 6 0 1口不：讥 24.某大学决定从甲、乙两个学院分别抽取100人、6 0 人参加演出活动，其中甲学院中女生3 3占三，乙学院中女生占7 .从中抽取一人恰好是女生的概率为一【解析】用 A 和 A分别表示抽取一人是来自甲学院与乙学院，B 表示抽取一人恰好是女生,则根据已知有 P(A)=W ,P(A),且 P(B|A)=g ，P(B|A)=:,所以 P(B)=iOU o o 0 4,、.,、5 3
16、 3 3 12 9 21P(A)P(B A)+P(A)P(B A)=-X-+-X-=+=.8 5 8 4 3 2 3 2 3 2口木 3 25.甲箱的产品中有5 个正品和3 个次品，乙箱的产品中有4 个正品和3 个次品.（1）从甲箱中任取2 个产品，求这2 个产品都是次品的概率；（2）若从甲箱中任取2 个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率.2o z Y【解析】（1）从甲箱中任取2 个产品的样本点的个数为C=-=28,这 2 个产品都是次品8Z23的样本点的个数为C=3.所以这2 个产品都是次品的概率为或.3Z O设事件A 为“从乙箱中取出的一个产品是正品”
17、，事件R为“从甲箱中取出2 个产品都是正品”，事件Bz 为“从甲箱中取出1个正品1个次品“，事件Bs 为“从甲箱中取出2 个产品都是次品”，则事件艮、事件治、事件B：,彼此互斥.P（B，=等或PB）=|，2 5 4P(A|B,)=-，P (A|B2)=-，P (A|B：()=-，由全概率公式,得O6 2 1 5 k 3 4 7所以P(A)=P(B)P(A|B)+P(BJ P(A|B2)+P(B3)P(A)=旨 x-+x-+x-=.14 o Z o y Z o y i z6.两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起，并且已知第
18、一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任意取出的零件是合格品的概率；(2)如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率.【解析】设&表示“第 i 台机床加工的零件(i =l,2)；B 表示“出现废品”；C 表示“出现合格品”.(1)P(C)=P(A,CU A2C)=P(A,C)+P(A2C)=P(AI)P(C|A1)+P(A2)P(C|A2)21=-X (1-0.03)+-X (1-0.02)0.9 7 3.oo,、,、P (A,B)(2)P(A2|B)=p (B)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ P (AD P (B|Az)_ _ _ _ _ _ _ _ _=P (A.)P (B|A,)+P (A2)P (Bl A2)1-X 0.02=2 J =0-25.X 0.03+X 0.02o o