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1、绝密本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数 学(文)(北 京 卷)本试卷共5 页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考 蝙 束 后，将本试卷和答题A并交回。第 一 部 分(选 择 共 40分)一、选 择 共 8小题，每小题5 分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合月=H-l x 1,则HU8=A (-1,1)B,(1,2)C.(-1,+8)D.(1,+8)【答案】C【解析】【分析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】=,.ZU6 =(-l+8),故 选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题2.已
2、知复数A2+1,则z 2=A 后 B 石 C.3 D,5【答案】D【解析】【分析】题先求得5,然后根据复数的乘法运算法则即得.【详解】,.,z =2+i,z z =(2+i)(2-i)=5 故选D【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共毓复数的定义等知识，属于基础题.3 .下列函数中，在 区 间(0,+8上单调递增的是A%B.J=2-X C.=1SIX D.y=-y-x 2 x愿你以渺小启程，以伟大结束。【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.【详解】函数=2-=l o g j,2了=；在区间（0,2）上单调递减，函数=x,在区间（0，*。）上单调递增，故选4【点、
3、睛】本题考查简单的指数函额、对数函数、幕函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.4执行如图所示的程序框图，输出的s值为/输出S/（结束）A.1B.2C,3D,4【答案】B【解析】【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可【详解】运行第一次，兀=1,s=M-=2 ,3 x 1-2愿你以渺小启程，以伟大结束。2运行第二次，k=2 ,s=，_ J=2 ,3 x2-2运行第三次，k=3,s=q=2,3 x2-2结束循环，输出s=2,故选B【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查5 .已知双曲线4一I/=1(a 0)的离心率是君 则maA
4、痛 B,4 C.2 D.【答案】D【解析】【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于。的方程求解【详解】1双曲线的离心率e =豆，。=万万，a.叵L石，a解得，故 选D.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中aac的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.设函数/(X)=co sv+加inx e 为 常 数),则”=0“是V(r)为偶函数”的A充分而不必要条件 B,必要而不充分条件C.充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据定义域为R的函数FC)为偶函数等价于/(一1月八为进行判断【详解】5 =0时，/(x)=co sx
5、+Z)sinx=co sx,/为偶函数；*x)为偶函数时，对任意的x恒成立，愿你以渺小启程，以伟大结束。3f(-x)=co s(-x)+Z?sin(-x)=co s x-b sin xco sz+&sinx=co sx-h sinx,得=0对任意的x恒成立,从而5 =0.从而=0”是 1Ax)为偶函数”的充分必要条件，故 选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足加2-%=导，其N%中星等为强的星的亮度为&(为L 2).已知太阳的星等是 范7,天 狼 星 的 星 等 是14 5,则太阳与天狼星
6、的亮度的比值为()A IO】”B.10.1 C.Ig l O.l D,IO-10-1【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于玛，玛的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足ga-n=|值!1,令的2=-1-4 5,n=-26.7,l g-=|(2-A1)=|(-1,4 5+26.7)=10.1,-=10101.故 选A.【点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识.信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运M.8如图，A,8是半径为2的圆周上的定点，尸为圆周上的动点，N 4 P 8是锐角，大小为3.图中阴影区域的面积的最大值为A.4jff+4cosjff
7、B.4/?+4sin/7 C.2/?+2co?ff D.邛+2sin?【答案】B【解析】愿你以渺小启程，以伟大结束。4【分析】由题意首先确定面积最大时点P的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值【详解】观察图象可知，当P为弧48的中点时，阴影部分的面积S取最大值，此时NBOANHO在 面 积S的最大值为“X 2?x孕+S时$“办+1 I。刊OB sin(7F-2”2+；10Hl O/|sin(”-0=4/J+2sin#+2sin/7=4/J+4sin/7.故 选8【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度关键观察分
8、析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9已知向量0=(-4,3),片=(6,m),且；J_g,贝I所【答案】S.【解析】【分析】利用；转化得到a =0加以计算，得到旗.【详解】向量。=(一4,3),%=(6,加)，&_1 _友贝Ua 力=0,-4x6+3演=0,m=8【点睛】本题考查平面向量的坐标运算,平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.愿你以渺小启程，以伟大结束。5x 2,io.若X,j满足 0,【答案】（1）.-3.（2）.1.【解析】【分析】作出可行域，移动目标函数表示的直
9、线，利用图解法求解.【详解】作出可行域如图阴影部分所示.设z=y-凡 则1y=x+z.当直线1y=x+z经 过 点 巩2,-1）时.z取最小值-3,经过点幺（2,3）B寸,z取最大值L【点、睛】本题是简单线性规划问题的基本题型，根 据“画 移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.1 L设抛物线产=4%的焦点为尸，准线为人则以歹为圆心，目与7相 切 的 圆 的 方 程 为.【答案】（x-iy+jM.【解析】【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果【详解】抛 物 线 产 气 中，2p=4,p=2,焦 点”1,0），准线1的方程为L1
10、 ,愿你以渺小启程，以伟大结束。6以歹为圆心，目 与，相切的圆的方程为（*1）斗产=y 即为iy+.M=4.【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那 么 该 几 何 体 的 体 积 为.【答案】40.【解析】【分析】本题苜先根据三视图，还原得到几何体.根据题目给定的数据,计算几何体的体积.属于中等题.【详解】如图所示,在接长为I 的正方体中,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱切鼻4-畋 GEI之后余下的几何体
11、，愿你以渺小启程，以伟大结束。7几何体的体积/=4 3 ；(2+4)X 2x4 =4 0.【点睛】(D求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；0港所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.13 .已知1,那是平面)外的两条不同直线.给出下列三个论断：以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.【答案】如 果LLa,m/fa.,则 或 如 果7 _La,则ma【解析】【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为
12、条件、结论，得到如下三个命题：(1)如果 U a,m/a,则 7 L”.正确;(2)如果 J-La,/)n,则ma正确；(3)如 果JL”，m/a,贝心 La不正确，有可能，与a斜交、l/a【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.14 .李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为6 0元/盒、6 5元 脸、S0元 磨、9 0元值.为增加销量，李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笺订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的8 0%.当L10时，顾客一次购买草莓和西瓜含1盒，需要支付
13、_ _ _ _ _ _ _ _ _元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为愿你以渺小启程，以伟大结束。8【答案】(1).13 0.(2).15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x的最大值.【详解】(1)x=10,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付(6 0+8 0)-10=13 0元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为丁元，y 6 0。，求证：平 面P 1B一平面PAE(川)棱尸8上是否存在点F,使 得C下平面P A E?说明理由.【答案】(I )见解析；(II)见解析3(III
14、)见解析【解析】【分析】(I)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(H)由几何体的空间结构特征首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理可得面面垂直：(川)由题意，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可找到满足题意的点【详解】(I )证明：因 为 为 _L平面4 9 U D斯 以R 4 _ L B D；因为底面45s是菱形，所以4 C_LBD;因为产4 1 4 7 =工,取,工(7(2平面入(7,所以&D_L平面凡4 c.(II)证明：因为底面458是菱形且乙4 BC=6 0。，所以山48为正三角形，所 以 盘J_GD,因为 A B I I C D，所以 A E L A B
15、)因 为 以_L平面 3 8,超 u平 面 检C3,所 以 丝_LR4；因为 E4 I A B=A所 以 花1平面上4 3,A E c平面P A E所以平面P A B 1平面P A E(III)存在点F为F B中点时，满足C F平面P A E;理由如下：愿你以渺小启程，以伟大结束。12分 别 取 咫 力 的 中 点 凡G,连接C尸，尸G/G.在三角形E4 8中，尸G 力8且爪7=2 4 5；2在菱形458中，E为CZ)中点，所以目匿所以C5 1尸G且 支=阳，即四边形C E G F为平行四边形，所以C*II E G -又C F0平面P A E ,EG u平面P A E,所 以 绥 平 面P A
16、 E .t点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知椭圆C:4+W =l的右焦点为(L0),且经过点融0).a b(1)求椭圆。的方程；(II)设。为原点，直线？。=以+3，1)与椭圆。交于两个不同点P,Q,直 线 期 与x轴交于点,直线力。与K轴交于点N,若|明”皿=2,求证：直 线I经过定点.【答案】(1)y +/=h(I D见解析.【解析】【分析】(I )由题意确定 的值即可确定椭圆方程3(II)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定。M O N的表达式，结合韦达定理确定r的值即可证明直线恒过定
17、点.12【详解】(【)因为椭圆的右焦点为(L0),所 以 三；愿你以渺小启程，以伟大结束。13因为椭圆经过点A0.1)，所以3 =1,所以/=*+1 =2,故椭圆的方程为i-+/=l.(II)设尸(公,必),。,%)x2 2 _联立1 万+=1得。+2好)/+奴 拄+22-2=0,y=kx+t(t 0 1)4 /2Z2-2 2t 瓦+句=时*户由必+%=何 公+切+2=1记 心 一 2P九乃=k五 五2+/(再+)+d =+直线-1=其 二1 X,令 丁=0得 芯=;、，即P肠 卜 二 ；A 八一】当一1同理可得|。曾 上 言.因为|。M|加|=2，所以二=1/、J=2；|乃一 1|乃一1|仅
18、 必-&+乃)+13-12 c,=1,解之得=0,所以直线方程为了=H，所以直线，恒过定点(0.0).【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(，主意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；C那化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.20.已知函数，(不二/一工,+院(I)求曲线丁=/(x)的斜率为1的切线方程；(11)当天父一2,4 时，求证：x-6 f(x)x；(III)设尸(x)=|/(x)-(x+a)|(ae R),记F(力在区间-2,4 上的最大值为“，当”最小时，求。的值.【答案】(1 )x-y=0
19、和27工-27丁-6 4=0.(II)见解析；(III)a=3愿你以渺小启程，以伟大结束。14【解析】【分析】(I)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；(H)由题意分别证得了(x)-6)2 0和了(力-x W 0即可证得题中的结论；(川)由题意结合(II)中的结论分类讨论即可求得a的值.【详解】(I)r(x)=-x2-2 x+l,令 1r(x)=/-2 x+l=l得x=o或者4 4 3当x=0时，/(0)=0,此时切线方程为丁=Z，即x-y=O；当x=|时，/($=捺，此时切线方程为y=x 号,即27x-27丁-64=0；综上可得所求切线方程为x-
20、V=0和27x-271y-64=0.13 3 9(II)设g(x)=/(x)_x=_/_/,g，(x)=：x2_2x,令g(x)=；x?-2x=0得x=o或者x=K，4 4 4 3o所以当2,0时，g(x)N0,g )为增函数；当xe(0,1)时，g(x)0,g(x)为减函数；当Ox e,4 时，g(x)N0,gG)为增函数；而 g(0)=g(4)=0,所以 g(x)0,即)-汗+6=!/-+6,可求其最小值为力(-2)=0,所以砥x)2 0,即/(x)N x-6,综上可得x 6M/(x)Wx.(Ill)由(H)知-6V/-xMO,所 以 河 是 同,卜+6忡的较大者，若卜|之,+6|,即aW-3时，M(a)=a=-a 3 若同 一3时，M(a)=|ta+6|=3)所以当M 最 小 时，”以)=3,此 时&=一3.【点、睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.愿你以渺小启程，以伟大结束。15