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1、直线、平面、简单几何体一空间向量及其运算高考要求：.1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘。2.了解空间向量的基本定理.3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质.4.理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念.5。握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件.知识点归纳己1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量.注：空间的一个平移就是个向量.向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同或相等的向量.空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.2.空间向量的运算空间向量的加法、减法与数乘向量运算：O B =O A +A B=
2、a+b ;BA=O A-O B =a-b ;O P =e/?)运算律：加法交换律：a+b=b+a加法结合律:(a+b)+c=a +(b+c)数乘分配律：4(万+6)=然+焉3.平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量.向量6与非零向量)共线的充要条件是有且只有一个实数儿 使日=入2,4.共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平 行 向 量.2平行于B记作当我们说向量3、B共线(或万5)时，表示。、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.5 .共线
3、向量定理：空间任意两个向量5、bd/3的充要条件是存在实数儿使之=在.推论：如果/为经过已知点A且平行于已知非零向量不的直线，那么对于任意一点。，点P在直线/上的充要条件是存在实数t满足等式O P O A+t a.其中向量方叫做直线/的方向向量.6.空间直线的向量参数衰示式：O P =O A+t a ,O P =0 A +t(OB-O A)=(l-t)OA+tOB,中点公式.O P=1(O 4+0 8)7 .向量与平面平行：已知平面a和向量G,作 次=M,如 果 直 线 平 行 于a或在a内，那么我们说向量不平行于平面a ,记作：a l i a.通常我们把平行于同平面的向量，叫做共面向量.说明
4、：空间任意的两向量都是共面的.8 .共面向量定理：如果两个向量扇B不共线，力与向量扇B共面的充要条件是存在实数x,y 使 方=x丘+yb 推论：空间一点尸位于平面M48内 的 充 分 必 要 条 件 是 存 在 有 序 实 数 对,使M P x A t A +y M B 或对空间任一点0,有 而=两 +*砺+yX存 或 OP=xOA+yOB+zOM,(x+y+z=1)上面式叫做平面M 4B的向量表达式.9.空间向量基本定理：如果三个向量蜃尻5不共面，那么对空间任一向量力，存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使/=xG+yB+zd 若三向量而I不共面，我们把 伍 区1叫做空间的一个基底，原很忑叫
5、做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空 间 的 一 个 基底.推论：设。,A,8,C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使 OP=xOA+yOB+zOC 10.空 间 向 量 的 夹 角 及 其 表 示：已 知 两 非 零 向 量2在 空 间 任 取 一 点。，作雨=以 方=,则NAOB叫做向量G与B的夹角，记作；的 定0 4万,34万，7 7 显然有=；若=一,则称5与6互相垂直，记作：a l b.211.向量的模：设 况=，则有向线段 乐 的 长度叫做向量2的长度或模，记作：1不1.12.向量的数量积：已知向量1,5,则叫做的数量积，记作石,即不
6、Z =lal-bl-cos.已知向 量 而=2和轴/,0是/上与/同方向的单位向量，作点A在/上的射影A,作 点B在/上 的 射 影 则 H万 叫 做 向 量 而 在轴/上或在2上的正射影.H厅 的长度B=ABcos=a-e.13.空间向量数量积的性质：(1)a-e=a cos.(2)a l.b a-b=0.(3)a2=d-a.14.空间向量数量积运算律:(1)(Aa)-b=A(a-b)=a-(Ab).(2)a b=b-a(交换律).(3)a-(b+c)=a-b+a-c(分配律).题型讲解a例1证明空间任意无三点共线的四点4、B、C、。共面的充分必要条件是：对于空间任一点。，存在实数x、y、z
7、 且x+y+z=l,WOA=xOB+,OC+zOD.分析：要寻求四点A、B、C、。共面的充要条件，自然想到共面向量定理解：依题意知，B、C、。三点不共线，则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、。共面。对空间任一点0,存在实数修、)，|,W 0A=0B+XXBC+yiBD=0B+xlC0COB)+)“(OD OB)=(1 X yi)OB+X|OC+yi OD，取 x=l 一修一y、y=X|、z=yi，则有 OA=x OB+y OC+z OD,且 x+y+z=1.点评：向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可山基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础,共(线)面向量基本定理给
8、出了向量共(线)面的充要条件，可用以证明点共(线)面.本题的结论，可作为证明空间四点共面的定理使用.例2在平行四边形48C。中，AB=AC=,ZACD=90,将它沿对角线力C折起，使A8与。成60角，求8、。间的距离.解：如下图，因为乙4CA=90,所以N心 而=&同理，BA-AC=Q因为A8与CO成60角，所 以(而，CD)=60 或 120.因为丽=丽 +就 +而，所 以 丽2=而2+恁2+而2+2丽.AC+2BA-CD+2AC CDBA2+AC2+CD2+2BA CD=3+2X1X1XCOS 而，CD)=2 或 后，所 以I前|=2或 正，即8、。间的距离为2或 五。例3在棱长为1的正方
9、体A8CD-ASGQ-中，8功AB交平面AC B i于点E,求证:(1)B Q i_ L平面 AC B|；(2)BE=-EDi.2证明：(1)我们先证明BD.LAC.：BD1=BC+CD+DD,AC=Afi+BC,.西 黛=(前 +CD+DDt)(A5+BC)=BC 前 +CD AB=BC 前 一 而 丽=I B C I2-|AB I2=1-1=O.L 4 c.同理可证 BDilABf,于是 B Q i _ L平面 ACB.(2)设底面正方形的对角线4 C、8。交于点M,贝1 丽=-BD=上 而,即2就=丽。BM BQ,四点 共面，所以，。由 与平面A C S之交点E,就是。d与MS的交点.由
10、 2 丽=5 知，EMBSAEBR,DXE：EB=2：1：.BE=-ED.点评：利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角等问题例4 如图，点A是4 A B D所在平面外一点，G是4 B C D的重心，分析：想方设法把向量A C逐步用AB,AC,A。有关的向量的表示，直至用它们表示为止证明：了 不 二 衣+且一 2 1 1 1 CG=-CB+CD)=-(CB+CD)=-(CA+AB+CA+AD)例 5 下列命题中不正确的命题个数是若4、B、C、。是空间任意四点，则 有 而+就+CD+DA=（）tI区 1=应+加 是 1、5 共线的充要条件 若 限 B 共线，则
11、M与分所在直线平行对空间任意点。与不共线的三点A、B、C,OP=xOA+yOB+zOC（其中x、y、zWR）,则 P、4、B、C 四点共面A.1 B2 C3 D4解：易知只有是正确的，对于，若。任平面4 8 C,贝 U丽、而、无 不 共面，由空间向量基本定理知，尸可为空间任一点，所以P、A、B、C 四点不一定共面.答案：C例 6 A 是BCD所在平面外点，M、N 分别是ABC和ACZ）的重心，若 80=4,试求M N的长.解：连结AM 并延长与8 c 相交于E,连结ANCD相交于E,则 E、尸分别是8 c 及 C。的中点.2 2.现在MN=A N-A M =-AF-AE=-2 -2,*一A E
12、)=-EF=-(C F-C E)=3 32 1 1 1 1 .-C D-C B)=-(C D-C B)=-BD.3 2 2 3 3二 MN=IMNI=-B D LBD=.3 3 3点评：本题的关键是利用重心这一特殊位置逐步进行转化小结：1.若 表 示 向 量心，,心的有向线段终点和始点连结起来构成个封闭折图形，则 G 1 +1 2+G jH-H 5 =0 o2应用向量知识解决儿何问题时，一方面要选择恰当的基向量，另一方面要熟练地进行向量运算.3.空间中的任何个向量都可以用不共面的三个向量线性表示，这三个向量也称为一个基底.在证明两个向量平行、垂直或求其夹角时，往往把它们用同一个基底来表示，从而
13、实现解题的目的.4,耍用向量法解题，所涉及判断位置或长度或所成角的向量，一般应能用关系明确的向量表示，或较容易用坐标表示，否则应考虑用其它方法来解。练习？1.在以下四个式子中正确的有J +B c,万,c a(b,c),15 1=15 II&IA J 个 B.2个 C 3 个 DQ个解析：根据数量积的定义，b是一个实数，a+b d 无意义.实数与向量无数量积,故万(B&)错，a b=ab c os =.解析:由条件知(5+3$)-5b)=71512151 l2+16a 4 =0,及(G )C7G-2b)=7l5l2+8l P-305 b=0.两式相减得465 b=23b：.a b=.代入上面两个
14、式子中的任意一个,即可得到摩1=161.2-r b2.ci*b o 1 -.cos(a,b)=-=_ 万，b)=600*答案：60ab IM2 28.试用向量证明三垂线定理及其逆定理.已知：P。、以分别是平面。的垂线和斜线，。4是 巩 在。内的射影，万霎。，求证:a B4 a OA证明：设直线方上非零向量力，要证之，以=万_L04,即证I AP=0=a-AO=0.:G 室 a,a,OP=0,：.a-XP=a (AO+OP)=a-AO+a OP=a-AO./.a,AP=0a,10=0,即)_LB4oA_L04点评：向量的数量枳为零是证明空间直线垂直的重要工具,在应用过程中，常需要通过加、减法对向
15、量进行转换，当然，转换的方向是有利于计算向量的数量积9.在空间四边形A8C3中，求证：AB-CD+AC-DB+AD 就=0。证法一：把无火拆成就+而 后 重 组，AB CD+AC DB+AD BC=(AC+CB)CD+AC-DB+AD-BC=AC-CD+CB-CD+AC-DB+7d)前=AC (CD+DB)+CB-CCD+DA)=AC CB+CB-CA=CB (AC+CA)=CB-0=0.证法二：设方=万不，b=DB,c=DC,则AB CD+AC DB+AD.反=(b a)(-c)+(c a)b+(a)(c b)=b c+a c+c b a b a c+5&=0.点评：把平面向量的运算推广到空间后，许多基本的运算规则没有变.证法叶体现了向量的拆分重组技巧，要求较高：证法二设定三个向量为基底，而原式中所有向量化归为关于万、b、己的式子，化简时的思路方向较清楚.