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1、高考数学普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修n)(陕西卷)第I卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1 .设不等式/X 4 0的解集为M,函数/(x)=l n(l 1 x 1)的定义域为N,则Mc N为(A)0,1)(B)(0,1)(C)0,1 (D)(-1,0 7+22 .已知z是纯虚数，是实数,那么z等于1-i(A)2 i (B)i (C)-i (D)-2 i3 .函数f M =J2 x 4(x 2 4)的反函数为.1 ,(A)/-(X)=-X2+2(X0).1 ,(C)/-(X)=-X2+4(X0),1 ,(
2、B)/-(x)=-x2+2(x 2)(D)/-(X)=1X2+4(X2)4 .过原点且倾斜角为60 的直线被圆x2+y2-4 y =0所截得的弦长为(A)V3 (B)2 (C)V6(D)2G5.若3 s i n a+co s a=0,则-的值为co s a +s i n la(A)(B)-(C)-(D)-23 3 36.若(1 2 x)”9 =4+ax 4-F a2 OO9x2 m(x G R)，则；+,H-1-方需的值为(A)2 (B)0 (C)-1 (D)-27.“机 0”是“方程用/+y 2 =i表示焦点在丫 轴上的椭圆”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)
3、既不充分也不必要条件8.在M B C中,M是B C的中点，A M=1,点P在AM上且满足A P =2P M，则PA(PB+PC)等于4 4 4 4(A)(B )(C)(D)一9 3 3 99.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为(A)3 0 0 (B)2 1 6(C)1 80 (D)1 621 0.若正方体的棱长为正,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为V272 V3 2(A)-(B)-(C)(D)-6 3 3 3x+y 1 1 .若 x,y满足约束条件 x yN 1 ,目标函数z =x +2 y 仅 在 点(1,0)处取得最
4、小2 x-y 0.则当 e N 时，有(A)f(-n)/(-1)fn+1)(B)/(H-1)f(-n)/(n +l)(C)(C)/(n+1)/(-n)/(n-l)(D)/(+1)/(-1)0,少）的图象与x 轴的712 7r交点中，相邻两个交点之间的距离为一，且图象上一个最低点为“（一,-2）.2 3（I ）求/（X）的解析式；（I I）当,1 q,求/（X）的值域.1 8.（本小题满分1 2 分）如 图，在 直 三 棱 柱 A B C A/中，A B=1,A C -A At-V 3 ,/A B C=6 0 .（I）证明：A B 1AC,（I I ）求二面角A 4CB的大小。1 9.（本小题满
5、分1 2 分）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用自表示，据统计,随机变量J的概率分布如下:40123p0.10.32aa(I)求 a 的值和g 的数学期望；(I I)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。2 0.(本小题满分1 2 分)1 Y已知函数/(x)=ln(ax+l)d-,x 0，其中a 01 +x(I)若/(x)在 x=l处取得极值，求 a 的值；(I I)求/(x)的单调区间；(I I I)若/(x)的最小值为1,求 a 的取值范围。2 1.(本小题满分1 2 分)已知双曲线C的方程为鸟 一 m=1(。/0)，离心率e=且，
6、顶点到渐近线的a2 b2 2距离为空。5(I)求双曲线C的方程；(I I)如图，P 是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、1二象限，若=求A4O8 面积的取值范围。2 2.(本小题满分1 2 分)已知数列 x“满足,_1 _ 1 、,*xi-Z x+i-,eN .2,l+x.(I)猜想数列%的单调性,并证明你的结论;F*吴尸。O(H)证 明:xn+l陕西数学理参考答案一、选择题1-1 2 ADBDACCACBBC二、填空题7 11 3、1 1 4、8 1 5、一 1 6.-22三、解答题2 万1 7、解（1）由最低点为2）得 A=2.由 X 轴上相邻的两个交点之
7、间的距离为7土T 得上T=工7 T，即7=，0）=2 乃 =27r=22 2 2 T 7 T/7 7T 0 rr 4 7r由点加（彳,一2）在图像上的2 s i n（2 x q-+）=-2,即5 皿（彳+0）=-1 4 万 7 C ，r 1 7C故-（D 2k兀-,k eZ:.cp=2k冗-3 2 6又 (0,工),尹=工，拗(x)=2si n(2x +)2 6 6-7i rn 7万、2.X H 一,-6 3 6.”或，g,当2%+工=工，即尤=工 时，/（x）取得最大值2；当2x +工=主6 2 6 6 6TT即x =,时，/（X）取得最小值-1,故/（X）的值域为H,21 8.（本小题满分
8、1 2分）解 答 一（1）证：.三棱柱A8C-44G 为直三棱柱，AB 1 A 4,在 A 4 8 c 中，4 B =1,A C =6,N ABC=6 O ,由 正 弦 定 理ZACB=3 0NB A C=9 0 即A B J.4 CAB 1 平面ACq 4,又 AtC u 平面 ACG 4 即A B 1 AtC（2）解如图，作 AO _ L AC交AC于点D 点，连 结 B D,由三垂线定理知3。_L A。NADB为二面角A-A Q-B的平面角_ _.A A -A C V3-V3 V6在 R f A A 4 c中，4 0 =!-=匚 =JA、C 庭 2R f A B A。中，ta nA DB
9、=A D 3NA DB=a rc ta n ,即二面角A-AG 8的大小为a rc ta n 3 3解 答 二(1)证.三棱柱A B C -4B为直三棱柱,AB 1 A 41；A C 1A ARtABC,AB=,AC=,A A B C =6 0 ,由正弦定理NA C B =3 0N A 4 c =9 0 即A B J.A C如图，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0),B(l,0,0)C(0,V3,0),A,(0,0,73)JB=(1,0,0),A C=(o,也,百).福布=1*0+0*百+0*(_我=0A B VA.C(2)解，如图可取?=丽=。,0,0)为平面A 4。的法向量设平面46c
10、的法向量为=(/,，,)，则 布=(),乖 =(),又 冠=(-1,6,0)-/+阴)m-0 r-/.:.l=73m,n=m-yJ3n=0不妨取 m =1,则=(V3,l,l)m-n V3 x l +l x 0+l x 0 V1 5c os=1 1 =/.=-m-n 7(3)2+1 2+1 2-A/12+02+02 5二面角A-AC-BO的大小为a rc c os史51 9题,解(1)山概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=l,解答a=0.2J的概率分布为E”0*0.1+1*0.3+2*0.4+3*0.2=1.70123P0.10.30.40.2(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2 次”
11、事件4 表示“两个月内有一个月被投诉2 次,另外一个月被投诉0 次”；事件A)表 示“两个月内每月均被投诉12次”则由事件的独立性得尸 =0)=2*0.4*0.1 =0.08P(A2)=尸e=I)2=0.32=0.09P(A)=P(4)+P(4)=0.08+0.09=0.17故该企业在这两个月内共被消费者投诉2 次的概率为0.1720.解(I)/(x)=-ax+12 ax+ci 2(1+x)2-(ax+l)(l+x)2f(x)在 x=l 处取得极值，/(I)=0,即a F+。一2=0,解得q=.(II)/(x)=ax2+a-2(ax+l)(l+x)2*.*x 0,a 0,ax+1 0.当aN
12、2时，在区间(0,+oo)上，f(x)0,，f(x)的单调增区间为(0,+8).当0 a 0解得x 因 幺,由/(x)0解得x 1忙且，V a v a ./(X)的 单 调 减 区 间 为(0,旧),单 调 增 区 间 为(行2+8)(III)当a N 2时，由(II)知，/(x)的最小值为/(0)=1；2-a当0。2时，由(II)知，/(%)在工=生 色 处取得最小值/A三!)0）,a b离心率e =且，顶点到渐近线的距离为正.2 5（I ）求双曲线C的方程；（I I）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第 1一，二象限.若A P =A P B,A e -
13、,2,求a A O B面积的取值范围.32 R解 答 一（1 ）山题意知，双曲线C的顶点（。,）到渐近线办-勿=0的距离为5ab 2V5 A n ab 25/5i-=-，即=-yja2+b2 5 c 5山 0,n 0.由-477P:=Az,7P77B：得ZB、P点上 的1V坐H标一4为(z-f-n-A-n-2-(-m-+-4-)-),1 +2 1 +2将P点坐标代入 x2=l,化简得mn =(1 +/ln)-.4 4 2)1 1 4设NA OB=24,.,ta n(-0)=2,.ta n。=,si n。=,si n2 0=.2 2 2 5又I1=4 5 m；I O B 1=J5 n+S A O
14、 B=-O AO Bsi n 2 6=2 mn=-(2+-)+l.2 2 2.；3S(2)=l(/l +i)+l,/lel 2,i 8 9由 S。)=0 得 4 =1,又 S (1)=2,S(-)=-,5(2)=-,3 3 41 O当 丸=1时，A A O B的面积取得最小值2,当丸=一时，A OB的面积取得最大值一二3 3.Q面积的取值范围是 2,中.解 答 二(I)同解答一 A OB(I I)设直线A B的方程为y =区+m,由题意知I k 1 0.由y =+my=2 xI V I 9/2 7得A点 的 坐 标 为 官/),fy=kx+my =-lx得B点的坐标为(-m 2 m2+I，2+
15、I).m 1T+I 21由 而=A P B得P点的坐标为(A 2 m 1 22+7 T+I 2I+2+I将P点坐标代入二-炉4，曰 4机2(1+A)2得设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为(0,m).s A 0 B S A 0 Q S B O Q OQXA +O Q x S m (xA-xB)1 .m m 、1 4 m2-m(-+-)=-r2 2-k 2 +攵 2 4-k2=:(4+?)+1.2 A以下同解答一.2 2题、丁 /、1T l 1 zH 2 5 13证(1)山 玉=一 及%=-得工2 =4=_，XA=1 2 n+1 l +xn 2 3 4 8 4 2 1由/入6猜想：数列“是
16、递减数列下面用数学归纳法证明：(1)当n=l时，己证命题成立(2)假设当n=k时命题成立，BP x2 k x2 k+2易知x2,0,那么x2 t+2-x2,+4=-=一2 要 一1 +、2 川 1 +X2 H3(1+川)(1 +%+3)人 一12 2+2(1+X2 k)(1+X2 k+)(1+%2k+2)(l+工2&+3)即“2(k+l)X2(k+)+2也就是说，当 n=k+l时命题也成立，结 合（1）和（2）知，命题成立（2）当 n=l时，氏+-x j=|九 2结论成立6当之2 时，易知0 c x -L-.l+x“I ft 1l+x,i 2二(1+%)(1+%_|)=(1+)(1+x,i)=2+x,i 2 1l+x,i 2.-.|1x+1-xn|=.-=上 fl1 l+当 l+x,i(l+x)(l+Vl)_%0 _|(二)玉_ _ 无“_2|()X2 Xl I