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1、2 0 0 9 年普通高等学校招生全国统一考试（广东A 卷）数 学（文科）本试卷共4 页，21小题，满 分 150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2 B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔将答题卡上对应题目悬想的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.费选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡个项目指定区域内相应位置上；如需改动，先花掉原来的答
2、案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，在作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式旷=5，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。3一、选择题：本大题共10小题，每小题5 分，满 分 50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U=R,则正确表示集合M=-1,0,1 和 2%，+1=。关系的韦恩（Venn）图是A.n=2 B.n=3 C.n=4 D.n=53.已知平面向量a=(x,1),
3、b=(x,x2)，则向量a+bA.平行于x 轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线4.若函数y=/(x)是函数y=a(a X),且a。1)的反函数，且/(2)=1,则/(x)=A.log 2x B.J C.log x D.2*一,2、55.已知等比数列 凡 的公比为正数，且4 为=2 d，a=l,贝必尸1 V2 后A.B.-C.72 D.22 26.给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面
4、内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。其中，为真命题的是A.和 B.和 C.和 D.和7.已知A 4 B C中，Z A NR N C的对边分别为a,b,c 若a=c=#+且Z A=75,51ijb=A.2 B.4+2-73 C.42 g D.R-V28.函 数f(x)=(x 3)e的单调递增区间是A.(-oo,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+oo)A.最小正周期为万的奇函数7TC.最小正周期为一的奇函数21 0.广州2010年亚运会火炬传递在A,B,C,B.最小正周期为乃的偶函数7TD.最小正周期为一的偶函数2D,E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离(单位：百公里)见
5、右表。若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是ABCDEA05456B50762C47098.6D56905E628.650A.20.6 B.21 C.22 D.23二、填空题：本大题共5 小题，考生作答4 小题，每小题5 分，满分20分。（一）必做题题）1 1.某篮球队6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示:图 1 是统计该6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的S=O（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“一”或“：=”）1 2.某单位200名职工的年龄分布情况如图2,现要从中抽取4 0 名职工作
6、样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1200编号，并按编号顺序平均分为40组（15号，610号，196200号）。若第5 组抽出的号码为2 2,则第8 组 抽 出 的 号 码 应 是。若用分层抽样方法，则 4 0 岁以下年龄段应抽取 人。1 3 .以点（2,1）为圆心且与直线x+y =6 相切的圆的方程是 o（二）选 做 题（1 4、1 5 题，考生只能从中选作一题）1 4 .（坐标系与参数方程选做题）若直线i y=2+3 r.C 为参数）与 直 线 4 x +=l 垂直,则常数%=o1 5 .（凡何证明选讲选做题）如图3,点 A,B,C是圆。上的点，且 A 3 =4,Z A C B =30,
7、则圆0的面积等于。0C图3三、解答题：本大题共6小题，满分8 0 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。1 6 .（本小题满分1 2 分）已知向量a=（s i n。，-2）与g（l,c o s 6）互相垂直，其中。=（0 弓.（1）求 s i n。和c o s。的值；（2）若5 c o s（。一）=3j5cos0,0V，求c o s。的值。1 7.（本小题满分13分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4 所示。墩的上半部分是正四棱锥P-E F G H ,下半部分是长方体A B C O E F G H。图 5、图 6 分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。（1）请画出该安全标识墩的侧（
8、左）视图;（2）求该安全标识墩的体积；（3）证明：直线5 0,平面P EG.1 8.（本小题满分13分）随机抽取某中学甲、乙两班各1 0 名同学，测量他们的身高（单位：c m）,获得身高数据的茎叶图如图7。甲班乙班2 188 150 3 6 8 92 5 89图7（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这1 0 名同学中随机抽取两名身高不低于1 7 3 cm 的同学，求身高为1 7 6 cm的同学被抽中的概率。1 9.(本小题满分1 4 分)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离 心 率 为 且，两个焦点分别为尸和2后，椭圆G上一点到6和 6
9、的距离之和为1 2。圆Ck：x2+y2+2 k y-4 y-2 1-0(A r G R)的圆心为点人。(1)求椭圆G的方程；(2)求A 4耳鸟面积;(3)问是否存在圆C&包围椭圆G?请说明理由。2 0.(本小题满分1 4 分)已知点(1,；)是函数/(%)=a a 0,且a H1)的图像上一点。等比数列 4 的前n 项和为 c。数 列 也 电 0 的 首 项 为 c,且前n项 和sn满 足S -S T=a +S 7（G2）(1)求数列/和 也 的通项公式;(2)若数列1 5 1的前”项和为北，问满足7；竺”的最小正整数是多少？1M+J 2 0 0 92 1.(本小题满分1 4分)己知二次函数
10、=g(x)的导函数的图像与直线y =2 x平行，且y =g(x)在=一1处取得极小值加1(加工0)。设函数/(x)=g鱼。X(1)若曲线y =/(x)上的点p到点。(0,2)的距离的最小值为0,求 机 的值；(2)%(攵e R)如何取值时，函数y =/(x)日存在零点，并求出零点。2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)参考答案一、选择题1-10 BCCAB DADAB1、【解析】由 N=x|x?+x=0 -1,0 得 NuM,选 B.2、【解析】因为r=1,故选C.3、【解析】。+力=(0,1 +X 2),由1 +%2工。及向量的性质可知,c正确.4、【解析】函数y =(
11、a 0,且a w D的反函数是/(x)=lo g.x,又/(2)=1,即lo g“2 =1,所以,a=2,故/(x)=1 0 82兀,选A.5、【解析】设公比为夕，由已知得产。/=2(/匕 即/=2,因为等比数列 4 的公比为正数，所以4=J5,故%=生=爰=#，选B6、【解析】错，正确，错，正确.故选D7、【解析】s i n A =s i n7 5 =s i n(30+45)=s i n30 co s 45 +s i n45co s 30 =虫;二由 a=c=C +后 可 知,N C =7 5,所以 Z B =30,s i n8=L2由正弦定理得b 一。皿6 =芈 、1 =2,故选人s i
12、n A V 2+0,解得 x2,故选 D9、【解析】因为丁 =2 852(%一?)一1=C D B E,A D B C E A -D C B E,其中，路线Af Cf 5 9 O f E 的距离最短，最短路线距离等于4+9+6 +2 =2 1,故选B.二、填空题1 1、【答案】7+1）2 =1 4、【答案】-6【解析】将 4x=l-2 t 化为普通方程为y =3=x +7 7，斜率K=一3=y=2 +3t 2 2 2当上H()时，直线4 x+ky=l的斜率k23 7当左=0时，直线y =-x+与直线4x =l不垂直.2 2综上可知,k=-6.1 5、【答案】1 6 万【解析】连结A OQB,因
13、 为N A C B=30 ,所以N A Q B =6 0 ,A A O B为等边三角形，故圆0的半径/*=0 4 =A B=4,圆 O 的面积 S=7rr=1 6 乃.三、解答题1 6、【解析】（1 ）Q，；.=s i n。-2 co s 6 =0,即s i ne =2 co s d又sin?6+cos8=1,4cos2 8+cos?0=1,即cos?=g,；.sin?6=g又 8 (0,)/.sin 0=,cos 0=2 5 5(2)V 5cos(-(p)=5(cos0 c o s+sin sincp)=V cos0+2石sin。=3/5 cos0.*.cos=sine,cos2=sin2=
14、1 cos2(p，即cos2e=又 0 e/32 2所求椭圆G 的方程为：+-=1.36 9(2)点 4的坐标为(-K,2)Sv&g=g x 6 x2=g x 6 百 *2=6 有(3)若上 2 0,由 62+02+12 左 一 0 21=5+12A:f 0 可 知 点(6,0)在圆 G 外，若左 0,苗()，.四 一 历=1；数列 底 构成一个首相为1公差为1的等差数列，S =l +(T)x l =，S“=2当 2 2,2=S“_S“T =2 _(-1)一 =2 _；,也=2n-l(neN*)；/、T 111rl 1 1 1 1(2 )T=-4-1-+L +-F-+-F K H-；-rhyh
15、2 b2b3 b3b&2”+i 1 x 3 3 x 5 5 x 7(2-l)x(2 +l)+K+-2、2九一12 1 2n+l J 2 n+ln 1 0 0 0制 1 0 0 0 、出 口 .l 0 g曰 十号皿且由1=-得几-，满 足(-的最小正整数为1 1 2.”2几+1 2 0 0 9 9”2 0 0 92 1、【解析】(1)设 g(x)=2+法+c,则 g (x)=2 o +；又g (x)的图像与直线y=2 x平行 2a=2 a=lb又g(x)在x =-l取极小值，一=一1 ，b=2g(l)=a b +c =l 2 +c =m 1，c=m；/(力=乳0=*+%+2,设 P(x.y.)X
16、 Xf、2 2 _则忙02=片+(九 2=片+x0+=2 x；+4+2 2 2 7 +2V J X。2 J 2疗 +2 =4m=也;2(2)由 y=/(%)一 丘=(1 一%)k+2 =0,得(I-%)/+21+m=。(*)A77 777当左=1时，方程(*)有一解冗=一5，函数y=/(x)区 有一零点元二 一,；当后H 1 时，方程(*)有二解o A=44 m(1 左)0,若机(),kl 5,函数y=/(%)-有 两 个零点X =-2 正4?(1 一二=,若加 (),2(1-4)k-1k -,函数 y=/(另 一 区 有两个零点 X=一2 J 4-4，M 1-Q=7MIT)；m 八/x 2 0 _z)1当时，方 程(*)有一解=A=4 4 n(卜 攵)=(,%=1 一，函数=/(一 上有一零点X =K I