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1、专题探究课四高考中立体几何问题的几种热点题型I热点突破 研析高考热点题型热点一利用判定定理证明平行、垂直关系 例 1 如图，在直三棱柱A8C-Ad C i中，BCA.AC,D,E 分别是AB,AC的中点.(1)求证：BiG平面AQE；求证：平面AiE_L平面ACG 4.证 明(1)因为。，E 分别是AB,AC的中点，所以DEBC,又因为三棱柱ABCAd C i中，BCJ/BC,所以 BC/DE.又 BiGQ平面 OEu平面 AQE,所以8 c l平面ADE.(2)在直三棱柱ABCA i&G 中，CG，底面ABC,又 OEu底面A B C,所以CCi_LX BCLAC,DE/BC,所以。E_LA
2、C,又 CG，ACt平面 ACGA，且 C G C A C=C,所以。E_L 平面 ACG4.又 OEu平面A 0 E,所 以 平 面 平 面 ACG4.【训练】如图，在四棱锥PABCD中，AD=CD=1AB,ABDC,ADCD,P C,平面 ABCD.(1)求证：BCJ_平面PAC；若 M 为线段PA的中点，且过C,D,M 三点的平面与PB交于点N,求 PN：PB的值.证明 设 AD=1.因为 AD=CD=；A B,所以 CD=1,AB=2.因为 NADC=90。，所以 AC=，1 ZCAB=45.在aA B C 中，由余弦定理得BC=，1所以 AC?+BC2=AB2,所以 BC_LAC.因
3、为PC_L平面ABCD,BCu平面ABCD,所以BC1PC.因为PCu平面PAC,ACu平面PAC,PCAAC=C,所以B C,平面PAC.(2)解 如图，因为ABDC,CDu平面CDMN,ABQ平面CDMN,所以AB 平面CDMN.因为ABu平面PA B,平面PABA平面CDMN=M N,所以ABMN.在4PA B中，因为M 为线段PA的中点，所以N 为线段PB的中点，即PN：PB的 值*热点二利用性质定理证明平行、垂直关系【例 2】如图，四棱锥PABC。中，AD_L平 面%8,AP1AB.(1)求证：CD_LAP；(2)若求证：CO平面出8.证 明(1)因为AO_L平面见8,APu平面附8
4、,所以AOLAP.又因为 AP ABQAD=A,ABu平面 A8C0,AOu平面 ABC。，所以AP_L平面ABCD因为COu平面ABC。，所以COL4P.(2)因为 CJ_AP,COJ_PD,且 PZ)nAP=P,PDu平面以O,APu平面 玄。,所以CO_L平面以。.因为A O,平面山8,ABu平面巩8,所以ABLAD又因为AP APCAO=A,APu平面站。，AOu平面 PAD,所以AB_L平面BID由得CD/AB,因为CZX平面见8,A8u平面RLB,所以C。平面PAB.热点三立体几何中的探究性问题【例 3】在正三棱柱ABCA B C 中，点。是 BC的中点，BC=BB.(1)若 P
5、是 C G 上任一点，求证：AP不可能与平面3CG以垂直；(2)试在棱C G 上找一点M,使证明(反证法)假设AP_L平面B C C B，VBCclSi BCCB,：.APLBC.又正三棱柱 ABCABiG 中，CCslBC,APncCs=P,APu平面 ACC4,CQc平面A CG 4，.BC_L平面 ACGAi.而 ACu平面 ACCA,：.B C L A C,这与ABC是正三角形矛盾，故A P不可能与平面BCCiBi垂直.(2)解 M 为C G 的中点.证明如下：.在正三棱柱 ABC-ABiG 中，BC=BB,.四边形BCG囱是正方形.M为C G的中点，。是3 c的中点，:.ABiBD
6、m ABCM,：.ZB B iD=ZC B M,ZBDB=ACMB.JT:N BB1D+N BD B1=T：.ZC B M+ZB D Bt=-Y，：.BMBiD.ABC是正三角形，。是BC的中点，：.ADBC.平面ABC，平 面 叫 G C,平面ABCn平 面BB|GC=BC,AOu平面ABC,平面 BBCC.BMu平面 8B1GC,J.ADLBM.A D nB iD=D,AD,B Q u 平面A e。，平面 AB。.,AeU 平面 ABQ,：.MB LAB i.热点四空间几何体的表面积和体积【例4】如图，菱形A8CO的对角线AC与8D交于点。，点E,尸分别在AZ),CO上，AE=CF,E F
7、交BD于点H,将OEb沿EE折到，户的位置.(1)证明：ACH D；(2)若 A3=5,AC=6,AE=1,OD=2隹求五棱锥。一A8CFE 的体积.(1)证明 由已知得ACLB。，A D=C D,又由AE=C/得 第=卷，故ACEF,由此得E F L H D,折 后 E F 与 H D 保持垂直关系，即 E F 1 H D,所以AC1HD.(2)解由E/AC得 器=翳=/由 A8=5,AC=6 得 D O R O T A S2。2=4,所以 0”=l,D H=DH=3,于是。2+0“2=（2/）2+2=9=0，2,故 0 D 1 0 H.由（1）知 AC，。，又 ACLB。，BDCHD=H,
8、所以ACJ_平面O”。，于是ACLO。，又由0。“，A C D 0H=0,所以。平面ABC.又由第=需 得 号1 1 9 69五边形ABCFE的面积S=X 6X 8/_!_?；a 邛 0 l m；机 a=/_L；I 工归m a.其 中 正 确 的 命 题 是（填写所有正确命题的序号）.解析 若 Ua,。尸，贝 h_L Q,又mu B,贝 U/L”，故正确；若/J_a,。_L,则/夕或/u ,又加u ,则/与加可能平行、相交或异面，故错误；若l-La,m/a,则/JLm,又机u尸，则/与夕可能平行、相交或上 ,故错误；若/_La,/_ L ,则a 人又加u ,则加a,故正确.综上，正确的命题是.
9、答 案 3.（2018苏州一模）在一个长方体的三条棱长分别为3、8、9,若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则 圆 孔 的 半 径 为.解 析 设半径为，在一个长方体的三条棱长分别为3、8、9,在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，,减少的2 个圆的面积=圆柱的侧面积，.2n/=2nrX 3（此处只考虑高为3 的情况，另外两种情况下圆柱不存在），解得r=3.二圆孔的半径为3.答 案 34.（2018.常州一模）以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为.解 析 设圆锥的底面半径为r
10、,由题意圆锥底面半径等于圆锥的高，可知圆锥的侧面积为n r y/2r=yf2 n r2.圆柱的侧面积为2 nr=2 n所以圆锥的侧积面与圆柱的侧面积之比为啦口/：2 口尸=坐.答 案 乎5.如图，在正方体ABCD-AIBIG A 中，点 E 是 棱 的 中 点，点 F 是棱C。上的动点，当而=_ _ _ _ _ _ _ 时，2E_L平面A&F.r U解析 如图，连接4 3,则4 8 是。|E 在平面ABB14内的射影.：ABiAiB,：.DELAB,又.。出_ 1 _ 平面 ABF=DEAF.连接O E,则。E 是。|E 在底面A8C。内的射影,：.DELAFDEVAF.ABC。是正方形，E
11、是8C 的中点,二当且仅当尸是CO的中点时，DEAF,即当点尸是 C。的中点时，5E_L平面A&凡C F.诉=1 时，OEJ_平面A8Er U答 案 16.（2018苏州一模）已知直四棱柱A B C D-ABCD的底面是菱形，F为棱BB的中点，M 为线段A G 的中点.求证：（1）直线MF平面ABC。；平面AFC 平面ACCA.证 明（1）延长C F 交 CB的延长线于点N,连接4V.因为尸是B当的中点,所以尸为G N 的中点，8 为 CN的中点.又M 是线段A G 的中点，故 M/AN.又MR/平面ABCD,ANu平面ABCD,.ME 平面 A8CDJ GN（2）连 8 D,由直四棱柱ABC
12、D-Ai8G。，可知 AA_L平面 ABC。，又 YBOu平面 ABC。，：.AiABD.四边形 ABC。为菱形，AC_LBD又.ACC4A=A,AC,4A u平面 ACCA，平面 ACG4.在四边形D4NB中，DA/BN豆DA=B N,所以四边形D4NB为平行四边形，故 NA/BD,.乂 4，平面4。14，又因为NAu平面AFG，平面”G_LACGA|.7.（2018.南通、扬州、泰州联考）如图，在四棱锥PABC。中，P C,平面玄。,AB/CD,CD=2AB=2BC,M,N 分别是棱如，8 的中点.（1）求证：PC平面8MN；（2）（一题多解）求证：平面平面H C.证 明（1）设4。门8=
13、。，连接MO,AN,p因为AB=；C。，AB/CD,N 为 C。的中点，所以 A 8=C N,且 ABCN,所以四边形ABCN为平行四边形，所以。为AC的中点，又 M 为孙的中点，所以M。C.又因为MOu平面BMN,PCQ平面BMN,所以PC平面3MN.(2)法一 因为P C,平面PDA,AOu平面PD A,所以PCLAD由同理可得四边形A B N D为平行四边形，所以AO3N,所以 BNA.PC,因 为 所 以 平 行 四 边 形 ABCN为菱形，所以BN上AC.因为 p c n a c=c,PC,ACU平 面%c,所以B N,平面PAC.因为BNu平面8MM 所以平面3MNL平面抬C.法二
14、 连接PM 因为PCJ_平面P D 4,%(=平面PD4,所以 PC1.PA.因为PCM。，所以出，MO.又 PC1PD.因为N 为 C。的中点，所以PN=CD,由(1)得 AN=BC=；C,所以 AN=PN,又因为M 为出的中点，所以巩，MN,因为MNCMO=M,MN,MOu平面BMN,所以朋_L平面8MN.因为B4u平面B 4C,所以平面R1C，平面BMN.二、选做题8.如图，在三棱锥 ABC。中，ZBCD=90,BC=CD=1,ABJ_平面 BCD,ZADB4/7 Af7=60,E,E 分别是AC,AO上的动点，且 就=亦=，OV2V1).(1)求证：不论见为何值时，总有平面B E F,
15、平面ABC；当A为何值时，平面BE/，平面ACD?证 明 因 为 A 3,平面8CO,COu平面3 8,所以A 3,CD因为 CO_LBC,1.ABBC=B,所以CO_L平面ABCAr Ar又因为1/=彳=%(0 V%V 1),/iLz/iLz所以不论见 为何值，恒有EF/CD.所以 EFL平面 ABC,X EFcffi BEF,所以不论人 为何值，恒 有 平 面 平 面 ABC.(2)解 由(1)知，BELEF.因为平面8EF_L平面A CQ,平面BEVC平面ACD=F BEu平面BE凡所以8E_L平面AC。，所以8ELAC.因为 BC=CD=,ZBCD=90,ZAD B=60,所以 BD=
16、巾,AB=&tan 60=乖,所以 A C=A B2+BCQ=yp.由 A B 2=A 6 A C,得 A E=金，.AE 6所以2=菽=亍故 当 时，平面8 E/_ L 平面ACD.9.如图(1),在边长为3的正三角形A B C 中，E,F,尸分别为A B,AC,8 c 上的点，且满足A E=F C=C 尸=1.将 沿 我 折 起 到 4/：的位置，使平面4 E/U平面E F Q 5,连接4 B,A/P,如图(2)所示.(1)若。为A 出的中点，求证：P Q 平面A/E K(2)求证：AELEP.证 明(1)如图，取A/E 的中点M,连接。M,MF.在 4 3 E 中，Q，M分别为A/B,A
17、/E 的中点，所以Q M B E,且。加二3 台 七.所以 P F 8 E,K PF=BE,所以Q M 尸 R 且QM=PF.所以四边形P Q M 尸为平行四边形，所以 PQ/FM.又因为F M u 平面A|E F,且 Pg平面所以P。平面A/E F(2)如图，取 B E 的中点。，连接。F.因为 4：=。尸=1,DE=,所以A F=A O=2,又NA=60。，即A。尸是正三角形.又因为AE=EO=1,所以EFLAD.所以在图中有4E_LEE因为平面A/E/平面EFCB,平面4E FA 平面EFCB=EF,A|Eu平面AEF,所以A|E,平面EFCB.又 EPu平面E F C B,所以A/ELEP.