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1、第三章第三章 平平稳时间稳时间序列模型的建立序列模型的建立 n n本章首先介绍利用时间序列的样本统计特征识别时间序列模型，然后分别介绍模型定阶、模型估计和模型检验的多种方法，对Box-Jenkins建模方法和Pandit-Wu建模方法归纳总结，最后给出实际案例。第一节第一节 模型识别与定阶模型识别与定阶n n一、一、自相关函数和偏自相关函数的估计自相关函数和偏自相关函数的估计（一）自协方差函数和自相关函数的估计（一）自协方差函数和自相关函数的估计n n1）是平稳时间序列自协方差的无偏估计量；则是平稳时间序列自协方差的渐进无偏估计量。n n2）通常是正定的。n n（二）偏自相关函数的估计（二）偏
2、自相关函数的估计 二、二、模型的初步识别模型的初步识别n n（一）（一）截尾性的判断截尾性的判断假设假设yt是一个真实是一个真实MA（q）模型）模型，例例1 1，某资产组合过去，某资产组合过去100100个交易日收益率情况个交易日收益率情况n n（二）偏相关系数截尾性的判断（二）偏相关系数截尾性的判断n n假设假设yt是一个是一个AR（p）过程）过程，（三）（三）（三）（三）ARMA ARMA（p p，q q）模型识别）模型识别）模型识别）模型识别模型模型AR(p)AR(p)MA(q)MA(q)ARMA(p,qARMA(p,q)ACFACF拖尾拖尾截尾截尾拖尾拖尾PACFPACF截尾截尾拖尾拖
3、尾拖尾拖尾三、模型的定阶三、模型的定阶1 1、残差的方差、残差的方差残差方差小，相应的阶数合理。模型模型残差平方残差平方和和自由度自由度残差方差残差方差AR(1)AR(1)8184.6548184.6546868120.03095120.03095AR(2)AR(2)7920.0377920.0376767117.76331117.76331AR(3)AR(3)7919.29477919.29476666119.53610119.536102、ACF和和PACF定阶法定阶法模模 型型AR(p)AR(p)MA(q)MA(q)ARMA(p,qARMA(p,q)自相关函数自相关函数（ACFACF）拖
4、拖 尾尾截截 尾尾拖拖 尾尾偏自相关函数偏自相关函数（PACFPACF）截截 尾尾拖拖 尾尾拖拖 尾尾模型模型残差平方残差平方和和自由度自由度残差方差残差方差MA(1)MA(1)80065.7180065.71585837.154337.1543MA(2)MA(2)72345.9172345.91575735.626235.6262MA(3)MA(3)71123.9671123.96565635.638135.6381MA(4)MA(4)71104.1371104.13555535.995635.9956两模型几乎没有差异。（四）模型定阶的最正确准则函数法（四）模型定阶的最正确准则函数法（四）
5、模型定阶的最正确准则函数法（四）模型定阶的最正确准则函数法1、根本思想：确定一个函数，该函数既要考虑用某一模型拟合原始数据的接近程度，同时又考虑模型中所含参数的个数。当该函数取最小值时，就是最适宜的阶数。衡量模型拟合数据的接近程度的指标是残差方差。2、最正确准则函数包括AIC、BIC等准则。n nAIC准则是1973年由赤池（Akaike）提出，此准则是对FPE准则(用来判别AR模型的阶数是否适宜)的推广，用来识别ARMA模型的阶数。该准则既适合于AR，也适合于ARMA模型。第二节第二节 模型参数的估计模型参数的估计n n一、模型参数的矩方法估计n n二、最小二乘估计n n三、极大似然估计n
6、n一、模型参数的矩估计一、模型参数的矩估计n n（一）（一）AR(p)模型的矩估计模型的矩估计n n于是可得如下的Yule-Walk方程：于是可得到 的矩估计：n n例1，AR(1)模型的矩估计n n例2，AR(2)模型参数的矩估计n n（三）MA(q)模型参数的矩估计n n第四章已经推导出MA(q)的自协方差结果，将 代替 ，代替 (i=1,2q),得如下方程组：上式是含有q+1个参数的非线性方程组，解此方程组，即可以求出各参数：方程组可以直接求解，也可以用迭代法求解。n n例3.MA(1)模型参数的矩估计例例4.4.求求AR(2)AR(2)模型系数的矩估计模型系数的矩估计n nAR(2)A
7、R(2)模型模型n nYule-WalkerYule-Walker方程方程n n矩估计矩估计 n n优点优点n n估计思想简单直观估计思想简单直观n n不需要假设总体分布不需要假设总体分布n n计算量小（低阶模型场合）计算量小（低阶模型场合）n n缺点缺点n n信息浪费严峻信息浪费严峻n n只用到了只用到了p+qp+q个样本自相关系数信息，其他信息都被忽略个样本自相关系数信息，其他信息都被忽略n n估计精度差估计精度差n n通常矩估计方法被用作极大似然估计和最小二乘通常矩估计方法被用作极大似然估计和最小二乘估计迭代计算的初始值估计迭代计算的初始值 二、最小二乘估计二、最小二乘估计v对于ARMA
8、模型或MA模型参数的估计，一般采用非线性最小二乘法，或极大似然估计法。n n模型参数的极大似然估计模型参数的极大似然估计n n四、模型参数的最小平方和估计四、模型参数的最小平方和估计第三节第三节 模型的适应性检验模型的适应性检验 n n一、模型的适应性检验n n二、模型的平稳性和可逆性分析二、模型的平稳性和可逆性分析一、模型的适应性检验n n 假设建立的模型恰当的描绘了已给数据数据序列的ARMA模型，那么模型拟合的残差应是白噪声序列，即均值为零、常数方差、彼此不相关。n n ARMA模型的适应性检验，主要就是检验残差是否为白噪声序列残差是否为白噪声序列。散点图法散点图法 估计相关系数法估计相关
9、系数法F检验法检验法卡方检验法卡方检验法nF检验法检验法n n如果 ,则拒绝原假设，即认为ARMA（p，q）与ARMA（p-1，q-1）模型的拟合精度有显著性差异，降阶是不恰当的。反之，如果 ，则两个模型的拟合精度没有显著性差异，降阶是合理的。卡方检验法卡方检验法卡方检验法卡方检验法 设 为估计出的残差序列，其样本自相关函数为：通常用Q统计量检验原假设是否为白噪声。例例5 5 对某商场对某商场100100天的销售金额取对数后进行一阶差分得到每天的销售金额取对数后进行一阶差分得到每日销售额增长率序列日销售额增长率序列 n n从信息准则可见，AR（1）模型的信息准则最小，因此初步认定是AR（1）模
10、型。接下来对模型的残差是否存在相关性进行检验。本章小结本章小结n n1 1样本自相关和偏自相关函数是识别平稳时间序列模型的重要方法。由于样样本自相关和偏自相关函数是识别平稳时间序列模型的重要方法。由于样本自相关和偏自相关函数是随机变量，因此判断其是否截尾的方法是通过构本自相关和偏自相关函数是随机变量，因此判断其是否截尾的方法是通过构造统计量进行统计检验。如果滞后假设干期的样本自相关函数不显著，而偏造统计量进行统计检验。如果滞后假设干期的样本自相关函数不显著，而偏自相关函数是统计显著异于零的，则可能是自相关函数是统计显著异于零的，则可能是MAMA模型，反之则可能是模型，反之则可能是ARAR模型，
11、模型，假设二者均统计显著异于零，则可能是假设二者均统计显著异于零，则可能是ARMAARMA模型。模型。n n2 2模型阶数越高，往往残差方差越小，但待估参数增加，有效样本量随之也模型阶数越高，往往残差方差越小，但待估参数增加，有效样本量随之也减小，因此在模型定阶时需要遵循减小，因此在模型定阶时需要遵循“约减约减”原则，即当残差方差变化不大时，原则，即当残差方差变化不大时，尽量选择阶数低的模型。此外，尽量选择阶数低的模型。此外，AICAIC，BICBIC等信息准则考虑了模型残差与模型等信息准则考虑了模型残差与模型阶数之间的权衡关系，是重要的模型定阶准则。阶数之间的权衡关系，是重要的模型定阶准则。
12、n n3 3对于对于ARAR模型，参数估计比较简单，可以利用线性最小二乘方法。而模型，参数估计比较简单，可以利用线性最小二乘方法。而MAMA和和ARMAARMA模型的参数估计相对困难，需要用到非线性最小二乘方法。对于模型的参数估计相对困难，需要用到非线性最小二乘方法。对于ARMAARMA模型，最小平方和估计和极大似然估计是两种重要的估计方法，从极大似然模型，最小平方和估计和极大似然估计是两种重要的估计方法，从极大似然估计出发可以得到最小平方和估计。估计出发可以得到最小平方和估计。n n4 4模型检验是建立时间序列模型的重要步骤。除了传统的系数显著性检验之模型检验是建立时间序列模型的重要步骤。除
13、了传统的系数显著性检验之外，时间序列模型还需要对参数是否冗余、残差是否还存在相关性进行检验。外，时间序列模型还需要对参数是否冗余、残差是否还存在相关性进行检验。只有通过模型检验之后，时间序列模型才能最后确定。常用的参数冗余检验只有通过模型检验之后，时间序列模型才能最后确定。常用的参数冗余检验有有F F检验，残差相关性检验有卡方检验。检验，残差相关性检验有卡方检验。n n5 5Box-JenkinsBox-Jenkins方法是以序列的自相关函数和偏自相关函数的统计特性为依据，方法是以序列的自相关函数和偏自相关函数的统计特性为依据，找出序列可能适应的模型，然后对模型进行估计。对于非平稳时间序列往往找出序列可能适应的模型，然后对模型进行估计。对于非平稳时间序列往往通过差分使其平稳后建模。通过差分使其平稳后建模。Pandit-WuPandit-Wu建模方法是从建模方法是从ARMAARMA（n n，n-1n-1）模型出）模型出发，从发，从n=1n=1开始，逐步建立为开始，逐步建立为ARMAARMA（2n2n，2n-12n-1），通过），通过F F检验确定检验确定ARMAARMA模型模型的阶数。的阶数。