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1、执信中学2 0 1 2届高三模拟考试数 学（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共4 0分1.已知集合A/=划一3%5,=工%5,则N =()A.xx 3C.x|-3x 52.复数。一 1)3等 于()iA.Si B.SiB.x|5x 5D.x|x 5C.8 D.-83.与直线东 W X加2y -1=（）垂直于点尸（2,1）的直线，2的方程为（）A.x+y 1 0 B.x 一 y 3 0 C.x-y 1 0D.x +y 3 0 xaxA.12兀 B.15万 C.24万 D.36兀6.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有（
2、）A.24 0 种 B.192 种 C.96 种 D.4 8 种7 .下列四个判断:某校高三一班和高三二班的人数分别是孙，某次测试数学平均分分别是6,则这两个班的数学平均分为2；210名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14/0,15,17,17,16,14,12,设其平均数为 中 位 数 为。，众数为c,则有c a 6；从总体中抽取的样本（玉，）,（工2，%）,（%,先）,若记=,2毛,丁=，52 z-则回归,=i n,=|直线y-hx+a必 过 点（x,y）已知&服从正态分布N（0,/）,且 p（2 占 2）=0.2其中正确的个数有：（）A.3 个 B.2个 C.1 个 D.0
3、 个x+3y+5N08.设实数与丁满足：,x +y-1 4 0 ,则z=2 +4,的最小值是（）x+20A.B.C.1 D.84 2二、填空题：本大题共7小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分30分（一）必做题：第 9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答9.不等式|工+3|一|%一3|3的解集是.10.（V-,产的展开式中常数项是.（用数字作答）x11.公差不为零的等差数列 4 的前项和为S“，若%是 生 与%的 等 比 中 项，8=32,则 A。等于.12.已知向量a =（x,l）与b =（4,x）,且 a与b的夹角为%，则x=.13.由5 个元素构成的集合M=4,
4、3,-1,0,1,记 M 的所有非空子集为M2,每 一 个（=1,2,31）中所有元素的积为眼，则 叫+“+吗|=.（-）选做题：第 14、15题为选做题，考生只能从中选做一题14 .（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线Q=2与c o s e +s i n e =o（oew乃）的交点的极坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图，AB 的延长线上任取一点 C,过 C作圆的切线C ,切点为。，NACD的平分线交.AD 于 E,则 A CE D=.三、解答题：1 6.（本题满分1 2分）已知函数/（x）=2百 sin c o s2-2sin 2（I）求函数/（x）的值域；（H）在 A B C
5、中，角 A,6,C所对的边分别为a,。,c,若/（0=1,且改，求 sin A的值.1 7.（本题满分1 2分）李先生家住H 小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有右、右两条路线（如图），4 路线上有A、4、A 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为;；右路线上有耳、与两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为士，4 5（I ）若走乙路线，求罩多遇到1 次红灯的概率；（I I）若走右路线，求遇到红灯次数X的数学期望;（I I I）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.1 8.（本 题 满 分 1 4 分）如 图（1）,矩形A8
6、CO中，已知A B =2,A D =2曰M N分别为AO和 的 中 点，对角线B D 与M N 交于0 点,沿把矩形折起，使平面A5NM 与平面M NCD所成角为60 ,如 图（2）图K（I ）求证：B O 1 D O；（I I）求 AO与平面8。所成角的正弦值.1 9.（本题满分1 4分）已知正数数列仅“的前项和为S”，满足S：=d+W+a：；（I）求证：数列 ,为等差数列，并求出通项公式；（I I）设“二。-）?-。-1-）,若2M%对任意wN*恒成立，求实数。的取值范围。20 .(本题满分1 4分)如图，已知耳、人分别为椭圆&:4+二=1(。匕 0)的 力、a h上、下焦点，其中片也是抛
7、物线G：V=4 y 的焦点，F /点 M 是G 与。2在第二象限的交点，且|加|=|-(D求椭圆6 的方程；y(I I)已知点尸(1,3)和圆O:x 2+y 2=，过点P 的动直线/与圆O相交于不扃的两点A,B,在线段AB 上取一点Q,满足：A P =-B,A Q =A Q B(九/0 且几H 1 ),求证：点 Q总在某条定直线上。21 .(本题满分1 4分)已知函数/(x)=l n(x +l)+w,当x =0时，函数/(幻 取得极大值.(I )求实数m的值；(I I)已知结论：若函数/(x)=l n(x +l)+?n r 在区间(。,与内导数都存在，且。一1,则存在/G(a,b)，使得/(%
8、)=)一 )。试用这个结论证明：若 1%g(x)；七一工2(I I I)已知正数4,4,L ,满足4+4+L+4,=1,求证：当 2 2,w N 时，对任意大于-1,且互不相等的实数再心,L,x,都 有/闻+也+1+也)4/闻+切&)+!.+&).参考答案一、选择题：ABDDCBCB二、填空题：9、p|x|1；10、-220；u、6 0.12、-2；13、-114、，年)；15、4516、解：(1)/(x)=/3sin +cos-1=2sin(+)-1.3 分3 3 3 6：X R ,2 Y 71/-1 sin(+)1.4 分3 6r.-3 2sin(+-)-1 1 .5 分3 6二函数/(%
9、)的值域为 3,1.6分(2)/(C)=2sin(+-)-1 =1,.7 分3 6r x r_；.sin(土+工)=1,而C e(0,m ,：.C =.8 分3 6 2在 R/Ai48c 中,b2=a c,c1=a1+b2.9 分/.c2=a2+a c,得(g)2+0一1=0.10 分c ca-1 V5 八解得一 二-.11分c 20 sin A 1,sin4=.12 分c 217、解：(I)设“走乙路线最多遇到1次红灯”为事件A,.1分则 P(A)=x(l)-C3x lx(l)=|,.3 分所以走。路线，最多遇到1次红灯的概率为g.4分(I I)依题意，X的可能取值为0,1,2.5分3 3
10、1 3 3 3 3 9p(X=0)=(l_2)x(l_)=,尸(X=l)=二x(l-3)+(l 二)x二=二,4 5 10 4 5 4 5 203 3 9p（X=2）=-x-=.8 分4 5 20随机变量X的分布列为：1 3以 研=3*-=工2 2X 01 2P101 9 9 27所以 E Y=x 0 +=x l +二x 2二一.10 20 20 209 920 20-10分（i l l）设选择。路线遇到红灯次数为y,随机变量y服从二项分布，Y 8（3,所因为X7,所以选择右路线上班最好.12分18、解：（1）由题设，M,N是矩形的边AD和B C的中点，所以A MJ _ MN,B C 1 M
11、N,折叠垂直关系不变，所以N AM D是平面A5N M与平面M N CO的平面角，依题意，所以NA MD=60,.2 分由A M=D M,可知aM AD是正三角形，所 以 AD=A，在矩形A B C D中，A B=2,A D=20,所以，B D=V 6,由题可知B O=O D=J 5,由勾股定理可知三角形B O D是直角三角形，所以 B O 1 D O.5分解（2）设 E,F 是 B D,C D 的中点，则 E F l C D,OF-L C D,所以，C D J面 OE F,O E 1 CD又 B O=O D,所以。E 1B D,OE J.面 A B C D,O E u 面 3 0。，平面 B
12、 OD _ L平面 A B C D过A作A I U B D,由面面垂直的性质定理，可得A H _ L平面B OD,连结OH ,.8分所 以0 H是A 0在 平 面BO D的投影，所以N A O H为所求的角，即AO与 平 面BO D所成角。.11分）AA H是R T Z A B D斜边上的高，所以B O=O D=6,32所以 s i n NA OH二一（14 分）3方法二：空间向量：取MD,N C中点P,Q,如图建系，Q(0.0,0),B (逅,20,0),D (0,交，2),0(02所以3 0=（一0,当1),DO=(0,-V 2,-1)所以 30。=0,即 B OJ _ D O(5 分)(
13、2)设平面 B OD 的法向量是=(x,y,z),J -x-y+z=O-/2y-z=0,令)=夜 可 得x =J&z =2所以 =(J&,夜2)又A O=-1),2 2设AO与平面B O D所成角为。s i n 0 =|c o s|=y (14 分)19.(本题满分14分)解：(I)由 S；=a：+a：+,+：，得+a：+.+，两式相减得 a：=s：一 =(S.s,T)+s,T)=4 +s,H)，因为a“0,所以。；=5.+5,1(22).3 分所以 4 T =S“T+S“_ 2(心 3),两式相减得 a；-a,，=Sn-Sn_2=an+an_x,所以 a“-=l(/i 3).又 S：=a；=
14、q 3,且 a 1。，所以 a 1=l,S；(a 1+%)-a j+所以(1+a)=1 +a；,所以 a：a 2a,0由a 20,得a 2=2,所 以%a,-=1(N2),数列%为等差数列，通项公式a n=n.7分(注：猜对通项公式即=n,给4分)G(I I)法一：b =(-y-a(-)=-+-an n n n令/=,则+(q-2)r+l-a ,g(t)=+(a-2)f+l-an当2手 1时，即a g ，所以人 么 么 当2手时，即azg时，g(l)g(l),从而为 不合题意.所以实数a的取值范围为.1 4分2法二：2+i 一 /=(-7 一所以 一+_ 1 +。一2 0 ,即a 2 一5 一
15、,对任意 e N*成立+1 n+1 n所以实数a的取值范围为“.1 4分22 0、(1)解法一：令M为(毛,%)，因为M在抛物线。2上，故葩2=4%,又 四 玛=,则y +l =g 由 解 得 不=_ 半，=|椭 圆 的 两 个 焦 点 为4(0,1),6(0,1),点M在 椭 圆 上，由 椭 圆 定 义，得2aMF+MF2=J(一 半 o)2+(i 7+J(-o)2+(|+i 7=4V 3 3 V 3 3a =2 ,又 c=1,/.b1 a2 c2=3椭圆G的 方 程 为y左2+了%2=1(2)2(-吗1 4 8解法二：同上求得M,而点M在椭圆上，故有-V+=2-=1,即+=1a2 b2 9
16、a2 3b2又c=l,即。2=。2一1,解得=4万=32 2二椭圆G的方程为1-+=1(2)证明：设 A(X 1,y J,B(x2,y2),Q(x,y)由 AP=_/I P3,可得(1 _玉,3%)=-/1(-1,%-3)x /l x,=一 4 即Q7 i -y2=3(1-2)由 AQ=A Q B,可得(一百，丁 _ 凶)=4(巧 _ x,%_ y)即 x1+AX2=(l +2)x y+4%=(1 +X)y x 得 x j _ 彳2/2 =(I _几2)x ,X 得 y2 _丸2%2 =3y(1 22)两式相加，得(X；+靖)一几2(2 +%2)=(1 一下)(+3y)又点A,B在圆f+y 2
17、 =3上，玉2+城=3,2 +必2=3,且即x +3y =3,故点Q总在直线x +3y =3上方法二：由 A P =_/I PB,可得(1一%,3凶)=_ 九(修_1,%-3)，所以2 =上1x2-1由 A Q =/I Q 3,可得。-%,-、)：-%,%-)，所以a二二x2-x所以2所以=一土上上二生”(*)X2X X2 1 2 +%2 22当斜率不存在时，由特殊情况得到。(1,)当斜率存在时，设直线为丁 二左。1)+3y =+3_K0,函数/(x)在区间(1,0)上单调递增；当x e(0,+8)时，./(JOVO,函数/(x)在区间(0,+8)上单调递减.函数/(%)在x =0处取得极大值
18、，故m=-1.3分(2)令 hx=f(x)一g(x)=/(x)-a (%-%,)-/(%),%一 94分则h（x）=八 幻-内）一 八x-x2Q函数/*）在%（%,，工2）上可导，存 在/eC%,，）,使得了（%）=）。）一 ）玉一赴1 1Q/，(X)=77T-1 )=/V)-/U)=x0-xx+1 x0+1 (x+l)(x0+1)Q当工丘（阳,玉）时,h（x）0,Qx）单调递增，力0 0 （石）=0；Q当“（%0，%2）时，hr（x）力（%2）=0；故对任意尤 （百,2），都有/（X）g（X）.8分（3）用数学归纳法证明.当=2时，Q 4+4=i,且4 o,%0,.,为王+口卜马人,由（II
19、）得/（X）g（X），即/（4x+4工,）八七）（4%+4%,一%）+/（%）=4/凶）+）,X x2.当”=2时，结论成立.9分 假 设 当”=太 次2时 结 论 成 立，即 当4+4+L+4 =1时，了“42 2x 卡/1卜A f X+A 女祝.当=Z+1时，设正数4，%,L，4+满 足 4+为 口 人 +力 ，令 m=4+%+L+4 ，4=4,2 =&,L，4 =&则，+4+|”=1,且4 1+e+1+4=1.m m m/（4玉 +L+4%*+4+i/+i）=/m3%+L+从/）+4+1%J+L+4）+九/（加）mjUf(xi)+L+机4/(/)+4+/(%+|)=4/（玉）+L+-*）+4+J（玉+1）.1 3 分，当 =Z +1时，结论也成立.综上由，对任意n w N ,结论恒成立.1 4分