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1、范钦珊教育与教学工作室范钦珊教育与教学工作室范钦珊教育与教学工作室范钦珊教育与教学工作室Wednesday,April 19,2023Wednesday,April 19,2023工程力学工程力学(静力学与材料力学静力学与材料力学）课堂教学软件课堂教学软件课堂教学软件课堂教学软件(7)(7)返回总名录返回总名录 第第7 7章章A 弯曲强度弯曲强度(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 工程力学工程力学（静力学与材料力学）（静力学与材料力学）第二篇第二篇 材料力学材料力学返回总名录返回总名录 杆杆杆杆件件件件承承承承受受受受垂垂垂垂直直直直于于于于其其其其轴轴轴轴线线线线的的的的外外外外力力力
2、力或或或或位位位位于于于于其其其其轴轴轴轴线线线线所所所所在在在在平平平平面面面面内内内内的的的的力力力力偶偶偶偶作作作作用用用用时时时时，其其其其轴轴轴轴线线线线将将将将弯弯弯弯曲曲曲曲成成成成曲曲曲曲线线线线，这这这这种种种种受受受受力力力力与与与与变变变变形形形形形形形形式式式式称称称称为为为为弯弯弯弯曲曲曲曲（bendingbending）。主主主主要要要要承承承承受受受受弯弯弯弯曲曲曲曲的的的的杆杆杆杆件件件件称称称称为为为为梁梁梁梁（beambeam）。）。）。）。在在在在外外外外力力力力作作作作用用用用下下下下，梁梁梁梁的的的的横横横横截截截截面面面面上上上上将将将将产产产产生生
3、生生剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩两两两两种种种种内力。内力。内力。内力。在在在在很很很很多多多多情情情情形形形形下下下下，剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩沿沿沿沿梁梁梁梁长长长长度度度度方方方方向向向向的的的的分分分分布布布布不不不不是是是是均匀的。均匀的。均匀的。均匀的。对对对对梁梁梁梁进进进进行行行行强强强强度度度度计计计计算算算算，需需需需要要要要知知知知道道道道哪哪哪哪些些些些横横横横截截截截面面面面可可可可能能能能最最最最先先先先发发发发生生生生失失失失效效效效，这这这这些些些些横横横横截截截截面面面面称称称称为为为为危危危危险险险险面面面面。弯弯弯弯矩矩矩矩和和
4、和和剪剪剪剪力力力力最最最最大大大大的的的的横横横横截截截截面面面面就就就就是是是是首首首首先先先先需需需需要要要要考考考考虑虑虑虑的的的的危危危危险险险险面面面面。研研研研究究究究梁梁梁梁的的的的变变变变形形形形和和和和刚刚刚刚度度度度虽虽虽虽然然然然没没没没有有有有危危危危险险险险面面面面的的的的问问问问题题题题，但但但但是是是是也也也也必必必必须须须须知知知知道道道道弯弯弯弯矩矩矩矩沿沿沿沿梁梁梁梁长长长长度度度度方方方方向向向向是是是是怎样变化的。怎样变化的。怎样变化的。怎样变化的。第第第第7 7 7 7章章章章A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯
5、矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 弯弯弯弯曲曲曲曲时时时时，由由由由于于于于横横横横截截截截面面面面上上上上应应应应力力力力非非非非均均均均匀匀匀匀分分分分布布布布，失失失失效效效效当当当当然然然然最最最最先先先先从从从从应应应应力力力力最最最最大大大大点点点点处处处处发发发发生生生生。因因因因此此此此，进进进进行行行行弯弯弯弯曲曲曲曲强强强强度度度度计计计计算算算算不不不不仅仅仅仅要要要要考考考考虑虑虑虑内内内内力力力力最最最最大大大大的的的的“危危危危险险险险截截截截面面面面”，而而而而且且且且要要要要考考考考虑虑虑虑应应应应力力力力最最最最大大大大的的的的点点点点，这些点称
6、为这些点称为这些点称为这些点称为“危险点危险点危险点危险点”。绝绝绝绝大大大大多多多多数数数数细细细细长长长长梁梁梁梁的的的的失失失失效效效效，主主主主要要要要与与与与正正正正应应应应力力力力有有有有关关关关，剪剪剪剪应应应应力力力力的的的的影影影影响响响响是是是是次次次次要要要要的的的的。本本本本章章章章将将将将主主主主要要要要确确确确定定定定梁梁梁梁横横横横截截截截面面面面上上上上正正正正应应应应力力力力以以以以及及及及与正应力有关的强度问题。与正应力有关的强度问题。与正应力有关的强度问题。与正应力有关的强度问题。本本本本章章章章首首首首先先先先介介介介绍绍绍绍如如如如何何何何建建建建立立
7、立立剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩方方方方程程程程；怎怎怎怎样样样样根根根根据据据据剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩方方方方程程程程绘绘绘绘制制制制剪剪剪剪力力力力图图图图与与与与弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图，讨讨讨讨论论论论载载载载荷荷荷荷、剪剪剪剪力力力力、弯弯弯弯矩矩矩矩之之之之间间间间的的的的微微微微分分分分关关关关系系系系及及及及其其其其在在在在绘绘绘绘制制制制剪剪剪剪力力力力图图图图和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图中中中中的的的的应应应应用用用用；然然然然后后后后应应应应用用用用平平平平衡衡衡衡、变变变变形形形形协协协协调调调调以以以以
8、及及及及物物物物性性性性关关关关系系系系，建建建建立立立立确确确确定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲强度设计方法。定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲强度设计方法。定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲强度设计方法。定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲强度设计方法。第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
9、载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 返回总名录返回总名录 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强
10、度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 返回返回工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的:桥式吊车的大梁桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支可以简化为两端饺支的简支梁。在起吊重的简支梁。在起吊重量量(集中力集中力FP)及大梁及大梁自身重量自身重量(均布载荷均布载荷q)的作用下的作用下,大梁将发生大梁将发生弯曲。弯曲。工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1
11、)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的:石油、化工设备中各种直立式反响塔，底部与地面固定石油、化工设备中各种直立式反响塔，底部与地面固定石油、化工设备中各种直立式反响塔，底部与地面固定石油、化工设备中各种直立式反响塔，底部与地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷作用下
12、，反响塔将发生弯曲变形。作用下，反响塔将发生弯曲变形。作用下，反响塔将发生弯曲变形。作用下，反响塔将发生弯曲变形。工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的:火车轮轴支撑在铁轨上，火车轮轴支撑在铁轨上，铁轨对车轮的约束，可以看作铁轨对车轮的约束，可以看作铰链支座，因此，火车轮轴可铰链支座，因此，
13、火车轮轴可以简化为两端外伸梁。由于轴以简化为两端外伸梁。由于轴自身重量与车厢以及车厢内装自身重量与车厢以及车厢内装载的人与货物的重量相比要小载的人与货物的重量相比要小得多，可以忽略不计，因此，得多，可以忽略不计，因此，火车轮轴将发生弯曲变形。火车轮轴将发生弯曲变形。工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上、下两屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上、下两屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上
14、、下两屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上、下两边各开一个半圆孔可以吗？边各开一个半圆孔可以吗？边各开一个半圆孔可以吗？边各开一个半圆孔可以吗？工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 梁为什么做成变截面的？梁为什么做成变截面的？梁为什么做成变截面的？梁为什么做成变截面的？孔开在哪里最合理孔开在哪里最合理孔开在哪里最合理孔开在哪里最合理?梁为什么可以开孔？梁为什么可以开孔？梁为什么可以开孔？梁为什么可以开孔？工程中的
15、弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 返回返回 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 应用平衡的概念和截面法，不仅可以确定梁上
16、应用平衡的概念和截面法，不仅可以确定梁上应用平衡的概念和截面法，不仅可以确定梁上应用平衡的概念和截面法，不仅可以确定梁上任意横截面上的内力任意横截面上的内力任意横截面上的内力任意横截面上的内力剪力和弯矩，而且可以确剪力和弯矩，而且可以确剪力和弯矩，而且可以确剪力和弯矩，而且可以确定剪力和弯矩沿梁长度方向的变化规律。定剪力和弯矩沿梁长度方向的变化规律。定剪力和弯矩沿梁长度方向的变化规律。定剪力和弯矩沿梁长度方向的变化规律。平衡包括：整体平衡和局部平衡。平衡包括：整体平衡和局部平衡。平衡包括：整体平衡和局部平衡。平衡包括：整体平衡和局部平衡。第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯
17、曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 刚刚体体平平衡衡概概念念的的扩扩展展和和延延伸伸：总总体体平平衡衡，则则其其任任何何局部也必然是平衡的。局部也必然是平衡的。总体平衡与局部平衡的概念总体平衡与局部平衡的概念总体平衡与局部平衡的概念总体平衡与局部平衡的概念 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图
18、刚刚体体平平衡衡概概念念的的扩扩展展和和延延伸伸：总总体体平平衡衡，则则其其任任何何局部也必然是平衡的。局部也必然是平衡的。总体平衡与局部平衡的概念总体平衡与局部平衡的概念总体平衡与局部平衡的概念总体平衡与局部平衡的概念 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 应用截面法可以确定杆件任意横截面上的应用截面法可以确定杆件任意横截面上的应用截面法可以确定杆件任意横截面
19、上的应用截面法可以确定杆件任意横截面上的 内力分量内力分量内力分量内力分量 用假想截面从所要求用假想截面从所要求的截面处将杆截为两局的截面处将杆截为两局部部 考察其中任意一局部考察其中任意一局部的平衡的平衡 由平衡方程求得横截由平衡方程求得横截面的内力分量面的内力分量FQM 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 应用截面法和平衡的概念，不难证明：当梁上应用截面法
20、和平衡的概念，不难证明：当梁上应用截面法和平衡的概念，不难证明：当梁上应用截面法和平衡的概念，不难证明：当梁上的外力（包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生的外力（包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生的外力（包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生的外力（包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生突变时，剪力和弯矩的变化规律也将发生变化。突变时，剪力和弯矩的变化规律也将发生变化。突变时，剪力和弯矩的变化规律也将发生变化。突变时，剪力和弯矩的变化规律也将发生变化。所所所所谓谓谓谓外力突外力突外力突外力突变变变变，是指有集中力、集中力偶作用，是指有集中力、集中力偶作用，是指有集中力、集中力偶作用，是指有集中力
21、、集中力偶作用，以及分布以及分布以及分布以及分布载载载载荷荷荷荷间间间间断或分布断或分布断或分布断或分布载载载载荷集度荷集度荷集度荷集度发发发发生突生突生突生突变变变变的情形。的情形。的情形。的情形。梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡；的外力相平衡；在载荷无突
22、变的一段杆的各截面上内力按相同的规在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化；律变化；杆件内力变化的一般规律杆件内力变化的一般规律杆件内力变化的一般规律杆件内力变化的一般规律 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 根据以上分析，不难得到结论：根据以上分析，不难得到结论：根据以上分析，不难得到结论：根据以上分析，不难得到结论：杆杆杆杆件件件件各各各各截截截
23、截面面面面上上上上内内内内力力力力变变变变化化化化规规规规律律律律随随随随着着着着外外外外力力力力的变化而改变。的变化而改变。的变化而改变。的变化而改变。梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变化的函数或
24、变化的图线。这说明，如果在两个外变化的函数或变化的图线。这说明，如果在两个外变化的函数或变化的图线。这说明，如果在两个外变化的函数或变化的图线。这说明，如果在两个外力作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段力作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段力作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段力作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段梁所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方梁所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方梁所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方梁所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方程或者同一图线描述。程或者同一图线描述。程或者同一图线描述。程或者同一图线描述。梁的
25、内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 描述内力变化规律有两种方法：描述内力变化规律有两种方法：描述内力变化规律有两种方法：描述内力变化规律有两种方法：1.1.1.1.数学方程数学方程数学方程数学方程剪力方程与弯矩方程；剪力方程与弯矩方程；剪力方程与弯矩方程；剪力方程与弯矩方程；2.2.2.2.图形图形图形图形剪力图与弯矩图。剪力图与弯矩图。剪力图与弯矩图。剪力图与弯
26、矩图。两种描述方法都要：两种描述方法都要：两种描述方法都要：两种描述方法都要：1.1.1.1.确定变化区间；确定变化区间；确定变化区间；确定变化区间；2.2.2.2.遵循正负号规则。遵循正负号规则。遵循正负号规则。遵循正负号规则。梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 根根据据以以上上分分析析，在在一一段段杆杆上上，内内力力按按某某一一种种函函数数规规律律变变化化
27、，这这一一段段杆杆的的两两个个端端截截面面称称为为操操作作面面（control cross-section）。据此，以下截面均可为操作面：）。据此，以下截面均可为操作面：集中力作用点的两侧截面；集中力作用点的两侧截面；集中力偶作用点的两侧截面；集中力偶作用点的两侧截面；均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。变化区间变化区间变化区间变化区间操作面操作面操作面操作面 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度
28、(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 外力规律发生变化截面外力规律发生变化截面集中力、集中力偶集中力、集中力偶作用点、分布荷载的起点和终点处的横截面。作用点、分布荷载的起点和终点处的横截面。变化区间变化区间变化区间变化区间操作面操作面操作面操作面 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力与弯矩的正负号规则剪力与弯矩的
29、正负号规则剪力与弯矩的正负号规则剪力与弯矩的正负号规则 剪剪剪剪力力力力F FQQ(F FQQy y或或或或F FQQz z)的的的的确确确确定定定定：使使使使截截截截开开开开部部部部分分分分杆杆杆杆件件件件产产产产生生生生顺顺顺顺时时时时针针针针方方方方向向向向转转转转动动动动者者者者为为为为正正正正；逆逆逆逆时时时时针针针针方方方方向向向向转转转转动者为负。动者为负。动者为负。动者为负。FQFQ 弯弯弯弯矩矩矩矩MM(MMy y或或或或MMz z)的的的的确确确确定定定定：使使使使梁梁梁梁产产产产生生生生上上上上凹凹凹凹、下下下下凸凸凸凸变形的弯矩为正；反之为负。变形的弯矩为正；反之为负。
30、变形的弯矩为正；反之为负。变形的弯矩为正；反之为负。梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 FNFNFQFQ 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩
31、图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 返回返回 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程 指定横截面上弯矩和剪力确实定指定横截面上弯矩和剪力确实定指定横截面上弯矩和剪力确实定指定横截面上弯矩和剪力确实定 剪力方程和弯矩方程的建立剪力方程和弯矩方程的建立剪力方程和弯矩方程的建立剪力方程和弯矩方程的建立 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1
32、)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 指定横截面上弯矩和剪力确实定指定横截面上弯矩和剪力确实定 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 应用截面法确定某一指定横截面上的剪力和弯应用截面法确定某一指定横截面上的剪力和弯矩，首先，需要用假想横截面从指定横截面处将梁矩，首先，需要用假想横截面从指定横截面处将梁截为两局部。然后，考察其中任意一局部的受力，截为两局部。然后，考察其中
33、任意一局部的受力，由平衡条件，即可得到该截面上的剪力和弯矩。由平衡条件，即可得到该截面上的剪力和弯矩。剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 FPll例例例例 题题题题 1 1
34、ABCD 一一一一端端端端固固固固定定定定另另另另一一一一端端端端自自自自由由由由的的的的梁梁梁梁，称称称称 为为为为 悬悬悬悬 臂臂臂臂 梁梁梁梁(cantilever cantilever beambeam)。梁梁梁梁承承承承受受受受集集集集中中中中力力力力F FP P及及及及集集集集中力偶中力偶中力偶中力偶MMO O的的的的作用。作用。作用。作用。MO=2FPl 试试试试确确确确定定定定:截截截截面面面面C C及及及及截截截截面面面面D D上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩。C C、D D截截截截面面面面与与与与加力点无限接近。加力点无限接近。加力点无限接近。加力点
35、无限接近。剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 FPFPllABCDMO=2FPl 解解解解：1.1.应应应应用用用用静静静静力力力力学学学学平平平平衡衡衡衡方方方方程确定程确定程确定程确定固定端固定端固定端固定端的约束力。的约束力。的约束力。的约束力。2.2.应应应应用用用用截截截截面面面面法法法法确确确确定定定定C C截截截截面面面面上上上上的内力分量的内力分量的内力分量的内力分量 用用用用假假假假
36、想想想想截截截截面面面面将将将将梁梁梁梁C C截截截截面面面面处处处处截截截截开，以左边局部为平衡对象。开，以左边局部为平衡对象。开，以左边局部为平衡对象。开，以左边局部为平衡对象。因因因因为为为为外外外外力力力力与与与与梁梁梁梁轴轴轴轴线线线线都都都都在在在在同同同同一一一一平平平平面面面面内内内内，而而而而且且且且没没没没有有有有沿沿沿沿杆杆杆杆件件件件轴轴轴轴线线线线方方方方向向向向的的的的外外外外力力力力作作作作用用用用，所所所所以以以以横横横横截截截截面面面面上上上上没没没没有有有有轴轴轴轴力力力力和和和和扭扭扭扭矩矩矩矩，只只只只有有有有剪剪剪剪力和弯矩两种内力分量。力和弯矩两种内
37、力分量。力和弯矩两种内力分量。力和弯矩两种内力分量。MA0AClFPMA0 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 FQCMCFPMA0FPllABCDMO=2FPl 解解解解：2.2.应应应应用用用用截截截截面面面面法法法法确确确确定定定定C C截截截截面上的内力分量面上的内力分量面上的内力分量面上的内力分量CAFPlMA0 假假假假设设设设截截截截开开开开横横横横截截截截面面面面上上上上的的的的剪剪剪
38、剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩均均均均为为为为正正正正方方方方向向向向。根根根根据据据据截截截截开开开开的局部平衡建立平衡方程：的局部平衡建立平衡方程：的局部平衡建立平衡方程：的局部平衡建立平衡方程：所所所所得得得得结结结结果果果果均均均均为为为为正正正正值值值值，这这这这说说说说明明明明所所所所假假假假设设设设的的的的C C截截截截面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩的的的的正方向是正确的。正方向是正确的。正方向是正确的。正方向是正确的。剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强
39、度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 FPMA0FPllABCDMO=2FPl 解解解解：3.3.应应应应用用用用截截截截面面面面法法法法确确确确定定定定D D截截截截面上的内力分量面上的内力分量面上的内力分量面上的内力分量AFPMA0llMO=2FPlD 用用用用假假假假想想想想截截截截面面面面将将将将梁梁梁梁D D截截截截面面面面处处处处截截截截开，以左边局部为平衡对象。开，以左边局部为平衡对象。开，以左边局部为平衡对象。开，以左边局部为平衡对象。剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第
40、第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 FPMA0FPllABCDMO=2FPl 解解解解：3.3.应应应应用用用用截截截截面面面面法法法法确确确确定定定定D D截截截截面上的内力分量面上的内力分量面上的内力分量面上的内力分量 假假假假设设设设截截截截开开开开横横横横截截截截面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩均均均均为为为为正正正正方方方方向向向向。根根根根据据据据截截截截开开开开的局部平衡建立平衡方程：的局部平衡建立平衡方程：的局部平衡建立平衡方
41、程：的局部平衡建立平衡方程：因因因因为为为为D D截截截截面面面面无无无无限限限限接接接接近近近近B B截截截截面面面面，所所所所以式中以式中以式中以式中MDFQDAFPMA0llMO=2FPlD 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 解：解：解：解：4.4.讨论讨论讨论讨论 本本本本例例例例中中中中所所所所选选选选择择择择的的的的研研研研究究究究对对对对象象象象都都都都是是是是C C、D D截截截截面
42、面面面以以以以左左左左局局局局部部部部梁梁梁梁，因因因因而而而而需需需需要要要要首首首首先先先先确确确确定定定定左左左左端端端端的的的的约约约约束束束束力力力力。如如如如果果果果以以以以C C、D D截截截截面面面面以以以以右右右右局局局局部部部部梁梁梁梁作作作作为为为为平平平平衡衡衡衡对对对对象象象象，则则则则无无无无需需需需确确确确定定定定约约约约束束束束力力力力，计算过程会更简单。计算过程会更简单。计算过程会更简单。计算过程会更简单。FPMA0FPllABCDMO=2FPl例例例例 题题题题 1 1 剪力方程和弯矩方程的建立剪力方程和弯矩方程的建立 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪
43、力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 为为为为了建立剪力方程和弯矩方程，必了建立剪力方程和弯矩方程，必了建立剪力方程和弯矩方程，必了建立剪力方程和弯矩方程，必须须须须首先建立首先建立首先建立首先建立OxyOxy坐标系，坐标系，坐标系，坐标系，其中其中其中其中O O为为为为坐标原点，坐标原点，坐标原点，坐标原点，x x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点O O
44、一般取一般取一般取一般取在梁的左端，在梁的左端，在梁的左端，在梁的左端，x x坐标轴的正方向自左至右，坐标轴的正方向自左至右，坐标轴的正方向自左至右，坐标轴的正方向自左至右，y y坐标轴铅垂向上。坐标轴铅垂向上。坐标轴铅垂向上。坐标轴铅垂向上。建立剪力方程和弯矩方程建立剪力方程和弯矩方程建立剪力方程和弯矩方程建立剪力方程和弯矩方程时时时时，需要根据梁上的外力，需要根据梁上的外力，需要根据梁上的外力，需要根据梁上的外力(包括包括包括包括载载载载荷和荷和荷和荷和约约约约束力束力束力束力)作用状况，确定操作面，从而确定要不要分段，以作用状况，确定操作面，从而确定要不要分段，以作用状况，确定操作面，从
45、而确定要不要分段，以作用状况，确定操作面，从而确定要不要分段，以及分几段建立剪力方程和弯矩方程。及分几段建立剪力方程和弯矩方程。及分几段建立剪力方程和弯矩方程。及分几段建立剪力方程和弯矩方程。确定了分段之后，首先，在每一段中任意取一横截面，假确定了分段之后，首先，在每一段中任意取一横截面，假确定了分段之后，首先，在每一段中任意取一横截面，假确定了分段之后，首先，在每一段中任意取一横截面，假设这设这设这设这一横截面的坐一横截面的坐一横截面的坐一横截面的坐标为标为标为标为x x；然后从；然后从；然后从；然后从这这这这一横截面一横截面一横截面一横截面处处处处将梁截开，并假将梁截开，并假将梁截开，并假
46、将梁截开，并假设设设设所截开的横截面上的剪力所截开的横截面上的剪力所截开的横截面上的剪力所截开的横截面上的剪力F FQQ(x x)和弯矩和弯矩和弯矩和弯矩MM(x x)都是正方向；最后都是正方向；最后都是正方向；最后都是正方向；最后分分分分别应别应别应别应用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力F FQQ(x x)和弯矩和弯矩和弯矩和弯矩MM(x x)的表达式，的表达式，的表达式，的表达式，这这这这就是所要求的剪力方程就是所要求的剪力方程就是所要求的剪力方程就
47、是所要求的剪力方程F FQQ(x x)和弯矩方和弯矩方和弯矩方和弯矩方程程程程MM(x x)。剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 建立剪力方程和弯矩方程建立剪力方程和弯矩方程建立剪力方程和弯矩方程建立剪力方程和弯矩方程的的的的方法方法方法方法与与与与过过过过程程程程，实际实际实际实际上与前面所介上与前面所介上与前面所介上与前面所介绍绍绍绍确确确确实实实实定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和定指定横截面上
48、的剪力和弯矩的方法和定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过过过过程是相似的，所程是相似的，所程是相似的，所程是相似的，所不同的，不同的，不同的，不同的，现现现现在的指定横截面是坐在的指定横截面是坐在的指定横截面是坐在的指定横截面是坐标为标为标为标为x x的横截面。的横截面。的横截面。的横截面。需需需需要要要要特特特特别别别别注注注注意意意意的的的的是是是是，在在在在剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩方方方方程程程程中中中中，x x是是是是变变变变量量量量，而而而而F FQQ(x x)和和和和MM(x x)则是则是则是则是x x的函数的函数的
49、函数的函数。剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 例例例例 题题题题 2 2 悬悬悬悬臂臂臂臂梁梁梁梁在在在在B B、C C两两两两处处处处分分分分别别别别承承承承受受受受集
50、集集集中中中中力力力力F FP P和和和和集集集集中中中中力力力力偶偶偶偶MM2 2 2 2F FP Pl l 的的的的作用。梁的全长为作用。梁的全长为作用。梁的全长为作用。梁的全长为2 2l l。试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。FPllABC CMO=2FPl 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 解：解：