2019年高考数学试卷（理科）（新课标2）答案解析.pdf-淘文阁

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1、绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学1.答卷前，考生知小I等自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.作答时，务必I搭案写在答题卡上。写在本试卷及草穗灶无效。3.考例经束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择本题共12小题，每小题5分，共 60分.在每小题给出的四个选项申，只有一项是符合题目要求的.1 设集合4=国炉-5 计6 0,B=x|x-l 0,则月CB=A(q,1)B(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+8)【答案】A【解析】【分析】先求出集合A,再求出交集.【详解】由题意得，幺=卜卜(2或外 3上=中 1,则公.8 =力所以八五 52-(-1-+-魔

2、-5 T8=或(1+2-T，&2,即北=/9+为一3彳=；=：；&31,【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错.5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A.中位数 B.平均数C.方差 D.极差【答案】A【解析】【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案.【详解】设9位评委评分按从小到

3、大排列为x2 x3 L x9.则原始中位数为石，去掉最低分为，最高分为，后剩余叼 V 工X L 2+/+芯4 1 _ +/）平均数受极端值影响较大，：5与彳不一定相同，B不正确2=：（占-彳丫+阮-4+L +（刍-4S2=；（X2-/）2+（/一 /+L +（/一 X,）由易知，C不正确.原极差=今-不，后来极差=/-与可能相等可能变小，D不正确.【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.6 .若ab,则A.ln（o-h）0 B.3a|b|【答案】C【解析】【分析】本题也可用直接法，

4、因为。血所以i 0,当a-b=l时，卬。-肉=0,知A错,因为只=3”是增函数，所以3*3 3故B错;因为黑函数y=/是增函数，a b,所以/炉，知c正确取a=-2，满足a b,1=同 3*=3,知B错，排除B；取。=1 =-2,满足a b,1=同 b所以/3,故选c.【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、黑函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断.7.设 P为两个平面，则a/?的充要条件是A.a内有无数条直线与夕平行B.a内有两条相交直线与夕平行C.a,夕平行于同一条直线D.a,p垂直于同一平面【答案】B【解析】【分析】本题考查了

5、空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.【详解】由面面平行的判定定理知：底内两条相交直线都与月平行是感”口的充分条件，由面面平行性质定理知，若感严，则底内任意一条直线都与声平行，所以)内两条相交直线都与月平行是感声的必要条件，故选B.【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如:“若a u底田ua 8 ,则”此类的错误.愿你以渺小启程，以伟大结束。4S.若抛物线.M=2将5 0）的焦点是椭圆J+匕=1的一个焦点，则？=3P PA.2B.3C.4 D.8【答案】D【解析】【

8、ino=1 7 5A-5B-T邪 n 2/3 5【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案.【详解】Q2sin2 0,：.2sin a=cosa,又 S出2 cv+cos?cr=l,5 sin?a=1,sin?ct=g,又 sin 0,二.sin ex-，故选 B.5愿你以渺小启程，以伟大结束。6【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉.1 1设歹为双曲线C：4-4=1（。0,方

9、 0）的右焦点，。为坐标原点，以。口为直径的圆与圆炉+尸飞2a b交于P、。两点.若。|=|同，则。的离心率为A.V 2 B.7 3C.2D.君【答案】A【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率.【详解】设尸。与x轴交于点/，由对称性可知PQ_L x轴，又Q|尸。|=|O F|=c,.上4|=3.：以为以缈为直径的圆的半径，“为圆心|。川=:|.二产佟肩，又P点在圆一+V上，【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中,亩题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避愿你以渺小启程，以伟大结束。7免代数法从头至尾，运算繁琐

10、，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来.12.设函数/(x)的定义域为R,满足了(x+l)=2/(x),目当xe(O,l时，/(力=x(x-l)若对任意Qxe(-co,m,都有了(X)之一 w，则布的取值范围是y一 WA.B.7-0 0,3C.-8，|D.-8,|【答案】B【解析】【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置,精准运算得到解决.【详解】Q 王e(0,1时,f(x)=x(x-1),/(x+l)=2/(x),f(x)=2/(

11、x-l),即 f(x)右移 1 个单位,图像变为原来的2倍.O如图所示：当2 x M 3时,/(x)=V(x2)=4(x2)(x 3),令4(x-2)(x-3)=-不，整理得：97 g g9 45 x+5 6 =0,：(3X-7)(3X-8)=0,二为=可,马=与(舍)，.：xe(8,词时，3 5 9【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.愿你以渺小启程，以伟大

12、结束。813.我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0 9 7,有20个车次的正点率为0.9 8,有10个车次的正点率为0.9 9,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.【答案】0.9 8.【解析】【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题.【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为10 x0.9 7 +20 x0.9 8 +10 x0.9 9 =39.2,其中高铁个39 2数为10+20+10=40,所以该站所有高铁平均正点率约为二l=0 9 8 .40【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学

13、运算素养.侧重统计数据的概率估算，难度不大.易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值.14.已知KQ是奇函数，目当x 0时 x 0,/。)=二/(X)=e-“代入条件即可得解.【详解】因为A x)是奇函数，且当时-x所以(0,a,a),C =(a,-aa),CG=(0,0,2a),a=(0,a,a),设根=（再，M，zi）是平面B E C的法向量,所以f f uoam-BE=0,v uuir=m E C =0.仍 +az1=0,V由-徵-=。=*3 7,愿你以渺小启程，以伟大结束。12设万=（电,心/2）是平面下。1的法向量,ax2-ay2

14、-a z2=0.二面角8-C-G的余弦值的绝对值为5 rm-n|缶-5所以二面角B-E C-C；的正弦值为Jl-【点、睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.11分制乒乓球比募，每赢一球得1分，当某局打成1010平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比骞，假设甲发球时甲得分的概率为0 5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了 X个球该局比塞结束.（1）求 P&2）;（2）求事件”声4目甲获胜”的概率.【答案】

15、0.5;（2）0.11解析】【分析】（1点题首先可以通过题意推导出F（星=2）所包含的事件为“甲连赢两球或乙连嬴两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；（2瘁题首先可以通过题意推导出尸（工=4）所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果.【详解】（1）由题意可知，产（X =2）所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”所以尸（X=2）=0.5 x0.4+0.5 x06 =0.5。）由题意可知，产（工=4）包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”所以产（X =4）=0.5 x 0.6 x 0.5 x 0.4+0.5 x

16、 0.4x 0.5 x 0.4=0,1【点睛】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出产（星=2）以及尸（乃=4）所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题.愿你以渺小启程，以伟大结束。13已知数列3 和。J满足。目，*0,4%“=3%-4+4 ,4女”=过一心一4.（1）证明：4+4）是等比数列，（的九是等差数列；（2）求，和e 0的通项公式.【答案】（1）见解析；怎=/+%-丸%+丸【解析】【分析】（D可通过题意中的4%+i=3%-以+4以及4公+1 =应-%-4对两式进行相加和相减即可推导出数列区+%是等比数列以及数列 4 -纥

17、是等差数列；（2河通过（D中的结果推导出数列%+4）以及数列&-a 的通项公式，然后利用数列 4 +4 以及数列&-幺的通项公式即可得出结果.【详解】由题意可知4%+I=3 4-4+4,4心=现_%_4,%+4 =1,的一句=1,所以4/+1+4&+1=双-4 +4+3 4-a*-4=2%+24,即%+%=（牝+女），所以数列仇+久是苜项为1、公比为今的等比数列，%+旬=（广，因为 4a“+1 -4%=3a.-2 +4-（无“-a*-4）=4%-4公+8，所以4+端=%-4+2,数列%-瓦是首项1、公差为2的等差数列，an-bn=2n-1.由可知，%+4=（十,an-bn=2n-

18、,所以=升氏+么+%-勾=击+%-匕4=算%-%-B j=段-%+/.【点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题.20.TT-A-1已知函数/（x）=lnx-x-1（1）讨论J（X）的单调性，并证明JCV）有且仅有两个零点；（2）设xo是犬x）的一个零点，证明曲线尸In x在点月画，hi处的切线也是曲线7=e*的切线.【答案】（1）函数KQ在（04）和。，*）上是单调熠函数，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】愿你以渺小启程，以伟大结束。14【分析

19、】(1)对函数/(X)求导，结合定义域，判断函数的单调性；(2)先求出曲线1y=也 X在 0,因X-1 x(x-l)此函数/(X)在(0,1)和上是单调增函数；1 ,1 1 一+1 2当 x e(0,l),时，x-Oj-8,而y()=in?0,显然当x c(O,l),函数/(x)有零e e L ”&点，而函数/(x)在 xe(0,1)上单调递增，故当xe(0,1)时，函数了(。有唯一的零点；当 x e(1,+0)时，/(e)=In e +1=0,e-1 e-e-1 e因为/(。)(成)y =1,所以曲线y =ln x 在/(两,ln%)处的切线/的斜率先故曲线

20、y =ln x 在x%1 /、，/+1 x 2力(而,ln 而)处的切线/的方程为：y 一 In%=(x-%)而In 而=-,所以I的方程为V=一 +仆/一 XQ XQ-1,它在纵轴的截距为一二.设曲线=e 的切点为义与道冲)，过切点为坑小姆)切线，y =/=/=/,所以在3(小广)处的切线的斜率为小，因此切线的方程为y=蝗为+蟾。-公)，愿你以渺小启程，以伟大结束。15当切线，的斜率用=力等于直线/的斜率上=工时，即峭2=-（山而），号 X。切线工在纵轴的截距为R =d a-X i）=e M（l+lnXo）=（l+lnx。），而l n x =g,所以,1/x0 4-1 2,a=_（l+）=

21、-直线/的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线?,1重合，故曲线而而一 1 Xo-1y=In X在&%In两）处的切线也是曲线y=e的切线.【点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.21.已知点X-2.0）,5（2,0）,动点Mq）满足直线A M与B M的斜率之积为-，记河的轨迹为曲线C.（1）求。的方程，并说明。是什么曲线；C）过坐标原点的直线交C于P,。两点，点P在第一象限，PE X轴，垂足为E,连结Q E并延长交。于点G.1）证明：0 G是直角三角形；（U）求 OG面积的最大值【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（

22、1）分别求出直线用才与周的斜率，由已知直线与8”的斜率之积为-2，可以得到等式，化简可以求出曲线。的方程，注意直线/与乱/有斜率的条件；（2）（1）设出直线尸。的方程，与椭圆方程联立，求出P,。两点的坐标，进而求出点E的坐标，求出直线0豆的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出G的坐标，再求出直线产G的斜率，计算%的值，就可以证明出“0 G是直角三角形；（11）由（D可知尸,O,G三点坐标，Q G是直角三角形，求出产。,F G的长，利用面积公式求出M P Q G的面积，利用导数求出面积的最大值.【详解】3）直线期的斜率为一1（“。-2）,直线加的斜率为（x w

23、 2）,由题意可知：x+2x-2/+2 V =4,（xwi2）,所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，不包括左x+2 X-2 2愿你以渺小启程，以伟大结束。16右两顶点的椭圆，其方程为 F =2）4 2、（2）（i）设直线P Q的方程为y=依，由题意可知无o苴线P Q的方程与椭圆方程x2+2/=4联立即2y=kx,./+21y2 =4.x=版+12 k赤y=+1-2，点P在第一象限，所以-2 ky=.个2 心+1n-22 k“。（/-2 ./-2 k.），因此点E的坐标为C2J2叩+1直线便的斜率为期唳可得直线小方程：与一J 2 +，与椭圆方程联立,ky

24、=x-2kH 廿+1，消去了得，（2+/）-4/式 12/+8x2+2 y2=4.7 2+1 2 k2+1=0（*）,设点G（0必），显然。点的横坐标 =和X是方程（*的解_12/+8所以有X 二2 _ _ 1 P T F _ 6一代入直线O E方程中，得V 2F+T 2+/+2)j2J+l2P6/+4(V+2)j2 上2+1 所以点G的坐标为,（上2+2）以?+1 g+2）任W），2好2 k直线产G的斜率为；%=(二+2)料它+1 也，+1 _ 2好一 2依1 +2)_ 16左2+42-6上，4一2%+2)-k(廿+2)J2，+1 J2廿+1因为马用0=化（一；）=7

25、,所以P Q 工P G,因此“Q G是直角三角形;（ii）由可知：P（22 kJ2好+1,2元?+1：),Q(-2-2 kJ2必+1J2先?+2 甘6上2+4G的坐标为(k2+2)加+1 k2+2)近7一)+1 ，愿你以渺小启程，以伟大结束。17P Q=:二V 7 2 F+T 也心+1，2+l J 2 M+1 J 2 l+1g C 6/+4 22p 2k T 4娱1+1产 Cr =M-.-）+（-）=-（炉+2）J2p+1 J2M +1（1 +2 M2无2+i&-+1 （炉+2）J 2P+1 W _ 1 v 4 收+1 441+1 _ 8（二+幻w N-2+2）/Y+1 标言=2/+5/+

26、2 二一湫+辱 1）孳+产+2）,因为人0,所以当0 化 0,函数S 3）单调递增，当公+5/+2）2上 1时，C 0）在曲线C：Q=4sinS上,直线/过点&4,0）目与。“垂直，垂足为PJT（1）当稣=时，求陆及7的极坐标方程3（2）当M在。上运动且P在线段Q M上时，求P点轨迹的极坐标方程.【答案】（1）q=2万，7的极坐标方程为Qsin（0+g）=2：（2）Q=4cos（f工夕工今r解析】【分析】JT（1）先由题意，将4=代入。=4 即可求出斜；根据题意求出直线/的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；0）在曲线C：=4sinB上，所以4 =4sinq=4 sin

27、 y=2聒 ,即”（2力,可），所以七=t an1=W,因为直线i过点工（4,0）且与OM垂直，所以直线？的直角坐标方程为y=-*（x-4）,即x+岳-4=0;愿你以渺小启程，以伟大结束。18因此，其极坐标方程为Qcos6+JjQsin6 =4,即，的极坐标方程为Qsm(3+g)=2：0(2)设R x j),贝此8=乙，5=上，x x-42由题意，O P L A P,所以心心=-b故基一=-1，整理得X2+/-4 x=o,x-4x因为尸在线段0 M上，时在。上运动，所以0VXV2,0”2,所以，尸点轨迹的极坐标方程为Q2 4QCOSS=0,即Q=4COS(著8吟.【点睛】本题主

28、要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.23.已知/(x)=|x-4|x+|x-2|(x-a).当。=1时,求不等式/6)。的解集;(2)若x e(-8,1)时,/(%)0,求a的取值范围【答案】(1)(-0,1)j (2)1,+)【解析】【分析】(1)根据a=1,将原不等式化为I x-11 x+1 x-2 1 (x-1)0,分别讨论x 1,1 x 2三种情况，即可求出结果；(2)分别讨论a N1和a 1两种情况，即可得出结果【详解】(D当a=l时，原不等式可化为|x l|x+|x 2|(x1)0；当x l时，原不等式可化为(1-工)工+(2-芥)5-1)0,显然成立

29、，此时解集为(-8,1)；当l x 2时，原不等式可化为(x-l)x+(2-x)(x-l)0,解得矛1,此时解集为空集；当x 2 2时，原不等式可化为5-1勿+5-2)8-1)0,即(x-l)2 0,显然不成立；此时解集为空集:综上，原不等式的解集为(-8,1)；(2)当a 21 时，因为 XC(-8,1),所以由/(x)0可得(a-x)x+(2-x)(x-a)0,显然恒成立；所以a 21满足题意；愿你以渺小启程，以伟大结束。19当al时，x)=2(x-a)fa x 1，因为a=x l时，一幻、0八显然不能成立，所以。1不满2x-a)(l-x),x a足题意；综上，。的取值范围是 1,+M).【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.愿你以渺小启程，以伟大结束。20

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