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2、述5.3 5.3 频率特性的对数坐标（频率特性的对数坐标（BodeBode）图描述）图描述5.4 5.4 操作系统闭环频率特性的操作系统闭环频率特性的BodeBode图图频率特性分析：将传递函数从复数域引到频域来分析系统的频率特性分析：将传递函数从复数域引到频域来分析系统的特性。特性。时域分析：重点研究过渡过程，通过阶跃（或脉冲）输入下时域分析：重点研究过渡过程，通过阶跃（或脉冲）输入下系统的瞬态响应来研究系统的性能。系统的瞬态响应来研究系统的性能。频域分析：通过系统在不同频率频域分析：通过系统在不同频率的谐波（如一簇正弦波）的谐波（如一簇正弦波）输入作用下的稳态响应来研究系统的性能。输入作用
3、下的稳态响应来研究系统的性能。1 1、时域分析的缺陷时域分析的缺陷 高阶系统的分析难以进行；高阶系统的分析难以进行；难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响；难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响；当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。析工作将无法进行。2 2、频域分析的目的、频域分析的目的频域分析：以输入信号的频率为变量，在频率域，研究系频域分析：以输入信号的频率为变量，在频率域，研究系统的结构参数与性能的关系。统的结构参数与性能的关系。无需求解微分方程，图解无需求解微分方程，图解(频率特性图频率特性图)法间接
4、揭示系法间接揭示系统性能并指明改进性能的方向；统性能并指明改进性能的方向；易于实验分析；易于实验分析；优点：优点：可推广应用于某些非线性系统（如含有延迟环节的系可推广应用于某些非线性系统（如含有延迟环节的系统）；统）；可方便设计出能有效抑制噪声的系统。可方便设计出能有效抑制噪声的系统。一、频率响应与频率特性一、频率响应与频率特性5.1 频率特性概述频率特性概述频率响应：线性定常操作系统或元件对正弦输入信号（或频率响应：线性定常操作系统或元件对正弦输入信号（或谐波信号）的稳态正弦输出响应称为频率响应。谐波信号）的稳态正弦输出响应称为频率响应。为了说明频率响应，为了说明频率响应，先看一个先看一个R
5、C电路，电路，如下图。电路的传如下图。电路的传递函数为递函数为式中，式中，T=RC为电路的时间常数。为电路的时间常数。假设给电路输人一个振幅为假设给电路输人一个振幅为X X、频率为、频率为的正弦信号，即：的正弦信号，即：当初始条件为当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为时，输出电压的拉氏变换为对上式取拉氏反变换，得输出信号时域解为对上式取拉氏反变换，得输出信号时域解为上式右端第一项为哪一项瞬态分量，第二项是稳态分量。上式右端第一项为哪一项瞬态分量，第二项是稳态分量。当当 时，第一项趋于时，第一项趋于0，电路稳态输出为，电路稳态输出为式中，式中，为输出电压的振幅；为输出电压的振幅；为为 与与 之
6、间的相位差。之间的相位差。可可见见，R-C电电路路在在正正弦弦信信号号作作用用下下，过过渡渡过过程程结结束束后后，输输出出的的稳稳态态响响应应仍仍是是一一个个与与输输入入信信号号同同频频率率的的正正弦弦信信号号，只只是是幅幅值值变变为为输输入入正正弦弦信信号号幅幅值值的的 倍倍，相相位位则则滞滞后后了了 。上上述述结结论论具具有有普普遍遍意意义义。事事实实上上，一一般般线线性性系系统统(或或元元件件)输输人人正正弦弦信信号号 的的情情况况下下，系系统统的的稳稳态态输输出出（即即频频率率响响应应）也也一一定定是是同同频频率率的的正正弦弦信信号，只是幅值和相位不一样。号，只是幅值和相位不一样。对对
7、输输出出、输输入入正正弦弦信信号号的的幅幅值值比比 和和相相位位差差 作作进进一一步步研研究究不不难难发发现现，在在系系统统结结构构参参数数给给定定的的时时，A和和 仅仅是是 的的函函数数（即即输输出出信信号号的的幅幅值值和和相相角角是是频频率率的的函函数数，随随频频率率而而变变化化），它它们们反反映映出出线线性性系系统统在在不不同同频频率率下下的的特特性性，分分别别称为幅频特性和相频特性，分别以称为幅频特性和相频特性，分别以 和和 表示。表示。总结：总结：q 频率响应：线性定常操作系统或元件对正弦输入信号（或频率响应：线性定常操作系统或元件对正弦输入信号（或谐波信号）的稳态正弦响应。谐波信号
8、）的稳态正弦响应。q 频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入时，其稳态输频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入时，其稳态输出随频率变化而变化出随频率变化而变化(由由0变到变到)的特性，包括幅频特性和的特性，包括幅频特性和相频特性两局部，记作相频特性两局部，记作 或或 。q 幅频特性：当频率幅频特性：当频率 由由0到到 变化时，其稳态输出（频率响变化时，其稳态输出（频率响应）的幅值与输入信号的幅值比，记为应）的幅值与输入信号的幅值比，记为 。q 相频特性：当频率相频特性：当频率 由由0到到 变化时，输出信号与输入信号变化时，输出信号与输入信号的相位之差，记为的相位之差，记为()。考虑线性定常系统
9、：考虑线性定常系统：假假设设系系统统稳稳定定，其其特特征征根根为为 si，在在零零初初始始状状态态下下，当当正正弦弦输输入入 xi(t)=Xisin t 时时，假假设设系系统统只只具具有有不不同同的的极极点点，则则相应的输出为：相应的输出为：二、频率特性与传递函数的关系二、频率特性与传递函数的关系 其中，其中，为一对待定共轭复常数为一对待定共轭复常数Ai(i=1,2,n)为待定常数。为待定常数。利用拉式反变换，从而：利用拉式反变换，从而：对稳定的系统而言，这些项随对稳定的系统而言，这些项随 t 趋于无穷大时都趋近于零。趋于无穷大时都趋近于零。因此，系统的稳态响应为：因此，系统的稳态响应为：其中
10、：其中：已知：已知：因此：因此：因因 ，所所以以 为为系系统统的的频频率率特特性性，而而 可可直直接接将将 中中的的s以以 代代之之而而得得到到。这这就就说说明明了了传传递函数与频率特性之间的关系。递函数与频率特性之间的关系。上上述述推推导导说说明明，线线性性系系统统在在正正弦弦信信号号作作用用下下，其其输输出出量量的的稳稳态态分分量量的的频频率率与与输输入入信信号号相相同同，其其幅幅值值 ，相相位位差差为为 ，即，即 ，。xi(t)=Xisin t 作用下的频率响应。作用下的频率响应。例：求一阶系统例：求一阶系统 的频率特性及在正弦输入的频率特性及在正弦输入 法一：由频率响应求频率特性（定义
11、法）法一：由频率响应求频率特性（定义法）法二：由传递函数求频率特性（法二：由传递函数求频率特性（j 替代法）替代法）解：解：对于正弦输入对于正弦输入xi(t)=Xisin t，根据频率特性的定义：，根据频率特性的定义：q 频率特性的物理意义：频率特性表征了系统或元件对不频率特性的物理意义：频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；同频率正弦输入的响应特性；q ()大于零时称为相角超前，小于零时称为相角滞后。大于零时称为相角超前，小于零时称为相角滞后。tx(t),y1(t),y2(t)x(t)y1(t)y2(t)0 1()2()三、频率特性表示方法三、频率特性表示方法 1、代数式、代
12、数式 式中：式中：为实频特性，为实频特性，为虚频特性。为虚频特性。幅频特性幅频特性相频特性相频特性 2、三角函数式、三角函数式 3、极坐标式、极坐标式 4、复指数式、复指数式 解析表示解析表示 图示法图示法:Nyquist图图(极坐标图，幅相频率特性图极坐标图，幅相频率特性图)Bode图图(对数坐标图，对数频率特性图对数坐标图，对数频率特性图)四、频率特性的特点四、频率特性的特点 1 1、频率特性是系统单位脉冲函数、频率特性是系统单位脉冲函数(t)(t)的的FourierFourier变换。变换。3 3、许多情况下，频域分析法比时域分析法容易许多情况下，频域分析法比时域分析法容易。2、时域分析
13、针对、时域分析针对过渡过程，频域分析针对稳态响应。过渡过程，频域分析针对稳态响应。4 4、对于高阶系统，、对于高阶系统，频域分析法比时域分析法容易频域分析法比时域分析法容易。5 5、在设计系统时，、在设计系统时，频域分析法有利于抑制噪声频域分析法有利于抑制噪声。一、频率特性的极坐标图一、频率特性的极坐标图(Nyquist(Nyquist图、幅相频率特性图）图、幅相频率特性图）5.2 频率特性的极坐标（频率特性的极坐标（Nyquist）图描述）图描述 幅幅相相频频率率特特性性是是在在 复复平平面面上上研研究究的的，当当 从从0到到+变变化化时时，向向量量G(j)端端点点的的变变化化曲曲线线（轨轨
14、迹迹），称称为为系系统统的的幅幅相相频频率率特特性性曲曲线线，得得到到的的图图形形称称为为系系统统的的奈奈（耐耐、乃乃）奎奎（魁魁）斯斯特特图图（Nyquist曲曲线线）或或极极坐坐标标图图。它它一一方方面面表表示示了了幅幅值值与与频频率率、相相位位与与频频率率的的关关系系特特性性，同同时时也也表表示示了了实实频频和和虚虚频频的的变变化特性。化特性。注注意意，由由系系统统的的频频率率特特性性计计算算相相频频特特性性时时，首首先先要要计计算算系系统统的的实实频频特特性性和和虚虚频频特特性性，然然后后估估计计系系统统的的奈奈奎奎斯斯特特图图在在哪哪些些象象限限：如如在在第第一一、四四象象限限（对对
15、应应反反正正切切值值域域），则则可可利利用用()式式进进行行计计算算，如如奈奈奎奎斯斯特特图图在在其其它它象象限限，则则应应将将()式式180。其中，其中，U()、V()分别称为系统的实频特性和虚频特分别称为系统的实频特性和虚频特性。显然幅频特性、相频特性为：性。显然幅频特性、相频特性为：1 1、比例环节、比例环节 二、典型环节的奈奎斯特图二、典型环节的奈奎斯特图传递函数：传递函数：G(s)=K频率特性：频率特性：G(j)=Kej0=K实频特性：实频特性：U()=K虚频特性：虚频特性：V()=0幅频特性：幅频特性：A()=K相频特性：相频特性：()=02 2、积分环节、积分环节传递函数：传递函
16、数：频率特性：频率特性：实频特性：实频特性：虚频特性：虚频特性：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：3、微分环节、微分环节传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：实频特性：实频特性：虚频特性：虚频特性：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：4、惯性环节、惯性环节传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：实频特性：实频特性：虚频特性：虚频特性：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：5、一阶微分环节（导前环节）、一阶微分环节（导前环节）传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：实频特性：实频特性：虚频特性：虚频特性：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：6 6、振荡环节、振荡环节 传递函数：
17、传递函数：频率特性：频率特性：实频特性：实频特性：虚频特性：虚频特性：当当 =0时，时，当当 =n时，时，当当 =时，时，幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：？0 00.20.2 0.40.4 0.60.6 0.80.8 1 11.21.2 1.41.4 1.61.6 1.81.8 2 20 01 12 23 34 4 =0.05=0.05 =0.15=0.15 =0.20=0.20 =0.25=0.25 =0.30=0.30 =0.40=0.40 =0.50=0.50 =0.7070.707 =1.00=1.00/n nA A()q 谐振现象谐振现象 由由振振荡荡环环节节的的幅幅频频特特
18、性性曲曲线线可可见见，当当 较较小小时时，在在 =n附附近近，A()出出现现峰峰值值，即即发发生生谐谐振振。谐谐振振峰峰值值 Mr 对对应应的的频频率率 r 称为谐振频率。称为谐振频率。由于：由于：A()出现峰值（极大值）相当于其分母取得极小值：出现峰值（极大值）相当于其分母取得极小值：所以：所以：解得：解得：即：即：显然显然 r 应大于应大于0，由此可得振荡环节出现谐振的条件为：，由此可得振荡环节出现谐振的条件为：谐振峰值：谐振峰值：7、二阶微分环节二阶微分环节 传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：实频特性：实频特性：虚频特性：虚频特性：q =0时
19、，时，q =1/T时，时，q =时，时，G(j)=010 =ReIm2 n=1/T 当当三三条条曲曲线线的的频频率率特特性性中中T相相同同、不不同同时时，比比较三者的较三者的n大小及大小及 大小？大小？8、延时环节、延时环节 传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：实频特性：实频特性：虚频特性：虚频特性：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：三、奈奎斯特图的绘制三、奈奎斯特图的绘制（一）系统开环（一）系统开环Nyquist图绘制的基本步骤：图绘制的基本步骤：1、由由G(s)写写出出U()、V()，由由U、V的的表表达达式式估估算算曲曲线线在在哪哪些些象象限限，再再写写出出A()、()；假假设
20、设G(s)太太复复杂杂（二二个个以以上上经经典环节串联），则应：典环节串联），则应：（1）将开环传递函数表示成假设干典型环节的串联形式：）将开环传递函数表示成假设干典型环节的串联形式：（2）求系统的频率特性：）求系统的频率特性：即：即：2、算算出出起起、终终点点的的A、U、V，再再令令U()=0、V()=0算出曲线与坐标轴的交点的算出曲线与坐标轴的交点的A、（至少（至少26个特殊点）；个特殊点）；3、依依据据U()、V()的的表表达达式式估估算算出出的的曲曲线线在在哪哪些些象象限限，同同时依据特殊点的坐标，画出曲线。时依据特殊点的坐标，画出曲线。解：解：例：已知系统的开环传递函数如下，绘制系统
21、的开环例：已知系统的开环传递函数如下，绘制系统的开环NyquistNyquist图。图。估计曲线位于第二、三象限。估计曲线位于第二、三象限。0：A(0)：A()0(0)90()270解得：解得：-7-1.43 0 ReIm0绘制系统开环绘制系统开环Nyquist图为图为:由于估计的耐氏曲线位于第由于估计的耐氏曲线位于第二、三象限，因此曲线必过负虚二、三象限，因此曲线必过负虚半轴，即半轴，即U()-7考虑如下系统：考虑如下系统：（二）系统开环（二）系统开环Nyquist图绘制的规律：图绘制的规律：的的m次方次方的的n次方次方 开环幅相曲线的起点开环幅相曲线的起点 完全由完全由 确定，而终点确定，
22、而终点 则由则由 来确定。来确定。起点仅和起点仅和K、v有关。有关。终点仅和终点仅和m、n有关。有关。q 0型系统（型系统（v=0）0：A(0)K ：A()0(0)0()(nm)90ReIm 0K n-m=1n-m=2n-m=3n-m=4 0型系统开环型系统开环Nyquist图图0q I型系统（型系统（v=1）0：(0)90()(nm)90A()0A(0)ReIm 0 n-m=2n-m=3n-m=4 0n-m=1q II型系统（型系统（v=2）：()(nm)90A()0 0：(0)180A(0)ReIm 0 n-m=2n-m=3n-m=4 0 此规律仅适此规律仅适合分析耐氏曲线合分析耐氏曲线的
23、起终点位置，的起终点位置，假设要绘制整个假设要绘制整个曲线，则应计算曲线，则应计算出更多特殊点位出更多特殊点位置。置。n-m=1q 开开环环含含有有v(v1)个个积积分分环环节节系系统统，Nyquist曲曲线线起起始始于于幅幅角为角为v90的无穷远处。（以下图左）的无穷远处。（以下图左）q n m时，时，Nyquist曲线终点幅值为曲线终点幅值为 0，而相角为，而相角为(nm)90。（以下图右）。（以下图右）一、伯德一、伯德(Bode)(Bode)图（对数频率特性图，包括对数图（对数频率特性图，包括对数幅频特性图和对数相频特性图）幅频特性图和对数相频特性图）5.3 频率特性的对数坐标（频率特性
24、的对数坐标（Bode）图描述）图描述 伯德图包含两局部图：对数幅频特性图、对数相频特伯德图包含两局部图：对数幅频特性图、对数相频特性图。性图。通常用通常用L()简记对数幅频特性，也称简记对数幅频特性，也称L()为增益；为增益；用用()简记对数相频特性。简记对数相频特性。q 对数幅频特性图对数幅频特性图横横坐坐标标：以以10为为底底的的对对数数分分度度表表示示的的角角频频率率，单单位位：rad/s或或Hz。通通常常也也采采用用频频率率比比的的概概念念：频频率率变变化化十十倍倍的的区区间间称称为为一一个个十十倍倍频频程程，记记为为decade或或简简写写为为dec，它它们们也也用用作作频频率变化的
25、单位。（注意，横坐标无始无终。）率变化的单位。（注意，横坐标无始无终。）纵纵坐坐标标：线线性性分分度度，表表示示幅幅值值A()对对数数的的20倍倍，即即：L()=20lgA()，单位：分贝（，单位：分贝（dB）。）。特别地，当特别地，当L()=0，输出幅值输入幅值；，输出幅值输入幅值；当当L()0时，输出幅值输入幅值时，输出幅值输入幅值(放大放大)；当当L()0时，输出幅值时，输出幅值输入幅值输入幅值(衰减衰减)。Bode图是在半对数坐标系上绘制出来的。横坐标采用图是在半对数坐标系上绘制出来的。横坐标采用对数刻度，纵坐标采用线性的均匀刻度。对数刻度，纵坐标采用线性的均匀刻度。对数幅值图的曲线中
26、，常用对数幅值图的曲线中，常用 dB/dec 这种单位。这种单位。q 对数相频特性图对数相频特性图 横坐标：与对数幅频特性图相同。横坐标：与对数幅频特性图相同。纵纵坐坐标标：线线性性分分度度，频频率率特特性性的的相相角角()，单位：单位：度度()对数幅频特性图与对数相频特性图合起来称为频率特对数幅频特性图与对数相频特性图合起来称为频率特性的对数坐标图，又称波（伯）德（性的对数坐标图，又称波（伯）德（Bode）图。为了方便）图。为了方便直观比较，通常这两张图上下对齐排列。直观比较，通常这两张图上下对齐排列。对数坐标的优点：对数坐标的优点：幅值相乘、相除，变为相加，相减，简化作图；幅值相乘、相除，
27、变为相加，相减，简化作图；对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围（低频拉伸，对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围（低频拉伸，高频压缩）；高频压缩）；两系统或环节的频率特性互为倒数时，其对数幅频特性两系统或环节的频率特性互为倒数时，其对数幅频特性曲线关于零分贝线对称，对数相频特性曲线关于零度线对曲线关于零分贝线对称，对数相频特性曲线关于零度线对称；称；可以利用渐近直线绘制近似的对数幅频特性曲线；可以利用渐近直线绘制近似的对数幅频特性曲线；n 可分别作出可分别作出各典型环节的波德图，再用叠加的方法得各典型环节的波德图，再用叠加的方法得出系统总的波德图，之后易知各环节对系统总特性的影响；出系统总的波德
28、图，之后易知各环节对系统总特性的影响；1、比例环节、比例环节 二、典型环节的伯德图二、典型环节的伯德图传递函数：传递函数：G(s)=K频率特性：频率特性：G(j)=K对数幅频特性：对数幅频特性：L()=20lgK对数相频特性：对数相频特性：()=0 (rad/sec)()L()/(dB)-20020406010-1100101102-180-900 90 180 20lgK()到底是相频特性还是对数相频特性？到底是相频特性还是对数相频特性？2、积分环节积分环节 传递函数：传递函数：频频率率特特性性：对数幅频特性：对数幅频特性：对数相频特性：对数相频特性：()=-90当当1时，时，当当10时时，
29、,-40-40-20-200 0202000-45-45-90-90-135-135-180-1800.10.11 11010100100L()/(dB)()Bode DiagramBode Diagram (rad/sec)20dB/dec20dB/dec3 3、微分环节、微分环节 传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：对数相频特性：对数相频特性：()=90对数幅频特性：对数幅频特性：当当1时，时，；当当10时，时，。-20-200 02020404000454590901351351801800.10.11 11010100100L()/(dB)()Bode DiagramBode Di
30、agram (rad/sec)20dB/dec20dB/dec4 4、惯性环节、惯性环节 传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：低频段低频段(1/T)即高频段可近似为斜率为即高频段可近似为斜率为-20dB/dec 的直线，称为高频渐的直线，称为高频渐近线。近线。转折频率转折频率-30-20-10010-90-4501/TL()/(dB)()Bode Diagram (rad/sec)精确曲线精确曲线渐近线渐近线-20dB/dec在转折频率处，在转折频率处，L()-3dB，()-45。惯性环节具有低通滤波特性。惯性环节具有低通滤波特性。q 渐近线误差渐近线误差-4-3-2-100.1110转折
31、频率转折频率惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线5 5、一阶微分环节、一阶微分环节 对数相频特性：对数相频特性：()=arctg传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：对数幅频特性：对数幅频特性：转折频率转折频率 ，在转折频率处在转折频率处L()3dB，()45。显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐近线显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐近线近似描述。近似描述。0 0 10 10 2020303090904545001/T1/TL L()/(dB)/(dB)()Bode DiagramBode Diagram (rad/sec)0.1/T0.1/
32、T10/T10/T转折频率转折频率精确曲线精确曲线渐近线渐近线20dB/dec20dB/dec6、振荡环节（二阶振荡环节）、振荡环节（二阶振荡环节）传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：对数幅频特性对数幅频特性 低频段低频段(n)对数相频特性对数相频特性q 对数幅频曲线对数幅频曲线 即即高高频频渐渐近近线线为为斜斜率率为为-40dB/dec的的直直线线。两两条条渐渐近近线线的的交交点点处处频频率率为为 ，即即振振荡荡环环节节的的转转折折频频率率等等于于其无阻尼固有频率。其无阻尼固有频率。易知：易知：q 对数相频曲线对数相频曲线 对对数数相相频频特特性性是是一一条条反反正正切切函函数数曲曲线线
33、，相相位位曲曲线线关关于于-90的弯点是斜对称的，不同的的弯点是斜对称的，不同的所对应的曲线也不同。所对应的曲线也不同。-180-180-135-135-90-90-45-45000.10.11 11010/n n()/(deg)/(deg)=0.5=0.5 =0.7=0.7 =1.0=1.0 =0.1=0.1 =0.2=0.2 =0.3=0.3-40-40-30-30-20-20-10-100 010102020L L()/(dB)/(dB)-40dB/dec-40dB/dec =0.3=0.3 =0.5=0.5 =0.7=0.7 =1.0=1.0 =0.1=0.1 =0.2=0.2渐近线渐
34、近线Bode DiagramBode Diagram7、二阶微分环节二阶微分环节 传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：注注意意到到二二阶阶微微分分环环节节与与振振荡荡环环节节的的频频率率特特性性互互为为倒倒数数，根根据据对对数数频频率率特特性性图图的的特特点点，二二阶阶微微分分环环节节与与振振荡荡环环节节的的对对数数幅幅频频特特性性曲曲线线关关于于 0dB 线线对对称称，对对数数相相频频特特性曲线关于零度线对称。性曲线关于零度线对称。对数幅频特性：对数幅频特性：对数相频特性：对数相频特性：8 8、延迟环节、延迟环节 传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：对数幅频特性：对数幅频特性：对数相
35、频特性：对数相频特性：-600-500-400-300-200-10000.1110 (rad/s)()/(deg)10L()/(dB)0-20-10 如果系统串联一个延迟环节，那么将不改变系统的幅如果系统串联一个延迟环节，那么将不改变系统的幅频特性，但系统的相角滞后会显著增大。频特性，但系统的相角滞后会显著增大。比比例例环环节节的的幅幅值值为为平平行行横横轴轴的的直直线线，其其相相位位为为0线线，与与无关；无关；积积 分分 环环 节节 和和 微微 分分 环环 节节 的的 幅幅 值值 为为 过过(1,0)点点，斜斜 率率 分分 别别 为为 ，对称于横轴的直线。相位分别为，对称于横轴的直线。相位
36、分别为 ，与，与 无关；无关；惯惯性性环环节节和和一一阶阶微微分分环环节节的的幅幅值值低低频频渐渐近近线线为为0分分贝贝线线，高高频频渐渐近近线线斜斜率率分分别别为为 ，转转折折频频率率为为 ，对对称称于于横横轴轴。相相位位在在 范范围围内内变变化化，曲曲线线斜斜对对称称于于弯弯点点 ；振振荡荡环环节节和和二二阶阶微微分分环环节节幅幅值值的的低低频频渐渐近近线线为为0分分贝贝线线，高高频频渐渐近近线线的的斜斜率率分分别别为为 ，转转角角频频率率为为 ，对对称称于于横横轴轴。相相频频特特性性在在 范范围围内内变变化化，斜斜对对称称于于弯弯点点 ；延时环节的幅值为延时环节的幅值为0分贝线，相位随分
37、贝线，相位随呈线性变化。呈线性变化。可将典型环节的对数频率特性及其渐近线的特点归纳如下：可将典型环节的对数频率特性及其渐近线的特点归纳如下：各典型环节的对数频率特性图各典型环节的对数频率特性图VERY IMPORTANT考虑系统：考虑系统：三、系统开环伯德图的绘制三、系统开环伯德图的绘制 所以，所以，伯德图的绘制步骤伯德图的绘制步骤（方法一：环节曲线叠加法）：（方法一：环节曲线叠加法）：1、将将开开环环传传递递函函数数G(s)H(s)化化为为由由典典型型环环节节组组成成的的标标准准形形式，即尾式，即尾1型；型；2、令、令 ，求得，求得 ；3、求出各环节的转折频率，作各环节的渐近线；、求出各环节
38、的转折频率，作各环节的渐近线；（4、修正渐近线，得精确曲线；）、修正渐近线，得精确曲线；）5、将各环节的对数幅值相加，得系统总的对数幅频曲线；、将各环节的对数幅值相加，得系统总的对数幅频曲线；6、作作各各环环节节的的对对数数相相频频曲曲线线，然然后后相相加加得得系系统统总总的的对对数数相相频曲线。频曲线。？例：已知系统的开环传递函数如下：例：已知系统的开环传递函数如下：试绘制系统的开环试绘制系统的开环BodeBode图。图。解：解：惯性环节，转折频率：惯性环节，转折频率：4=0.5 rad/s振荡环节，转折频率：振荡环节，转折频率：5=10 rad/s积分环节积分环节易知系统开环包括了五个典型
39、环节：易知系统开环包括了五个典型环节：一阶微分环节，转折频率：一阶微分环节，转折频率：2=2 rad/s比例环节比例环节Bode Diagram-60-40-20020400.1-270-180-900901100()/(deg)L()/(dB)(rad/sec)L1L2L3L4L5L()()1 2 3 4 5-20dB/dec-40-20-60 2 4 5=10实实际际做做题题时时，用用铅铅笔笔虚虚线线绘绘出出L1-L5，1-5,实实线线绘绘出出总总的的L、。把把各各转转折折频频率率绘绘出出，同同 时时 L、的的各各转转折折频频率率处处要要对对应应上上。把把总总的的L的的折折线线的的斜率绘出
40、。斜率绘出。将各环节的对数幅频曲线叠加（总的渐近线如红色），将各环节的对数幅频曲线叠加（总的渐近线如红色），将各环节的对数相频曲线叠加。如蓝线，就是系统的伯德图。将各环节的对数相频曲线叠加。如蓝线，就是系统的伯德图。Bode图特点图特点q 最低频段的斜率取决于积分环节的数目最低频段的斜率取决于积分环节的数目v，斜率为，斜率为-20v dB/dec；q 注意到最低频段的对数幅频特性可近似为：注意到最低频段的对数幅频特性可近似为：当当 1rad/s时时，L()=20lgK，即即最最低低频频段段的的对对数数幅幅频频特特性性或或其其延延长长线线在在 1 rad/s时时的的数数值值等等于于20lgK，坐
41、坐标为（标为（1，20lgK）。伯德图的绘制步骤（方法二：顺序频率法）：伯德图的绘制步骤（方法二：顺序频率法）：（比例环节（比例环节+v个积分环节）个积分环节）q 如如果果各各环环节节的的对对数数幅幅频频特特性性用用渐渐近近线线表表示示，则则对对数数幅幅频频特性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率。特性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率。q 对对数数幅幅频频特特性性的的渐渐近近线线每每经经过过一一个个转转折折点点，其其斜斜率率相相应应发生变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。发生变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。惯惯性性环环节节，斜斜率率下下降降20dB/
42、dec；振振荡荡环环节节，下下降降 40dB/dec；一一阶阶微微分分环环节节，上上升升20dB/dec；二二阶阶微微分环节，上升分环节，上升 40dB/dec。方法二的绘制步骤：方法二的绘制步骤：1 1、将开环传递函数表示为典型环节的串联，各因式、将开环传递函数表示为典型环节的串联，各因式标准型标准型式即尾式即尾1型：（同法一）型：（同法一）2、确定各环节的转折频率：、确定各环节的转折频率：（同法一）（同法一）并由小到大标示在对数频率轴上。并由小到大标示在对数频率轴上。3、计计算算20lgK，在在 1 rad/s 处处找找到到纵纵坐坐标标等等于于 20lgK 的的点点，过过点点“A”（坐坐标
43、标为为（1，20lgK）作作斜斜率率等等于于-20v dB/dec的的直直线线。假假设设第第一一个个转转折折频频率率 T11，则该直线经过，则该直线经过A点。点。4、从左向右延长渐近线，每遇到一个转折频率改变一次渐、从左向右延长渐近线，每遇到一个转折频率改变一次渐近线斜率。近线斜率。5、对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性。、对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性。6、相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。（同法一）、相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。（同法一）例：已知系统的开环传递函数如下：例：已知系统的开环传递函数如下：试绘制系统的开环试绘制系统的开环BodeBode图。图。解：解：
44、开环增益开环增益K K=100=100，即，即20lg20lgK K=40=40，低频渐近线斜率为，低频渐近线斜率为0 dB/dec。各环节转折频率分别为：各环节转折频率分别为：Bode DiagramBode Diagram-80-80-60-60-40-40-20-200 0202040406060-180-180-135-135-90-90-45-450 045459090 (rad/sec)()/(deg)L()/(dB)0.20.22 220201001000 0-20-200 0-20-20-40-405.4 操作系统闭环频率特性的操作系统闭环频率特性的Bode图图设有单位反设有单
45、位反响操作系统响操作系统其闭环频率特性其闭环频率特性 与开环频率特性与开环频率特性 之间关系为：之间关系为：显然，闭环幅频特性显然，闭环幅频特性 与闭环相频特性与闭环相频特性 为：为：一、由开环频率特性估计闭环频率特性一、由开环频率特性估计闭环频率特性 一一般般有有用用系系统统的的开开环环频频率率特特性性有有低低通通滤滤波波性性，即即：低低频时频时 ，分母中，分母中1可忽略去不计，则可忽略去不计，则 ；高高频频时时 ，分分母母中中 可可忽忽略略去去不不计计，则则 ；中中间间频频段段的的形形状状随随系系统统阻阻尼尼比比的不同而有较大的变化。的不同而有较大的变化。将将频频率率逐逐点点取取值值，可可
46、分分别别计计 算算 出出 其其 闭闭 环环 幅幅 频频 特特 性性 与与 闭闭 环环 相相 频频 特特 性性 ，作作出出图图 。此此图图不不同同于于伯伯德德图图，其其横横轴轴是是对对数数频频率率，幅幅频频图图的的纵纵轴轴是是 的的值值，不不是是20lgA()的的值。值。闭环系统对数频率特性图闭环系统对数频率特性图 当系统为非单位反响系统时，其闭环频率特性为当系统为非单位反响系统时，其闭环频率特性为:因因此此对对非非单单位位反反响响系系统统，可可将将其其看看成成是是前前向向通通道道传传递递函函数是数是 的单位反响环节与的单位反响环节与 环节串联而成。环节串联而成。二、闭环频域性能指标二、闭环频域
47、性能指标1、零频幅值、零频幅值A(0)它它表表示示当当频频率率在在接接近近于于零零时时，闭闭环环系系统统输输出出的的幅幅值值与与输输入入的的幅幅值值之之比比。在在频频率率0时时，假假设设A(0)=1，则则输输出出的的幅幅值值能能完完全全准准确确地地反反映映输输入入幅幅值值，无无误误差差。A(0)越越接接近近1，系系统统的的稳稳态态误误差差越越小小，反反映映了了系系统统的的稳稳态态精精度度。A(0)是是否为否为1，可判断系统是否为无差系统。，可判断系统是否为无差系统。2、复现频率、复现频率M与复现带宽与复现带宽0-M 假假设设事事先先规规定定一一个个 作作为为反反映映低低频频输输入入信信号号的的
48、允允许许误误差差，那那么么 就就是是幅幅频频特特性性A()与与A(0)的的差差第第一一次次到到达达 时时的的频频率率值值，称称为为复复现现频频率率。当当 时时，输输出出就就不不能能准确准确“复现复现”输入。因此，定义输入。因此，定义 为复现频率，为复现频率，的频率范围为复现带宽，亦称工作带宽。的频率范围为复现带宽，亦称工作带宽。3、谐振频率、谐振频率r与相对谐振峰值与相对谐振峰值Mr 幅幅频频特特性性A()处处出出现现最最大大值值Amax时时的的频频率率称为谐振频率称为谐振频率 r。定义。定义 为谐振比为谐振比或相对谐振峰值或相对谐振峰值 Mr。相相对对谐谐振振峰峰值值 为为谐谐振振频频率率
49、所所对对应应的的闭闭环环幅幅值值，它它反响系统瞬态响应的速度和相对稳定性。反响系统瞬态响应的速度和相对稳定性。对于二阶系统，由最大超调量对于二阶系统，由最大超调量 和相对谐振峰值和相对谐振峰值 的计算式不难看出，它们都随的计算式不难看出，它们都随 的增大而减小。可见的增大而减小。可见 大的系统，相应的大的系统，相应的 也大，瞬态响应的相对稳定性就不好。也大，瞬态响应的相对稳定性就不好。为为减减弱弱系系统统的的振振荡荡性性，又又不不失失一一定定的的快快速速性性，应应适适中中选选取取 值值。假假设设取取1.0 1.4，0.4 0.7，阶阶跃跃响响应应的的超调量超调量 25%。谐谐振振频频率率 在在
50、一一定定程程度度上上反反映映了了系系统统瞬瞬态态响响应应的的速速度度，其值越大，则其值越大，则tr、tp越小，越小，ts越大。越大。0 0.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100Mp 只有当只有当0 0.707时，谐时，谐振频率和谐振峰值才存在。振频率和谐振峰值才存在。0 00.20.20.40.40.60.60.80.8 1 11.21.21.41.41.61.61.81.8 2 20 01 12 23 34 4 =0.05=0.05 =0.15=0.15 =0.20=0.20 =0.25=0.25 =0.30=0.30 =0.40=