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1、王天舒王天舒分析动力学分析动力学之之约束理论约束理论4/19/20231内容内容1：约束、广义坐标：约束、广义坐标内容内容2：约束的几何意义：约束的几何意义内容内容3：约束对运动的影响位移、速度。约束对运动的影响位移、速度。虚位移是约束被虚位移是约束被“冻结后此瞬时约束允许的无限冻结后此瞬时约束允许的无限小位移，与时间小位移，与时间t的变化无关的变化无关(t 0)。分析力学的基础概念：分析力学的基础概念：虚位移虚位移虚位移虚位移4/19/202321.1 1.1 位形空间位形空间对于物体运动的客观空间，引入笛卡儿坐标系对于物体运动的客观空间，引入笛卡儿坐标系Oxyz。为。为描述一个质点的运动，
2、需考虑在每一时刻描述一个质点的运动，需考虑在每一时刻t t的向径的向径r(t):对于由对于由N N个质点所构成的系统，则需要个质点所构成的系统，则需要3N3N个数来表示质个数来表示质点系统的位置和形状位形：点系统的位置和形状位形：引入由这引入由这3N3N个数张成的抽象空间来表示位形个数张成的抽象空间来表示位形c c，令该空，令该空间是由这间是由这3N3N个数构成各维的正交欧氏空间个数构成各维的正交欧氏空间C C，称为位形，称为位形空间。空间。4/19/20233系统每一时刻的位形唯一对应于系统每一时刻的位形唯一对应于C C空间的一个表现点空间的一个表现点c cC C空间的一个点空间的一个点c
3、c对应于系统的一个位形对应于系统的一个位形当系统的位形随时间变化时，其位形表现点在当系统的位形随时间变化时，其位形表现点在C C空间中空间中画出了一超曲线，即一维的轨迹，称为系统的画出了一超曲线，即一维的轨迹，称为系统的C C轨迹。轨迹。C C轨迹的一般性质：轨迹的一般性质：1.1.C C轨迹是连续的；轨迹是连续的；2.2.C C轨迹可以有重点；轨迹可以有重点；3.3.C C轨迹的拐点仅发生在如下情况；轨迹的拐点仅发生在如下情况；a.a.静止点处；静止点处；b.b.在有打击作用的时刻；在有打击作用的时刻；4/19/202341.2 1.2 约束约束约束：约束：非自由质点系在空间中的位置及其在运
4、动中受到的限制非自由质点系在空间中的位置及其在运动中受到的限制约束方程：约束方程：用数学方程表达各质点所受的限制条件用数学方程表达各质点所受的限制条件在由两个或更多质点构成的系统中，不受约束的运动是不存在的。在由两个或更多质点构成的系统中，不受约束的运动是不存在的。绝大多数的运动都是约束运动。绝大多数的运动都是约束运动。刚性杆4/19/20235具有如下形式或可以化为如下形式的约束称为完整约束：具有如下形式或可以化为如下形式的约束称为完整约束：A1.3 1.3 完整约束完整约束4/19/20236如约束表达式中不显含如约束表达式中不显含时间时间 t t，则称其为定常约束，则称其为定常约束(sc
5、leronomic constraint)(scleronomic constraint)；否则称为非定常约束否则称为非定常约束(rheonomic constraint)(rheonomic constraint)。4/19/20237对于定常约束：对于定常约束：一个约束方程构成位形空间上的一个一个约束方程构成位形空间上的一个N-1N-1维固定曲面。维固定曲面。对于非定常约束？对于非定常约束？系统运动的系统运动的c c轨迹必须位于该曲面内。轨迹必须位于该曲面内。4/19/202381.4 1.4 广义坐标广义坐标能够唯一地确定质点系可能位置的独立参数称为广义坐标。能够唯一地确定质点系可能位置
6、的独立参数称为广义坐标。选定广义坐标后，系统内笛卡儿坐标可由广义坐标确定选定广义坐标后，系统内笛卡儿坐标可由广义坐标确定广义坐标数为：广义坐标数为：N 质点总数质点总数 r 完整约束的总数；完整约束的总数；4/19/20239取一组新的坐标：取一组新的坐标：两组坐标之间的变换关系：两组坐标之间的变换关系：两组坐标均可以描述质点的位形两组坐标均可以描述质点的位形考虑系统由一个质点构成考虑系统由一个质点构成约束方程为：约束方程为：x-y=0=04/19/202310注意到完整约束关系注意到完整约束关系:则有：则有：即可以用两个坐标表示系统的位形：广义坐标即可以用两个坐标表示系统的位形：广义坐标在广
7、义坐标下系统的完整约束自然满足，约束方程可不予在广义坐标下系统的完整约束自然满足，约束方程可不予考虑。考虑。4/19/202311设由设由N个质点组成的系统包含独立的个质点组成的系统包含独立的r个完整约束个完整约束引入一组新的变量引入一组新的变量q q：令变换关系中的前令变换关系中的前r项为完整约束，其余局部任选，但要求变项为完整约束，其余局部任选，但要求变换式为无关组。换式为无关组。则可以得到从则可以得到从x到到q q的变换：的变换：4/19/202312注意到完整约束关系注意到完整约束关系:则有：则有：即笛卡儿坐标可利用另一组坐标表示即笛卡儿坐标可利用另一组坐标表示当采用广义坐标时，完整约
8、束自动满足。当采用广义坐标时，完整约束自动满足。4/19/202313假设约束曲面是光滑的，有：假设约束曲面是光滑的，有：在约束面上的任一点处的充分小临域内，约束方程要求所在约束面上的任一点处的充分小临域内，约束方程要求所有的可能轨迹必须在其切平面内，而不是约束曲面内。有的可能轨迹必须在其切平面内，而不是约束曲面内。虚位移在约束曲面的切平面内。虚位移在约束曲面的切平面内。4/19/202314在光滑球面上运动的质点，球面方程为：在光滑球面上运动的质点，球面方程为：约束方程：约束方程：无穷小的位移改变应满足：无穷小的位移改变应满足：4/19/202315设在无穷小位移上的约束为：设在无穷小位移上
9、的约束为：其中其中g(z)为为z z的函数，求加在有限位移上的约束的函数，求加在有限位移上的约束解：没有加在有限位移上的约束。解：没有加在有限位移上的约束。假设令加在有限位移上的约束为：假设令加在有限位移上的约束为：则有：则有：加在无穷小位移上的约束不一定会限制有限位移的运动。加在无穷小位移上的约束不一定会限制有限位移的运动。速度约束不一定对位速度约束不一定对位移有限制。移有限制。4/19/202316不可化为完整约束形式的约束为非完整约束。不可化为完整约束形式的约束为非完整约束。大多数实际遇到的非完整约束问题，其约束方程为质大多数实际遇到的非完整约束问题，其约束方程为质点速度的一次代数方程：
10、点速度的一次代数方程：OxyvC1.5 1.5 非完整约束非完整约束4/19/202317上述形式的微分约束称为上述形式的微分约束称为PfaffPfaff约束。约束。将速度形式的约束方程写成微分形式：将速度形式的约束方程写成微分形式：对于完整约束：对于完整约束：有：有：则系统的约束方程可以统一表示为微分形式：则系统的约束方程可以统一表示为微分形式：有关于有关于PfaffPfaff约束的可积性定理可见约束的可积性定理可见 4/19/202318完整约束限制系统的位形轨迹必须在约束曲面上。完整约束限制系统的位形轨迹必须在约束曲面上。非完整约束？非完整约束？例：对于非完整约束：例：对于非完整约束：可
11、否由原点到达空间中的任一点可否由原点到达空间中的任一点(x1 1,y1 1,z1 1)？在在xy平面内作函数平面内作函数y=f(x)：解：解：定义质点的轨迹为：定义质点的轨迹为：4/19/202319显然质点的轨迹满足：显然质点的轨迹满足：1.1.过原点过原点2.2.过过(x1 1,y1 1,z1 1)点点3.3.满足约束方程：满足约束方程：完整约束会减小可达的位形空间的维数，而非完整约完整约束会减小可达的位形空间的维数，而非完整约束则不会。束则不会。完整约束会减小广义坐标数，而非完整约束则不会。完整约束会减小广义坐标数，而非完整约束则不会。滑冰！滑冰！4/19/202320END！4/19/
12、2023219、静夜四无邻，荒居旧业贫。4月-234月-23Wednesday,April 19,202310、雨中黄叶树，灯下白头人。17:50:4317:50:4317:504/19/2023 5:50:43 PM11、以我独沈久，愧君相见频。4月-2317:50:4317:50Apr-2319-Apr-2312、故人江海别，几度隔山川。17:50:4317:50:4317:50Wednesday,April 19,202313、乍见翻疑梦，相悲各问年。4月-234月-2317:50:4317:50:43April 19,202314、他乡生白发，旧国见青山。19 四月 20235:50:
13、43 下午17:50:434月-2315、比不了得就不比，得不到的就不要。四月 235:50 下午4月-2317:50April 19,202316、行动出成果，工作出财富。2023/4/19 17:50:4317:50:4319 April 202317、做前，能够环视四周；做时，你只能或者最好沿着以脚为起点的射线向前。5:50:43 下午5:50 下午17:50:434月-239、没有失败，只有暂时停止成功！。4月-234月-23Wednesday,April 19,202310、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。17:50:4317:50:4317:504/19/20
14、23 5:50:43 PM11、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。4月-2317:50:4317:50Apr-2319-Apr-2312、世间成事，不求其绝对圆满，留一份缺乏，可得无限完美。17:50:4317:50:4317:50Wednesday,April 19,202313、不知香积寺，数里入云峰。4月-234月-2317:50:4317:50:43April 19,202314、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。19 四月 20235:50:43 下午17:50:434月-2315、楚塞三湘接，荆门九派通。四月 235:50 下午4月-2317:50April 1
15、9,202316、少年十五二十时，步行夺得胡马骑。2023/4/19 17:50:4317:50:4319 April 202317、空山新雨后，天气晚来秋。5:50:43 下午5:50 下午17:50:434月-239、杨柳散和风，青山澹吾虑。4月-234月-23Wednesday,April 19,202310、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。17:50:4317:50:4317:504/19/2023 5:50:43 PM11、越是没有本领的就越加自命非凡。4月-2317:50:4317:50Apr-2319-Apr-2312、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。17:50:431
16、7:50:4317:50Wednesday,April 19,202313、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。4月-234月-2317:50:4317:50:43April 19,202314、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。19 四月 20235:50:43 下午17:50:434月-2315、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。四月 235:50 下午4月-2317:50April 19,202316、业余生活要有意义，不要越轨。2023/4/19 17:50:4317:50:4319 April 202317、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。5:50:43 下午5:50 下午17:50:434月-23MOMODA POWERPOINTLorem ipsum dolor sit amet,consectetur adipiscing elit.Fusce id urna blandit,eleifend nulla ac,fringilla purus.Nulla iaculis tempor felis ut cursus.感感 谢谢 您您 的的 下下 载载 观观 看看专家告诉演讲完毕，谢谢观看！