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1、学习必备 欢迎下载 锐角三角函数全章复习与巩固-知识讲解（基础）【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用 sinA、cos A、tanA 表示直角三角形中两边的比；记忆 30、45、60的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数；2能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数；3理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两 个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；4通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函
2、数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.【知识网络】【要点梳理】要点一、锐角三角函数 1.正弦、余弦、正切的定义 如右图、在 RtABC中，C=90，如果锐角 A确定：(1)sinA=，这个比叫做A的正弦.(2)cosA=，这个比叫做A的余弦.(3)tanA=，这个比叫做A的正切.要点诠释：(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA 是一个整体符号，即表示A三个三角函数值，书写时习惯上
3、省略符号“”，但不能写成 sin A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“”不能省略，应写成 sin BAC，而不能写出 sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成 sinA2.(4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义 锐角 A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数.要点诠释：1.函数值的取值范围对于锐角 A的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以 sinA 是A的函数.同样，cosA、tanA 也是A的函数，其中A是自变量，sinA、cosA、tanA 分别是对应的函数.其中自变量A的取值范围是 0A90，函数值的取值范围是
4、0sinA1，0cosA1，tanA0.2锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如A+B=90，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；同角三角函数关系：sin2Acos2A=1；tanA=3.30、45、60角的三角函数值 30、45、60角的三角函数值和解 30、60直角三角形和解 45直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.学习必备 欢迎下载 A 30 45 60 sinA cosA tanA 1 要点二、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形 解直角三角形的依据是直角三角形中各元
5、素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即A+B=90；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即 要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)这两种情形的共同之处：有一条边因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边 要点三、解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程 (1)弄清题中名词、术语的意义，如
6、仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见应用问题 (1)坡度：；坡角:.2.(2)方位角：3.(3)仰角与俯角：确地使用计算器由已知锐角的度数求出它的三角函数值由已知三角函数角形并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题通过锐角三角识网络要点梳理要点一锐角三角函数正弦余弦正切的定义右图在中果
7、锐学习必备 欢迎下载 123 要点诠释：1解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 RtABC 两 边 两直角边(a，b)由求A，B=90A，斜边，一直角边(如 c，a)由求A，B=90A，一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边(如A，b)B=90A，锐角、对边(如A，a)B=90A，斜边、锐角(如 c，A)B=90A，2 用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系 借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等
8、)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题 当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解 确地使用计算器由已知锐角的度数求出它的三角函数值由已知三角函数角形并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题通过锐角三角识网络要点梳理要点一锐角三角函数正弦余弦正切的定义右图在中果锐学习必备 欢迎下载 3锐角三角函数的应用 用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁.如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：【典型例题】类型一、锐角三角函
9、数 1(1)如图所示，P是角的边上一点，且点 P的坐标为(-3，4)，则 sin()A 35 B 45 C 45 D2 例 1（1）图 例 1（2）图 (2)在正方形网格中，AOB如图所示放置，则 cos AOB的值为()A.55 B.2 55 C.12 D.2【答案】(1)C；(2)A；【解析】(1)由图象知 OA 3，PA 4，在 RtPAO中2222345OPOAPA 4sin5PAOP所以选 C (2)由格点三角形知如图中存在一个格点三有形 RtOCD，且 OC 1，CD 2，则 OD5 因此15cos55OCAOBOD所以选 A【点评】两小题都没有出现现成的直角三角形O 分别置于直角
10、坐标系和正方形网格之中，通过观察图形，构造含O的直角三角形 举一反三：【变式】已知，如图，D是ABC中BC边的中点，90BAD，2tan3B，求sinDAC ABCD 【答案】过 D作 DE AB交 AC于 E，则ADE=BAD=90，由2tan3B，得2,3ADAB设 AD=2k,AB=3k,D是ABC中BC边的中点，DE=3,2k在 RtADE中，5,2AEk332sin.552kDEDACAEk 确地使用计算器由已知锐角的度数求出它的三角函数值由已知三角函数角形并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题通过锐角三角识网络要点梳理要点一锐角三角函数正弦余弦正切的定义右图在中果锐学习必备
11、 欢迎下载 类型二、特殊角三角函数值的计算 2先化简，再求代数式231122xxx的值，其中4sin 452cos60 x 【答案与解析】原式1212(1)(1)1xxxxxx而214sin 452cos 60422 2122x 原式1242 2【点评】先进行分式化简，再由21sin45,cos 6022得 x 的值，最后代值求出结果 举一反三：【变式】计算：tan230cos230sin245tan45 【答案】原式=222332()+()()1322 =131+342 =712 类型三、解直角三角形 3如图所示，菱形 ABCD 的周长为 20 cm，DE AB，垂足为 E，3sin5A，则
12、下列结论正确的个（）DE 3 cm；BE 1 cm；菱形的面积为 15 cm2；BD 2 10cm A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】C；【解析】由菱形的周长为 20 cm 知菱形边长是 5 cm 在 RtADE中，AD5 cm，sin A 35，DEAD sinA3535(cm)224AEADDE(cm)BE AB AE 541(cm)菱形的面积为AB DE 5315(cm2)在 RtDEB中，22223110BDDEBE(cm)综上所述正确故选 C 【点评】此题是菱形的性质、三角函数的定义及勾股定理综合运用.类型四、锐角三角函数与相关知识的综合 4如图所示，四边形 ABCD 是
13、平行四边形，以 AB为直径的O经过点 D，E是O上一点，且AED 45 (1)试判断 CD与O的关系，并说明理由 (2)若O的半径为 3 cm，AE 5 cm求ADE的正弦值【思路点拨】(1)连接 OD，可证 OD CD，所以 CD与O相切；(2)连接 BE，则ADE ABE，所以 sin ADEsin ABE AEAB【答案与解析】(1)CD与O 相切 理由：如图所示，连接 OD，则AOD 2AED24590 四边形 ABCD 是平行四边形，ABDC，CDO AOD 90，ODCD，CD与O相切(2)如图所示，连接 BE，则ADE ABE AB是O的直径，AEB 90，AB 236(cm)在
14、 RtABE中，5sin6AEABEAB sin ADE sin ABE56AEAB【点评】证明某直线是圆的切线，一般要连接过切点的半径，然后证明该半径与已知直线垂直第(2)题通过作辅助线BE，将问题巧妙转化为 RtABE的边角关系在圆的有关证明中若有直径，一般要利用“直径所对的圆周角确地使用计算器由已知锐角的度数求出它的三角函数值由已知三角函数角形并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题通过锐角三角识网络要点梳理要点一锐角三角函数正弦余弦正切的定义右图在中果锐学习必备 欢迎下载 等于 90”这一性质构造直角三角形 举一反三：【变式】如图，C、D是半圆O上两点，511CDAB，求cosC
15、EB和tanCEB ABCDEO 【答案】，连结 BC，则ACB=90，易证ECD EBA，C E C D5=EBAB11，cos CEB=5.11CE=EB tanCEB=4 6.5BC=CE 类型五、三角函数与实际问题 5如图所示，一艘轮船位于灯塔 P的北偏东 60方向，与灯塔 P的距离为 80 海里的 A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P的南偏东 45方向上的 B处，求此时轮船所在的 B处与灯塔 P的距离(结果保留根号)【思路点拨】由题意知ABP中A60，B45，APB 75联想到两个三角板拼成的三角形因此很自然作 PCAB交 AB于 C【答案与解析】过点 P作 PCAB垂
16、足为 C，则APC 30，BPC 45，AP 80，在 RtAPC中，cosPCAPCPAPCPA cos APC 40 3，在 RtPCB中，cosPCBPCPB，40 340 6coscos 45PCPBBPC当轮船位于灯塔 P南偏东 45方向时，轮船与灯塔 P的距离是40 6海里【点评】注意由两个三角板拼的一个非直角三角形的求解问题，过 75(或 105)角的顶点向对边作垂线 是解决问题的关键 6为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图所示是一辆自行车的实物图，车架档 AC与 CD的长分别为 45cm，60cm，且它们相互垂直，座杆 CE的长为 20cm，点 A、C、E在同一
17、条直线上，且CAB 75，如图所示 (1)求车架档 AD的长；(2)求车座点 E到车架档 AB的距离 (结果精确到 1cm，参考数据：sin75 0.959，cos75 0.2588，tan75 3.7321)【思路点拨】过 E作 EFAB于 F，在 RtAEF中，AE AC+CE 65，CAB 75，利用sin75EFAE，可求 EF【答案与解析】(1)在 RtACD中，22456075AD 车架档 AD的长为 75cm(2)过点 E作 EFAB于 F，sin EAF EFAE，EFAE sin EAF(45+20)sin75 63cm，车座点 E到车档架 AB的距离是 63cm【点评】考查
18、解直角三角形的应用，勾股定理，锐角三角函数定义.确地使用计算器由已知锐角的度数求出它的三角函数值由已知三角函数角形并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题通过锐角三角识网络要点梳理要点一锐角三角函数正弦余弦正切的定义右图在中果锐学习必备 欢迎下载 锐角三角函数全章复习与巩固-巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题 1 如图所示，在 RtABC中，3tan2B，2 3BC，则 AC等于（）A 3 B 4 C4 3 D 6 2已知为锐角，则sincosm的值（）Am 1 Bm 1 Cm 1 Dm 1 3如图所示，在梯形 ABCD 中，AD BC，AC AB，AD CD，cos DCA 45，
19、BC 10，则 AB的值是()A3 B6 C8 D9 第 1 题图 第 3 题图 第 4 题图 4如图所示，在菱形 ABCD 中，DE AB，3cos5A，tan DBE的值是()A.12 B.2 C.52 D.55 5如图所示，在四边形 ABCD 中，E、F分别是 AB、AD的中点，若 EF2，BC 5，CD 3，则 tan C 等于()A34 B43 C35 D45 第 5 题图 第 7 题图 6已知 RtABC中，C90，3sin2B，则 cosA 的值为（）A 12 B 22 C32 D33 7如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5 米，那么这两树在
20、坡面上的距离 AB为()A5cos 米 B5cos米 C5sin米 D5sin米 8等腰三角形一腰上的高与腰长之比是 1:2，则等腰三角形顶角的度数为（）A30 B50 C60或 120 D30或 150 二、填空题 9计算：101|23tan45|(21.41)3 _ 确地使用计算器由已知锐角的度数求出它的三角函数值由已知三角函数角形并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题通过锐角三角识网络要点梳理要点一锐角三角函数正弦余弦正切的定义右图在中果锐学习必备 欢迎下载 10如图所示，已知 RtABC中，斜边 BC上的高 AD 4，4cos5B，则 AC _ 11如图所示，将以 A为直角顶点
21、的等腰直角三角形 ABC沿直线 BC平移得到AB C，使点B与 C重合，连接AB，则 tan ABC 的值为_ 第 10 题图 第 11 题图 第 12 题图 12如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离 AC 3 米，3cos4BAC，则梯子 长 AB _米 13.如图所示，已知正方形 ABCD 的边长为 2，如果将线段 BD绕着点 B旋转后，点 D落在 CB的延长线上的D 处，那么tan BAD 等于_ 第 13 题图 第 15 题图 17 14一次函数经过(tan 45，tan 60)和(-cos 60，-6tan30)，则此一次函数的解析式为_ 15如图所示，在ABC中，AC
22、B 90，CD是 AB边的中线，AC 6，CD 5，则 sinA 等于_ 16已知21是方程2(3tan)20 xx的一个根，是三角形的一个内角，那么 cos 的值为_ 三、解答题 17.为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图所示)已知立杆 AB高度是 3 m，从侧面 D点测得显示牌顶端 C点和底端 B点的仰角分别是 60和 45求路况显示牌 BC的高度 18如图所示，在梯形 ABCD 中，AD BC，AB DC 8，B60，BC 12，连接 AC (1)求 tan ACB的值；(2)若 M、N分别是 AB、DC的中点，连接 MN，求线段
23、MN的长 181920 19如图所示，点 E、C在 BF上，BE FC，ABC DEF 45，AD90 (1)求证：AB DE；(2)若 AC交 DE于 M，且 AB 3，ME 2，将线段 CE绕点 C顺时针旋转，使点 E旋转到 AB上的 G处，求旋转角ECG的度数 20.如图所示，AB是O的直径，点 C在 BA的延长线上，直线 CD与O相切于点 D，弦 DF AB于点 E，线段 CD 10，确地使用计算器由已知锐角的度数求出它的三角函数值由已知三角函数角形并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题通过锐角三角识网络要点梳理要点一锐角三角函数正弦余弦正切的定义右图在中果锐学习必备 欢迎下载
24、 连接 BD (1)求证：CDE 2B；(2)若 BD:AB 3:2，求O的半径及 DF的长 【答案与解析】一、选择题 1.【答案】A；【解析】由tanACBBC知3tan2 332ACBCB 2.【答案】D；【解析】在 RtABC中，设所对的边为 a，斜边为 c，邻边为 b则sinac，cosbc，sincosababmccc ，而abc，m1.3.【答案】B；【解析】因为 AD DC，所以DAC DCA，又 ADBC，DAC ACB，所以DCA ACB 在 RtACB中，AC BC cos BCA 41085，则226ABBCAC 4.【答案】B；【解析】DE AB，在 RtADE中，co
25、sA35设 AD 5k，则 AE 3k，DE 4k，又 AD AB，BE 2k，tan DBE 422DEkBEk 5.【答案】B；【解析】如图所示，连结 BD，由三角形中位线定理得 BD 2EF224，又 BC 5，CD 3，CD2+BD2BC2 BDC是直角三角形且BDC 90，4tan3BDCCD 5811 6.【答案】C；【解析】3sin2B，B60，A906030，3cos2A 7【答案】B；【解析】由上图知ABC，在 RtABC中，cosBCAB5cosAB 8【答案】D；【解析】有两种情况：当A为锐角时，如图(1)，sin A 12，A30；当A为钝角时，如图(2)，sin(18
26、0 BAC)12，180BAC 30，BAC 150 二、填空题 9【答案】23；【解析】原式3|23|142323 10【答案】5；【解析】在 RtABC中，AD BC，所以CAD B coscosADCADBAC，45ADAC，又 AD4，AC 5 11【答案】13；【解析】过A作ADBC于点 D，在 RtABD中，设ADx，则B Dx，BC=2x,BD=3x.12【答案】4；【解析】由3cos4ACBACAB，知334AB，AB 4 米 13【答案】2；【解析】由题意知2 2BDBD 在 RtABD 中，2 2tan22BDBADAB 14【答案】2 33yx；【解析】tan 45 1,
27、tan603，-cos6012，-6tan30 2 3 确地使用计算器由已知锐角的度数求出它的三角函数值由已知三角函数角形并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题通过锐角三角识网络要点梳理要点一锐角三角函数正弦余弦正切的定义右图在中果锐学习必备 欢迎下载 设 ykx+b 经过点(1,3)、1,2 32，则用待定系数法可求出2 3k，3b 15【答案】45；【解析】CD是 RtABC斜边上的中线，AB 2CD 2510，BC 22221068ABAC，84sin105BCAAB 16【答案】22；【解析】由方程解的意义，知2(21)3tan(21)20，故t a n1，从而45，则2cos
28、cos 452 三、解答题 17.【答案与解析】在 RADB中，BDA 45，AB 3，DA3 在 RtADC中，CDA 60，tan60CAAD，CA 3AD 3 3，BC CA BA(3 33)m 答：路况显示牌 BC的高度是(3 33)m 18.【答案与解析】(1)如图所示，作 AE BC于 E，则 BE AB cos B 8cos 60 1842 AE AB sin B 8sin 60 384 32 EC BC BE 1248 在 RtACE中，tan ACB 4 3382AEEC(2)作 DF BC于 F，则 AE DF，ADEF，四边形 AEFD 是矩形AD EF ABDC，BDC
29、F 又AEB DFC 90，ABE DCF(AAS)FCBE 4，EFBC BE FC4AD 4 MN 12(AD+BC)12(4+12)8 19.【答案与解析】(1)证明：BE FC，BC EF 又ABC DEF，AD，ABC DEF AB DE (2)解：DEF B45，DE AB CME A90 AC AB 3，MC ME 2CG CE 2 在 RtCAG中，3cos2ACACGCG，ACG 30 ECG ACB ACB 453015 20.【答案与解析】(1)连接 OD，直线 CD与O相切于点 D，确地使用计算器由已知锐角的度数求出它的三角函数值由已知三角函数角形并会用解直角三角形的有
30、关知识解决简单的实际问题通过锐角三角识网络要点梳理要点一锐角三角函数正弦余弦正切的定义右图在中果锐学习必备 欢迎下载 OD CD，CD0 90，CDE+ODE 90 又DF AB，DEO DEC 90，EOD+ODE 90 CDE EOD 又EOD 2B；CDE 2B(2)连接 AD AB是O的直径，ADB 90 BD:AB 3:2，在 RtADB中，3cos2BDBAB，B30，AOD 2B60 又CDO 90，C30，在 RtCDO中，CD 10，OD10tan 30 1033即O的半径为1033 在 RtCDE中，CD 10，C30，DE CDsin 30 5 弦 DF 直径 AB于点 E，DEEF12DF，DF2DE 10 确地使用计算器由已知锐角的度数求出它的三角函数值由已知三角函数角形并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题通过锐角三角识网络要点梳理要点一锐角三角函数正弦余弦正切的定义右图在中果锐