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1、高等数学A-2试 题（A）卷（闭）学年第二 学期 使用班级 级学院 班级 学号 姓名题号一二三四五六七A总分得分一、填 空 题（本题4小题，每空3分，满 分1 2分，把正确答案填在题后的横线上）2 3-X1、交换积分次序1点（f（x,y）dy+J 2 f（x,y）dy=。2、2 =贝Ud z =o3、设 S：2+y 2+z 2 =R2,则目=。s4、设某二阶常系数齐次线性微分方程以丁=G e-+C 2/为通解，则该二阶常系数齐次线性微分方程为。二、选 择 题（本题共3小题，每小题3分，满分9分，每小题给出四个选项，把正确答案填在题后的括号内）0011、设常数%（）,则级数Z（-D 1n=l（A
2、）绝对收敛；（B）条件收敛；（C）发散；（力）敛散性与*的取值有关。xy 1 2 八2、函 数 X,）=/+y 2 在原点（0,0）处 J0,x2+y2=0（A）连续，偏导数存在；（B）连续，但偏导数不存在；（C）不连续，但偏导数存在；（。）不连续，偏导数也不存在。3、设V：/+/+z?4R?,则内次十,2+2 1为 VQ O 4A_r 4（A）-y-：（B）成4；（C）-J-；（。）2成4。三、计 算（每小题6分，共3 0分）152Z1、设z=-/(移)+%(x+y),其中/,g具有二阶连续的导数，求x dxdy2、计 算/=(炉+2+2月 心 力，其中。是由圆/+/=2围成的平面区域。D3
3、、求 j (e*sin y-y+x)dx+(e*cos y+y)dy,其中 L 为圆周 y=d 2 a x-x 上从点 A(2a,0)到点0(0,0)的一段弧。4、求曲面以一 z+肛=3 在点(2,1,0)处的切平面及法线方程。5、求幕级数 2 士 4 的 收 敛 域 与 和 函 数。=|四、解答下列各题(本题共4 小题，每小题每题6 分，共 24分)7 71、设函数z=z(x,y)由/(工+,y +)=0 确定，求，。y x dx2、求函数z=xe2在点P(1,O)处沿从点P(1,O)到点Q(2,-l)的方向的方向导数。3、设y=y(x)满足方程y-3y+2y=2 e,且其图形在点(0,1)
4、与曲线y=x?-x+1相切,求函数y(x)。4、将函数/(x)=W(-IWXW I)展开成以2 为周期的傅立叶级数。五、（本题满分8分）求函数Z=V+y 2 1 2 x +1 6 y在区域f+y 2 4 2 5上的最大值与最小值。六、（本题满分9分）已知曲线积分，/+2夕（刈）山:-以 幻 办 与路径无关，且（0）=0。（1）求9（x）：（2）计-算 1 e +2（p（jC）y d x-奴x）4 y的值。七、（本题满分8分）计算JJ axdy：z：（z：a）萼 型，其中？为下半球面？=4 a 2*_/x y/x2+y2+Z2的下侧，a为大于零的常数。高等数学（下）期末试卷（A）参考答案一、填空
5、题：1、珂/八 历 如2、e工 cosxX ydx+xdy）；c 4成4 3 5二、选择题:4、y-2 y-3 y=0.1、B；2、C；3,三、计算：1、解：等=-V/（v）+，f 3）+yg（x+y）ox X XQ2 zT-T-=W”（孙）+g（x+y）+ygx+y）。oxdy2、解：根据对称性，JJ（x2+y2 +2y）db=jj（x2+y2）da,D DB作极坐标变换1 一 ,则一七4 e v,04r2cos。,y=rsin 2 2（3分）（3分）（2分）（2分）原式=呵：户 dr=小 cos4 OdO=8 r cos4 例0=8 x 42 2c 3 1 7 r 3=8 x x x =o
6、 （2 分）4 2 2 23、解：添加直线段右：赤，则原式=（1）（ex sin y y+x）dx+（ex cosy+y）dy（4 分）JL+L i J L y=J W-j：xdx=a2-2a2 o（2 分）o o 24、解：F（x,y,z）=ez-z +x y-3，则工=乂 F,=x,=卢 一1 ,=，乂/-1 LW=L2,0,（4 分）所 以 所 求 切 平 面 为（x 2）+2（y 1）=0,即x+2y 4=0。（1分）所求的法线方程为（1分）1 2 05、解：因为lim|也|=1，所以累级数的收敛半径为R=1,a又因为当X=l时级数发散，所以该幕级数的收敛域为（-1,1）O00四、解答
7、下列各题:1、解：产.1nxn+x=x有rt=l公+J；Zxdx -7 _l n(l x)，(l x D (15z z设 p(x,y,z)=E(x+-,y +-),y *0 x=6+Q(-)，牝=8工+招 工，x y x故 里=区=/y4 y z居dx(pz X2FX+xyF22、解：P Q =l,PQ=42,I =cosa,si naxn dxJ，dx =2xe2 y,Sy（2分）（4分）（3分）（3分）（1分）（2分）（2分）dz dz dz.1 dz 1 dz=cos a H si n oc ；=-f=dl dx dy i2 8 x v 2 dy=3 e 2 y -巳2的=3(1-2 x
8、)e 2 yV2 ，（2分）(1,0)3、解：由条件知 y =y（x）满足 y（0）=1,丁 （0）=-1。由 特 征 方 程 户 3 r+2 =0=勺=1,七 =2,（1分）对应齐次方程的通解y =G e*+G e 2*。（2 分）设特解为y*=4 c，代入方程，得 A =-2,则特解为y*=-2 x,从而得通解 y =Cxex+C2e2x-2xex,（2 分）代入初始条件得G=1,C2=0,贝 U y（x）=（1-2x）ex （1 分）4、解：所给函数在-1,1 上满足收敛定理条件，将其延拓成以2为周期的函数时，它在整个实轴上均连续，因此其付立叶级数在-1,1 内收敛于函数本身。a0=2
9、j xdx=1,oan=2 jxcosn;ixdx=-（匕 -o 万hn=0（H=1,2,-）O（4 分）i?8_if（x）=4-cos 九（-1 x l）o （2 分）2 7rz =n1五、解：由 z=c2 x 1“2 =0八，得驻点（6,-8），但该驻点不在区域/9+y29425内，所以最值只能在zy=2 y+1 6 =0X+y 2 =2 5 达到。（3 分）设尸=Y+y272r+6、+；1（/+,2-25）,Fv=2xl 2+2 Zr=0由（尸v=2 y +1 6+2/l y =0,得（x,y）=（3,4）,（3,4）,（3 分）x2+y2-250代入目标函数，比较得最小值比=7 5,最
10、大值z|,、=1 2 5。（2 分）1（3,-4）1（-3,4）六、解：由 磐=学 得r（x）+2/（幻=一次oy ox则 /（X）=J-eJ&dx+C=Ce-ex3因为/（O）=o,所以c=g,则/（x）=g（e-2*-e*）.故+2/（x）心 一/（幻办=10公-e）dy1 ,-2、=-（e-e）.七、解：取2町,为w y面 上 的 圆 盘/+/方 向 取 上 侧，则axdydz+z d)1 dxdy _ 1yx2+y2+z2 ajj axdydz+(z+a)2dxdy（5分）（4分）a目 axdydz-(z+a)1 dxdy-jj axdydz-(z+a)2 dxdy,（4分）jjj(2z+3a)dv-a2dxdya c n%2a2rcos9 r sin(p d(p+3a 7ra-a2 7roiIn n a2Jd e j夕J0 o2a乃a 3 44cossin(pd(pr dr+兀a乃20一a47t a 4-+乃。2-7 ra 2（4分）