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1、在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。恒成立问题的基本类型：类型 1：设/(x)=o r?+b x +c(a#0),(1)/(x)。在x e R上恒成立=a 0且4 0；(2)/(x)0在尤e R上恒 成 立=。0 时，/(龙)0在工&,切 上恒成立b b b-p s 2a 或J 2a 或J 2a，f(a)O A0,(a)0/W 0在X 6 a,p 上恒成立 o 0(2)当 4 0在尤G a,p上恒成立o /()0/(/?)0f(x)0在x e a,(3 上恒成立 b-0ba-2aA 0/()a对一切X e /恒成立 O/(x)min
2、 a/(x)a对一切x e /恒 成 立 /(工卷”a。类型4：/(外 8。)对一切1/恒 成 立。/(x)的图象在g(x)的图象的上方或O O m ig(X)max(x e /)恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。一、用一次函数的性质对于一次函数/(X)=依+6,工，,川有：/(x)0恒 成 立 o -f(m)0 卜 一4 一,/(1)0怛 成 立0 4/()0/(加)0/()加(2-1)对满足-2 W 2的所有，都成立，求x的范围。解 析：我 们 可 以 用 改 变 主 元 的 办 法，将m视 为 主 变
3、元，即 将 元 不 等 式 化 为：z?(x2-1)-(2%令/(m)=m(/一1)一(2%-1),则一2 W mW 2时，/(m)0恒 成 立，/(-2)0/(2)0-2(x2-1)-(2%-1)02(x2-1)-(2%-1)0(a 声 0,x e /?)有:(1)f(x)0在x G R 上恒成立 o 。且A 0；(2)./,(%)0在尤G R上恒成立Q a 。且A 0恒成立，满足题意；m-1 0(2)加一 I w O时，只需 ,，所以，m e 1,9)(=(加一 1尸-8(m-l)m 对任意 x 都成立 o/(x)m m 2 tn；(2)对 任 意X都成立O/(X)m a x。简单计作：“
4、大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例 3：在A A BC 中，已知/(B)=4s i n Bs i n 2(工+0)+c o s 23,月 恒成立,4 2求实数m的范围。解析：由/(B)=4s i n B s i n 2(-+-)+c o s 2B=2s i n B+l,v O B f(B)-2/(B)e (1,3,加|2恒成立，.-.-2/(?)-/2,即 恒成m s i n x-c o s x,x e 0,力恒成立的实数a的范围。解析：由于函a s i n x-c o s j c =J s i n(x-?),x-%w -?,亍,显然函数有最大
5、值V2,a V2。如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：(2)求使不等式a s i n x-c o s x,x-e (0,生)恒成立的实数a的范围。4 2解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得y=s in x-co s x的最大值取不到、历，即a取血也满足条件，所以2班。所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例5：已知。0,。/1,/(犬)=X 2一 ,当*(
6、_1,1)吐 有/(%)%恒 成 立，求实数a的取值范围。解析：由/(x)=/一 优%,得%1,在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-l和x=l处相交，则由=a及(1)2 一;得 到a分别等于2和0.5,并作出函数y=2.及y=(g)的图象，所以，要想使函数在区间x e(-1,1)中恒成立，只须y=2 在区间x G(-1,1)对应的图象在y=/一(在区间x e(-l,l)对 应 图 象 的 上 面 即 可。当a1时，只有a 4 2才 能 保 证，而0。/2 1 B、V 2 -1 W c W +IC C W -5/2 1 D、C 2 A/2 1解析：由加+c 20,可以看
7、作是点P(m,n)在直线x+y+c=0的右侧，而 点P(m,n)在圆1 2+(y-l)2 =1上，实质相当于是工2+(旷一1)2 =1在直线的右侧并与它相离或相切。0 +1 +c 0lO +l +c .-.c V 2-l,故选 D。其实在习题中，我们也给出了一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。其实，对于恒成立问题，有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。下面，给出一些练习题，供同学们练习。练习题：1、对任意实数x,不等式as in x +力（：0 5工+0 0（。,。,。/?）恒成立的充要条件是。c 7a2+h22、设y=lglg；在
8、（-8,1 上有意义,求实数a的取值范围.后,+8）。3、当x e g,3）时，|L o g/|L （a-1）+-对一切大于1的自然 +1 +2 +1 2 3数n恒成立，求实数a的范围。匕 走）2含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、判别式法
9、若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数/(x)=ax2+bx+c(a W 0,x e R),有1)/(x)0对xe R恒成立A 0a )0对4/?恒 成 立=4 .A 0对x eR恒 成 立，即有A =(a-1)2-4 2 0解得“,。3所以实数a的取值范围为(-8,-l)U(；,+o o)。若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。例2.设/(x)=/一 2 m x+2 ,当龙e -1,+o o)时，恒成立，求实数?的取值范围。解：设尸(x)=/-2/冰+2-?，则当 X G1,+OO)时，b(x)N0恒成立当 =4(m 一 1)(加+
10、2)0即 一 2?0 显然成立;当A N 0时，如图，尸(幻2 0恒成立的充要条件为:A 0 0 解得3&m -2 o综上可得实数加的取值范围为-3,1)。二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1)/(%)。恒成立0”/0%1 12)例 3.已知/(x)=7 2 8 x-a,g(x)=2/+4/-4 0 x,当xe -3,3 时，/(x)W g(x)恒成立，求实数。的取值范围。解：设F(x)=/(x)-g(x)=-2x3+3 x2+12x-c,则由题可知尸(x)0对任意x e 3,3 恒成立令尸(幻=-6/+6尤+1 2 =0,得尤=-1或x=2而 F(
11、1)=-7 a,F(2)=2 0 a,F(-3)=4 5-a,F(3)=9 a,.F(x)m a x=4 5-a 0恒成立，求实X数。的取值范围。解：若对任意X l,+o o),/。)0恒成立，丫2-4-9 Y-I-/7即对工 口,+8),/(%)=-()恒成立，X考虑到不等式的分母X e 1,+0 0),只需%2+2%+。0在xe l,+o o)时恒成立而得而抛物线 g(x)=/+2 x+a 在 x e l,+o o)的最小值 m i n(x)=g =3 +a 0 得”一3注：本题还可将/(x)变形为/(x)=x+0 +2,讨论其单调性从而求出/(x)最小值。X三、分离变量法若所给的不等式能
12、通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1)/(X)/(x)m a x2)f(x)g(a)(。为参数)恒成立o g(a)0在 w U,+o o)时恒成立，只要。一/-2 x在x e l,+o o)时恒成立。而易求得二次函数(x)=/一2%在 l,+o o)上的最大值为一3,所以。一3。例5.已 知 函 数/(=以-保 二7,x e(0,4 时/(x)0恒成立，求实数。的取值范围。Jd-x X2解：将问题转化为。对(0,4 恒成立。Xyld-X x令 g(x)=7 X X,则 4
13、g(X)m i nXJ 4 x-x 2由 g(=-=J-1 可知 g(x)在(0,4 上为减函数，故 g(X)m i n=g(4)=0 x V x：.a 0恒成立，求x的取值范围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把。看成主元，则问题可转化为一次不等式(x-2)a +/一 4%+40在a e -1 J上恒成立的问题。解：令/(a)=(x 2)a +x 24 x +4,则原问题转化为/(a)0 恒 成 立(“w )。当x =2时，可得/(a)=0,不合题意。0 当xw2时，应有，解之得x 3。/(-1)0故x的取值范围为(-o o,l)U(3,+0 0)。注：一般地，一次函数/(%
14、)=依+仇 女#0)在Q 0上 恒 有/(幻 0的充要条件为/()0)(0 0 四、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1)_/g(x)=函数/(X)图象恒在函数g(x)图象上方；2)/(x)0)g(x)的图象是平行的直线系4 x -3y +3-3a =0。要使/(X)25解得a W 5或a 2 3 (舍去)3由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的
15、去领悟、体会和总结。含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。一、分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若a N/(x)恒成立，只须求出/(心，贝；若0W/(无)恒成立，只须求出/(x)niin.则aS，转化为函数求最值。例1、已知函数/(x)=lg卜+2),若对任意xe 2,+o o)恒有龙)0,试确定。的取值范围。解：根据题意得：+q-2 1在xe 2,+o o)上恒成立，即：a -x2+3 x 在 X E2,
16、+O O)上恒成立，设“元)=一/+3%，则”x)=(x|当x=2时，f(x)=2 所以a2J ，ma x在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若/2g 恒 成 立,只 须 求 出g(x)1 r a x,则 a)2 g(x)nz 然后解不等式求出参数a的取值范围；若/()g (x)恒成立，只须求出g(x)n,n,则/()g(x)min,然后解不等式求出参数。的取值范围，问题还是转化为函数求最值。例2、已知xe(8,1 时，不等式1 +2*+(。一/).4，0恒成立，求。的取值范围。解：令2 =f,xe(-o o,l .-.z e(O,2 所以
17、原不等式可化为：a1-a ,要使上式在te(0,2 上恒成立，只须求出/(。=二 在f e(0,2 上的最小值即可。f(t).=f 2)=3 c i 2 a _3 /.1 av-3、n J -4 4 2 2二、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。例3、若xe -2,2 时，不等式X?+a r +3 2 a恒成立，求a的取值范围。解：设 力=/+以+3-，则问题转化为当龙4一2,2时，x)的最小值非负。(1)当一|0 a 4；又a 4所以a不存在；(2)当一2 4 5 4 2即：一4WaW4时，/(%)”而=/(耳=3-a 0
18、6WaW2又-4WaW4:,-4a 2 即：a 0 a-1 又a -4-7 加1 T)对满足加归2的所有加都成立，求x的取值范围。解：设 1),对 满 足 帆W2的加，向0恒成立,/(-2)0 f-2(x2-l)-(2x-l)0-1+V7 1 +V3：.:、：.,、解得：-尤 -/(2)0 2(X2-1)-(2X-1)0 2 2四、利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：?,u /(a),g(a),则且g(a)2，不等式的解即为实数a的取值范围。例5、当时，|logx|l恒成立，求实数a的取值范围。解：-1 log(,x
19、1(1)当al时，x a,则问题转化为、3a 3(2)当0 a l时，a x ，则问题转化为3,-.0a-a 1311ali3一J综上所得：或3五、数形结合数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象,然后通过观察两图象(特别是交点时)的位置关系，列出关于参数的不等式。例6、若不等式3x2-log x 0在内恒成立，求实数。的取值范围。解：由题意知：logx在内恒成立,在 同 一 坐 标 系 内，分 别 作 出 函 数y=3/和 y=logu x观察两函数图象，当时，若。1函 数y=log(,x的图象显然在函数y=3/图象的下方，所以不成立；-0 2-当0。a .
20、1 一“3 3 27 27综上得：27上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。含参数不等式恒成立问题的解题策略(专题探究)一、教学目标：理解含参不等式恒成立问题特征；能充分利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数学思想解决含参不等式恒成立问题；培养学生分析解决综合问题的能力。二、教学方法：启发、探究三、教学过程：通过含参数不等式恒成立问题的求解，通过变式、启发、引导学生探究解题策略，培养学生利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数学思想进行解题的意识。例 题1：已知不等式(x 1)加 2 x-1对xe(O,3)恒成立，求 实
21、 数 的 取 值 范 围。变式：已知不等式(x l)/”0对x e R恒成立，求实数。的取值范围。变 式1：已知不等式/-2以+2 0对x e l,2卜恒成立，求实数。的取值范围。变式2：已知不等式工2-2以+2 0对x e -1,2 1恒成立，求实数。的取值范围。例题3：当x e(l,2)时，不等式(工一1 2+*恒成立的龙的取值范围。思考：1、若不等式2 一1加(/1)对满足|加区2 的所有团都成立，求实数x 的取值范围。2、设若满足不等式的一切实数x,能使不等式|x-a 2|0恒成立，求x的取值范围.解 析 本题按常规思路是分。=0时f(x)是一次函数，8 0时是二次函数两种情况讨论，不
22、容易求x的取值范围。因此，我们不能总是把x看成是变量，把a看成常参数，我们可以通过变量转换，把。看成变量，x看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令g(a)=(x2+2x-l)a-4x+3 在 0611,1时 一，g(a)0 恒成立，贝 得-3-拒 x 0点 评 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。2零点分布策略例2已知/*)=/+依+3-。，若xe-2,2J(x)2 0恒成立，求a的取值范围.解 析 本题可以考虑/(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、A0 A0零点在
23、区间的右侧三种情况，即AS0或_ 0/2 0-22/(-2)0/(2)0即。的取值范围为-7,2.点 评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题，可以考虑函数的零点分布情况，要求对应闭区间上函数图象在x轴的上方或在x轴上就行7.3函数最值策略例3已 知/(幻=/+笊+3-“，若xe-2,2 J(x)22恒成立，求a的取值范围.解 析 本 题 可 以 化 归 为 求 函 数/(x)在 闭 区 间 上 的 最 值 问 题，只 要 对 于 任 意xe-2 J(x)min 2 2 若 xe-2,2,/U)2 恒 成 立-2 V xG -2,2,/(x)min 2 2/(x)min=/(2)
24、=7 3心 2-2-，恒成立O/(X)min?；/(幻 加恒成立0 /(X)max -r+4x+5恒成立,式 子 中 有 两 个 变 量，可 以 通 过 变 量 分 离 化 归 为 求 函 数 的 最 值 问 题.对 于V xe-l,5 J,fc c +3k-x?+4x+5恒 成 立 o k 厂+5对 于 恒 成 立，令y=_X+4x+5,xe-l,5，设 x+3=f,/w 2,8，则 y=-Q+3)+10,f e 2,8 ,.,.当f=4,即 x=l 时x+3 t)max=2,k的取值范围是k 2.变式 若本题中将y=h +3 k改为y=k(x+3)2,其余条件不变，则也可以用变量分离法解.
25、由 题 意 得，对 于V xer-l,5 ,A：a +3)2 -X2+4X+5恒 成 立o&上 誓 对于(x+3)2V xe-1,5 恒 成 立 ，令 y,设 x+3=/,/e 2,8 ,则(x+3).当 上4=15 即x=12 时，W ax=Q 2,的取值范围是k QN.r 4 5 16 16点 评 本题通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题构造的函数求最值对学生来说有些难度，但通过换元后巧妙地转化为 对勾函数，从而求得最值.变式题中构造的函数通过换元后转化为 二次函数型”，从而求得最值.本题也可以用零点分布策略和函数最值策略求解.5数形结合策略例5设函数/(x)=-a
26、+X?+4x,g(x)=ax+,若恒有/(x)4 g(x)成立，试求实数a的取值范围.解析 由题意得/(x)g(x)。V-x2+4 x ax+2a，令 y1=J-i+4x ,y2=ax+2a.可化为(x-2)2+4=4(04x4 4,)，2 0),它表示以(2,0)为圆心，2为半径的上半圆；表示经过定点(-2,0),以。为斜率的直线,要使/(x)V g(x)恒成立，只需所表示的半圆在所表示的直线下方就可以了(如图所示).当直线与半圆相切时就有|2/+2 后a .3点 评 本题通过对己知不等式变形处理后，挖掘不等式两边式子的几何意义，通过构造函数，运用数形结合的思想来求参数的取值范围，不仅能使问
27、题变得直观，同时也起到了化繁为简的效果.6消元转化策略例 6 已知/(x)是定义在-1,1 上的奇函数，且/(1)=1,若m,n e -1,1 ,/n +g 0 时”吁 0,若 f(x)t2-2at+对于所有的 x e -1,1 ,a e -1,1 恒成m +n立，求实数t的取值范围.解 析 本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明及)是定义在1 1,1 上的增函数，故f(x)在卜1,1 上的最大值为/=1,则/(x)4/-2 8 +1对于所有的恒成立o 1 V /_ 2画+对 于 所 有 的“g1 j恒 成 立，即2 S t 2 w o对 于 所 有 的
28、ae-ij 恒 成 立，令 g（a）=2 s-，只 要 卜 一 人 ,1 g 4。2 或f =0.点 评 对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题，可以根据题意依次进行消元转化，从而转化为只含有两变量的不等式问题，使问题得到解决.以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略，只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数的取值范围。事实上，这些策略不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决。浅谈不等式恒成立问题中心摘要近几年在数学高考试题中经常遇到不等式恒成立问题。在05年高考辽宁、湖北及天津等省均出现此类题型。本文根据高考题及高考模拟题总结了四种常见的解决不等
29、式恒成立问题的方法。法一：转换主元法。适用于一次型函数。法二：化归二次函数法。适用于二次型函数。法三：分离参数法。适用于一般初等函数。法四：数型结合法。中文关键词“不等式”，“恒成立”在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现恒成立问题，这样的题目一般综合性强,可考查函数、数列、不等式及导数等诸多方面的知识。同时，培养学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。下面结合例题浅谈恒成立问题的常见解法。1转换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数。例1：若 不 等 式2x对满足一2 4 m 4 2的所有m都成立，求x的取值范围。解：原 不 等 式 化 为(X?l)m(2
30、x1)0记 f(m)=(X2l)m(2x 1)(2m 2)妲护即/右 f(-2)=-2(X2-1)-(2X-1)0根据题意有：f(2)=2(x2-l)-(2 x-l)0即：42 x2-2 x-l 01 +6 1 +y/?)解之：得x的 取 值 范 围 为-I x T2化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。例2：在R上定义运算保：x y=(l-y)若不等式(xa)(8)(x+a)l对任意实数x成立,则()(A)-lal(B)0a2 工a J2 2解：由题意可知(x-a)l-(x+a)0 对 x e R 恒成立记 f(x)=x2-x-a2+a+
31、l则应满足(-1 产-4(-a2+a+l)0化简得 4a2-4a-3013解 得 一 一 a 0对满足0 4 x 4 1 的所有实数x 都成立，求 m 的取值范围。解：设 f(x)=x2-2mx+2m+1本题等价于函数f(x)在 o S x S l上的最小值大于0,求 m 的取值范围。(1)当 m0时，f(x)在。,1 上是增函数，因此f(0)是最小值,解m 0得一彳m 0 2(2)当 0 4 m s i时，f(x)在 x=m时取得最小值0 m 0得 OSm Sl(3)当 m l时，f(x)在 0,1上是减函数,因此f(l)是最小值解m 1f=2 0得ml综合得 m -2注：当化归为二次函数后
32、，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3 求解。3分离参数法在题目中分离出参数，化成af(x)(afmax(x)(a g(-l)即 tN 5例 5：设a 0 为 常 数，数 列 a。的 通 项 公 式 为 a。=g+(-1)自 2口 +(1尸 2”也(110”)若对任意nl,neN*,不等式anan-i恒成立，求 a0的取值范围。解：依题意:工-斗 严 阴+)1 1 2 a 对 T+(T)-2力+(-1尸 2 1 a05 5化简，得(-l)n 3 2自 a0-1 3叫|(-l)n 2自当 n=2k-l keN*时a0-(一)+-15 2 5设
33、g2(n)=-2(3 尸+115 2 5.g2(n)在 neN*且 n=2k,keN*时是减函数，g 2(n)的最大值为g 2 =0 a0 0综上可知O a o 0。设+0 0),y=k x+m 是曲线y 二 f(x)在点(X o，f(x o)处的切线方程并设函数g(x)=k x+m(I )用 x o,f(x o),f (x o)表示 m；(I I)证明：当 x w(O,+8)时,g(x)f(x)3 -(I I I)若关于x 的不等式x 2+1 2 a x+b 2 二 x 3 在 0,+o o)上恒成立，其中a、b为实数。2求 b的取值范围及a 与 b所满足的关系。本 题(H I)应用了此方法
34、。(I I I)解：a 0 是不等式成立的必要条件。以下讨论设此条件成立。x2+l a x+b 即 xJ-a x+(l-b)2 0 对任意 X G 0,+o o )成立的充要条件是 a S 2(1 -b)3 -3 -,令 (x)=a x+b-x 3，于是a x+b X 对任意x e 0,+8)成立的充要条件是0(x)02 2由 (x)=a-x 3=0 得 x=a 3当 0 x v a 时，(x)a 时，(x)0,所以，当 x=a7时，0(x)取最小值。因此，(x)20成立的充要条件是6一 3)2 0。B|J a (2 b)W综上，不等式x 2+1 2 a x+b 231 x-3 对任意x w
35、0,+8 成立的充要条件是2!_(2 b 尸 a x2-2 2画出y i=ax,y2=x?-!的图像。由图可看出-a l或l a 22 2在解综合性较强的恒成立问题时，有时一题多法。所以以题为本，关键抓住恒成立的实质，具体问题具体分析，不拘泥于一种方法。专 题 研 究 之 二(不 等 式 中 恒 成 立 问 题 的 解 法 研 究)在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。恒成立问题的基本类型：类型 1：设/(x)=ax1+bx+c(a w 0),(1)/(尤)0在x e R 上恒成立 o t z0且公 0 ；(2)/(无)0在x e R
36、上恒成立=a 0且A 0 时，/(元)0在上 恒 成 立b b 门 b q-a_ a -Bo J 2 或J 2a 或J 2a，/(a)0 A0十 一 (a)0/(x)0在x e a,(3上恒成立o j八 .(2)当a 0在。,川上恒成立0 ；尸；0b b n/(x)0在 切 上 恒 成 立。2a 或，2 a 一 或0 A a对一切x e/恒成立 o /(x)min af(x)a。/(6)g(X)对一切XC/恒 成 立O /(X)的图象在g(X)的图象的上方或/(X)min ()ma x(x e/)恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数
37、形结合等解题方法求解。一、用一次函数的性质对于一次函数/(x)=H +e 加,川有：/(%)0恒 成 立 o /(m)0怛成=f(m)0,/()根(2 I)对满足一2 W/H W 2的所有加都成立，求X的范围。解 析：我 们 可 以 用 改 变 主 元 的 办 法，将m视 为 主 变 元，即 将 元 不 等 式 化 为：一1)-(2%1)0,；令/(加)=m(1 -1)一(2 无 一 1),则一 2Wm 2 时.，/(m)0恒 成 立，所 以 只 需/(-2)0/(2)0-2(x2-1)-(2%-1)02(x2-1)-(2%-1)0(a N 0,x e H)有:(1)1/,(%)0在x G R
38、上恒成立=a 0且4 0 ；(2)./,(%)0在x G R 上恒成立 o “0且A 0恒成立，满足题意；nz-1 0(2)加一 1。0时，只需 ，所以，m e 1,9)(=(加-8(m-l)，”对任意 x 都成立=/(x)min m；(2)对 任 意x都成立=m N /(x)ma xo简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例 3：在 AAB C 中，已知/(B)=4 s inB s in2(7+，)+cos 2 B,且(8)-?|2恒成立，求实数m的范围。解析：由=4 s in Bs in2(+)+cos2B=2 s in B +l,v
39、 0 B f(B)2/(5)G(1,3 ).(B)?|2恒成立，/(B)-m 2,即 恒成m s inx-cos x,x 0,%恒成立的实数a的范围。解析：由于函a s inx cos x =J s in(x%-?,当 ,显然函数有最大值V 2 ,U y/2 o如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：7 T T T(2)求使不等式a s inx-cos x,x e(0,)恒成立的实数a的范围。4 2解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得y =s in X c o s x的最大值取不到、历，即a取血也满足条件，所以。2班。所以，我们对这类题
40、要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例5：已知。0,4#1,/。)=/一 加,当(_1,1)时,有/)弘 恒 成 立，求实数a的取值范围。解析：由/(x)=/-优%,得/一%优，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-l和x=l处相交，则由1 2 一 _ L =a及(_ 1)2 _ L =q T得 到a2 2分别等于2和0.5,并作出函数y =2,及y =(g)，的图象，所以，要想使函数/一3 1时，只有a W
41、 2才 能 保 证，而0 a l时，只有a 2才可以，所以a e4,l)U(l,2。2 2由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处(从相等处)开始形成的。例 6：若 当 P(m,n)为圆x?+(y -1)，=1 上任意一点时，不等式?+c 2 0 恒成立，则 c的取值范围是()A、-1-V 2 c V 2-1 B、V 2 -1 c V 2 +1C、C V 2 -1解析：由/+1)2 =上，实质相当于是/+(y=1 在直线的右侧并与它相离或相切。0 +1 +c 0A V 2 -1,故选 D。其实在习题中，我们也给出了一种解恒成立问题的方法
42、，即求出不等式的解集后再进行处理。以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。其实，对于恒成立问题，有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。下面，给出一些练习题，供同学们练习。练习题：1、对任意实数X,不等式a s in x +bc o s x +c 0(a,c e R)恒成立的充要条件是。c 7 a2+b22、设 y =lg;在 上 有 意 义,求 实 数 a的 取 值 范 围+8)。3、当x e g,3)时，|/o g x|to (a-l)+-对一切大于1的自然数nn +1 n+2 n+n 1 2 3恒成立，求实数a的范围。a e )2函数中恒成立问题解题策略函数的内容作为高中数学知识体系的核
43、心，也是历年高考的个热点.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：赋值型；一次函数型；二次函数型；变量分离型；数形结合型.现在我们一起来探讨其中一些典型的问题.策略一、赋值型一一利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例 1.由等式 x,+a i x
44、 3+a 2 x 2+a 3 X+a 4=(x+l)4+b i(x+l)3+b 2(x+l)2+b 3(x+l)+b 4 定义映射 f：(a i,a 2,a 3,a 4)f b 1+b 2+b 3+b“则 f：(4,3,2,1)一()A.1 0 B.7 C.-1 D.0略 解:取 x=0,则 a产l+b,+b z+b i+k h，又 a=l,所以 b i+b z+b s+b,=0 ，故选 D例2.如果函数y=f(x)=s i n 2 x+a c o s 2 x的图象关于直线x=一可 对称，那么a=().A.l B.-l C .V2 D.-J2.略解:取 x=O 及 x=-，则 f(O)=f(-
45、)，即 a=-L4 4故选B.此法体现了数学中从般到特殊的转化思想.策略二、一次函数型利用单调性求解给定一次函数y=f(x)=a x+b(a K O),若y=f(x)在 m,n 内恒有f(x)0,则根据函数的图象(线段)(如下图)可得上述结论等价于a 0 fa 0i)0 1/(/1)0/(/)0/()0可合并定成同理，若在 m,n 内恒有f(x)0,则有 2 a+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2,2 内关于a的一次函数大于。恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-l
46、)a+x2-2x+l0在|a|0 x2-4 x +3 0|x 3或X 0 x 3.BP xG(0,l)U(3,+0)此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或下方)即可.策略三、二次函数型一一利用判别式，韦达定理及根的分布求解对于二次函数f(x)=ax2+bx+c=0(ah0)在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即a Q t z 0恒成立=1:f(x)0恒成立O A0 A0若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.例4.若函数/(x)=/(a?-1 2+(。-1)+_2_的定义域为小 求 实
47、 数。的取值范围.V +12分析：该题就转化为被开方数(a?-l)x2+(-1)%+2 0在R上恒成立问题，并且注意对二 0,.,.a =1.a +l当a2-l 0,1 W O时，即当晨,八2 “2八2/八时,=-4(-1)-1a2-1 0 a +9 1 9,综上所述，f(x)的定义域为R时，a e l,9 J例5.已知函数/(x)=x?+a r+3-a ,在R上/(无)20恒成立，求a的取值范围.分析：丁 =/(无)的函数图像都在*轴及其上方，如右图所示：略解：=a 4(3 a)=a +4 a-1 2 W0 6 4 a W2变式1：若XG 2,2 时，/(无)2 0恒成立，求a的取值范围.0
48、分析：要使x-2,2 时，/(x)2 0恒成立，只需/(x)的最小值g(a)2 0即可.解：+3,令/(x)在-2,2 上的最小值为 g().a7 当 一 4时，g(a)-/(-2)=7-0又。4.a不存在.2当一2 W-|W 2,即一时，ga)-/()=-0 -6 a 2 又-4 t z 4:.-4 a 2 ,即。0 /.a-l 又 a-47 W 0.即/。)=/+奴+1 。2 0在-2,2 上成立.=-4(1 -a)W 0 -2 2 5/2 a -2 +2 V 2综上所述，-5 W&W 2后 一2.解法二：(运用根的分布)当一即 a4时，g(a)=/(-2)=7-3a N 2 :.a 2,
49、-2 V 2-2 a 2 V 2-2.-.-4 a 2,即 a 4 时，g(a)f(2)=7+。2 2,5 5 W。g(a)恒成立，则g(a)f(X)mM；若对于x取值范围内的任何一个数，都有f(x)f(x)ma*.(其中f(X)m,x和f(x)m i n分别为f(x)的最大值和最小值)例6.已知三个不等式x?4尤+3 0,x?-6x +8 0,2 x?-9x +m 0.要使同时满足的所有x的值满足，求m的取值范围.略解：由得2Vx3,要使同时满足的所有X的值满足，即不等式22 9x +m 0在X (2,3)上恒成立，即 机 -2/+9 1在*(2,3)上恒成立，又一2/+9%在%(2,3)上
50、 大 于9,所以 m 9例7.函数/(x)是奇函数，且在-1,1 上单调递增，又=若/(x)W/-2勿+1对所有的a 1,1 都成立，求，的取值范围.解：据奇函数关于原点对称，/(1)=1,又：/(幻 在 -1,1 上 单 调 递 增/(幻)”=/(I)=1/(x)产 2 a f 2 0又 对 所 有a e 1都 成 立，72-2 r 0-即 关 于a的 一 次 函 数 在-1,1上 大 于 或 等 于。恒 成 立，r +2/0 即：=t 2 或 f =0或/。恒 成 立 即 转 化 为 求 函 数y=|x+l H*2|的最小值，画出此函数的图象即可求得a的取值范围.解：令y =|九+1|一|