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1、2018.2022高考真题导数与函数解答题全集(学生版解析版)解 答 题(共 S 4 小题)I.(2 0 2 2 天津)已知 ，/6 R,函数/(K)=e -situ、g (.r)=b V x.(1)求函数y=f(.r)在(0,f(0)处的切线方程；(2)若.y=.f (A)和),=8 (.V)有公共点.(i )当”=0时,求 的取值范围；(i i )求证；a2+b2e.2.(2 0 2 2 上海)f(.r)=l og s(+x)+l og j (6-x).(I)若将函数/(x)图像向下移?(/0)后，图像经过(3,0),(5.0),求实数“，的值.(2)若 -3 且。工0,求解不等式J(.r
2、)W (6-N).3.(2 0 2 2 浙江)设函数，()=言+加).(I )求/(&)的单调区间：(I I )已 知“，f tGR.曲线),=/(K)上不同的三点(A-l f(XI)(X2./(,V2).(X3,f(-V3)处的切线都经过点(,/).证明：i a(i )若 ae9 则 0 V-/(a)5 (-I)：乙e.2 e-a 112 e-a(i i )若 O V a V c,川 Vx2.n，则 一 +r /(5)H/(Z).6.(2 0 2 2 甲卷)已知函数/(工)=y -hi x+x-a.(1)若/(.i)20,求的取值范围:(2)证 明:若/(N)有两个零点N 1，N 2,则XL
3、 V2 Vl.7.(2 0 2 2乙卷)已知函数/(.I)(+1)I n x.(I)当“=0时，求/“)的最大值；(2)若/(.恰有一个零点，求”的取值范围.8.(2 0 2 2新高考I )已知函数/(、)=eK-ax g(.v)=ax-加x有相同的最小值.(1)求 a：(2)证明：存在直线)=其与两条曲线.v=/(x)和.v=g (x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.9.(2 0 2 2新高考H)已知函数/(.t)(1)当=1时，讨论/(K)的单调性；(2)当x 0时，f(.v)证明：/+/:+二 ln(+1).Vl2+1 V2z+2 Vn2+n1 0.(2 0
4、 2 1 全国)已知函数/(x)=A2-6.V+4/U+/H.(I)求/(x)的单调区间：(2)当 花(1,+8)时，/“)0,求1的取值范围.1】.(2 0 2 1 新高考I I )已知函数/(x)=(x-1)/-(1)讨论/(x)的单调性：(I I )从下面两个条件中选一个，证明：f(.V)恰有一个零点.a2a 0 1,b W 2a.1 2.(2 0 2 1 北京)已知函数/(x)=|=.(I )若a=0,求曲线.y=/(x)在 点(1,/(1)处的切线方程：(H)若/(A)在K=-I处取得极值，求/(.0,函数/(.V)-ax-xex.(1)求曲线f ”)在 点(0,/()处的切线方程：
5、(2)证明函数/(x)存在唯一的极值点：(3)若3”,使得了(.)W a+/对任意的.tC R恒成立，求实数的取值范围.1 4.(2 0 2 1浙 江)设”，。为实数，Fl l,函数/(#=a-b x+e1(A R).(I )求函数/(x)的单调区间：(II)若对任意 2 e 2,函数f(X)有两个不同的零点，求“的取值范想；(III)当 =。时，证明：对任 意函数/(、)有两个不同的零点.V I,K 2,满 足 足(注：0=2.7 1 8 2 8 -是自然对数的底数1 5.(2 0 2 1甲卷)设函数/(X)=2.r+m-3/.v+1,其中“0.(1)讨论/(.v)的单调性：(2)y=f (
6、A)的图像与.v轴没有公共点，求 的取值范围.1 6.(2 0 2 1乙卷)已知函数/(x)=ln (a-x),已知x=0是函数(x)的极值点.(1)求 a；(2)设函数g (A)=浇 等.证 明：S(X),证明：2 V+Ve.Q b1 8 .(2 0 2?乙卷)已知函数f (A)=-A a r+1.(1)讨论/(.v)的单调性；(2)求曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=J(x)的公共点的坐标.1 9.(2 0 2卜甲卷)已知”0且“H I,函 数/()=奈(.v 0).(1)当=2时，求/”)的单调区间；(2)若曲线y=f(K)与直线)，=1有且仅有两个交点，求的取值范围.2 0 .
7、(2 0 2 0 新课械)已知函数/(K)=/-a(.v+2).(1)当“=1时，讨论f (A)的单调性：(2)若/(.r)有两个零点，求”的取值范围.2 1.(2 0 2 0 天津)已知函数/(#=?+*/(A e R),f(.v)为八x)的导函数.(I )当 A=6 时，(i )求曲线)，=/(x)在 点(1,/(D)处的切线方程；(i i )求函数g (A)=J(x)-f(.v)+的单调区间和极值；(II)当 k，-3 时，求证：对任意的xi，X2 日】，+8),且 x x2,有:r(xi)-r(x2)xi-x2 2 2.(2 0 2 0 北京)已知函数/(.*)=1 2-A2.(I )
8、求曲线)=/(x)的斜率等于-2的切线方程：(I I )设曲线y=/(x)在点/(，)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S (/),求 S (/)的最小值.2 3.(2 0 2 0 浙 江)已 知 1 W 2,函数/(x)=/-，其中e=2.7 1 8 2 8 为自然对数的底数.(I )证明：函数y=/(.t)在(0.+8)上有唯一零点;(H)记 m为函数 =/)在(0,+8)上的零点，证明：(i )x-a 1 A O+ln a.()当”=e时，求曲线)=/(x)在 点(1,/(1)处的切线与两坐标轴围成的三用形的面积；(2)若/G)21,求“的取值范围.2 5.(2 0 2 0 江苏)已知
9、关于 K 的函数.v=/(x),y=g (A)与 1(A)=kx+b (k,/?e R)在区间。上恒有F(K)/:(.v)(A).(1)若/(x)=/+2 v,g(.v)=-.r+l v,D=(-8,+8),求 h(v)的表达式；(2)若/(x)x2-,v+1,g(x)kb i K,h(A)=kx-k,D=(0.+),求 k 的取值范围；(3)若 f(x)=.v4-2?,g(A)=4.F .8,/,(,v)=4(?-t)x-3/4+2 r (0|/|V 2),D=m,/;c -V 2,V 2 ,j R i i E：n -m 己知点8到 0 0 的距离为4 0米.(1)求桥A8 的长度：(2)计
10、划在谷底两侧建造平行于OO 的桥墩C D和E F,且C E为 80米，其中C,E在A8 上(不包括端点).桥墩E F每米造价人(万元)，桥 墩。每米造价%(万 元)&0),问。E为多少米时，桥墩8与 尸的总造价最低？2 7.(2 02 0新课标H I)设函数/(工)=F+b r+c,曲线.、，=/(外 在 点，/(1)处的切线与)轴垂直.(I)求：(2)若/()有一个绝对值不大于1 的零点，证明：/(A)所有零点的绝对值都不大于2 8.(2 02 0新课标 1 1 )已知函数/(.V)=s i n2xs i n 2.v.(1)讨论/(工)在区间()，n)的单调性；(2)证明：I f ).挈;Q
11、H(3)设G N*,证 明:s i n2 s i n22 v s i n24.v*s i n22/?.r(),讨论函数8(x)=八?二/的单调性.3().(2 02 0新课标)已知函数/(K)=+a/-x.(1)当”=1时，讨论/(工)的单调性：(2)当.R 0 时，/(x)k+1,求a的取值范围.3 1.(2 02 0新课标川)己知函数/(工)=1-心(1)讨论/(x)的单调性；(2)若/”)有三个零点，求*的取值范围.3 2.(2 01 9全国)已知函数f(x)=V x(A2-.v).(1)当 a=1 时，求/(A)的单调区间；(2)若/(.r)在区间 0,2 1 的最小值为生 求 43
12、3.(2 01 9新课标川)已知函数/(x)=2?-a+b.(1)讨论/(x)的单调性；(2)是否存在,b,使得/(.V)在区间 0,I 的最小值为-1 且最大值为I?若存在，求出小力的所有值；若不存在，说明理由.3 4.(2 01 9新课标川)已知函数.f(.r)=2?-“.P g(I)讨论,f(x)的单调性；(2)当 0 “J T T x,x0.(I )当=-*时，求函数/(x)的单调区间；(1 1 )对 任 意 闫*，+8)均有/(X)畸,求”的取值范围.注：e=2.71 82 8为自然对数的底数.3 6.(2 01 9新课标H)已知函数/C)=(A-I)I n x-x-1.i i E
13、W：(I)f(.v)存在唯一的极值点；(2)./(.V)=0 有且仅有两个实根，旦两个实根互为倒数.3 7.(2 01 9江苏)设函数/(x)=(A-a)(.v -/?)(x-c).a,b,c e R.f(A)为/(.r)的导函数.(I)若 a=c,f(4)=8,求 4的值：(2)若b=c,且/(x)和/(x)的零点均在集合-3,1,3 中,求/)的极小值；(3)若 a=0,9b l,c=l,F L/(A)的极大值为 M,求证：M 3 8.(2 0 1 9 天津)设函数/()=ln x-a(.v-)/,其中“WR.(I )若“W O,讨论了(A 的单调性:(n)若 o M)，证明：3.V 0
14、-.r i 2.3 9.(2 0 1 9 天津)设函数/(K)=/c o&v.g (A)为f (x)的导函数.(I )求/(.t)的单调区间：兀 兀 ，一 c 7 T(I I )当日一,一时,证明/(A+g(A)(-A)2 0；4 2 2(1 1 1)设立为函数(x)=f(x)-1 在区间(2 m r+$2 口+会内的零点，其中 WN,p-2nn证明：2m+5-X”-.2 s i n x0-c os x04 0.(2 0 1 9 北京)已知函数/(x)(I )求曲线y=/(.t)的斜率为1 的切线方程：(H)当 xG-2 4 时，求证：工-6W/(A)W.i；(1 1 1)设/(A)=/(A)
15、-(工+)|(WR),记 尸(A)在区间-2,4 上的最大值为M().当 M (a)地小时，求 a的值.4 1.(2 0 1 9 新课标 I )已知函数/(工)=2 s i n.v-.V COS A-.v,f*(.v)为/(工)的导数.(1)证明：/(,V)在 区 间(0,7T)存在唯一零点；(2)若工日0,i r j l b f/(.v)ax9求a的取值范围-y 4 14 2.(2 0 1 9 新课标 I I )已知函数/(X)=l u x-y.(1)讨论/(A)的单调性，并证明/(.2 有且仅有两个零点；(2)设 M)是/(.r)的一个零点，证明曲线y=/.r 在点A (.t o./H.V
16、 O)处的切线也是曲线.尸/的切线.4 3.(2 0 1 9 新课标 I )已知函数/(.r)=s i a v-I n(l+.r),f(.v)为 f(x)的导数.证明：7 1(1 )/6)在 区 间(-1,3)存在唯一极大值点：(2)/(x)有且仅有2个零点.4 4.(2 0 1 8北京)设函数/(x)(4 +l)x+4 a+3 /.(I )若曲线)，=/(x)在 点(1,/(I)处的切线与A轴平行，求 G(I I )若/(A在 x=2 处取得极小值，求 的取值范闱.4 5.(2 0 1 8北京)设函数/(、)=ar -(3 +1).v+3 +2 k.(1 )若曲线.y=/(.r)在 点(2,
17、f(2)处的切线斜率为0,求“：(1 1 )若f(x)在 X=1处取得极小值，求的取值范围.4 6.(2()1 8新课标川)己知函数/(.v)=(2+.v+a v2)4 (l+.v)-2x.(1)若”=0,证明：当-l x 0 时，f(.v)0 时，f(.v)0：(2)若 x=0 是/(x)的极大值点，求4 7.(2 0 1 8新课标 I )已知函数/(、)=(-I n x-I.(I)设 x=2 是/(x)的极值点，求“，并求/*)的单调区间：(2)证明：当“2甘，/(.v)N 0.4 8.(2 0 1 8新课标川)已知函数/(x)=应 萨 二 L(1)求曲线y=/(x)在 点(0,-I)处的
18、切线方程：(2)证明：当 时,f(.v)+e2 0.4 9.(2 0 1 8新课标 I I )已知函数/(x)=/-a v2.(I)若”=1,证明：当x 2 0 时，/(x)1：(2)若/(.r)在(0,+8)只有一个零点，求“.5().(2 0 1 8浙江)已知函数/(x)=V x-lux.(1 )若/(x)在 x=.,X 2(K|*X 2)处导数相等，证明：f(.r i)+/(.V 2)8 -8/i 2：(I l )若“W 3-4 加 2,证明：对于任意&0,直线-尸心+a与曲线=/”)有唯一公共心.51.(2 0 1 8天津)已知函数/(、)=、g(.r)=l og4/X,其中”1.(1
19、)求函数A (.t)=f(X)-x/柳 的单调区间；(I I )若曲线.y=/Q)在 点(.r i,/(.vi)处的切线与仙线.尸g(.r)在 点(.V 2.K(M)处的切线平行，证明：xi+g(A 2)=一 笔 券；(III)证 明 当 心 盛时，存在直线/,使/是仙线)=/(冷 的切线，也是仙线.尸g(X)的切线.52.(2()1 8江苏)记，(.v),/(A)分别为函数/(.V),g(,v)的导函数.若存在.m R,满足/(.s)=g(xo)且/(.vo)=g (.)则称 M 为函数/(.r)与 g(.v)的一个 S点”.(I)证明：函数/(.r)=)与&(A)=.&2.L2不 存 在
20、点”：(2)若函数/(x)=av2-1与g(A)=ln x存 在“S点”，求实数a也值：(3)已知函数/(x)=-+，g(.v)=竽.对 任 意 0,判断是否存在b 0,使函数f (Q与8(.V)在 区 间(0,+8)内存在“5点”，并说明理由.53.(2018新型标 I I )已知函数/(A)=#-a(A2+X+|).(I)若=3,求/(x)的单调区间：(2)证明：/(.V)只有一个零点.54.(2018新课标1 )已知函数/(x)=1-x+ab i x.(I)讨论/(x)的单调性；(2)若/(x)存在两个极值点”，X2,证明：G 2.2018.2022高考真题导数与函数解答题全集(学生版解
21、析版)考答窠与 而一.解答题(共54小题)1.(2022天津)已知 ，b 6 R,函数/(.i)=asinx，g(x)=byfx.(1)求函数在(0,/(0)处的切线方程：(2)若y=f(K)和 v=x(.V)有公共点.(i)当a=0 时，求的取值范围：(ii)求证：(rh2e.【解答】解：(1)*/(x)=-asinx.C.f(.v)=-acosx,：.f(0)=1,/(0)=1-a,.函数)=/)在(0,1)处的切线方程为丫=(1-a)x+1：(2)(i),.z=0,.f(A)=，又 V=/(K)和 y=/(A)有公共点，方程f(K)=g(A)有解，即Cx=b 6 有解，显然KHO,.,。
22、=%在(0,+8)上有解，设 (.v)=忘(A 0),:.h(x)=：1),2x4x.，当.隹(0,1)时，N(,v)0,：.h(.v)在(0,j)上单调递减，在(*+8)上单调递增，=h(1)=且当,L()时，h(.v)-+8；当工一+8 时，h(,v)一+8,:,h(,v)ex/2e,+8),二 ”的范围为+8)：(ii)证明：令交点的横坐标为M b 则e”。=asinxQ+,由柯西不等式可得/x。=asinxQ+b j焉)？.；,sino+xo又易证。0 时，.tsinx,/v,/x+l,.e2 xo、ex(r(xo+l)9 9si n2x0+x0 si n2X Q x()Xo+xo故
23、J+2g.2.(2022上海)f(.v)=log 3(+.r)+Iog 3(6-.r).(1)若将函数f(.r)图像向下移？(，0)后，图像经过(3,0),(5,0),求实数小HI的值.(2)若 -3 且求解不等式&f (6-x).【解答】解：(1)因为函数/(工)=log 3(d+x)+)0g 3(6-A),将函数/(工)图像向下移7(w 0)后，得y=/(.r)-m=10g 3(+x)+Iog 3(6-x)-，的图像，由函数图像经过点(3,0)和(5,0),所以3必(3+Q)+1-m=0，。03(5+Q)+0 m=0解得a=-2,?=1.(2)a -3.11 时，不等式/(.i)(6 7)
24、可化为 log s(+.r)+Jog s(6-x)Wlog 3+Iog 3.v,f a+x 06 T X)等价于|a+6-x 0 ，x0、(Q+x)(6-x)-ax 6解得 x 0-3)0当 3VaV0 时,0 V-V 3,3 +6 0 时，-aVO,+6 6,解不等式得3W-V6：综上知，-3 V“V 0 时，不等式f(.r)W/(6-x)的解集是(-小 3,0 时，不等式/(.r)W/(6-x)的解集是3,6).3.(2022浙江)设函数/(.v)=+加 00).(I)求/(X)的单调区间：(II)已知 at OCR,曲线 y=f(x)上不同的三点 Cxi f(xi)(.V2,f(.n)(
25、.V3,f(.V3)处的切线都经过点(小b).证明：(i)若，则 0V -/()V 2(|)：乙e,2 QQ.112 eQ.(ii)若 0V Ve,.vi A*2-V3,则 一 +7 0),()=一 总+=00)，由r(x)=叁 受 0,得工 号,；/(.1)在 4 十)上单调递增；由 广(幻=与 券 0,得 O V.V，J C)在(0,1)上单调递减.(II)(/)证明：:过(，b)有三条不同的切线，设切点分别为(.VI,/(.Vl)(X 2,/(.V2)(V3，/(.V3),：.f (AV)-b=/(xr)(.Xi-a)t(/=L 2,3),工方程/(x)-b=f(.v)J-a)有 3个不
26、同的根，该方程整理为(-r)(A,-6/)Inx+b=0,x 2x2 2x1 e P设身(.v)=(T)(A-a)5-lnx+bt则/=-券+(T+*)a-a)+点=-(K-e)(.“)，当 0 xV e 或 时，g(.v)0.：.g(A)在(0,e).(a,+8)上为减函数，在(e,a)上为增函数，；g C v)有 3 个不同的零点，：.g(0,1 e z _ 1&祝:.-)(e-a)5-加 e+0,e 2e2 2e a 2a2 2a整理得到b.+1且b 券+Ina=/(),此 时,b V 言+券+ma=/(a),此时，b-/(a)1)V 盘+1-喘 +)a)-券 一 l n a+b 0，整
27、理得b 券+9 a =f(a),此时.-1)V 盘+1-(元+伍。)令+*=5 一言一设 U ()为(e,+8)上的减函数，/.p()弓 会 me=o,-0 (.v)在(0,).(e,+8)上为减函数，在(“，e)上为增函数,不妨设 Ai V m V.b，则 0 V*V Vx2 Va V.i3,飞(A)有 3 个不同的零点，g(a)0,(-.-r)(e-a)/ne+b 0,且(-r)()一 Ina+b V。,e 2e2 2e a 2a2 2 晨整理得&+1 Vb +Ina,2e 2eVAI Vx2V.i3,.*.0.vi VaV.12VcV.r3,/.a+e,ea.,8(A)1+-/nx+b，
28、设，=*,-=in 6(0 1)则方程】-/nx+b=。即为:e+盘 F +仇 亡 +力=o,即 为-(/+1)，+夕 G+，nt+b=0,记 =*，=*，4=*xl x2 x3则。，F2，4 为-(/+1)，+竿22+仇 t+b=0有三个不同的根,设上圻算巧X 7 c要证:2 e-a 112 e-a一 +一+0,k-1 72记中(k)=螺逑,k l,则 s(k)一 /一 2/泌)0,.q(8 在(1,+8)为增函数,.-.+-+k-1 72 m-1 72设 3 (，)=/，+空吗揣如2();(-1)2 心3)Q72 nl(+1)2 72?n(?n+l)2.3(i)在(0,I)上是增函数，；.
29、3 (/)3 (I)=0.加”】+(j7i-l)(?n-13)(?i2-7J+12)72(771+1)1),(m+l)nm+(m-13)(m2-7n+12)即m-1X),7212 3 C L 1 1右.1 Vx2V.i3，则一+0.解得一寺CV 0或 x l,令 (X)0,解得则A 变化时，If(.V),(X)的变化情况如下表：则 11(X)的值域为-I,+).故”的取值范囹为I-1,+).V(一 8,一5)1。)0(0,I)1(1,+8)”(A)-0+0-0+h(A)单调递减527单调递增14单调递减-1单调递增5.(2022北京)已知函数/(x)=eKln(I+A).()求曲线y=/(x)
30、在 点(0,/()处的切线方程：(II)设g (A)=/(.V),讨论函数g (.v)在10,+8)上的单调性；(III)证明：对任意的.，e(0,+8),有/(,v)+/(/).【解答】解：(1 )对函数求导可得：广(x)=”内(x+D+,将 r=0 代入原函数可得/(0)=0,将 K=。代入导函数可得：/(0)=1,故在x=0 处切线斜率为I,故.y-0=1 (.v-0),化简得：.y=A:(II)解 法 一:由(I)有：g (.V)=/(x)=e/n G +1)+系 ,7 1.9/W =ex/n(r+1)+-j.人丁工(x+1)令(x)=，n(x+1)+4 T-令,vH=A(A-1),x
31、+1(x+1)2设僧(上)=+房 一+，m (k)=14 0 恒成立,故h(A)在|0,+)单调递增，又因为 (0)=L故人(A)()在0,+8)恒成立，故/(%)0,故月(A)在|(),+8)单调递增；解法二：由(I)有：g (.v)=f,(x)=exln(x+1)+J,g (x)=exln(x+1)+-.(x+1)设，(x)=/,(x)=ln(.v+1)+y，则 g(X)=，(.)/(.v),由指数函数的性质得，(.v)=上(0,+8)上是增函数，且，(%)=0,n(x)=当.ve(0,+3)时，C,v)0,Q)单调递x+1(x+1)(x+1)增,且当(0,+8)时，n(,v)=/(x+l
32、)+SY，：.g(.v)在 0,+8)单.调递增.(I I I)证明：由(I I)有 g (.v)在 0,+8)单调递增，义,g (0)=|,故,g (.v)0 在 0,+8)恒成立，故/()在 0,+8)单调递增，设 田(.V)=/(A+Z)-/(.V),H?(.V)=/(A+Z)-/(,v)由(【)有,g (.V)在 0,+8)单调递增，乂因为X+/X,所以，(.v+r)f (.v),故 卬(.V)单调递增，乂因为s 0,故 w(s)H-(0),即：/(.S+，)-/(5)/(r)-/(0),乂因为函数/(0)=0.故于(s+t)f(5)得证.6.(2022甲卷)已知函数f(A)=y -l
33、iix+x-a.(I)若/(x)2 0,求 a 的取值范围：(2)证明：若f(x)有两个零点x i,右,则.m V L【解答】解：(l),/(.v)的定义域为(0,+8),广 =峭(；”_3+=Wg x f,令，(.v)0,解得r l,故函数/(.v)在(0,I)单调递减，(I,+8)单调递增,故/6)”耐=/(1)=e+l-a,要使得/(X)2恒成立，仅需e+1-G O,故 aWs+1,故 a 的取值范围是(-8,e+1：(2)证明：由已知有函数/，)要有两个零点，故/(I)=+|a V 0,即加+1,不妨设()V.V|V1V工 2，要证明W.V2V,即证明 J，义 1VOA11,巧即证明：
34、又因为/G)在(1,+8)单调递增，X1即证明：小)吗 pa】)吗)，构造函数4(x)=f(x)-f(g),(X.r I,(X)=广(x)+妥/C)=50工1),构造函数，(.v)=ex+x xex 1,(x)=ex+1-e x(l-i),因为 0 x l,所以 1 0 在(0,1)恒成立，故(x)在(0,I)单调递增,故 (A)0 在(0,I)恒成立，故(.v)在(0,1)单调递增,乂因为 (1)=(),故。(A)0),则f(x)=a 一1=2，易知函数/(K)在(0,1)上单调递增，在(I,+8)上单调递减，.V .r)在 K=1处取得极大值，同时也是最大使.函 数/(.V)的最大值为/(
35、1)=-I：(2).=a+斗-四=2-咛Dx+1=(x-D(产-1),当a=0 时,由(1)可知，函数/(A)无零点：当“V 0 时.，易知函数/(K)在(0,I)I二单调递增，在(I.+8)上单调递减，又/(I)=-1 0,故此时函数/(A)无零点：当 0“1 时，易知函数/(.V)在(0,1),弓，+8)上单调递增，在(1,$单调递减,R/(I)=-K 0,尼)=1-a +(a+l)lna 1,B|Un-1-xt 则/Injx V x,则历 x I 时，f(x)=ax-J-(a+l)lnxax-2(a+1)-y/xax-(2a+3)4,故 存 在 瓶=4+2)2 1 使得/(，)0,.此时
36、/J)在(0,+8)上存在唯一零点：当”=1 时，/3)=怨2 0,函数/(K)在 1 时，易知函数f(.r)在(0,；),(1,+8)上单调递增，在。，1)上单调递减,且/=a-1 0,又 由(I)可得，当 OV.yV 1 时，7ix1 则则此时f(x)=ax -A-2(a+1)(1 -强)-j 笈),故存在几=J -,使得/()0,4(a+l)”。故函数/(.i)在(0,+8)上存在唯一零点：综上，实数”的取值范围为(0,+8).8.(2 0 2 2新高考I )已知函数/(r)=/-4.r和g (.v)=at -，/忧有相同的最小值.(I)求“：(2)证明：存在直线)，=从 其 与 两 条
37、 曲 线y=/(x)和k g (.v)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【解答】解：(1)f (.v)定义域为R,.f 0,/(x)无最小值，故”0,当/(A)=0 时，当 g (x)=。时，x=；,当KV/M时，/(A)/”a时，/(A)0,函数/(x)在(/”“，+8)上单调递增，故f (x)m i n /(Ina)=-alna,f!(-r)的定义域为(0,+8).v)=av-Ins,(x)=-p令 8,(x)=0,解得.口 i当0.i”时，？x)0,函数f!(A)在(二，+8)上单调递增，aC L故 g (A)而1=1+/”,函数f (x)=-心 和8 (.v
38、)=at -加x有相同的坡小值,a-alna=1+/a,：.&-aln a=1+hi a 化为 I n a-a-4r-1r=0,令人(,v)=/u-A 0,则 h(.v)=-*+1-与1)=-J=力x a+i)，x(x+i)z x(x+i)zVA 0,.I(,v)=“+、0恒成立,x(x+i yh(A)在(0.+8)上单调递增，又.：h(1 )=0,:,h()=h(1)i仅有此一解，：.a=.(2)证明：由(I)知 =I,函数/(工)=ex-,v在(-8,.)上单调递减，在()，+8)上单调递增，函数月(A)=A-如 在(0,I)上单调递减，在(I,+8)上单调递增，设(工)=f (x)-g
39、(A)=-2x+ln x(.v0),则“(.v)=-2+1 -2,当.G1 时，(x)N e-2%所以函数(A)在(1,+8)上单调递增，因 为(1)=e-20,所 以 当 时，(A)(I)0恒成立，即/Cr)-g(.V)0在 时 恒 成 立，所以.v21 时,f(.v)g(x),因为/(0)=1,函数/(A)在(0,+8)上单调递增，g(1)=1,函数g(.V)在(0,1)上单调递减，所以函数/()与函数g(x)的图象在()，I)上存在唯一交点，设该交点为(/./(/)此时可作出函数y=/(x)和)=8(.V)的大致图象，由图象知当直线，=/，与两条曲线)=/(.r)和5，=g (A)共有三
40、个不同的交点时，直线 y=必经过点 M/(,)，即=/(/”)，因为/(，)=g (i n),所以 e B P e-2i n+ln i n=0,令/(x)=/(，)得 y-x=e -，=，-/，”,解得.v=；或 x=/i,由 O V V I,得ln m O(.v)=/(，)得,r -ln x=-mm -hun,解得 x=i n i&x=e,由 0 m 1,得 i n I 0时，/(x)/(71+1).V l2+1 V 22+2 x/n2+n【解答】解：(I)当 =I 时，f(.v)=.t/-ex=ex(A-1).f(x)=(x-1)+/=M,.vv o,.当.隹(0,+8)时，尸(x)0,f
41、 (x)单调递增：当.隹(-8,0)时，/(.V)0),V y(A)-1./(x)+l0,(.v)0 上恒成立，乂 屋(x)=/+.卬*-/，令人(.v)=屋(,v).则 力(A)=(ie,lx+(i(ea+.vettV)-/=(2e+axe)-e,：.h(0)=2a-1.当 2(i-l0.即“A()=Hm 叫-小)=Um X),Lx-0+XU x-0+X/.3.w0.使得当.v (0,NO),4sg()0,(.v)X),x所以g(x)单调递增，K(.w)g(0)=0,矛盾；当 2-IW O,BP a i,g(A)=e,txxa/x-e=(l+.v)-ev,若 1+atW O,则 f t 0,
42、则/(,V)=泮+.卬泮-/=加 -V +扛)宙+b -ex=0所以g(.v)在(0,+8)上单调递减，g Cv)W g(0)=0,符合题意.综上所述，实数a的取值范围是(3)由令 x=ln(2)可知，当二,时，f(A)=xex ex 0),(1+i)(”W N*)得，/n(l+i).e2in(1+n)-eln(1+H)ln(1 +-),n.1-7ln 产(-+-1)、vnz+n n v*n,uLk=l-)=ln(-X3:n+1、-X.x-)=2 nI n(/2+1),11即7、+不小三+-+=,(+1)旧71 阮 寇 Jn2+n1().(2 02 1 全国)已知函数/(K)=.r -6 X+
43、4/U+/?.(1)求/(x)的单一调区间；(2)当xe (1,+8)时，f(.v)0,求/的取值范围.【解答】解：(1)已知函数/(X)=6工+4“+，r)l l则iff t(fx)、=2ox+,-4-6 =-2-X-2-6-X-+-4-=-2(.X.-.1.)-(X-2.v)0,、八X X X令，(.r)0,解得：0 W 1 或x2,令f (A)0,解得：1VA0,即 4/2 -8+/n 0.即 m 8 4/i 2 即 的 取 值 范 围 为：(8-4加2,+8).11.(2 02 1 新高考I I)已知函数/(x)=(.V -1)?-?+&.(I)讨论/(x)的单调性：(I I )从下面
44、两个条件中选一个，证明：/(x)恰有一个零点.-1。2一 a2a：2 4b W2 a.【解答】解：(I)：f (A)=(.v-I)/-a+b,f(x)=.v(/-2 ).当“WO 时，当 x0 时，f(.v)0,当 A 0 时，f (A)0时，令/(x)=0,可得A=0或.加(2 ),(/)当00 或x V加(2 )时，f (A)0,当/(2 )VxVO 时，f(.v)B 时，当 x 0,当 0cA /（2）时，f （x）；时，/（X）在（-8,0）和（/（2a）,+）上单调递增：在（0,/（2a）上单调递减.（II）证明：若选，由（I）知，/（.v）在（-8,0）上单.调递增，（0,In（2
45、）单调递减，（1（2a）,+8）1.f （A）单调递增.注意到/(-4)=(一 T)e d v O,/(0)=b-l 2 a-l 0.：-f 2aln(2a)-2a-ahQa+2a=aln(2a)(2-/z?(2a),ill得 0/z(2a)09 /(/(2a)0,当.r0 时，/(x)f Un(2a)0,此时/(.r)无零点.综上：/(工)在 R 上仅有一个零点.1 e2另解：当(3，H,L 有 加(2a)6(0,2,而/()=b-l 2a-1=0,于是(2 a)=(加(2a)-1 2a-abr(2a)+b=ln(2a)(2a-In(2n)+(b-2a)0所以/（3在（0,+8）没有零点，当
46、xVO时，/G （0,1）,于是/（#-/+b=f（-，）0,所以/（X）在（_ 4,0）上存在一个零点，命题得证.若选，则 由（1 ）知：/（K）在（-8,in（2）上单调递增,在（/（2）,0）上单调递减，在（0,+8）上单调递增./(/”(2“)=(彷(2“)-1)2a-ahr 2a+b 2aln(2 a)-2a-aht22a+2a=aln(2 )(2-b i(2 a),：.tn (2a)0,:.ahi(2“)(2 -I n(2 a)0,：.f (I n(2 a)0.当 ACO 时，/A)Q f (I n (2a)()H-t，f(x)单调递增，注意到/()=b-l 2 -1(),取c =
47、、/2(l-b)+2,：b 2aV2 l,又易证 d e+l,/(c)=(c l)ec-ac2+b(c -l)(c +1)-ac2+b =(1-a)c2+b -1|c2+b-1=1匕+l +b -1=10,.,./(v)在(0,4 或&V-1 时，/(A)X),f(.r)递增：当-lx 4 时，/(A)(),函数/)=i x-A/.(I)求曲线/(、)在 点(0,/(0)处的切线方程：(2)证明函数/(X)存在唯一的极值点：(3)若加，使得./)W K 对任意的KC R恒成立，求实数的取值范围.【解答】(1)解：因为/(x)=-(x+1)/,所以/(0)=u-l,而/()=0,所 以 在(0,
48、/()处的切线方程为一丫=(“-I).V ()：(2)证明：令/(A)=(i -(x+1)/=0,贝l j a=(.v+1)/,令g (A)=(A+1)/,则 g (x)=(.v+2)令(x)=0.解得 x=-2,当 在(-8,-2)时,g(A)(),f (,v)单调递增，当.L-8时，g (A)0,所以当“()时，y=与y=g (.v)仅有 一 个 交点，令g (力=,则 m -I.且/(,)=a-g(/)=0,当.v (-8,”?)时，q g (v),f (A)0,f (A)为增函数；当.隹(/,+8)时，4 Vg (.V),f(.v)0,/(.V)为减函数：所以r=，时是/C)的极大值点
49、，故/C )仅有一个极值点；(3)解:由(2)知/(4)“=/(，)，此时“=(1+/)em,-),所以/(x)-(i)i ay=f (m)-C l (J+i)m e,n-m e-(.1+m)e=(/-I -1)e1(m -I),令 h(.v)=(-x-I)ex(x-I).若存在“，使f(.v)W a+b对任意的a WR恒成立，则等价于存在.隹(-I,+8),使得(,v)W 4即 心 力(A)而 l i (A)=(.r+x-2)/=(A-I)(.v+2)e,(,x-I),当xe (-1,I)时，l i(.v)0,h(.v)为单调增函数，所以 I t(.v)=/?(I)=-e,故 b 2-e,所
50、以实数b的取值范围-e,+8).14.(2 02 1 浙江)设，为实数，PL 1,函数/(x)=a-b x+e2(.v6 R).(I)求函数/(、)的单调区间；(I I )若对任意 2/,函数/(A)有两个不同的零点，求”的取值范困；(I I I)当”=e时，证明：对任意)e4,函数/(、)有两个不同的零点X ，*2,满足b ln b e2*+万.(注：e=2.7 18 2 8,是自然对数的底数)【解答】W：(1 )f (A)当 W 0时，由于”1,则故/(.V)0,此时/(.2 在R上单调递增：当0时，令f (.v)0,解得x 轲，令/(A)0时，f(,v)的单调递/一 b b减区间为(一