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1、大学数学公式手册目录第 1 章 高 等 数 学.11.1 函数、极限、连续.11.2 一元函数微分学.51.3 一元函数积分学.131.4 向量代数和空间解析几何.211.5 多元函数微分学.301.6 多元函数积分学.363?1.7 无穷级数.411.8 常微分方程.4849第 2 章 线性代数.53552.1 行列式.53552.2 矩阵.54562.3 向量.57592.4 线性方程组.60632.5 矩阵的特征值和特征向量.61632.6 二次型.6365第 3 章 概率论与数理统计.66683.1随机事件和概率.66683.2随机变量及其概率分布.69723.3多维随机变量及其分布.
2、72743.4随机变量的数字特征.74773.5大数定律和中心极限定理.77803.6数理统计的基本概念.79g4-3.7参数估计.80S33.8假设检验.8386大学数学公式手册一-高等数学第 1 章 高 等 数 学1.1函数、极限、连续对座公式出理 评 念公式、定理、概念函数：设有两个变量X和y,变量x的定义域为。，如果对于。中的每一个x值，按照一定的法则，变量y有一个确定的值与之对应,则称变量y为变量x的函数，记作：y =/(x)基本初等函数包括五类函数：1 幕函数:y =x(M e R);2指数函数y =a*(a 0且。/1);3 对数函数:y =l o g“x(且awl);4 三角函
3、数:如 y =s i n x,y =c o s x,y =t an x 等；5反三角函数:如y=ar c s i n x,y=ar c c o s x,y =ar c t an x 等.初等函数：由常数C和基本初等函数经过有限次四则运算与有限此复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，称为初等函数.1 l i m/(x)=A o (X o)=1/；(%)=AX T%2 l i m /(x)=A /*0)=A +(x),其中l i m a x =0 x-X a大学数学公式手册-高 等数学设 l i m f(x)=A 又 0(或A 0,当x e (%)-8,%+8),年工 与时，f(x)0(曲
4、(尤)0,则a(x)是(x)的k阶无穷小夕*)常用的等阶无穷小：当v f 耐s i n xar c s i n x1 1 21-c o s x xt an x2ar c t an x?1(l +x)n-1 -xl n(l +x)ner-l无穷小的性质(1)有限个无穷小的代数和为无穷小大学数学公式手册一-高等数学T h 在同一变化趋势下，无穷大的倒数为无穷小；非零的无穷小的倒数为无穷大lim/(x)=A/img(x)=B 则(1)lim(/(x)(x)=A B；(2)limjf(x)g(x)=A B；(3)lim =-(B 0)g(x)B1(夹逼定理)设在x0的邻域内，恒有仪x)V/(x)V欢x
5、),且 lim e(x)=lim 0(x)=A,则 lim f(x)=AX X T与 X T XQ2 单调有界定理：单调有界的数列必有极限3 两个重要极限：(l)lim=1 (2)lim(l+x y=e.r 0 元 JV-0%,=tn重要公式：lim 4y:+3 +=.0；zn4 几个常用极限特例lim/n-1,lim arctan x=n o ox-+oo 2大学数学公式手册-一高等数学lim arc cot x=XTFlimeA=0,X T-0 0lim eA=oo,A-+X lim xx=1,x-+0+连续函数在闭区间上的性质：（1）（连续函数的有界性）设函数“X）在 a,h 上连续，则
6、“X）在。肉 上有界，即m 常数M 0,对任意的x e 凡目,恒有1 小（最值定理）设函数/（*）在 上 连 续，则在。上/（X）至少取得最大值与最小值各一次，即3,/7 使得：/=憾 7（力词;）=/，”词（3）（介值定理）若函数“X）在 a,上连续,是介于/（a）与f （b）（或最大值M 与最小值机）之间的任一实数，则在 a,可上至少三一个使得/）=.（a 4 4 4b）（4）（零点定理或根的存在性定理）设 函 和 在 l a 定1卜 连大学数学公式手册-一高等数学/=0.(9)1.2 一元函数微分学对应公式、定理、概念公式、定理、概念1导 数 定 义：尸(%)=1加 以 止 止 皿 (1
7、)x-0 X或)=iim 二 3 3 与 X -XQ2函数/(x)在x。处的左、右导数分别定义为：左导数：r(x0)=lim/(/亿)=lim/3一/3。)W=%+词右导Ar-0-AX x-石 X XQ数：f；(x0)=lim/0一 也=lim x)z/(承机”Ax 1 珀 x-%)T h l:函数f(x)在x()处可微=/*)在/处可导T h2:若函数y=/(x)在点与处可导，则y=f(幻在点/处连续，反之则不成立.即函数连续不一定可导.Th3:/(%)存在 o(X 0)=(Xo)设函数/(x)在=不处 可 导，则/(尤)在M (%,%)处的切线方程：y -y0=f x0)(x-xa)法 线
8、 方 程：y-yQ=-(x-X o),/)0-f Uo)四则运算法则:设函数“=(X),v=Wx)在点X可导则大学数学公式手册一-高等数学小/、，v u u v/八、/、vdu-udv(3)(-)=(vO)d(一)=z-V V V V基本导数与微分表(1)y=c(常数)y =ody=0y=x=(a 为 实 数)/=axaldy=axa Xdxy=axyr=ax In dy=ax In adx特例(evy=eAJ(eA)=exdxy=：xn aJ1ay=-xlntzdx特 例y=nx(In=Xd(ln x)=dxX(5)y=sinxy=cos xJ(sinx)=COSAZZT(6)y=cosx/
9、=-sinxJ(cos x)=sin xdxy=tanxy,=-1；=sec 2xcos Xd(tan x)=sec2 xdx(8)y=cot xyf=-T：-=-esc2 xsin。J(cot x)=esc2 xdxy=secx/=secxtanxJ(sec x)=sec 工 tan xdx(10)y=esc 尤/=-cscxcotxd(esc x)=-esc x cot xdx(1 1)y=arcsin xJ(arcsin x)=dxVI-x2(1 2)y=arccosxy =-7 i-x2d(arccos x)=J dxV l-x2(1 3)y=arctan x 1 +x2d(arcta
10、n x)=dx+x(1 4)y=arccotxy=1+x2tZ(arc cot x)=-5dx1+x大学数学公式手册一-高等数学1反函数的运算法则：设y=/(幻在点大的某邻域内单调连续，在点X处可导且/(X)工0,则其反函数在点X所对应的)，处可导，并且有序=;d x d xd y2复合函数的运算法则:若=以幻在点x可导，而y =/(A)在对应点(4=?(幻河 导，则复合函数y =/(9(切在点X可导，且 y =/()”(x)3隐函数导数电的求法一般有三种方法：d x(1)方程两边对X求导，要记住y是X的函数，则y的函数是x的复合函数.例如工，/，I n y,e，等均是x的复合函数.y对X求导
11、应按复合函数连锁法则做.公式法.由尸(x,y)=0知 虫=_ *),其 中,F：(x,y),d x 耳(x,y)F(x,y)分别表示尸(x,y)对x和y的偏导数(3)利用微分形式不变性常用高阶导数公式(1)(优严=a，l n a (a 0)严=e*(2)(s i n kx)(n)=k s i n(f c v+n )2(3)(c os履)=k c os(履+:)_ 大学数学公式手册一-高等数学(5)(l n x)(w)=(-l)(n-1)(6)莱布尼兹公式：若(x),v(x)均阶可导,则(找严=2 c,，其中u(0=u,v(0)=v1=0T h l(费马定理)若函数/(尤)满足条件：函数/(x)
12、在与的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有f(.x)/(%),(2)/(x)在/处可导，则有 尸(x0)=OT h 2(罗尔定理)设函数/(x)满足条件：(1)在闭区间可上连续；(2)在他向内可导,则在(,3内m 一个g,使 r e)=oT h 3(拉格朗日中值定理)设函数/(x)满足条件：在 30上连续；(2)在(a,6)内可导;则在(a,b)内m 一 个 使baT h4(柯西中值定理)设函数/(x),g(x)满足条件：在 a,切上连续；(2)在(a,力内可导且/(X),g(x)均存在，且g，(x)w O则在(a,份内三一 个 八 使 半2g(b)-gd g)洛必达法则：法 则I (件)设函数
13、x),g(x)满足条件：lim/(x)=0,lim g(x)=0;/(x),g(x)在 xQ 的邻域内可导大学数学公式手册一-高等数学(在x0处可除外)且g，(x)。0 ：lim 54存在(或O 0).则f。g(x)r小)r小)hm;=hm-g(x)-0 g(x)法则r年型)设函数x)，g(x)满足条件：lim/(x)=0,即 g(x)=0 J一个 X 0,当 WX时，/(x)，g(x)可导，且 g(x)*0 ;lim 存在(或8).则l i m44=l i m g i.i g(x)法则n(?型)设函数x),g(x)满足条件：lim/(x)=o o,lim (x)=o o ;x),g(x)在/
14、的邻域内可X f”X .(x)ns in x =x-x3+3!+土 s in丝+上n2 5 +1)!./“7 1 +1 、或=x-x3+3!H-s in-F o(x )n 21X H7T +1大学数学公式手册-一高等数学或=1-X2+C O S +（7（XW）2!n 21 ,1 Rln（l+x）=x .v+x+（1 产%（一1）“尸-1-7九 （九 +1）（1 +）.或=x x2+x3 +（+r?（xz,）2 3 n八 、，,（？一+1）（1 +x）m=1 +/nr+-x2 4-+-xn2!n+?（加-1）（一+1）/（+夕 皿 或八 、，1?（?一 1）2（1 +x）=1 +rnx H-x
15、4-2!+x”+*，）7?!I 函数单调性的判断:T h l设函数/（x）在（,b）区间内可导，如果对Vxe（a,Z ）,都有/,（x）0（或/3 0）,则函数/（x）在（a,3 内是单调增加的（或单调减少）Th2（取极值的必要条件）设函数/（x）在 x0处可导，且在与处取极值，则/（）=0.Th3（取极值的第一充分条件）设函数/（x）在吃的某一邻域内可微,且 八%）=0（或/3）在 内处连续，但/（%）不存在.）若当X经过X。时，/（X）由“+”变则/（X。）为极大值；若当X经过z 时，八 X）由变“+”，则/（%）为极小值；大学数学公式手册-一高等数学Th4(取极值的第二充分条件)设f(x
16、)在点/处有了”(X)KO,且/1Uo)=O,则 当/”(x0)0 时，f(x0)为极小值.注：如 果/,(%)=(),此方法失效.2 渐近线的求法：水平渐近线 若 lim/(x)=&,或 lim/(x)=8,则)，=b称为函数)，=/(X)的水平渐近线.(2)铅直渐近线 若 lim/(x)=8,或 lim/(x)=8,则工=不X T而 X T 琉称为y=/(X)的铅直渐近线.(3)斜渐近线 若 a =lim/，),Z?=lim|/(x)-ar,则y=av+b 称为y=f(x)的斜渐近线3 函数凹凸性的判断：Thl(凹凸性的判别定理)若在I 上/(x)0),则/(x)在 I 上是凸的(或凹的)
17、.Th2(拐点的判别定理1)若在/处/(x)=0,(或/(x)不存在)，当x 变动经过与时，/(X)变号，则(题,/(七)为拐点./4 口 H AA.vt/il 1 4,v mn.-/v-H A A 廿 A n U-TT*B人 1=3.4 0,大学数学公式手册一-高等数学1 .弧微分：d S=+y,2d x.2.曲率：曲线y =/(x)在点Q,y)处的曲率2二 V v.(i+y,2)7对于参数方程F =*),口 一0.3.曲率半径：曲线在点M处的曲率(火 工0)与曲线在点M处的曲率半径。有如下关系:P=11.3 一元函数积分学对应公式、定理、概念公式、定理、概念基本性质1 Jkf x d x=
18、j f(.x)d x(Z x O 为常数)2 J/(x)+/,(%)+(x)dr =j (x)d x+j f2(x)d x J/t(x)dr3 求导：j f x d x,=/(x)或微分：/j f x d x =f(x)d x4/尸*心=/(*)+(;或J/(x)=F(x)+C (C是任意常数)xkd x =xM+C(Z*-l)J Z+l大学数学公式手册一-高等数学j=ln|x|+CXj axdx=-+C(aO,awl)dx=eA+Cj cos xdx=sinx+CJsinAzZr=-cosx+C|sec x tan xdx=sec x+C J esc x cot xdx=-esc x+Cjt
19、an xdx=-In|cosx|+C jcot xdx-In|sinx|+Cr dx 1 x-c dx-=arctan +C-7=arctan x+CJ a a a J 1+xdxl-x2=arcsin A+C1+x X+C番襄公式=In x+1x2 a2+C大学数学公式手册一-高等数学j f(x)d x=J：(x)+f(-x)d xO,当/X x)为奇函数2 1：/(“)必:当外)为偶函数(2)设/Xx)是以丁为周期的连续函数，为任意实数，则a+T 于(rT r-Tx)dx=fxdx=fxdx.0 2(3)J()y/ci2 x2d x=a!石，当为偶数2 2241,当为奇数3n 1n 3nn
20、 1n 1 n 3、nn 2nK(4)s i n xdx=J 02 co s xdx(5)J s i n n x co s mxdx=2a s i.n 忆v co s mxdx=o7 T,n=m0,H mp/r./2/r.s i n n x co s mxdx=s i n /i x co s mxdx=0J-ftJo”.2”co s z i x co s iwcdx=I co s nx cos mxdx=0=J-nJo7r,n=m0,w m1.定积分的基本性质定积分只与被积函数和积分限有关，而与积分变量无关，即C f(x)dx=hf(u)du=J a J a J a大学数学公式手册一-高等数学
21、(4)(x)g(x)dx=f(x)dx b g(x)dxJ aJ a J a(5)kf(x)dx=必依为常数)(6)h f(x)dx=f(x)dx+C f(x)dxJ a J a Jc(7)比较定理：设/*0)g(x),x切,则J：/(无心O,XGa,勿时 J：/)以 0;pb fb2.|J/(%)&|/(x)|dr(8)估值定理：设机4/3)4 V,*储,勿,其中?,M为常数，贝 ijm(b-d)J f(x)dx M(b-a)(9)积分中值定理：设/(x)在a,句上连续，则 在 句上至少三一个媒使 f /(X)&=0-a)f()/)=-fxdx-平均值公式b-aJa设 函 婀(X)在侬，加上
22、连续，xGa,b ,则变上限积分ThlF(x)=/力对x可导Ja且有尸(x)=当尸(X)=当 d f(t)d t)=/(X)dx dx%推论 1 设尸(X)=y dr,则尸(x)=/9(X)px)._ 大学数学公式手册-一高等数学_推论 3 (J：/O)g(x)dr)；=(g(x)J：/Q)dr)；=g (x)：/(，)4 +g(x)/0(x)0(x)Th2即(x)在 a,b上连续，则J；/(x)力是/(x)在 a,句上的一个原函数Th3牛顿-莱布尼茨公式:设/1(X)在 a,加上连续，F(x)是/(X)的原函数，则 f(x)d x=尸(x)|：=尸S)-F(a)1.不定积分：分部积分法：JM
23、 7P=MV-JVJWMU,dv的原则：积分容易者选作dv,求导简单者选为u换元积分法：设J f u)d u =F(M)+C,贝J f (p x (p x)d x=J f p x c l(p x 设=o(x)J f(u)d u =F(w)+C =F (p x +C2.定积分换元法:设函豺(x)在 a,b 上连续，若%=或。满足：(1)。在 a,f i 上连 续，且 O)KO.(2)0(a)=比 奴)=Z?.并且当，在 a,/3 上变化时，大学数学公式手册-一高等数学fbe ftJ f x d x=J 于l2ab(2)a 0,a+-2a(3)柯西不等式：(J：/(x)g(x)公尸 /2(x)6i
24、 r j其中/(x),g(x)在 a,b上连续1.三角函数代换大学数学公式手册一-高等数学(.)-d xA n x-a+CJ x-a(2)-dxJ(x A 1n1 (x a)+C(w 1)大学数学公式手册一-高等数学 f d x=f_d x_ 羯 畀)r d u (x2+Px+qY-*p 2 q-p2 K W=：J (H2+fl2)(%)+(4)小-1+s-卬、-5(x2+p x+q)2(-l)”+p x +q)T 2 x p x+q)(/22 4r -K c J ar br b2 .|f(x)d x=l i m f x)d xJ -c o o o J af+o o (*c r+a)3 .(f
25、(x)d x=|f(x)d x+f(.x)d xJ-o o J -co J C(2)无界函数的广义积分(瑕积分)1.(/(x)d x=l i m (当x f b一时，f(x)o o)J f l c-0+J 2.J：/(x)d x =lim/(*)公,(当%。+日 寸，/(x)ef0-r bcee3.|f x d x=l i m|f(x)d x+l i m f f(x)d xJ a 6T 0+J a S J c+r j(当X cH寸，/(X)o o)_ 大学数学公式手册一-高等数学1.4向量代数和空间解析几何对 应 公 式 关 念 公 式、定理、概念1.向量：既有大小又有方向的量，又称矢量.2.
26、向量的模：向量的大小.记为同.3.向量的坐标表示：若向量用坐标表示a =x i +y j +z k=x,y,z,贝!J 同=y j x2+y2+z24向量的运算法则：I加减运算 设有矢量。=%,y 3 ,b=x2,y2,z2,则a b =xl x2,yiy29zl z2,I I.数乘运算 数乘运算白矢量与一数量A之积而，忆4 4 2 0,即与4同向A a =0 选0,即为零矢量 设贝IJ4 1马贝i（d c）=x2 y2 z2W%z、大学数学公式手册一-高等数学设。=内，y,z j ,b =x2,y2,z2,c =x3,y3,z3(1)a _ L o a/=O oxx2+y(j2+Z|Z2=。
27、；(2)a/b o a x b =0 =；X2%Z2其中/2，Z2之中有一个为“0 ，如%=0,应理解为芭=0；(3)a,b 不共线。三 不全为零 的 数 使 Qz +=0；(4)矢量与b的夹角，可由下式求出COS b)=,：+乃+乎 2 ；X；+y：+z：X；+为2 +z；(5)a,b,c 共面。三不全为零的数；1,/,使Xa 4-/Z?+v c =0 或者(a,b,c)=02 单位向量：模 为 1 的向量.向量。的单位向量记作4。，0 1 _ x y z ,a J.2+y 2+z 2 M+y 2+z 2 y j x2+y2+z2大学数学公式手册一-高等数学c o s a =X,c o s
28、B =/,c o s y =Z,其 中y/x2+/+z2 y j x2+y2+z2 y j x2+y2+z2为向量a与各坐标轴正向的夹角.4单位向量的方向余弦：显然a =c o sa,c o sp,c o sy,且有c o s2 a+c o s2 p 4-c o s2/=1.1平面方程(1)一般式方程A x+B y-i-C z +D =O,法矢量=A,3,C,若方程中某个坐标不出现，则平面就平行于该坐标轴，例 如 平 面A r+Cz +Z)=Oy 轴 平 面 的 点 法 式 方 程 A(尤 一X o)+8(y%)+C(z Zo)=OM(x0,y0,z0)为平面上已知点，=AdC为法矢量/一 玉
29、 y-y z -Z|(3)三点式方程 工2 -M -X Z2-Z 七一%y 3 f z 入M/X p j p z j ,M2(x2,y2,z2),M3(,y3,z3)为平面上的三个点(4)截距式方程 2 +上+4 =1,力,c分别为平面上坐标轴上a b c的截距，即平面通过三点(a,0,0),(0,6,0),(0,0,c)2直线方程大学数学公式手册一-高等数学平面与平面乃2的法矢量分别为1=4,4，i j kn2=A2,B2,C2,直线的方向矢量为s=x巧=A 3 G4 B2 C2(2)标准式方程口 =匕 滋=员%,z )为直线上已知点，I m n$=/,为直线的方向矢量(3)两点式方程 忙
30、土 =山=二z 一为为一y z2-zi其中M|(X|,y,Z|),%(工2，2,22)为直线上的两点X =%+(4)参数式方程.y =Jo+mt M(%,Zo)为直线上已知z =z0+nt点，$=/,/几为直线的方向矢量3平面间的关系设有两个平面：平面匹：Ax+4 y+G z+n =0平面乃2 ：x+B2y +C2z +D2=0 平面3平面利09=J4 B?c,2(2)平面兀 i 平面万2 =A 4+4与+GG=o大学数学公式手册一-高等数学A A +g 8,+C C,E+B；+C：y/A；+B?+C；4平面与直线间关系平面7rl：A x+q y +G z +A=0(l)Li o A/+8 7
31、 2+Ch=0、一 ABC(2)L S-7T =m n(3)Z与乃的夹角0,由下式确定5直线间关系设有两直线：直线4：二 =匕 互=三4 町 i直线心：=4 =12n2(1 乂/4。2=巴=212吗 2(2),L,仙+m】团 2 +%=0(3)直线。与 4的夹角。，由下式确定J：+宿+说粕+咸+冠6占至II平 面 的 距 惠.A 4 f r v 7八至II平面大学数学公式手册-一高等数学jA x0+By0+Cz0+DVA2+B-+C27点到直线的距离：到直线4：=匕1 =1 距离为4 町%i j kX o f z0-Z1|MMOX%P|/m nd-_ _-_MP yjl2+nr+rr准线为各种
32、形式的柱面方程的求法(1)准线为r J/(x，y)=o,母线 Z轴的柱面方程为 z =0/(x,y)=0,准线为r：W(XZ)=，母线y 轴的柱面方程为y=00(x,z)=o,准线为：|“(y z)=，母线 轴的柱面方程为x=0.(y,z)=0.大学数学公式手册一-高等数学程的求法首先，在准线上任取一点（x,y,z）,则 过 点（y,z）的母线方程为X-x Y-y Z-zI m n其 中 x,y,z 为 母 线 上 任 一 点 的 流 动 坐 标，消 去 方 程 组/（X,y,z）=og（x,y,z）=OX-x Y-y Z-zI I m n中的苍y,z 便得所求的柱面方程常见的柱面方程名称方程
33、图形圆柱面x2+y2=R2 r椭圆柱面为 2 J?靛+5-】/r双曲柱面/V1滔 丁-1ZL大学数学公式手册一-高等数学抛物柱面f=2py,（p（）八厂标准二次方程及其图形名称方程图形椭球面7 2 2x y z 4-+=1/h2 C2（a也c均为正数）八izb广单叶双曲面?22厂+卜z-a2 b2 c2（a,c均为正数）1I双叶双曲面-y2+z2-1一/万+7-1（a,b,c均为正数）大学数学公式手册-一高等数学椭圆的抛物面2 2A 方=2pz为正数）.z0双曲抛物面（又名马鞍面）2 27%-*y 2 p。z（0,瓦p均为正数）二次锥面2 2 2X 4旷 r-0a b c（a,b,c为正数）0
34、Azy1.5多元函数微分学对应公式L定理I S含公式、定理、概念二元函数2=/（x,y）连续，可 导（两偏导存在）与可微三者的关系如下：可 导 一 可 微 一 函 数 连 续”表示可推出大学数学公式手册一-高等数学|而人 一 (内 心 一 人(内)州是否为0Pf0 O基本原理7 7?1(求偏导与次序无关定理)设2 =/(x,y)的两个混合偏导数f、；(x,y),/；(x,y)在区域。内连续，则有兀(须y)=y)7 7/2(可微与偏导存在的关系定理)若z =/(x,y)在P(x,y)点处可微,则在该点处白，包 必存在，且有d z =dx+-dyd x d y d x d y7 7 z 3(偏 导
35、 存 在 与 可 微 的 关 系 定理)若z =/(x,y)的 两 个 偏 导 数 包,包 在 尸(x,y)o x d y上 的 某 领 域 内 存 在，且 在P(x,y)连 续，贝lz =于(x,y)在P(x,y)点 处 可 微1复合函数微分法 法=/(w,v),U=叭 x,y),V =。(无,y),则，(2)设 z =/(,V),M=(p(x),v=0(x),则上=告 畔+生生,称之为Z的全导数d x d u d x d v a xa v-&a v&-a v&一a v包办a z一加&而=以一a xa z-5 y大学数学公式手册一-高等数学（3）z=则 笠&O+=az-axaz9（x,y）#
36、=0（x,y）,&要 变oxdv dxd vd y注：复合函数一定要设中间变量，抽象函数的高阶偏导数，其中间变量用数字1,2,3 表示更简洁.2 隐函数微分法设F(x,y)=0,则 孚=-曾 7dx F(x,y)=。,则 齐 一 策 六 卷尸；.（x,y,z）Fz（x,y9 z）设由方.程组；：；：确定的隐函数y -则包，在可通过解关于包，虫的线性方程组dx dx dx dx1，XFG-=&区龙区zz中G+力区的瓦yy尸G,oo-=-力4zz-，尸G,+yy尸。+XX尸G 方向导数和梯度T h l 设 2 =/(x,y)在/(%,%)处可微，则/(x,y)在点/(/，%)沿任意方向/=(c o
37、 s tz,co s/?)存在方向导数且的 小，为)8 1烈邈co sa +西逊8 S Pdx dy在平布卜/除了用方向角表 示 外 也 可 用 极 角 表 示:_ 大学数学公式手册一-高等数学数的计算公式为 丁(/=。)=如“量。)co se+*5,%)sin e8 1 d x d yTh2设三元函数 =/(x,y,z)在处可微，贝lju =/*,乂2)在 点%(.为,2 0)沿任意方向/=(co s a,co s尸,co s y)存在方向导数且有/为，%，2。)_ 的%为 为)的%,%*0)-5 4(Z 十-L Ob Pd l d x d y+-阳-与_,u_,Z o)COSyd z梯度：
38、z=/(x,y)在点M。的方向导数计算公式可改写成次%)=(均(%,%)0%)(8 sa,8 s)d l d x d y=g r a d(f(x0,y0)I=|j?r a#(x0,y0)|co s?-z7(/(x0,%),/这里向量g r a d f*。,%)=(的个，为)尸(?，娟)成为d x d yz=/(x,y)在点M 的梯度(向量)型 5随/而变化/=/，%)即沿梯度方向时，方d l gr a d(f(x0,yu)向导数取最大值|g r 4f(Xo，%)|1.曲线的切线及法平面方程X=x(t)曲线/(%,%)(或 /(%,%)则称%,%)为/(x,y)的极小值(极大值)7 7 水 取
39、极 值 的 必 要 条 件)设z=/(x,y)在尸(，%)点 的 一 阶 偏 导 数 存 在，且尸(x。，%)是z=/(x,y)的 极 值 点，贝！J fyi xo,yo)=O7 7?2(函 数 取 极 值 的 充 分 条 件)设z=/(匕)在尸(朝,乂)点的某邻域内有连 续 的 二 阶 偏 导 数，J I/(x0,y0)=O,/v(xo,yo)=O 二(/，%)】2 -：(/，为)/；(%,%)0(或f ,2(%,%)0),则尸(%,%)为极小值点。若/：(%,%)()(或广；(%,%)O,(x,y)e Z ht,而二重积分I表示以z =/(x,y)为曲顶，以D为底的柱体体积。2 三重积分：
40、I=J J J F(M y,z)/v =lim 匕，其中=max 4，D/!ISiSn4为 匕 的直径0 =1,2,n)物理意义：三重积分/表示体密度为=/(x,y,z)的空间形体。的质量。3 性质(只叙述二重积分的性质，三重积分类似)丁)d b 4 j j/(x,)，)d c r,%为常数DD(2)y)g(x,y)d a=J J f(x,y)d a g(x,y)d aD D(3)=其中，为D的构成子域且任两个子D=l Dr域没有重迭部分(i=1,2,，加)(4)J j d b=4,其中A为。的面积。D(比较定理)大学数学公式手册一-高等数学(6)(估值定理)设“，加 分 别 为 在 闭 域。
41、上的最大与最小值,非加的面积，则 样 J J /(x,y)d a ,与 尤%w=l =】若un=S，匕=6 则（Vn）=S C T.=1=1=1若收敛，也发散，则（士 匕,）发散.大学数学公式手册一-高等数学注：添加或去消有限项不影响一个级数的敛散性.设级数%收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于=1原级数的和正项级数Z Un 0）的判敛法M=1（1）比较判敛法：设0 V V v，若为“收敛，则 匕收敛%发散，则 匕 发散n=l n=l zi=l n=l（2）比较法的极限形式：设 “及”均为正项级数n=l=1且lim殳=4（匕/0）1.若0 A g 且豆匕收敛，则 收 敛=1 n=2.
42、若0 A 1时才 发 散=1心、八 1 c 工#,4+。=田寸，方法失效设 2 0,”1,2对于Z”来讲 右 所-二夕=i%P 0)的判敛法n=l莱布尼兹准则：若交错级数元(-1产0)满足条件：n=l(l)wn Mn+1,(n =l,2,);(2)li mM =0,则交错级数收敛，其和5 4%,其n项余和的绝对值I R a区”用.81 塞级数：aQ-ax+a2x2+。/+=Z%x=0收敛半径，若li m 也二小则氏二，.C ln P2.函 数 项 级 数 收 敛 域 的 求 法 步 骤:M=1用比值(或根值)法求p(x),即|M(X)|=/7(x)(或 li m W，,(x)|=p(x);(2
43、)解不等式方程p(x)1,求出力”.(x)的收敛区间(“力);n=l大学数学公式手册一-高等数学/)n-0 n-0大学数学公式手册一-高等数学(3)，.x 可逐项积分，且。f )力=0n=0吃 苴 茅3函数的基级数展开泰勒级数设f(x)祗=%,的某一邻域内具有任意阶导数，级 数:一?。一拓)=/(xo)+f r(xo)(x-(X-xo)2+S ！2!+/(/，)U o)r r+-：-(X-Xo)+n称为人尤)在x =下处的泰勒级数。当=00寸，级数化 这 5 X =/(0)+/(0 +3+M n1 2!+4 +n称为麦克劳林级数7 7?设/a)祗=与某领域内具有任意阶导数，则泰勒级数发*n收敛
44、于y(x)的充分条件l i m R,(x)=0,n 大学数学公式手册一-高等数学4常见的暴级数展开式:(1)-=1 +u +1-w+=z ,(-1,1)n=0(2)-=1-H +M2-1 +M+(-1)+=Z(T)，(T，1)n=Q2(3)eM=1+M+2!/8 n+肃2 k s .3/八 (4)s i nw =u-+3!2n+l+(-l)+(2 n+l)!00 2n+ly(-i r-,(-),+o o)(2 +l)!2 4 2”(5)c o s =l-+-+(-i r-+2!4!(2 n)!心f 扁(6)l n(l +u)=u-+-+(-l)w +2 3 z i+1*)喘G”)(7)(+)=
45、1 +&j)/+2!+(a-l)9-+1力(随的n不同而不同，但在(-1,1)总有意义)1设 是 以2 4为周期的函数，且在，加或 0,2 m上可积，则二 一J f(x)c o s f i x d x =f(x)c o s nx d x,(n=0,1,2,)=J /(x)s i nmz Zr =/(x)s i nnr d心(=1,2,)大学数学公式手册-一高等数学2 f(x)的傅立叶系数为系数的三角级数L%+之(%c o s,s i nnr)称为f(x)的傅立叶级数，记为f Cr)Lo+a1c o s nx+a s i n/i r)2 n=|3设 是 以2/为周期的函数，且在/,/上可积，则以
46、an=y j /W c o s x tZvJ n=0,1,2 )bn=-f(x)s i n x d x,(n=0,1,2 )/JT I为系数的三角级数;佝+(a c o s与x+b s i n午x)称 为 的 傅 立 叶 级 数，记为f(x)c o s竺s i nA).2 n=i I I3狄里赫莱收敛定理：设函数f(x)在 卜;r/上满足条件：除有限个第一类间断点外都连续。(2)只有有限个极值点，则f(x)的傅立叶级数在卜为扪上收敛，且有/,泡 的连续点;“+f(4,8 s x+s i nnx)=:/(而-0)+/(七+0),.%为f(x)的第一类间断点;2 n=1 2；【/(-万+0)+/(
47、册+0),x =T.l/(x)为 0,/上 的 非 周 期 函 数，令:大学数学公式手册-一高等数学中：6 Tn=y f(X)CO S x d x(f l=0,1 ,2,.)2 x)为 0,1 上的非周期函数,令：F(x)=/(x),0 x s i n与x (正弦级数)，其中：n=Ibn=y,f(x)s i n xdx(n=l,2,.)1.8常微分方程对应公式 定理 概念公式、定理、概念1常微分方程 含有自变量、未知函数及未知函数的某些导数的方程式称微分方程，而当未知函数是一元函数时称为常微分方程.2 可分离变量方程工(x)&(y)d x+f2(x)g2(y)d y =0解 法：两 边 同 除
48、&(y)启x)#0，得4 +=0启 x)gO和+喘办大学数学公式手册一-高等数学解法：令=上，则 =以，)/=+X也 于 是，x dx原方程du,、du dx r du.n u+x =f(u)=-=n-=l n x+Cdx f(u)-u x ，()一 2可 化 为 齐 次 型 的 方 程 =/空+4丫+。.dx a2x-i-b2y+c2 J解法：(1)当q=C 2=0时%d也等、/竺咕=2属于k x j(2).a,=0,即 幺=&=/则a2 h2 a2 b2X(a2x+b2y)+ca2x+b2y+c2g(a2x+b2y)令&x+y =，则 包=%+()属 于(1)dx-(3).!W O,。心
49、不全为 0a2 b2解方程 组 产+?+。求交点a2x+b2y+c2=03夕)大学数学公式手册-一高等数学解法：用常数变易法求(1)求对应齐次方程y +p(x)y=0的通解y =Ce 吁令原方程的解为y =C(x)e M(3)代入原方程整理得C(x)e ，1 C(x)=Jq(x dd x +C(4)原 方 程 通 解y =j依 *公+C”4贝努里方程y，+p(x)y =4(x)y,其中工0,1解 法：令 Z=yn，则 方 程 二 +p(x)z=q(x),n d x名+(1-)0(x)z=(l-/i)q(x)属于 3d x5全微分方程M(x,y)必;十%(工,)，)办=0为全微分方程 警=孚.通
50、 解 为 m(%,先计+N(x,y)d y =Co y d x J jo /注：这里只限于讨论二阶线性方程，其结论可推广到更高阶的方程,二阶线性方程的一般形式为/+p(x)/+9(x)y =/(x)(8.1)其中 p(x)，4(x)j a)均为连续函数，当右端项/(此三0时，称为二阶线性齐次方程，否则称为非齐次方程.解的性质与结构(以下性质可推广到任意高阶的线性方程)分以下几大学数学公式手册一-高等数学则其线性组合。)1(工)+。2%(工)仍为(8.2)的解，特别地，若乂(工),必(幻线性无关(即史常数)，则(8.2)的 通 解 为%。)y(x)=Cj(x)+G y 2(x)2设%(x),%(