高等数学上考试试题及答案.pdf

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1、四川理工学院试卷（2 0 0 7 至 2 0 0 8 学年第一学期）课程名称：高等数学（上）（A卷）命题教师：杨 勇适用班级：理工科本科考试（考查）：考试 2 0 0 8 年 1 月1 0 日 共6 页0注意事项：1、满 分 1 0 0 分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否题号二三四五八七八九十十一总分评阅（统分）教 师得分叩菽登太则视为废卷。3,考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。试 题忠得分评阅教师一、单 选

2、题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共 1 5 分）指s i n(x2-1)1.hm-=(C )I x-11(A)1；(B)0；(C)2；(D)-2.若/(x)的一个原函数为尸(x),贝 I J 卜7/金7)公 为(B )(A)/(e )+c；(B)F(e x)4-c ；(C)F(e )+c ；版F(e-x)(D)-+cx3.下列广义积分中（D）是收敛的.(A)s i n xdx；(B)f dx；(C)一；J-l X l+X)4./（x）为定义在 a,”上的函数，则下列结论错误的是（B(A)/(x)可导，则/(x)一定连续；(B)/(x)可微，则/(x)不一定可导;(C)/(x)可积(

3、常义)，则/(x)一定有界；(D)函数/(x)连续，则，/力 在 以 上 一 定 可 导。1 +X5.设函数/(x)=l i m-,则下列结论正确的为(D )1 +x(A)不存在间断点；(B)存在间断点x=1 ；(C)存在间断点x=0；(D)存在间断点x=-l得分评阅教师二、填空题(请将正确的结果填在横线上.每题3分，共1 8分)1 .极限l i m =_ 0.XX=+f 22.曲线一,在f =2处 的 切 线 方 程 为.I三3 .已 知 方 程/-5/+6 y =xe?x的 一 个 特 解 为 一 ；(r +2 x)e2 t,则该方程的通解为;4 .设/(X)在x=2处连续，且l i m

4、1 =2,贝i/(2)=x-25 .由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力尸(牛顿)与伸长量s成正比，即尸=船(k为比例系数)，当把弹簧由原长拉伸6c加时，所作的功为 焦耳。2 -6.曲线y =工2上相应于x从3到8的一段弧长为,得分评阅教师三、设X 7 0时，一(。/+法+,)是比/高阶的无穷小，求常数a,b,c的 值(6分)得分评阅教师四、已知函数旷=a r c s i n x +e-*c o s（3-2 x）,求d y .（6 分）太得分评阅教师n|p五、设函数y =/(x)由方程孙+e、d2y=e确定，求一-dx.（8 分）x=0去4得分评阅教师六、若有界可积函数/(X)满足关系式/(x

5、)=j/(3力+3 x-3,求/(x).(8分)得分评阅教师七、求下列各不定积分(每题6分，共12分)(1)j (1-sin3 0)d0.(2)j jarctan xdx.X 1求 定 积 分17(x)dx.(6分)太n|p去得分评阅教师九、讨论函数/（x）=x-3 x 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.（1 0 分）得分评阅教师十、求 方 程 生=的 通 解（6 分）dx x+y加r得分评阅教师2H、求证：sinx x,7tXG(0,.（5 分）0 7-0 8学年第一学期高等数学(上)理工科(冷 卷参考答案及评分标准一、选择题(每题3分，共1 5分)1.C 2.B 3.D 4.B 5.D

6、二、填 空(每 题3分，共1 8分)1.0 ,2.y=3 x 7,3.y cex 4-C23A (x2 4-2 x)e2 A(q Q 为 任 意 常 数4.2 ,OQ5.0.1 8Z:6.o3三、解：l i m b (a x?+b x+c)=o /.c=i.2 分X TOrex -(ax2-hbx-F c)八 ,/b、八 /八v l i m-=0.l i m(e -a-)=0.4 分.1)x2 1。2 x.a=1 b=0.6 分四、解：y=1-ex c o s(3 -2 x)+2 ex s i n(3 -2 x).4 分V l-x2r.dy j 育 cx c o s(3 2 x)+2 s i

7、n(3 2 x)dx.6 分 丘 刀 dy y dy dy y 八五、解：y+x +ey-=O.=.3 分dx dx dx x+e)X=O,y =l=-ldx x=0 eJ.X =0时=0-2dx28分六、两边求导/(x)=3/(x)+33分/(x)=c e 3 x _ 1 (c 为任意常数).6 分x =0,/(0)=-3/.f(x)=2 e”-1.8 分七、解：(1)J(l-s i n 3 e w e.=J d e+J(l-c o s 2 e)d c o s。.3 分=e+c o s o-c o s e+c3.6分3分r 1 2(2)xarctanxdx=x arctanxJ 2=1 x2

8、 arctan x 1 x+1 arctan x+c6分22 2八、解：=j：(x+l)dx+j gx2dx.2 分_836分二 2 二九、解丁/(幻=l-x 3/(x)3由 广 =0得1=1,/(/)不存在x=0(3分)v/(0)=0/(-1)=2 川)=2X(-8,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+8)/(x)+0不存在0+/(X)不存在+7分 /(x)在(-8,-1均 1,+8)上单增,在-1,1上 单 减x=-l时有极大值2,x=l,有极小值一2。在(8,0上是凸的，在 0,+8)是凹的，拐 点 为(0,0)10分(1)dx 1 3=x+y.十、解；d)y)y对 应 齐 次

9、方 程 =X的通解为x=cydy y3分设 方 程(1)的解为x=代 入(1)得()=；/+C5分1 4-y+C|/6分兀H、证明：令/(x)=sinx-x,xe 0,1分2兀:/(x)=cos尤,/7x)=-sinx 又xw兀r w 05分。四川理工学院试卷(2 0 0 5至 2 0 0 6学年第一学期)课程名称：高等数学出题教师：岳健民适用班级：本科多学时(不含职教)一、单项选择题(1 5分，每小题3 分)题号一Z二1六-t八九总分得分1、当 8 时，下列函数为无穷小量的是(A)x Cosx 的(C)x%2X-12.函数/(%)在点0处连续是函数在该点可导的(A)必要条件(B)充分条件)(

10、D)(1+-)xx)(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件3.设/(x)在(。内单增，则/在 力)内()(A)无驻点(B)无拐点(C)无极值点(D)/(%)04.设/(%)在出,b内连续,且则至少存在一点Je(a,b)使()成立。(A)f (J)=0(B)，(2=0(C)，学)=0(D)/-/(Q)=r (J)O-a)Ax5.广义积分1 不 3 0)当(人)时收敛。(A)pl(B)p 1 (D)/?2的连续性，若有间断点,兀x0时,ln(l+x)x (7 分)2八、求由曲线盯=2,y =1,y =2 x (x 2 1)所围图形的面积。(7分)九、设八)在 0上连续,在(0,1)内可导且/=/

11、(0)=0.证明：至少存在一点J e (0,1)使/(J)=/(J)四川理工学院试题(A)参考答案及评分标准(2005至2006学年第一学期)课程名称：高等数学一、单项选择题（15分，每小题3 分）l.B 2.A 3.C 4.A 5.A二、填 空 题（15分，每小题3 分）l .a=2 2.dy=-d x 3.（0,2）单减，（2,+8）单增。2 x4.A =5.a=22三、计算下列极限。（12分，每小题6 分1.解。原式=l i m 二=l i m l +-=e （6 分）X 7 X JeX-1 V 11.解。原式=l i m =l i m =-（6 分）2 x 2 x 2四、求下列函数的导

12、数（12分，每小题6 分）/y =（4-x2）2=-（4-x2）2（-2%）4分解。L 一J1-曳3分dx 2 t 22.解。+t2d2y _ d（t dt _1 1 1 +r2萨-帚区-2,区-4 rdt五、计算下列积分（18分，每小题6 分）r a r c t a n x fJ -1 -+-x21解。原式二=a r c t a n x +l n(l +x2)+a r c t a n2 x+c3分6分7 C _ _ _2 R-J c o s x(l-c o s2 x)dx=-2 p V c o s x dc o sx 3分2.解。原式=(c o s x)2 =6 分3 o 33.解 显 然

13、有：1)=0,/(%)=二2=3 二 2分X X=-x2f(x 卜 行(x)4分，Io，1 p 2 2 s i n x2,1。.2.2=I x-ax-I s i n x ax2 x 2=g c o s /=；(c o s 1-1)6 分六、讨 论 函 数f(x)=2的连续性，若有间断点，指出其类型。2-x,不x 2 k w z 时，c o s x =0 ,所以 x =&乃+k2 ke z2 2是函数的间断点。5分7 T-X且 l i m /(x)=l i m .=8,所以1=攵4+k 2 Zwz是函数的无穷问xTk兀 十 三 xTk兀丁 C O S X 22 2断点。7分七、证明不等式：当尤0

14、时，ln(l+)x-乙(7分)丫2证 明：设/(x)=l n(l +x)-x +2分=T+x =1 +x1 +x且/(o)=oN技叩都籥鬟(忠Si当x0时/(x)0,所以/(x)单增。5分当x 0 时/(x)/(O)=O,即：l n(l +x)x -证毕。7 分八、求由曲线)=2,y =丁，y =2%(x 2 1)所围图形的面积。4(7分)解：如图所示：(略)所 求面积 A =f(2 x-2)d x+f(2 x-?)d x 3 分/3 8(x2-2 1 n x)+x2 6分人 I l 2J2=2 1-2 1 n 2 7 分九、设/(x)在 0,1 上连续，在(0,1)内可导且/(D=/(0)=

15、0.证明：至少存在一点Je(0,1)使/(4)=/(J)(7分)证明：设 b(x)=f(x)e-r,显 然/(x)在在 0,1 上连续，在(0,1)内可导(3分)并且 以0)=/=0,由罗尔定理：至少存在一点Je(0,1)使 仁)=0而 尸(x)=e r T(x)/(x)(6 分)/6)=0 即：/(4)=/C)证毕。四川理工学院试卷(20 0 6至 20 0 7学年第一学期)课程名称：高等数学(上)(A卷)命题教师：杜道渊2 0 0 年 月II共6页适用班级：理工科本科考试(考查)：考试题号 二三四五八-七八九十十一总分评阅(统分)教 师得分0分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。6、考生必

16、须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。7、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。8、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。试 题得分评阅教师一、单选题(请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共1 8分)(A)e；(B)e-1；(C)1 ；(D)8f .1 nx s i n x 02,x =0是函数/(x)=0(A)连 续 点；(B)可去间断点；(C)跳跃间断点；(D)无穷间断点3.设/、g(x)在x =0的某邻域内连续，且当x-0时/(x)是较g(x)高阶的无穷小,则当X 7 0时J(J(f)

17、s i n r或是较 力(A)低阶；(B)高阶；(C)同阶非等价4.下列求导正确的是()(A)(s i n x2)=2 x c o s x ；/(/厂C)(eC O S X )=e-C O S X；)无穷小.;(D)等价。(B)f(x0)=/(%),J(D)(l n 5 x)=X115.极限lim+11x2 2x3+1、)(-1)J四、已知 y=xarctanx-ln 求 dy.（6 分）得分评阅教师五、设函数y=/（x）由方程y x =1 确定，求 一d2 y（6 分）得分评阅教师六、已知函数y=/（x）由参数方程（一 .确定，求.（6 分）y=sin-t dx得分评阅教师七、求下列各不定积

18、分（每题8 分，共 16分）(1)11+/d x.(2)j s i n 4 xdx.收|r,84、评阅教师国八、求定积分|（）x|x-l|dx.（6分）7案幅得分评阅教师九、求函数 =/一 x 2-+1 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.（8分）得分评阅教师十、求位于曲线y =e 的下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积.(6分)得分评阅教师十一、设/(x)在 0,1 上连续，在(0,1)内可导，且3&/(x)4 x =/(0),求证：存在3S (0,1),使得/C)=0.(6 分)2006-2007(1)高等数学(上)理科本科A卷参考答案单选题题号123456答案BC

19、BDAC二,填空题1、a=-7 ；b=62、-?I 0),dx=2 tdtjs in4 xdx=2|r s intdt=-2 tc o s z +2 s in r+C =2(s inx-yxc o syx)+C八.解：%|x -l|i/x =x(l -x)dx+J xx-X)dx=1九.解：函数y的单调增区间为18,g)u(l,+8),单调减区间为曲线的凹区间为(；，+8),曲线的凸区间为18，g=0,拐点坐标为1 163 5 2 7I .解：所求面积5 =f -。冗）公=g-f 一。证明：./（X）在 0,I 上连续/.存在x0 e使得 /(x)d x =；/(Xo)3 3又 3(/(x)d

20、 x =/(o)n /(x)d x =；/(O)3 3 3”（尤0）=/（0）又/（x）在（0,1）内可导，所以/（x）在（0,%）内可导由罗尔定理得：存在（O,Xo）u（O,l）使得四川理工学院试卷（20 0 7至20 0 8学 年 第1学期）课程名称：高等数学（上）A卷命题教师：谢巍适用班级：文科本科考试 2 007年 月 日 共 页题号二三四五六总分评 阅（统分）注意事项：9、满 分 100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。10、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。11、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。12、如有答题纸，答案请

21、全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。1-67-1011-1415-1819202122教师得分试 题得分评阅教师一、填空题（每空3分，共18分）1 .s in x1、l im-=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;XTOO X2、l im ；-I00 2x-x-l3 函数/（x）=e 2,贝二.4、曲线y =一 在 点 处 的 切 线 方 程 为：.5、函数 y=FC OS（+1M，贝lj 也=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ o力dx6、微分方程y-2 y _ 3 y =0的通解为.得分评阅教

22、师二、选择题（每题3分，共12分）7、/（x）的导函数是s in x ,则/（x）的一个原函数为（）.A:1 +s in x B:1-s in x C:1 +c o s x D:1-c o s xr2_18、x =l 是函数/（x）=-的（）.x-lA:可去间断点B：跳跃间断点C:无穷间断点D:连续点9、函数/（x）=%3-3 x在区间 0,2 上的最小值是（）.A:0 B:-2 C:-4 D:210、下列错误的是A:J/(x)d x =f WC：J 4(x)=/(x)+c).B:J广(x)d x =/(x)+cD：J/(x)d x =/(x)d x得分评阅教师叔三、计算下列极限与导数（每题5

23、分，共2 0分）e ex11、l im-1。s in x1-口r三12、y =V c o s x2,求：y1 3、J x-2(x-l)4-(x+1)5-求：）/帐14、方程盯=e+确定y是x的函数，求：了得分评阅教师四、计算下列不定积分与定积分（每题5分，共20分）15 cos3 x dx16、lx2 In xdx17、,x +2 d,x+118、2+sinx1 +x2dx莪得分评阅教师n|r五、综合题(每题8 分，共 24分)讨 论 函 数 y=f的单调性、极值.忠020、求曲线V=4(x+1)及y2=4(l x)所围成图形的面积2 1、求微分方程生+y=e-*的通解.dx得分评阅教师六、证

24、明题（6分）2 2、试证：当x 0时有一vl n（x+l）/r,则 虫=8 s（二 ）由 dx 2G6、微分方程 y-2 y-3 y=0 的通解为：c1e3 x+c2ex二、选择题（每题3分，共1 2分）7、/（幻的导函数是s i n x,则/。）的一个原函数为（D ）.A:l +s i n x B:1-s i n x C:1 +c o sx D:1-c o s xr2_ 18、x=l是函数/(x)=L的x-1(A).A:可去间断点B：跳跃间断点C:无穷间断点D:连续点9、函数f(x)=x3-3 x在区间 0,2 上的最小值是(B ).A:0 B:-2 C:-4 D:21 0、下列错误的是(D

25、 ).A：=/(x)B:J/(x)d x=/(x)+cC：df(x)=f(x)+c D:J 7(x)d x=/(x)d x三、计算下列极限与导数(每题5分，共2 0分)e 一 cx1 1、l i m-k t。s i n xX-X/X-X /HJJ.e c(e e)八解：h m-=l i m-.1.分X T。s i n x x-o (s i n x)ex+ex=l i m-4 分COS X25分12 y=Vcosx2,求：y2/cosx-xsin x2-x sin x21解：y=(Vcos x2/=2vcosx=.(cos x2y,22分(sinx2).2x .4 J分213、解:Vcosx2C

26、OSXJ x 2(x I)4y=-(x+1)5In y=InJ x 2(x I)4(x+1)52求：）5分1分=In yx2+ln(x-1)4+ln(x+1)5=-ln(x-2)+41n(x-l)+51n(x+l)2 分2(In yY=ln(x-2)+4 ln(x-1)4-5 ln(x+)J3分4 5-1y,1一 1+-+一y 2 x-2 x-l x+14分45)7 2(%-I)4+-+x 2 x l x+1(x+l)55分14、方程q=e，确定y是尤的函数，求：y解：(孙),=(+)1分盯 +y=”(l+y)4分，ey=-,x+y-y5分四、计算下列不定积分与定积分（每题5分，共2 0分）1

27、5、|co s3 x dx解：jcos3 xdx=jcos2 xd sin x 2 分=j（l-s in2 x）Jxsinx 3 分.1.3=smx s i n*x+c35分1 6 J x2 I n xdx解：J x2 I n xdx=j l n xr f 1 分二 I n x f d I n%3 33分4分5分解：设 J 2 x+1 =t,则 x=-,dx=tdt21分于是芸十八 尸 T+3t2 2T25分4分区 白叫xL 1 +/F 2 +s i n x,pi 2 ,r i s i n x,H 2 ,解：-dx=-dx+-dx=-dxL l+x L+x-Li +厂 J-i 1 +x-=2

28、a r c t a n x 匕-71五、综合题(每题8分，共2 4分)1 9、讨论函数y=J 的单调性、极值.1+X解：由题知，xe (-o o,+o o),jz=(1 +X-)2分4分5分 2分令 y =0,得驻点 x,=-1,x2=13分6分X(-00,-1)-1(-1,1)1(1,+)/y0+0y单调递减极小值单调递增极大值单调递减令 y=w(x)e-J故，函数=+/在（一8 一 山+8）上单调递减，在 尤 =-1处取得极小值，/极 小在=1处取得极大值，/极 大2 0、求曲线V=4（x+1）及丁=4（1 一x）所围成图,f y2=4（x+1）,曰+上|=0 x2=0解：由厂，得交点 *

29、-l/=4（l-x）弘=2%=-2如图A/y/由图型对称性，可得“2 1所求图形的面积：A =4;（l-5，2）力1 6-T2 1、求微分方程立+y=e r的通解.dx解:此方程为一阶线性微分方程，对应齐次微步分离变量得也=-dx,积分得 =午-，y 1,1 上单调递增.7分2,-.8分2形的面积1分2分6分8分,方程为+=（）1分dx3分则 y =，(x)e-*4分代入原方程，得：u(x)ex-u(x)e +u(x)ex-ex即/(x)=l u(x)=x+c 7 分于是，原方程的通解为 y=(x+c)e-x 8分六、证明题(6分)2 2、试证：当x 0 时有一-l n(l +x)0时，/(x)在 0,x上满足拉格朗日中值定理条件，所以/(x)-/(O)=r().(x-O)(0 x)2 分又 O)=O/(x)=，所以上式即为1 +X/(x)=,即 ln(l+x)=1%4 分1 +4 1 +4由于0 J x,所以有X X-xX+1 J+1Y故-ln(l+x)x 6 分x+1