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1、2008年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学第I卷(共60分)参考公式：锥体的体积公式：V =-S h,其中S 是锥体的底面积，是锥体的高.3球的表面积公式：S=4nR2,其中R 是球的半径.如果事件A B 互 斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.满足=“该 4，且M q,%=q 的 集 合M的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4 1 72.设z的共辄复数是z,若z+z =4,z z=8,则一等于（）ZA.i B.-i C.1 D.i（7 T 7 T I3.函数
2、y=ln c o s x-J 的图象是（）4.给出命题：若函数y=/(x)是嘉函数，则函数y=/(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A.3 B.2 C.15.-1-x2,设函数9X+x 2,元W 1,x 1,D.08a8-9U7-62-115B.-一16A.6.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据,可得该几何体的表面积是（）A.C.9兀1 IT TB.1071D.1 2 兀7.不等式士三N 2的解集是（U-D2A.C.71)(向D.T(1，3 8.已 知a,b 为 ABC的 三 个 内 角A B C的 对 边，向-3T2)量m-(/3,-1)
3、,n =(c os A sin A).若帆 且 a c os3+Z?c os A =c sin C ,则角 AB的大小分别为（兀7 1A.一,一6 3)2兀 兀B.-，一3 6兀7 1c.一，一3 6兀 兀D.3 39.从某项综合能力测试中抽取1 0 0人的成绩，统计如表，则这1 0 0人成绩的标准差为（)A.1 0.A.C.3分数54321人数2 01 03 03 01 08D.-5B,巫5已知c os a-j +sin/3 ,6则sin a +*的 值 是（2 7 32 7 3B.-5C.4D.-565)451 1.若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4 x-3 y=0和x轴相切，则
4、该圆的标准方程是（）A.（x 3）2+（y g）=1 B.（x-2）2+（y-l）2lc.（x-l）2+（y-3）2=l D.+（y-l）2=l1 2.已知函数/（无）=1 0 8“（2*+。-1）（。0,的图象如图所示，则a,匕满足的关系是（）A.0 a-1 b B.0 Z?a-1 1C.0Z?-1 -1D.0 a b 1第n卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.1 3.已知圆。：/+/-6%-4)，+8 =0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为1 4.执行右边的程序框图，若 =0.8,则输出的=.1 5.已知 f
5、(3 )=4 x l og 2 3 +2 3 3,则/(2)+/(4)+/(8)+/(2 8)的值等于.x -y+2 3 0,1 6.设x,y满足约束条件5 x-y-1 0 W 0,x、0,y 2 0,则z=2 x +y的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共74分.1 7.(本小题满分12分)己知函数/(x)=J sin(090)为偶函数，且函数y=/(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.(I )求/的值；(H)将函数y=/(x)的图象向右平移四个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的6单调递减区间.1 8 .(本小题满分1 2 分)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A，A2,4 通晓
6、日语，B,B2,打 通晓俄语，c，c2通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1 名，组成一个小组.(I)求 4被选中的概率；(I D求 5和 G 不全被选中的概率.1 9.(本小题满分1 2 分)如图，在四棱锥PA 5 c。中，平面平面A B C。，A B/D C ,小 )是等边三角形，已知 6O =2 A T)=8,A B =2 D C=4 75 .(I)设 是 PC上的一点，证明：平面平面P4D；(II)求四棱锥PABCD的体积.2 0 .(本小题满分1 2 分)将数列 4 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：%a2%。7。9 a0记表中的第一列数q，a2,a4,
7、%,构成的数列为也 ,4=4=1 .S”为数列出 的前项和，且满足J=l(2 2).(I)证 明 数 列 成等差数列，并求数列 a 的通项公式；(II)上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当网|=时，求上表中第A（Z 2 3）行所有项的和.2 1 .（本小题满分1 2分）设函数f（x）=x2ev-1+ax3+bx2,已知x =2和x =1为/（%）的极值点.（I ）求4和。的值；（II）讨论/（X）的单调性；2（III）设 g（x）=%3%2,试比较/（X）与 g（x）的大小.2 2 .（本小题满分1 4分）己知曲线C,：tl +N =1（。0
8、）所围成的封闭图形的面积为4际,曲线G的内切圆半径a b2尺为工.记c,为以曲线G与坐标轴的交点为顶点的椭圆.3（I）求椭圆C?的标准方程；（II）设A3是 过 椭 圆 中 心 的 任 意 弦，/是线段AB的垂直平分线.“是/上异于椭圆中心的点.。）若|朋0|=4口4|（。为坐标原点），当点A在椭圆G上运动时，求点M的轨迹方程;（2）若M是/与椭圆G的交点，求 A M B的面积的最小值.2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文 科 数 学（答案）一、选择题1.B 解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。集合M中必含有q,%,则 M =%或 A f =%,%,4 选 B.2.D
9、解析：本小题主要考查共钝复数的概念、复数的运算。可设5=2+初，由z-5=8得4+/=8,6=2.-Q-2=+/选 口.z 8 83.A 解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。y =lnc os x(&s i n A c os 8+s i n 8 c os A=s i n 2 c3s i n A c os B+s i n B c os A=s i n(A+B)=s i nC=s i n2C,TT TTC =.8=上.选C.本题在求角B时，也可用验证法.2 69.B 解析：本小题主要考查平均数、方差、标准差的概念及其运算。-100+40+9 0+6 0+10.x=-=3,100S2=(X,-%
10、)+(2-%)-+(x -x)2n=20 x 22+10 x l2+30X12+10X2210016 0 8100-5n S子选B.10.C 解析：本小题主要考查三角函数变换与求值。.7 式,T Csm(a+)=-sm(a+)6 6cos(dz-)+sin=-c o sor+sina =/3,6 2 2 51 V3.4一cos ad-sin a=,2 2 51 4sin a +cos a =.2 J 5选c.11.B 解析：本小题主要考查圆与直线相切问题。14a-31 1设圆心为(a,1),由已知得d=!耳=1,a=2(舍 一).选B.5212.A 解析：本小题主要考查正确利用对数函数的图象来
11、比较大小。由图易得 a 1,/.0 a-1 1;取特殊点x=0=l y =log/?-1=log log bog 1 =0,b+8=04 12丁 =0=%2-6%+8=0,得圆C与坐标轴的交点分别为(2,0),(4,0),2 2则a=2,c=4,户=12,所以双曲线的标准方程为二一二=14 1214.4 解析：本小题主要考查程序框图。I-1 0.8,因此输出 =4.2 4 815.2008 解析：本小题主要考查对数函数问题。/(3*)=4xlog2 3+233=4 log,3*+233,=f(x)=4 log,x+233,/(2)+f(4)+f(8)+/(28)=8 x 233+4(log2
12、2+2 log2 2+3 log2 2+8 log2 2)=1864+144=2008.16.11 解析：本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个四角形，其四个顶点分别为(0,0),(0,2),(2,0),(3,5),验证知在点(3,5)时取得最大值11.三、解答题1 7.解：(【)/(x)=百sin(0 x+e)-cos(x+e)=2 sin(s+*)COS(GX+0)2sin1 5 +*一看因为/(x)为偶函数,所以对x c R,/(-%)=/(幻恒成立,兀 (7 1因此sin(一 光+夕 )=sin x+(p 6 I 6B P -sin cox cos(p +cos cox
13、sinI 6j整理得sinx cos=0.所以C O S(p因为0 0,且XE R,又因为0 v v兀，7 1 7 1故0-=6 2所以 f(x)=2sin69x+=2COS69X.2T E it由题意得 二2，所以0 =2.co 2故/(x)=2 cos 2x.因 此 同=2 cos =5/2.4(H)将/(x)的图象向右平移四个单位后，得到了6的图象,所以 g(x)=/(x q j =2cos 2 x7 T当2h i W 2x W2 E+兀（ZEZ）,3jr 2冗即E+WXW E +二（A:GZ）时，g（x）单调递减，6 3j r 2 7 r因此g（x）的单调递减区间为 E+,kn+（Ze
14、 Z）.6 31 8.解：（I ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间。=（4，4，G），（4，B、,C2）,（A-B2,G），（A，/C2）,（A，BV C J,（4，By C2）,（A，By G）,（4,By C2）,（A,B2,c,）,（4,B2,C2）,（A，B3,G），（4，%C2）,（4，By C,）,（A3,By C2）,（A,B2,）,（4，B2,。2）,（&,BV G），（A，与 c2）由1 8个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的.用M表 示“4恰被选中”这一事件，则A/=（A，B/G），
15、（A，8 1,。2）,（4，B?,G），（A，B2,C2）,（A，B3,G）,（A，B3,C2）事件M由6个基本事件组成，因而 P（M）=9=L1 8 3（n）用N表 示“用，G不全被选中”这一事件，则其对立事件正表示“By c,全被选中”这一事件，由于R=（A，By G）,（4，By ）,（&,By C,）,事件 有3个基本事件组成，3 1 1 5所以P（N）由对立事件的概率公式得尸（N）=1-P（N）=1 -=-.18 6 6 61 9.（I ）证明：在 A B O中，由于AT=4,BD=8,AB=4后，所以 A)2+3r2=A32.故 AD_L3O.又平面24。，平面ABC。，平面24。
16、平面ABC。=AD,5。u 平面 ABC。，所以班），平面尸AD,p又 B D u 平面M B D,故平面MB。J_平面PAD.(I I)解：过P作PO_LAD交AO于O,由于平面PA。，平面ABC。，所以PO_L平面ABC。.因此P。为四棱锥P-A B C D的高，又P4O是边长为4的等边三角形.因此。=也、4=2 6.2在底面四边形ABC0中，A B/D C,A B 2 D C,4 x R R /s所以四边形A 3c。是梯形，在RtZW O3中，斜边4?边上的高为二丝一,此即为梯形ABCD的高，所以四边形A B C D的面积为S=2石+步 x当 且=24.2 5故 Vp_ABCD=；X 2
17、4 X =1.2b20.(I)证明：由已知，当2时，-=1，b凡-S：又S“=伪+4+bn,所以2(S,f _J-S,i)S,-S；=1,即 空 2=1一S“_R所,以-2又 4 =4=4=1 /、所以数列I工1是首项为1,公差为L的等差数列.2._r,1 .1 z 、H +1由上可知=1 d(M -1)=-，s,2 2即S”=+12 2 2所 以 当 心2时，止S,f广 有 一 厂-诉1,7?=1,因 此 =0.因为 1 +2+12=78,2所以表中第1行至第12行共含有数列 4 的前78项，故为在表中第13行第三列，,4因此=43 q=所以9=2.记表中第k(k 2 3)行所有项的和为S,
18、则 s=a力=-a )=2(1 _ 2*)(k3).-q%(左+1)1-2%(%+1)2 1.解：(I )因 为/(%)=-|(2%+%2)+3=2+2 6%=xeT(x+2)+x(3ax+2b),又x=-2和x=1为/(幻的极值点，所以又(-2)=又(1)=0,因此4-6ci+2Z?=0,3+3a+2b 0,解方程组得a=-1，b=-.3(I I)因为。=一1，b=-l,3所 以 八x)=x(x+2)(e i 1),令(元)=0，解得玉二-2,x2=0,七=1 因为当 X(-O。,2)(0 为 时，1(x)v 0；当尤e(2,0)(1,+0 0)时，/,(x)0.所以/(x)在(-2,0)和
19、(1,+0 0)上是单调递增的；在(-8,-2)和(0,1)上是单调递减的.(I I I)由(1 )可知/(x Q f e T ；/,故/(%)-g(x)=x2ev-x3=x2(e*T -x),令/z(x)=ei-x,则 Z i(x)=e*T l.令l(x)=0,得x=l,因为xw(-o o,l 时，(x)W0,所以(x)在x e(-8,1 上单调递减.故x e(-8,1 时，h(x)/?(1)=0 ；因为xel,+o o)时，(x)2 0,所以(x)在xel,+o o)上单调递增.故X G1,+O O)时，h(x)/?(1)=0.所以对任意xe(o o,+o o),恒有(x)2 0,又 2
20、2 0,因此/(x)-g(x)2 0,故对任意 x e(-0 0,+o o),恒有/(x)2 g(x).lab=4&2 2.解：(I )由题意得，曲 2A/5西+厂丁又。Z?0,解得/=5,b2=4.2 2因此所求椭圆的标准方程为土+匕=1.5 4（I D （1）假设A B所在的直线斜率存在且不为零，设A B所在直线方程为丁 =依（女工0）,力）-+-=1，r解 方 程 组5 4 得/y =k x,2 0公4 +5&22 04+5公所以2 0 2 0 k24+5新 4+5公2 0(1+Z r2)4 +5 F设M（x,y）,由题意知阿0|=川。4|（/1片0）,所以 1 M o i2=4 2 1
21、ali2,即 f+,2 =万 20（1+?因为/是A B的垂直平分线，所以直线/的方程为y =-:X,即2=-土，y因此炉+9A2(J、2 0 1+TI门94 +5 y2 0，+/)4 y2+5元2又 f+J#0,所以 5 x 2+4 y 2=2(M2,2 7x y 12故 =A.4 5又当女=0或不存在时，上式仍然成立.2 2综上所述，M的 轨 迹 方 程 为 二+工 二 万.工。）.4 5o n 2 0 k2（2）当上存在且女工0时，由（1）得 云=一 二 丁，货=:7A 4 +5 k2 4 +5&2由，、:解得官y=x,I k2 0必5 +4二Xw2 05 +4公所以|。4=/+2 0(
22、1+二)4+5公|AB|2=4|Q A解法一：由于S晨”广34用2 1 0 M 21 8 0(1+/)2 0(1+/)=X-X-4 4 +5/5 +4 4 24 0 0(1+产产一(4 +5 2 2)(5 +4%2)、4 0 0(1 +二)2 4 +5/+5 +4公 丫、2 ,_ 1 6 0 0(1 +r)2 _(4 0丫8 1(1 +公)2 -豆J当且仅当4 +5%2=5 +4 2 2时等号成立，即=1时等号成立，此时 A V 6面积的最小值曰0-竺7c AAM B=W .当k=0,SlA_ 4n iIVWlDB=2-X275X2=2V5 9.当女不存在时，5AA,W B=2-XV5X4=2A/5 9.综上所述，A V 6的面积的最小值为”4 0.9ill 1 1 4 +5/+5 +4 公 9解法一：因为-7 -=-i-1-=-=-,|OA|2 OMf 2 0(1 +/)2 0(1 +/)2 0(1 +A:2)2 04+5/5+4公又一 +7 1 OAOM ,OA OM OA OM 9当且仅当4 +5公=5 +4公时等号成立，即左=1时等号成立,此时4AM B面积的最小值是S 4MM=y -当A=0,5 B=g x 2 6 x 2 =2出 仁.当左不存在时，SAAM=-X/5X4=2A/5 .4 0综上所述，A M8的面积的最小值为 空.9