《2023学年人教A版高一上学期数学讲义第1讲集合的含义与表示（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023学年人教A版高一上学期数学讲义第1讲集合的含义与表示（解析版）.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、集合与函数概念瞄 本章综述现代数学是用集合语言描述的，数学靠它强大的逻辑力量成为刻画自然科学和社会科学的科学语言和有效工具，深刻理解掌握这些概念、基本方法是成功跨入数学大门的前提。本章以集合知识为重点，涉及的多是集合的基本运算，其中与不等式结合的含参试题体现了区分度。充分条件与必要条件这一节是必考内容，由于本章节内容的工具性，因此相关试题的特点必然是综合其他知识，但主要是与其他各章节的最基础的知识相结合，突显难度的试题不多，学习本章的总则：以集合为中心，简易逻辑化归为集合。竿 雄 隼：位人号寸教材要点学科素养学考 高考 考法指津高考考向1.函数的概念数学抽象水平1水平21.理解函数的概念和函数
2、的三要素，尤其是对应关系的实质。2.掌握函数定义域、值域的求法，并能根据其意义解决一些逆向问题。3.理解复合函数的概念，能求一些复合函数【考查内容】函数的定义域、值域的求法。【考查题型】选择题、填空题【分值情况】5分2.函数的三要素数学抽象水平2水平23.区间的概念与应用数学运算水平1水平14.复合函数与抽象函数数学抽象水平1水平2知识通关一、集合的含义知识点1元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母。，仇C,表示.(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常 用 大 写 拉 丁 字 母 表示.(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的.(4)集合中元素的特
3、性：确定性、互异性和无序性.知识点2元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a 是集合A 的元素，就说。属于集合/Q Aa属于集合A不属于如果。不是集合/中的元素，就说。不属于集合4a Aa 不属于集合A知识点3常用数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N*ZQR题型一集合的判定问题规律方法判断一组对象能否构成集合的依据例 1、下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点;(4)V3的近似值的全体.(3)中 由 于“较胖”的标准不明确，不满足解析：(1)“高个子”没有明确的标
4、准，因此不能构成集合.(2)任给一个实数x,可以明确地判断是不,是“不超过20的非负数”，即“04 x2 0”与%2 0曲3 时，一9 一 0不满足题意，3-x所以集合A中的元素为0,1,2.(3)由于工=。+二当=匕=0时，x =O,0 e A 以=V 2+1 =1+V 2V 2-1，当。=。=1 时，。+41b=1 +V 2-1_ =百+痣V3-V2当 a =yfi,人=1 时，a+yplb V 3+V 2,但 A/3 任 Z -；=产 任 A oV3-V2(4)。是方程x+y =2和x-y =4 联立的方x =3程组的解，即 且 4 是元素而不是集合。U=T答案 B (2)0,1,2(3
5、)OG A,7=A,AV 2-1 V 3-V 2(4)B【变式训练2】(1)用适当的符号填空：已知 A =x|x =3攵+2,攵 Z ,B =xx=6 m l.m e Z,则有：17 A；-5 A；17 B o(2)已知集合M=JC|X=3 ,Z,N =X|X=3+1,Z,P =xx=3n-.nZ且。知,?/,(?2，设4 =。一/?+。，则()A.d M B.d e NC.d P D.以上都不对解析：(1)由3女+2=1 7,解得左=5wZ/.1 7GA；7由3攵+2=5解得攵=e Z,一5宏A；3由 6m1 =17 解得2=3 6Z,17 e B 0(2)设a =3n,b-3 m+1,c
6、35 1,m,，5 G Z则 d=3n-(3 m+1)+(3s-1)=3(n-m+s)-2=3(“一z n +s 1)+1，de N故选B答案(1)G/e(2)B题型三集合中元素的特性规律方法利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对集合中的元素进行检验.(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题例3、已知集合 A=a-2,2a2+5a,1 2，且3 e A求。的值。解析：由于3 eA,故一3为集合A中的元素，因此 3=a 2或 一3=2。2+5。，分别解这两个方程再检验即可。V A=a-2,2a2+5a,
7、1 2,且一3 e A/.3=a 2或 3=2a2+5a 3解得a=1或a =2当 a =l 时，A =-3-3,1 2,不符合集合中元素的互异性，舍去；3 7当a =二时，A =-3,1 2,满足题意2 23故a=2答案-士32【变式训练3】已知集合 A =a +2,(a +l)2,/+3。+3,若leA,求实数a的值。解析：(1)若。+2=1,则 a =1,此时 A =1,O,1 ,与集合中元素的互异性矛盾，舍去；(2)若(a +l)2=1,则a =0或a =2当。=0时，A =2,1,3,满足题意；当a =2时，A =0,1,1 ,与集合中元素的互异性矛盾，舍去；(3)若。2 +3。+3
8、=1,则 a =1 或a =2 由上述过程知，都不满足题意；综上所述，a =0答案 0二、集合的表示知识点集合的表示方法(1)列举法：定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括 号“”括起来表示集合的方法叫做列举法：形式：A =ai,a2,ai,.,an.(2)描述法：定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法；写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.(2)8 =x (x-l)2(x-2)=0 ；(3)A f =(x,y)|x+y =4,x e N”,y w N“(4)P =6-x解析：(1)V|
9、x|2,X GZ 2 x 2,x G Z*x 2,1,0,1,2r.A=-2-1 A l,2(2)和 2 是方程(x l)2(x 2)=0 的根,B =1,2题型四用列举法表示集合规律方法用列举法表示集合的三个注意点(1)用列举法表示集合时，首先要注意元素是数、点，还是其他的类型，即先定性.(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便.(3)搞清集合是有限集还.是无限集是选择(3)x+y =4”N*,y e N ,X=p或y =3x=2 ty =2 Ix =3)TA A f =(1,3),(2,3),(3,1)(4)06 x 0 x 0例 4、用列举法表示下列集
10、合:(1)A =x|国 2,x e Z ；/.0 x =(%,y)|y-x2+4,x e N,y N ；(3)E =xE=x,p+q=5,p e N,q e N*1。q解析：(1)由 y =-/+4,x e N,y w N知0 y 4,0 x 2.x =0,1,2 时，y =4,3,0,符合题意,AC=0,3,4(2).点(x,y)满足条件y=-x2+4,x&N,y&N,则有x 0,x 1,x 2,=(0,4),(1,3),(2,0)(3)依题意知 p +q =5,p e N,q e N”,=1,1 p =2,q=4,q=3,p=0,7 =5,则p =3/=4,q 2,q=1 .题型五用描述法
11、表示集合规律方法用描述法表示集合的注意点(1)“竖线”前面的xeR可简记为x；(2)“竖线”不可省略；(3)p(x)可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；例 5、用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被 3 除余2 的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.解析：(1)偶数可用式子x =2,eZ 表示，但此题要求为正偶数，故限定e N*,所以正偶数集可表示为 x|x =2,e N*.(2)设被3除余2的数为x,则x =3 +2,n e Z,但元素为正整数，故x =3 +2,eN,所以被3除余2的正整数集合可表示为 x|x =3 +
12、2,“w N .(3)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即 盯=0,故.坐标轴上的点的集合可表示为(x,y)|孙=0 .【变式训练5-1】用描述法表示平面直角坐标系中位于第二象限的点的集合.解析：位于第二象限的点(x,y)的横坐标为负，纵坐标为正，即x 0,故第二象限的点的集合为(x,y)|x 0 .【变式训练5-2】用描述法表示图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合.解析：本题是用图形语言给出的问题，要求把图形语言转换为符号语言.用描述法表示(即用符号语言表示)为3 1(x,y)|-l x -,-y 0 思维拓展-设 实 数 集s是满足下面两个条件的集合考向一集合中的探
13、索性问题规律方法集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入手，作为解题的切入点。解此题关键在于由已知a e A ,a R 1,得至U-G A,-：s A,然后l-i 1.1-6 7逐步探索，再根据集合中元素的互异性，从而将问题 加 以 解 决.(3)中用到反证法的解题思想.1三s;若a e s,则e s-a(1)求证：若a es,则1-工es;a(2)若2es,则在s中必含有其他的两个数，试求出这两个数；(3)求证：集合s中至少有三个不同的元素。解析：(1)证明：由 a es,则一e s-a可得w s.综上所述，集合S中至少有三个不同的元素。【变式训练6】
14、数集 满足条件：若ae M,则 一 且。7 0).若 3 e M,a则在M中还有三个元素是什么？解析：故若 a w s,贝aV3e M ,=-2eM,1-3(2)由 2 e s,贝i j-=_ 1 G s,1-2由一 1 e s,则-=e 5,1-(-1)2而当时，一 =2es,又回到了开始2 I-12因此当2es时，只有另两个元素一l es,2(3)证明：由(2)知a es 时，-5,1-51-4 2 a下证a,1 -4三者两两互不相等-a a若a =-L,即/一。+1 =0,无解，1 -a若a =l L,即。+1 =0,无解，a所以a 7 1 ；a若 一=1一,，即/一。+1 =0,无解,
15、-a a所以一1-a a.1 +(2),1-(-2)-&M ,3又：-2-=3 e M1-2.,.在M中还有三个元素一2,1,g.答案 一2,-；,2考 向 二 集 合 中 含 参 问 题规律方法集合中含参问题的处理方法分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学方法，它适用于解答从整体上难以解决的数学问题。它适用于解答从整体上难以解决的数学问题。运用分类讨论思想解决问题时，把所给的已知条件的集合进行科学的划分十分必要，必须遵循不重不漏和最简的原则，其一般步骤是：(1)考察分类讨论的原因和必要性；(2)明确讨论对象，确定对象的范围：(3)确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏;(4)逐类
16、讨论，获得阶段性结果：例7、已知集合A =x,x y,xy5 =0,|乂,训且4 =6,则（x,y）=解析：由已知O eB,A =B,贝i j集合A中必有一个元素是0,当x =O或 呼=0时，则分母无意义，故A中必然是、二-1=0,v y解得孙=1,由此推测B中必有一个元素为1,故分W=1和y =1两种情况讨论，若国=1,解得X =l;当 x =1 时，.孙=1,，y =1,则集合A =l,l,0 ,与集合的互异性矛盾，舍去；当 =-1 时，则 y =-l,此时集合A =-1,1,0 ,B=0-1,1,）满足题意；若y =l,由前面可知，与集合互异性矛盾，舍去;综上所述，x =_l,y =_l
17、答案（-1,-1）已知集合M=-2,3x2+3x-4,x2+x-4,若2GM,求x解析：当 3 x +3 x 4 =2 时，即 x?+x 2 0 ,则 x =-2或x =l.经检验，x =2,x =l均不合题意.当 x?+x 4 =2 时，即 x +x 6 -0 ,则 x =-3 或r=2经检验，x =-3或c=2均合题意.综上所述，x=-3x=2.答案-3或2考向三集合与方程的综合问题规律方法集合与方程的综合问题的解题思路（1）弄清方程与集合的关系，往往用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的根。（2）当方程中含有参数时，若方程是一元二次方程，则应综合应用一元二次方程的相关知识求解。若知
18、道其解集，利用根与参数的关系，可快速求出参数的值（或参数之间的关系）；若知道解集中元素个数，利用判别式可求参数的取值范围。【变式训练7】例8、已知集合4 =卜6班氏2-3%+2 =0,。尺(1)若A中不含有任何元素，求a的取值范围(2)若A中只有一个元素，求。的值，并把这个元素写出来(3)若A中至多有一个元素，求。的取值范围解析：集 合A是方程以2 3%+2 =0在实数范围内的解集(1)A中不含有任何元素，即方程以2-3 x+2 =0无解，则2当。=0时，a？-3 x +2 =0的解为=一，不3合题意，Q W 0 =(3)2 8。0解得三982(2)当。=0时，方程有一解为X =；39当时，=
19、(),即。=时，方程有两相等8的实数根，,4即A中只有一个元素为x=39所以当”=0或。=时，A中只有一个元素，8分 别 为2*或？43 3(3)A中至多有一个元素，包括A中不含有元素和A中只有一个元素两种情况，据(1)(2)的结果,a得a =0或8停4于=AA9-8=(9-8答案(1)a(2)当当。=、9(3)a-0或a 8【变式训练8】A是由方程a x 2 +2 x +l=0(a w R)的实数根组成的集合。(1)当A中有两个元素时，求a的取值范围；(2)当A中没有元素时，求a的取值范围；(3)当A中有且仅有一个元素时，求a的值，并求出此元素。解析：(1)当A中有两个元素时，即方程办2+2
20、 x +1 =0有两个不相等的实数根.。/0,且&=4-4。0,解得口1且。/0(2)当A中没有元素时，即方程以2+2%+1 =0没有实数根/.a 丰 0,且A=4 4。0,解得 a 1(3)当A中有且仅有一个元素时，即方程a V+2 x+l=0有一个实数根或两个相等的实数根。则当。=0时，方程的根为x =,；2当awO时，A=4 4 a =0,解得”=1,此时x =-l故当a =0时，x =；当a =l 时，x =-l2答案（1）a (3)当 a =0时，A=-；2当 a =l 时，A=1 综合训练客A组基础演练一、选择题1.下列各组对象不能构成集一合的是（）A.所有直角三角形B.抛物线y=
21、N上的所有点C.某中学高一年级开设的所有课程D.充分接近小的所有实数解析：A、B.、C中的对象具备“三性”，而D中的对象不具备确定性.答案 D2.给出下列关系：g d R；V 2 E R；|一3|G N；|一小|W Q.其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：正确.答案 B3.下列各组中的两个集合M 和 N,表示同一集合的是（）A.M=n,N=3.141 59B.M=2,3,N=（2,3）C.-14W 1,xN,N=D.M=1,S，n,N=n，1,|一点|解析：选项A 中两个集合的元素互不相等，选 项 B 中两个集合一个是数集，一个是点集,选项C 中集合M=0,只有D 是正确的.答
22、案 D4.已知集合4 中只含1,层两个元素，则实数“不能取（）A.1 B.-1C.-1 和 1 .D.1 或一 1解析：由集合元素的互异性知，。2/1,即 aW l.答案 C5.集合xGN*lx-32的另一种表示法是（）A.0,123,4 B.1,2,3,4）C.0,1,234,5 D.1,2,3,4,5解析：x-3.0,；.2 X l+a W 0,即 aW-2.答 案aW 2三、解答题11.(1)已知集求 M；(2)已知集合.C=T&C Z W e N,求 C.解析：(l)：x W N,2WZ,；.l+x应为6的.正约数.；.l+x=1,2,3,6,即 x=0,l,2,5.M=0,1,2,5
23、.(2)V-7-e z,且xGN,1 +x l+x应为6的正约数，.1 +x=l,2,3,6,此时分别为 6,3,2,1,1 -rx C=6,3,2/.答案(i)M =0,1,2,5(2)C=6,3,2 12.设集合A中含有三个元素3,x,2%.(1)求实数不应满足的条件；(2)若一2 A,求实数x./3,解析：(1)由集合中元素的互异性可知，(4/一射,3223.解之得xW 1且无W 0,且戈W3.(2)V2A,*x=2 或x22x=-2.由于/2 x=(x I)2 1 N 1,x=-2.答案(1)x W 1 且 x W O,且 x W 3 (2)-2海B组提升突破一、选择题1 .设不等式3
24、-2%0的解集.为例，下列正确的是()A.0M,2eM B.(M M 2 d MC.OE M,2 a M D.0 4 M,2 6 M解析：从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断。和2是否是不等式3-2r 0,所以0不属于M,.即0生M；当x=2时，32=1,0,若 A=B,求/19+y20 18 的值.解析：集合 A=(x,*1,8=x2,x+y,0,A =8,y=0 4 X2=1,解得 x=-l,y=0,X w 1则29+尸1 8=(_ 1严9+0 2。1 8=_ .答 案-1.1 1.y=x1-ax+b,A=x|y-x=O,8=x|y-奴=0,若A=一3/,试用列举法表示集合 B.解析：将y=/一or+b代入集合A中的方程并整理得/一 (a+l)x+8=0.因为A=-3,1,c3+1 =a+1,c i =-3,所以方程f (a+l)x+b=O的两根为-3,1,由韦达定理得.,解得，.，-3x1=。，b=-3,所以y=f+3尤3.将y=/+3x 3,。=一3代入集合B中的方程并整理得犬+6%一3=0，解得x=3 或x=3+2 6，所以8=3 26,-3+26.答 案B=-3-2百，-3+2拘