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1、直线和圆的方程一直线与圆、圆与圆的位置关系高考要求：1 .掌握直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识，能够从代数特征(解或讨论方程组)或几何性质去考虑，2 .会运用半径长、半径、弦心距构成的直角三角形减少运算量.知识点归纳：1.研究圆与直线的位置关系最常用的方法：判别式法；考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。直 线A x+B y +C =O与 圆(x a)2+(y 份2 =/的 位 置 关 系 有 三 种，若Aa+B Z?+C l 一d 二,贝 i j d r 相 禺=八+弓 o外 离o 4条 公切线d=八+厂2 o外 切 3条 公切线卜 1-|2=1 2 +w,：O P 1 O Q,.
2、处+为”=。而 内=3-2 y”2=3 2 2，X X 2=9-6 （y i+力）+4）”=-1 5+4.,“*=3,此 时/0,圆心坐标为（一1，3）,半径r=9,2 2点评：（1）在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑.体会垂直条件是怎样转化的，以及韦达定理的作用：处理九丫 2 与 AM的对称式,在解析几何中经常运用韦达定理来简化计算例 2 求经过两圆（x +3 +y 2=i 3 和x 2+（y +3=37的交点，且圆心在直线x y-4=0 上的圆的方程.1(x+3)2 +v2=13 得圆上两点，由圆心在直线Xy
3、x2+(y+3)2=37-4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为(x+3)2+y2_i3+4W+G，+3)2 _37)=0,再由圆心在直线x-y-4=0上，定出参数4，得圆方程，解：因为所求的圆经过两圆(x+3)2+y2=i3和/+(y+3)2=37的交点，所以设所求圆的方程为(x+3)2+y2-13+2(/+(y+3)2-37)=0.9(1+公)(1+4展开、配方、整 理 得(+6八。+备)2=管+3 32圆心为(-,-),代入方程xy4=0,得4=-71 +2 1 +2故所求圆的方程为(X+，2+(y+g)2=B.点评:圆 G：?+/+1x+1j+
4、Fl=0,圆 C2：xz+y2+D2x+E2y+F2=0,若圆 G、C?相交，那么过两圆公共点的圆系方程为(f+y2+Dix+Eiy+Q)+(x2+y2+D2X+E2y+F2)=0(4GR且，去一1).它表示除圆C2以外的所有经过两圆Ci、C2公共点的圆.例 3 已知圆 C：(X I)2+(y 2)2=25,直线/：(2m+l)x+(zn+1)yIm 4=0 GnS R).(1)证明：不论，“取什么实数，直线/与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C截得的弦长最小时/的方程.分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.(1)证明：/的 方 程(x+y-4)+m(2x+y-7)=0,VmeR,.1
5、2、+=。得x+y-4=0 x=3b-1即/恒过定点A(3,1).圆心 C(l,2),I AC I =石 2=25截得的弦长为8,求此弦所在直线方程.解：(1)当斜率k不存在时，过 点P的直线方程为x =-3,代入 x2+y2=2 5，得 =4,%=-4.弦长为国一力|=8,符合题意，3 当斜率k存在时，设所求方程为y +不=k (x +3),3即 kx-y+3 k-=0.3_ k-0-0+3 k-由已知，弦心距|=7 52-42=3 ,卜2=3,3解得 k=L43 3所以此直线方程为 y +5 =；(x +3),即3 x +4 y +1 5 =0.所以所求直线方程为x +3 =0或3 x +
6、4 y +1 5 =0.点评：关于圆的弦长问题,可用几何法从半径、弦心距、半弦所组成的直角三角形求解,也可用代数法的弦长公式求解,本题还要注意，斜率不存在时直线x +3 =0符合题意.例5自 点A 3,3)发出的光线/射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆f+y 2 -4)，+7 =0相切,求光线I所在的直线方程.解：由 已 知 可 得 圆C：(x-2)?+(y-2=1关 于x轴 对 称 的 圆C ,的方程为(x-2)2+(y +2)2=l,其圆心C (2,-2),贝心与圆C,相切,3 4整理得 1 2 k?+2 5 k+1 2=0,解得 k=一一或=-一，4 33 4所以所求直线方
7、程为y-3=-(x+3)或y-3=-(x+3),4 3即 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0.点评：关于求切线问题，利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件，是求圆的切线方程的常用方法,若本题由“=()”求切线方程也可，但过程要复杂些.例6如果实数满足(x+2+V=3,求上 的最大值、2x-y的最小值.x解：(1)问 题 可 转 化 为 求 圆(X+2 +y 2=3上一点到原点连线的斜率值，由图形性质可知，由原点向圆(x+2)2+/=3作切线，其中切线斜率的最大值即为工的最大值.X设过原点的直线为y=kx,即kx-y=O,由|:k 0|_ 百，解得k=6或卜=-V 3.芈=5(2).x,
8、y满足(尤 +2(+V =3,x=-2 +V3 COS 0y=6 sin 6k=上的 最 大x2x-y=-4 +2 也 c os 6 sin 6=-4 +V15 sin（。+砂）另法：应用线性规划的思路，如图，2 x-y的最小值或最大值就在直线2x-y=b与圆(x +2)2 +/=3的切点处达到。由 上 二 1 =百,解 得 b=-4-后 或 b=-4+小V5，2 X-W m i n-而点评：圆的有关几何性质的应用往往可以简化问题,由圆的参数方程设圆上一点的坐标在解题中应用也非常广泛.例 7 一个圆和已知圆/+y 2-2 x =0外切，并与直线/：X+也 y =0相 切 于 点 M(3,-7
9、3 )，求该圆的方程.解：已知圆方程化为：(X 1 y +2 =1,其圆心p (1,0)，半径为L设所求圆的圆心为C (a,b),则半径为“a 3)2+(b+g ，因为两圆外切,|PC|=1+,(“-3)2+e+可,从而 1)2 +/=1+3)2 +(6 +0)2 (1)又所求圆与直线/：x +0 y =0相切于M(3,0)，二.直线CM l,kC Mk,=V3 a-3即 b=4 G(2)将(2)代 入(1)化简，得 a2-4a=0,a=0 或 a=4当 a=0 时/=4 6，所求圆方程为Y +(y +4 G=3 6当 a=4时,b=0,所求圆方程为(x-4)2+y24.小结：1.有关直线和圆
10、的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时,弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.3,有关圆的问题，注意圆心、半径及平面儿何知识的应用.4在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握，灵活运用.5,使用圆的参数方程在解决有关最值问题时可以使运算变得简单.61解圆与直线的综合问题时，注意数形结合及利用圆的几何性质.练习:1.x轴 与 圆+J +2 一4 +1
11、 =0的位置关系是（)A相切 B相离 C相交且不过圆心 D 通过圆心答案：A2.圆x 2+y 2-2 x =（）与 圆/+?2+今=0的位置关系是（）A 相离 B外切 C相交 D 内切答案:C3.山点M（5,3）向 圆+y 2-2 x +6），+9=0所引切线长是（）A V51 B V3 C 51 D 1答案：A4圆/+/2-2=0与 圆/+2+分=。的位置关系是（）A 相离 B外切 C相交 D 内切答案:C5在圆X2+V =4上,与直线4x+3y-12=0的距离最小的点的坐标为（）（5,5）（5 5）I 5 5）（5,5）答案：B6若动圆与圆（x+2）2 +2=4相外切，且与直线x=2相切，
12、则动圆圆心的轨迹方程是（）A y2+12x-12=0 B y2-12x+12=0 C y2+8x=0 D y2-8x=0答案：A7,直线x=2被圆（x a F+y 2=4所截弦长等于2月，则a的 值 为（）A-1或-3 B夜 或一五 C 1或3 D 百答案:c&集合 4=(x,y)|o r+y=l,5 =(x,y)k+a y=l,C=(x,y),+y 2=l,且(A U 8)n C 仅有2 个元素，则 a 的 值 为()A 1 B 0 C-1 D 0,1答案:B9,设 0,则直线正(x+y)+I+m=0 与圆 f+y2=m的位置关系为A.相切 B,相交 C相切或相离 D.相交或相切解：圆心到直
13、线的距离为上上二,圆半径为6.2:dr=-y/nt=(加2ytn+1)=(V/n1)20,2 2 2直线与圆的位置关系是相切或相离.答案：C10圆x+y24x+4y+6=0截直线x y 5=0所得的弦长等于A.V6 B.Cl D.52解：圆心到直线的距离为立，半径为五 ,弦长为2、(痣)2_(四)2=6.2V2答案：A11.圆x2+y2-4x=0在点尸(1,再)处的切线方程为Aa+V3 y2=0 Bx+旧 y4=0 Ca:V3 y+4=0 Da:M y+2=0解法一：x2+y2-4x=0,y=kxk+6=x2 _4x+(kxk+6)2=0./?该二次方程应有两相等实根，即 4=0,解 得 匕
14、虫.3；.y(冗1)，即/V3 y+2=0.解法二：点(1,V3)在 圆/+一4后0 上，点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直.又。圆心为(2,0),k=-1.2-1解得k=与，二切线方程为X-V3 y+2=a答案：D12若过两点人1,0)用0,2)的直线/与圆(%-1)2+()，-赤=1相切,则a=.答案：4 7 513,如果直线/将圆x2+y2-2 一4)，=0平分，且不通过第四象限，那么I的斜率取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 答案：0,214方程(x+y-1)7 2+/-4=0的曲线形状是.答案:圆或二射线15过圆*2+丫2=/上一 点P(3,1)的切线方程为.答
15、案：3x+y=r216两圆x2+y2=16及(x-4)2+(y+3)2=R(R 0)在交点处的切线互相垂直，则R=答案：317.由 点P(6,8)作 圆x2+y2=9的切线，则 切 线 长 等 于(质)，两切点所在的直线方程是(6x+8y9=0),说明求切线的方法.18.经过圆(x a+(y-b)2 K 2上一点(xo,yO)的圆的切线方程是(XQ a)(x a)+(y0 b)(y b)=r2)说明：当圆的方程为 x2+y2=*(即 a=b=O)时，过圆上一点P(x(),yo)的圆的切线方程为XoX+yoy=r2,应记住这个公式.19.P(3,0)为 圆C:x2+y2 8x 2y+12=0内一
16、点，过P点的最短弦所在的直线方程是(x+y 3=0).用勾股定理推导出所求直线垂直于CP(提问是哪条直线即可，然后立即给出答案).20.已知圆的方程是仅一1产+丫2=1,过 原 点0作圆的弦，则 弦 的 中 点M的轨迹方程是(X 1/2)2+y2=lA(x M).提示：设已知圆的圆心是P,则M的轨迹是以OP为直径的圆去掉0,2 1.若圆(x3产+(丫+5产=产上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则半径r的取值范围是(4r6).提示：圆心P(3,5)到直线4x3y=2的距离等于5,山|5r|l得4r6,2 2.圆x2+y2+2x+4y3=0上到直线4x3y=2的距离为V 2的点公有
17、一个(3)提示：圆的半径为2 V 2，计算圆心(一1,一2)到直线x+y+l=0的距离为d=V 2，即可作出判断.2 3.曲线男=1 +5/4-彳2(2 4工4 2)与直线y=k(x-2)+4有两个交点,则实数k的取值范围是.答 案:24圆心在直线2 x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4)、B(0,-2),则圆C的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.解析：圆C与y轴交于4(0,-4),8(0,2),.由垂径定理得圆心在尸一3这条直线上.又已知圆心在直线2xy7=0上，.联立产一3,2xy7=0,解得产2,圆 心 为(2,-3),r=lAC=722+-3-(-4)2
18、=5.所求圆C的方程为(x-2)2+(j+3)2=5,答案：(x-2)2+()，+3)2=525.若直线产x+k与 曲 线 后 泡-少 恰 有 一 个 公 共 点,则k的取值范围是_.答案：一 1 kW 1或 忆=一26 个圆的圆心在直线x-y-l=0上,与直线4x+3y+14=0相切，在3x+4y+10=0上截得弦长为6,求圆的方程.解:由圆心在直线x y l=0上，可设圆心为(a,a-l)，半径为r,由题意可得|4a+3(a-l)+14|-Y产=9 +53a+4(6(-l)+10Y、5，经计算得a=2,r=5.所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=2527,已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线L,使以L被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点?若存在，写出直线的方程;若不存在，说明理山.解:设直线L的斜率为1 ,且L的方程为y=x+b,则y-x+b、,消元得方程2 x2+(2b+2)x+b2+4b-4=0,设此方程两根为aX2,x2+/-2 x +4y-4=0 则 Xi+x2=(b+1),yi+y2=Xi+X2+2b=b-l,则 A B 中点为(一彳1,*!,又弦长为=2(-尸 68+9),由 题 意 可 列 式，也(/6,+叫 一2b+b-F +亍解 得b=l或b=-9,经检验b=-9不合题意.所以所求直线方程为y=x+l.7