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1、习题8-1 向量及其线性运算1 .填空题：(I)已知某向量行与万平行，方向相反，且 同=2同，则方由a表示为.(2)已知梯形0 A B e c且|四=；|冽，若5A=G,0C=B,则 油=(3)点M(2,-3,-1)关于y o z坐标面对称点为M|.(4)点、(4,-3,5)到。y轴的距离为.(5)一向量的终点在点8(2,1,-7),它在x轴，y轴和z轴上的投影依次为4,-4和7,则这向量的起点4的坐标为.(6)设向量干的模是4,它与轴的夹角是60,则尸在”上的投影为.(7)力4=(1,2,3),F2=(-2,3,-4),R=(3,-4,5)同时作用于一点，则合力户的大小为.(8)已知A(4,
2、0,5),8(7,1,3)则与而同方向的单位向量己=.班级:姓名:学号:2.设C点 位 于 线 段 上，且分AB为 机：，已知线段端点4及8的矢径是弓和弓，求证C点的矢径为/=nr+mr2m+n3.在yoz面上，求与三点4(3,1,2),8(4,-2,-2)和。(0,5,1)等距离的点.-2-4.已知向量。与三坐标轴成相等的锐角，求它的方向余弦，若 同=2,求向量的坐标.5.设 沅=3i+5 j+Sk,n=2i 4j 7汇和力=5i+j 4k,求向量G =4m+3n-p 在x轴上的投影及在y轴上的分向量.班级:姓 名：学号:6.一向量的终点在6(2,T,7),它在乃轴、Y轴 和Z轴上的投影依次
3、是4,-4和7,求这向量的起点A的坐标。-4-习题8-2数量积、向量积1 .填空题:(1)己知。/兄为单位向量，且满足2+分+下=0,则 之+(2)若向量B与向量次二(2,1,2)共线，且 展5=-1 8,则6=.(3)已知同=3,忖=5,问4=时，G +篇 与力一方相互垂直.(4)已知同=2,忖=3,卜一同=J7,则(瓦在)=,.(5)已知力与很垂直，且 同=5,忖=1 2,则卜+同=,M-同=(6)向量G,船 两 两 垂 直，且 同=1,问=2,同=3,则 亍=+万+2的长度为2.已知2 =(4,1,一1),：=(一2,1,2),试求:(1)M与B的夹角；(2)。在B上的投影.班级:姓名:
4、学号:3 .已知M（l,-1,2）、加2（3,3,1）和加3（3，1，3）,求与加1加2，M2M3同时垂直的单位向量.4 .已知三点 0 (0,0,0)、A (1,0,3)、8(0,1,3),求AO43 的面积.-6-习题8-3曲面及其方程(一)i.填空题：(1)以 点(1,2,3)为球心，且 过 点(0,0,1)的球面方程是.(2)将x o z坐标面上的抛物线Z?=5 x绕。光 轴 旋 转 而 成 的 曲 面 方 程 是.(3 )将M)，坐 标 面 上 的 圆x 2+(y -)2=2绕 分 轴 旋转一周所生成的球面方程是，且 球 心 坐 标 是,半径为.2 2 2(4)方 程 二+上 一 一
5、 二=0表示旋转曲面，它的旋转轴是_ _ _ _ _ _ _ _.2 2 3(5)方程丁=z在 平 面 解 析 几 何 中 表 示,在 空 间 解 析 几 何 中 表 示.2.画出下列各图：7 2,、厂 z (1 )-1-=1 .9 4班级:姓名:学号:(2)yoz坐标面上的抛物线z=V绕oz轴旋转一周而成的曲面.(3)由*+2=1,+)=1和z=0所围立体的表面.-8-习题8-3曲面及其方程(二).画出下列不等式所确定的空间区域：(1)x2+y2 1,z 0 ；(2)73(X2+/)Z3班级:姓名:学号:(3)0 z a2-x2-y2(4)x2+y2 R2,x2+z2 Q,y0,z0.-10
6、-习题8-4空间曲线及其方程1 .填空题：(2 2y_二=i(1)在空间直角坐标系中方程 9 4 表示.%2=0X V Z(2)用平面x =/i 去截双叶双曲面r-J +F=a b c所得截痕是.；若用平面y =k(k2 从)截 上 述 曲 面 所 得 截 痕 是.2 2(3)二次曲面2 =与+与 与 平 面 y =相截，其 截 痕 是 空 间 中 的.6r b(4)曲面/-产=z 在xo z坐标面上的截痕是.2(5)双曲抛物面x 2 3 _ =2 z 与x o y 坐标面的交线是.(6)由曲面z =正+与z =)7?2 一X 2 一卜2所围成的有界区域用不等式组可表示为.2.指出下列方程所表
7、示的曲线:x2+3y2-4z2=7 4 ,J=1y2+z2-4x+8=0Vy=4班级:姓名:学号:3.求半球面z=y/5-x2-y2及旋转抛物面f +V=4z的交线在xoy面上的投影曲线的方程.4.求旋转抛物面z=x2+y2(0 z 4)在三坐标面上的投影.-12-习题8-5平面及其方程i .填空题：(1)过 点(3,0,-1)且与平面3 x 7 y +5z 1 2 =0平 行 的 平 面 方 程 为.(2)过 两 点(4,0,-2)和(5,1,7)且平行于o x轴的平面方程为.(3)若平面A i X+g y +G z +R=0与平面a x+B z y +Gz+A=。互相垂直，则充要条件是；若
8、上两平面互相平行，则充要条件是.(4)设平面；r:x +外-2 z-9 =0,若%过 点(5,-4,-6),则=；又若%与平面2 x +4 y +3 z 3 =0垂直，则=.(5)一平面过点(6,-1 0)，它在冰轴上的截距为-3,在o z轴上的截距为2,则该平面方程是.(6)一平面与可：2 x +y +z=0及2 ：%y =l都垂直，则 该 平 面 法 向 量 为.2 .求 过(1,1,-1)、(-2,-2,2)和(1,-1,2)三点的平面方程班级:姓名:学号:3.求 点（1,2,1）到 平 面 x +2 y +2 z-1 0=0的距离.4.一平面 过 点(2,1,-1)且平行于向量1=(3
9、,0,1)和5=(4,-1,2),试求这平面方程.-14-习题8-6空间直线及其方程i.填空题：(1)过 点(4,-1,3)且 平 行 于 直 线 二 上=y=上 的直线方程为_ _ _ _ _ _ _ _.2 5(2)过 两 点(3,-2,1)和(-1,0,2)的直线方程为.直 线 厂 一 +z=的对称式方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,参数方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _2x+y+z=4x-2 y +4z=7(4)过 点(2。-3)与直线?垂直的平面方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.3x+5y-2z=-1(5)直线乙：土2 =2/=半 和 平 面 ：
10、2彳+3+32-8=0的交点是一,x+y+3z=0(6)直线 与平面x-y +l=0的夹角为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _x-y-z=0 x+2 y-z =7,f3x+6y-3z=82.证明直线4：rO)的 定 义 域y/x2+y2+z2-r2是.,(4“)、rh m-s i-n-盯-=_ _ _ _ _ _ _.心(5)h m-l-c-o s(x2+y2)=_ _ _ _ _ _ _ _ _.(X,J)T(O,O)x(x,y)-(0,0)-|-yZ(6)函数z=，在 间断.j2-2x2.求下列极限：Jx2+y2+4-2(1)l i m-(x,y)-*(O.O)X2+yL班级:姓 名：
11、学号:(2)lim(l+-K-8 Yy r O(3)lim(o、o)孙-18-高 等 数 学 练 习 册 第八章 多元函数微分法及其应用(4)lim(x,y)T O,O)l-cos(x2+y2)(x2+y2)exy23.证明：极%网。不存在.班级:姓名:学号:xsin-(x,y)H(0,0)4.函 数/(x,y)=，+y 2 J 在(0,0)处是否连续？为什么？0,(x,y)=(0,0)-20-高等数学练习册 第八章 多元函数微分法及其应用习题9-2,9-3 偏导数，全微分1 .填空题：,“I/、H z d z z =l n(x y)9=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，
12、=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ox dy/八 z i x v d z d z(2)z =(l +x y),=_，=_ox dy(3)=J,半=oxdud z(4)z=a r c ta 咤照=d2zdxdy(5)已知=x ,=(6)已知 z=l n(x?+y?+l),d z|(2)=2.设/(%,y)=x+(y-l)a r c s i n求 A O U).班级:姓名:学号:3.设/（x,y）在点（a,加处的偏导数存在,求limf(a+x,b)f(a x,b)x4.求函数 f(x,y)=x4+y2,0,9 9厂 4-y-丰0在 点（0,0）处的一阶偏导数，并证
13、明此函X2+y2=0数在该点不连续。-22-高等数学练习册 第八章 多元函数微分法及其应用一小、十 2 7 n r dr 25.验 证 r=J 厂+y+Z 7 两 足,+7 4-r =一。dx dy d z r班级:姓名:学号:6.求下列函数的全微分:25+/s 3/(2)设f(x,y,z)=()+/(尤-y)+.力，其中函数具有二阶连续导数,Jx-y具有一阶导数，证明：d2z d2z京 一 讲-28-高 等 数 学 练 习 册 第八章 多元函数微分法及其应用习题9-5 隐函数的求导公式1.填空题：(1)设 I n yjx2+y2=a r c ta n -,则 虫=_ _ _ _ _ _ _
14、_ _ _ _ _ _x dx(2)设x +2 y +z-2 j x y z=0,则 如=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，=.dx dy(3)设 =l n 2,贝 1 正=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _z y dx(4)设e；町z=0,则dx1x=ue 一 ,du确定，则=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _y=velt ox加2.设2 s i n(x +2 y-3 z)=x+2 y-3 z,证明它+任=1.dx dy班级:姓名:学号:3.设(#)具有连续偏导数，证明由方程中(c x -o z,c y-反)=0所
15、确定的函数./、I-I H z,dzz=/(x,y)湎足。k+Z?丁 =c.o x dy4.设=/(x,y,z)=x y2z3,其中z是 方 程/+y?+z2-3盯z=0所确定的x、y的函数,加求w(U.1)-3 0-高等数学练习册 第八章 多元函数微分法及其应用x+y+z=O d x dy2 2 2 求丁 十x+y+z-I dz dz班级:姓名:学号:6设y=/(x,r),而，是方程尸(x,y,r)=O所确定的光、y的函数，其中/、尸都具df dF df dF有一阶阶连续偏导数，试证明：虫=.蚁,连咚坐dx oj oF oFdt dy dt-32-高 等 数 学 练 习 册 第八章 多元函数
16、微分法及其应用习题9-6,9-7 多元函数微分学的几何应用，方向导数与梯度i.填空题：（1）曲线 =-5 m/,丁 =l-c o s f,z =4s i n：在点（5 一1,1,2 后）处的切线方程为，法平面方程为.（2）曲线V=2mx,z2=加一在点（尤 o,X p Z o）处的切线方程为,法平面方程为.（x2+y2+z2 6（3）曲线4:,在 点（1,1,2）处的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,法平面方z=x2+y程为.（4）曲面e：-z +孙=3在 点（2,1,0）处的切平面方程为,法线方程为.（5 ）函 数 =D Z 在 点（5,1,2）处 沿
17、 从 点（5,1,2）到 点（9,4,1 4）的方向导数为.（6）设/（尤,y,z）=l n（x+y?+z?,则 g r a 4Hl,0,l）=.班级:姓名:学号:2.求椭球面X2+2/+Z2=|上平行于平面X-y+z=4的切平面方程.3.在曲面z=xy上求一点，使这点处的法线垂直于平面x+3y+z+9=0,并写出这法线的方程.-34-高 等 数 学 练 习 册 第八章 多元函数微分法及其应用I-4.求 函 数 二一 在 方 向/=（cosa,cos p,cosy）上 的 方 向 导 数（其 中rr=x2+y2+z2,a,B、7为7的方向角）；若 半=0,则7与7=（尤,y,z）关系如何？5.
18、试证曲面孙z=4?上任何点处的切平面与三坐标面围成的立体的体积为定值（”（）.班级:姓名:学号:6.求函数=沿曲线彳=入y=2*=一2/在点加(1,2,-2)处的切向量ylx2+y2+z2方向的方向导数.7.求数量场 =2+z 3一盯在点M(l,1,2)处的梯度及沿向量7=7+0 7 +1方向的方向导数.-36-高 等 数 学 练 习 册 第八章 多元函数微分法及其应用习题8-8多元函数的极值及其求法i .填空题：(1)z=X1-y+2xy-4x +8y 驻点为.(2)f(x,y)=4(x-y)-x2-y2 的极_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 值为.(3)f(x,y)=e2x(x+y2
19、+2y)的极_ _ _ _ _ _ _ _ _ 值为.(4)z =x y在适合附加条件x +y =1下的极大值为.(5)=/(x,y)=在 o =(尤,),2 +y 2 w 上的最大值为,最小值为.2.将周长为2的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，间矩形的边长各为多少时,才可使圆柱体的体积为最大？班级:姓名:学号:3.欲造一无盖的长方体容器，已知底部造价为每平方米3 元，侧面造价为每平方米1 元,理想用36元造一个容积为最大的容器，求它的尺寸.-38-高 等 数 学 练 习 册 第八章 多元函数微分法及其应用4.旋转抛物面Z =/+y2被平面x+），+z =l截成一椭圆，求原点到该椭圆的最长
20、与最短距离班级:姓名:学号:2 2 25.在 第 一 卦 限 内 作 椭 球 面,+为+3=1的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小，并求此切平面的方程。-40-高 等 数 学 练 习 册 第九章 重积分习题9-1,9-2 二重积分的概念及计算法(一)i.填空题：(1)由二重 积 分 的 几 何 意 义 得-y2da=.v2+y2l(2)根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：=JJln(x+y)d 0)所围成的闭区域，/(x,y)da=.XD2-J l x x2(4)交换积分次序：必:力=；交换积分次序：力必:+J：心J。/3,)么=.2.利用二重积分的性质，估计积分的值：/
21、=jj(x2+4 2+9 W，其中。是圆形闭区域：x2+y2 4.D班级:姓名:学号:3.计算下列二重积分:(1)I=.ycos-d a,其中。是顶点分别为(0,0),(1,0),(1,2)和(0,1)的梯形闭区域.(2)/=J J(x-y)2 d c r,其中 是由W+所确定的闭区域.D-42-高 等 数 学 练 习 册 第九章 重积分4.计算二次积分公 一办.力 Jx xln y5.交换积分次序，证明：dy en,(a-x)f(x)dx=(a-x)e,(a-x)f(x)dx.班级:姓名:学号:6.设平面薄片所占的闭区域。是由直线x+y=3,y=x和y轴所围成，它的面密度p(x,y)=x2+
22、y2,求该薄片的质量.7.求由曲面z=X 2+2y2及z=6-2/-y 2所围成的立体的体积.-44-高 等 数 学 练 习 册 第九章 重积分习题9-2二重积分的计算法（二）i.填空题：（1）把下列二重积分表示为极坐标系下的二次积分 J J /(，x2+y22x2 y+y,a r c t a n )dxdy=x D =(x,y)|l x2+y2 x J Je,x+y dxdy=D（2）化下列二次积分为极坐标系下的二次积分 1 r/网*/U2+y2）dy-（a 0）；dx f x2+y2)dy林广/(a r c t a n y)J y=x 公I：)(x，y)“y=班级:姓名:学号:2.用极坐标
23、计算下列积分的值:(1)l =-=d x d y,其中。是由曲线y=/与直线)=无所围成的闭区域.(2)/=j l n(l +/+2时0 ,其中。是圆域x2+y2 0）围成的区域为底，而以曲面Z =/+y 2为顶的曲顶柱体的体积.-4 8-高 等 数 学 练 习 册 第九章 重积分习题9-3三重积分(一)1.填 空 题：化三重积分I=J J J f(x,y,z)dv为直角坐标下的三次积分，其中积分区域QC(1)由曲面Z =J+y2及平面z=l所围的闭区域，I=;(2)由上半球面Z=JR2-X2 y2及xo y坐标面所围闭区域,I=;(3)由锥面z?=/+/及柱面=i所围成的在第一卦限内的闭区域
24、,1=;(4)由双曲抛物面z=xy及平面%+丁=1/=0所围成的闭区域，I=；(5)由曲面Z =J+2 y 2及z=2-所围成的闭区域,班级:姓名:学号:2.计算下列三重积分：(1)jjjxydxdydz,其中Q是由平面x=0,y=0,z=0,以及尤+y+z=1所围成的闭区域.(2)JJJxzdxdydz,其中。是由平面z=0,z=1以及柱面y=/所围成的闭区C域.-50-高 等 数 学 练 习 册 第九章 重积分3 .若C 为 a W x W b,c y d,l z m,证明:J J J f(x)fi(y)fi(z)dxdydz=力()时：力(z)d z.Q4 .利 用“先二后一”的方法计算
25、下列三重积分:(1)I=j j j zdxdydz,其中。是锥面：Z =2jf+y2与平面2 =秋/?0,%0)所Q R围成的闭区域.班级:姓 名：学号:(2)J J J J小，其中Q：曲面/=y 2+z 2与平面x=l围成的闭区域.-52-高 等 数 学 练 习 册 第九章 重积分习题9-3三重积分（二）i.填空题：（1）利用柱面坐标化三重积分为三次积分并算出结果：。为柱面x2+y2=1与平面z=O,z=l所围成的在第一卦限内的闭区域，川孙公=-:Q Q是由曲面Z=2-/-y 2 及 z=/+y 2 所围的闭区域“zdv =-；Q（2）Q 是由曲面z=J2 y?与 z=1 +2所 围 成,在
26、 指 定 的 坐 标 系 下，将/=小化为三次积分：Q直角坐标系/=;柱面坐标系I=;球面坐标系I=.班级:姓名:学号:2.选用适当的坐标计算下列三重积分：(1)/=j j j(x2+/)J v,其中Q是立体/2+z?w/及zi o(o a )的Q公共部分.(2)I-j j j z2dxdydz,其中 Q 是两个球面：x+y+z2 A x1+y+z1 )=(尤,中,2 +卜 2 “.(1)讨论FQ)在区间(0,+8)内的单调性.(2)证明当，o时，F(r)-G(z).兀-56-高 等 数 学 练 习 册 第九章 重积分习题9-4 重积分的应用i .填空题：(1)一平面薄片位于抛物线y=/及直线
27、)，=之间，密度0(x,y)=x 2 y,则它的质心坐标是.(2)由抛物面y2+z2 4 x和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的质心坐标是(3)设平面薄板所占区域为。，面密度为p(x,y),则：平面薄板对x轴的转动惯量为；平 面 薄 板 对 坐 标 原 点 的 转 动 惯 量 为；平面薄板对直线y =1的转动惯量为.(4)曲面Z =2 *2 及z =所围成的质量分布均匀(设密度为)的物体关于O Z轴的转动惯量的表达形式是,将此三重积分化为球面坐标下的形式是，计算结果是班级:姓名:学号:2.求底圆半径相等的两个直交圆柱面/+:/=火2及，+?2=R2所围立体的表面积.3.球体V+y2+z2
28、W 2Hz内各点处的密度等于该点到原点的距离的平方，试求这球体的质心.-58-高 等 数 学 练 习 册 第九章 重积分4.在半径为K的均匀半圆形薄片的直径上，要接上一个边与直径相等的均匀矩形薄片，为了使整个均匀薄片的质心恰好在圆心上，间接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少（设两块薄片为同一种材料）？5.求由抛物线y=V及直线y=l所围成的均匀薄片（设密度为p=l）对于直线y=1的转动惯量.班级:姓名:学号:6.一均匀物体（密度P为常数）占有的闭区域Q由曲面z =/+y 2和平面z =0,凶=1 ,|y|=l所围成，（D求物体的体积；（2）求物体的质心；（3）求物体关于o z轴的转动惯量.
29、-60-高 等 数 学 练 习 册 第十章曲线积分与曲面积分习题1 0-1对弧长的曲线积分1.填空题：(1)山j Y+y 2Ms(其中L：V +y2=1)的定积分形式为.(2)L:以(0,0)、(1,1)、(1,0)为顶点的三角形的边界，则 杰=.(3)L:y=/上0 4 x W 1 的弧段，Lxds.(4)/=.-ds,其中：1cos，,y=sin，,z=e 上，从 0 到 2 的这J x+y+z段弧，1=.产 t3(5)曲线L：jc=f,y =,z =w(0 W rW l),线 密 度 夕=而，则曲线L 的质量M 的定积分形式为.2.计算下列对弧长的曲线积分：(1)/=yj x2+y2ds
30、 ,其中 L 为圆周尤2 +2=or(a 0).班 级：姓 名：学号:(2)/=x d s,其中L 为由直线y=x 及抛物线y=V 所围成的区域的整个边界.(3)I=jLX2y d s,其中L 为正方形W+|y|=l 的边界曲线。-62-高 等 数 学 练 习 册 第十章 曲线积分与曲面积分(4)/其中L为圆周 2+旷2=。2(。0),直线y =x及y轴在第一象L限内所围成的扇形边界.(5)l=Lxyzds，其中 L 为折线 A6 C。,这里 A(0,0,0),B(0,0,2),C(l,0,2),0(1,3,2).班级:姓名:学号:3.求摆线x=(r-sin/)的第一拱(0/W 2)关于ox轴
31、的转动惯量(设曲线上各点y=(1-cos t)处的密度等于该点到QX轴的距离之值).-64-高 等 数 学 练 习 册 第十章 曲线积分与曲面积分习题10-2对坐标的曲线积分1 .填空题：=2 厂+/+1(1)曲线L 为 ，上 从 点(1,1)到(4,2)的一段弧，=厂+1/=j(X+y)公+(y-幻玲的定积分表达式是，且1=.(2 )曲 线 L 为=攵6,y =a c o s 6,z =a s i n。上 从 6=0到。=的 弧 段，I=1*2 公+zdy-ydz的定积分表达式是,且/=.(3)计算/=-孙 办，其中。为原点，A点坐标为(1,1).04为抛物线y =尤 2,则/=；0 A 为
32、 x =0,0 W y W l 及 y =l,0 W x W l 的折线段，则/=.(4)设方向沿。)，轴的负方向，且大小等于作用点的横坐标的平方的力构成一力场，求质量为加的质点沿抛物线1 一%=V 上从A(l,0)移到8(0,1)时力场作的功.受力F =；功的微元“卬=:W 的积分表达式为其值为班级:姓名:学号:2.计算下列对坐标的曲线积分(1)2 2I ydx+x d y,其中L是椭圆方=1 上由点 A(tz,O)经 8(0,。)到 C(-,0)的弧段.（2）Lx y d x,其中L是 曲 线/+/2=2办（。0）及 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）.-66-高
33、等 数 学 练 习 册 第十章 曲线积分与曲面积分 皿其中L为圆周，+丁=2按逆时针方向绕行(a 0).(4)l=j Ldx-dy+y d z,其中 L为有向闭折线 ABCA,其中 A(l,0,0),3(0,1,0),C(0,0,l).班级:姓名:学号:3.一力场由依横轴 正 方 向 的 常 力 声 所 构 成，试 求 当一质量为加的质点沿曲线2 2与+5 =1按逆时针方向移过位于第一象限的一段弧时场力所作的功（。0,方0）.a2 h2-68-高 等 数 学 练 习 册 第十章 曲线积分与曲面积分习题1 0-3格林公式及其应用i.填空题：(1)用第二类曲线积分表达变力户=(3x+y,2y-x)
34、将质点沿椭圆4/+/=4正向运动一周所做的功W =,应用格林公式将其化为二重积分的表达式为，计算其值为.(2)平面区域。的边界曲线。是光滑的，则用曲线积分的形式表达区域。的面积为或 或_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一 人 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
35、_ _ _ _ _一 人 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(3)利用曲线积分求星形式N=。85 3八 丁 =。5抽3 所围图形的面积的表达式，A=,由 对 称 性 只 需 计 算 第 一 象 限 部 分，则A=,计算其值为.(4)L 是。：/+2 W-2x 的正向边界，则(丁 一 力:;+。),3)力=_2.利用格林公式计算下列曲线积分：(1)/=f x2ydx+yxdy,其中 L 是圆/+
36、丁=2x 正向.班级:姓名:学号:(2)/=(2 x-y +4)d r+(3 x +5 y-6)d y ,其中 L为三角形(0,0),(3,0),(3,2)的正向边界.(3)/=1(2孙3 -y 2 c o s x)公+(1 -2 y s i n x +3%2 y与 力，其中L为沿抛物线2犬=町/L上 由 点(0,0)至I(-,1)的弧段.2-7 0-高 等 数 学 练 习 册 第十章 曲线积分与曲面积分(4)1=(x+y)dx-(x-y)dy,其中L为正方形W+H=a正 向（。0）.(5 )计 算/=J(e*s i n y -5 y)办+(/c o s y -5)d y ,其中 是 从 点(
37、2,0)沿椭圆L2 2L +二=1至(0,3)的小弧段.4 9班级:姓名:学号:3.讨论并计算T筌冷其中L为任意一条不过原点的简单闭曲线正向.4.设函数夕(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分f奴吗+2产的值恒为同一常数。2/+y 4(1)证明：对右半平面尤 0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有夕()+=o ；丘 l x2+y4(2)求函数Q(y)的表达式。-7 2-高 等 数 学 练 习 册 第十章 曲线积分与曲面积分习题1 0-4对面积的曲面积分1 .填空题：(1):平面2 +2+.=1在第一卦限部分，则 s=dxdy,计算乙 2 3 4f f(z +2 x +
38、-y)ds =.z 3(2)球面/+j2+z2=a?上 z 2 h (0 h 2+2)心，其中E 是:(1 )半球面 Z=yja2-f 一 y2.(2)锥面z=及平面z=l 围成的区域的整个边界.-74-高 等 数 学 练 习 册 第十章 曲线积分与曲面积分3._ 弓dS,其中Z是界于z=0,z=2之间的柱面f +y2=4.J2 X +y+Z4./=JJ(2x+z)dS,其中2为球面*2+y2+z2=9上z 2 l的部分.班级:姓名:学号:5 ./=，(孙+y z +x z)ds,其中2为锥面z =被柱面/+V=2 o r所载的z部分.6 .求半球面2 =一 一 尤2一y的质心坐标,假定其上一
39、点的面密度为该点到o z轴距离的平方.-76-高 等 数 学 练 习 册 第十章 曲线积分与曲面积分习题10-5对坐标的曲面积分1 .填空题：(1)设流速场万=(0,0,1),则流过球面尤2+/+22=7?2的流量中=(2)设Z：锥面V=/+z2介 于0 W y W/1之间所围立体的外侧在第一卦限部分，则锥面上任一点处法矢量的方向余弦为：c o s a -；c o s 尸=；c o s /=；y-z)dydz+(z -x)dzdx+(x -y)dxdy=(3)Z为球面V+y 2+z 2 =的外侧，则 ff(2+22)dxdy=.(4)Z 是圆柱面/+/=4被平面x+z =2和z =0所截部分的
40、外侧,则 ff(x +l)dxdy-y2dzdx=班 级：姓 名：学 号：2.计算下列对坐标的曲面积分：(1)/=J J x 2 y 2 z a g,其中是球面父+y2+z2=R2下半部分的下侧Z(2)/=xzdxdy+xydydz+yzdzdx,其中 E 是平面 x=0,y=0,z=0,zx+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.-78-高 等 数 学 练 习 册 第十章 曲线积分与曲面积分(3)(x-yz)dydz+zdxdy,Z为柱面/+/=1被平面 =。与？=1所截得的曲面的外侧.(4)j=dxdy+(y2+z2)dydz,E为锥面z=Jx?+及平面z=1,z=2所围立体表面
41、的外侧.班级:姓名:学号:(5)/=(y2-z)dydz+(z2-x)dzdx+(x2-y)dxdy,Z 为锥面 z=+7中0 z 2部分的上侧.3.利用两类积分之间的关系计算积分I=dydz+dzdx+dxdy,其中Z为平面x+y+z=0被 球 面/+=尺2所截部分上侧.-80-高 等 数 学 练 习 册 第十章曲线积分与曲面积分习题10-6,10-7高斯公式，斯托克斯公式i.填空题：(1)利用高斯公式计算xdydz+zdxdy(其中2为平面x+y +z =1与三坐标平面所围立体的表面的内侧)=.(2)曲面积分目(丁+)2”就 力(其中E为柱面/+y 2=i与平面z =o,z =2所围立体表
42、面外侧)化为三重积分为,其值为.(3)xydydz+-/()+y3 4 5dzdx+-/()+z3dxdy(其中 小)为具有连续导数”z z y Z的函数，Z 为球面/+V+z2=R 2的外侧)化为三重积分,计算其值.(4)A=exyi+c o s(x y)j 4-c o s(x z2),向量场 A 的散度 di =.(5)A=(2z-3y)i +(3x-z)J+(y -2x)k,向量场的旋度.班级:姓名:学号:2.利用高斯公式计算：(1 )/=xdydz+ydzdx+zdxdy,其 中Z是 介 于z=0和z=3之间的圆柱体zx2+y2 0)的上侧.-82-高 等 数 学 练 习 册 第十章
43、曲线积分与曲面积分3.已知E 为 。z 平面上的曲线z=e，(OWy)绕 z 轴旋转而成的曲面下侧，且A4xzi -2 y y+(-z2)k ,求 X 穿过2 流向E 下侧的通量.班级:姓名:学号:+J +z2=94.计算/=jvir+3xdy-z2dz,其中L为圆周.,若从z轴正向看去，这圆周是取逆时针方向.-84-高 等 数 学 练 习 册 第十一章 无穷级数习题11T 常数项级数的概念和性质1 .填空题：（1）收敛，则+3）=.”）8=1（2）收敛，且 5.=4+的+%，则 l i m（S”+i+S.1-2 5“）=_ 7 一 8n=（3）（g +；）+（/+*）+（M +最）+,的和是
44、-（4）若的和是3,则的和是.n-=3（5）的和是2,则 口的和是_.=1n=2（6）当凶1 时，的和是-=12.根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性:（1）y7力；七（3-2）（3 +1）班级:姓名:学号:(2)Z(J)+2 2,+1 +V n)M=i3.判别下列级数的敛散性:(1)E 1 0.001n=l-8 6-高等数学练习册 第十一章 无穷级数(2)t=|2-3 T/、1 ,1 C 1(3 )b l d-F 2 +H-F +5 2 5 5 (一 1)哈 班级:姓名:学号:8En=23n-4.已知级数Z%的部分和为s =-，试写出该级数，并求其和。n=l乙-8 8 -高 等 数
45、学 练 习 册 第十一章 无穷级数习题2常数项级数的审敛法1 .用比较审敛法或比较审敛法的极限形式判别下列级数的敛散性：n=l+2)J +1(2)V-COSW l+M(3)0 O 兀)s i n M 4=1 R班级:姓名:学号:2.用比值审敛法或根值审敛法判别下列级数的敛散性:(1)n=l(2/z-l)!3”！(2)coz=12加(3)coz=1n2n-l3一1-90-高等数学练习册 第十一章 无穷级数3.判别下列级数的敛散性:(1)y n2+T公2 加(2)coZ=14+(7)3(3)y an(。0)班级:姓名:学号:4.判断下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛？(1)(-l)n(
46、l-C 0 S-)f(0)81（2）y（-1）-“=2 In 5.设 均绝对收敛，证明Z(4-ar 收敛n=n=lM=1-92-高 等 数 学 练 习 册 第十一章 无穷级数习题1 1-3 塞级数i.填空题：（1）若幕级数在尤=0 处收敛，则在无=5处（收敛、发散）.（2）若 lim 上 =2,则基级数的收敛半径为.8(-3)X11(3)Z 的收敛域.=1 （4）3+（；1）；，r 的收敛域_ _ _ _ _ _.?i=o 3c o 2/1+1（5）Z（T）Jr的收敛域_ _ _ _ _ _ _ _-=及 28 1 +11（6）上。3 2）的收敛域_ _ _ _ _ _ _.七 1+22.求下
47、列基级数的收敛域：四x占 2包!班级:姓名:学号:(2)2-2=1 乙 En=l3+(-2)-L(x+)”n-94-高 等 数 学 练 习 册 第十一章 无穷级数3.若基级数Z a“x 的收敛域是 9,9),写出Z%”的收敛域.n=n=4.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数:(1),(-1 x l)n=l班级:姓名:学号:oo 2/z I 0 1(2)V-,(-l x =，bn=(=1,2,).(2)满足收敛定理条件，其傅立叶级数的和函数为S(x),已知/(x)在尤=0处左连续，且 f(0)=-1,5(0)=2,则 l i m f(x)=.1 0*1 +二，一4 x 0(3
48、)设/(x)=(n 展成以2%为 周期的傅立叶级数的函数为S(x),则1-,0 W x%L 7 1S(-3)=,5(1 2)=,S(k 兀)=(k 为整数)(4)/(x)是以2为周期的函数，已知其傅立叶系数是耳,若g(x)=/(x),则g(x)的傅立叶系数。：、耳:与a,也的关系是a：=,b；=.(5)/(x)=e c o s x在 一肛万 上傅立叶系数g=,b=班级:姓名:学号:2 .将函数/（x）=，展开成傅里叶级数.3.以2%为周期的周期函数/（幻 在-乃,%上的表达式为0 ,-n x Q/（x）=，将其展开为傅里叶级数.1,0 W x -l n x =0称为 阶微分方程.(2)设 =了
49、(9，2,c“)是 方 程 y -盯+2)=0的通解，则任意常数的个数(3)设曲线y =y(x)上任一点(x,y)的切线垂直于此点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程.(4)设曲线y =y(x)上任一点(x,y)的切线在坐标轴间的线段长度等于常数则曲线所满足的微分方程.(5)质量为加的物体自液面上方高为。处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动速度v 成正比，用微分方程表示物体在液体中运动速度与时间的关系是,初始条件.(6)方程y =x 可化为形如 微分方程.2 .微分方程的通解包含方程的全部解，对吗？试考察以下微分方程y，=J l-y +的通解 y=xsi n(ln x+c)及解
50、 y=x.班级:姓名:学号:3.证 明：y=qe+C2e法是微分方程y （4+4）y+4 4 y =0的通解.4.已知一条曲线过点。，一；）且在其上任一点（x,y）处的切线的斜率为xln（l+/）,求此曲线的方程.-106-高 等 数 学 练 习 册 第十二章 微分方程习题7-2可分离变量的微分方程i.求下列微分方程的通解：(1)必，+-4 x)力=0J+3 x(2)y+-=oy(3)3ex ta n ydx+(2 -eA)se c2 ydy=0班级:姓名:学号:2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：x2ydx+(x2y2+y2-x2=1(2)日+尾()=.昼卜 乃2.质量为1克的质点受外