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1、优秀教案 欢迎下载 不等关系与不等式【学习目标】1了解不等式(组)的实际背景 2掌握比较两个实数大小的方法 3掌握不等式的八条性质 【学法指导】1 不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言”转化成“数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可 2作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论 3不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形 一、知识温故 1不等式中文字语言与数学符号之间
2、的转换 大于 小于 大于 等于 小于 等于 至多 至少 不少于 不多于 2关于实数 a、b 大小的比较：ab0 ；ab0 ；ab0 .3常用的不等式的基本性质(1)abb a(对称性)；(2)ab，bca c(传递性)；(3)abac bc(可加性)；(4)ab，c0ac bc；ab，cb，cdac bd；(6)ab0，cd0ac bd；(7)ab0，nN，n2an bn；(8)ab0，nN，n2na nb.二、经典范例 问题探究一 实数比较大小 问题 1(实数比较大小的依据)在数轴上不同的点 A与点 B 分别表示两个不同的实数 a 与 b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数
3、轴上的表示可以看出 a，b 之间具有以下性质：优秀教案 欢迎下载 如果 ab 是正数，那么 ；如果 ab 是负数，那么 ；如果 ab 等于零，那么 .以上结论反过来也成立，即 ab0ab；ab0ab；ab0ab.问题 2(作差法比较实数的大小)向一杯 a 克糖水中加入 m 克糖，糖水变得更甜了你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？并证明你的结论 问题探究二 不等式的基本性质 问题 3 在实数大小比较的基础上，可以给出不等式八条基本性质的严格证明证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质 请同学们借助前面的性质证明性质 6：如果 ab0，cd0，那么 acbd.成数学语言是用不等式知识解决实际问题
4、的第一步只需根据题意建立相等式的基性质是解决不等式的有关问题的依据应用时每步都要做到等价传递性可加性二经典范例问题探究一实数比较大小问题实数比较大小的优秀教案 欢迎下载 问题 4 初学者对不等式的八条基本性质往往重视不够，其实不等式的基本性质是不等式变形(证明不等式和求解不等式)的重要依据请同学们解下面这个简单的一元一次不等式，体会并证明不等式基本性质的应用 解不等式：16x34b，则 acbc2，则 ab；(3)若 ababb2；(4)若 cab0，则acabcb；(5)若 ab，1a1b，则 a0，b0.小结 在不等式的各性质中，乘法的性质极易出错，即在不等式两边同乘或除以一个数时，必须要
5、确定该数是正数、负数或零，否则结论就不确定 变式练习 5:判断下列各命题是否正确，并说明理由(1)若ca0，则 ab；(2)若 ab0 且 cd0，则 ad bc；(3)若 ab，ab0，则1ab，cd，则 acbd.成数学语言是用不等式知识解决实际问题的第一步只需根据题意建立相等式的基性质是解决不等式的有关问题的依据应用时每步都要做到等价传递性可加性二经典范例问题探究一实数比较大小问题实数比较大小的优秀教案 欢迎下载 三、过关测试 一、选择题 1若 a，b，cR，ab，则下列不等式成立的是()A.1ab2 C.ac21bc21 Da|c|b|c|2已知 a0，babab2 B.ab2aba
6、C.abaab2 D.abab2a 3已知 a、b 为非零实数，且 ab，则下列命题成立的是()Aa2b2 Ba2bab2 C.1ab21a2b D.baab 4若 x(e1,1)，aln x，b2ln x，cln3x，则()Aabc Bcab Cbac Dbc0，则下列不等式中正确的是()Aba0 Ba3b30 Ca2b20 6若 abc 且 abc0，则下列不等式中正确的是()Aabac Bacbc Ca|b|c|b|Da2b2c2 二、填空题 7若 1a5，1b2，则 ab 的取值范围为_ 8若 f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，则 f(x)与 g(x)的大小关系是_ 9若 xR，
7、则x1x2与12的大小关系为_ 10设 n1，nN，A n n1，B n1 n，则 A与 B 的大小关系为_ 三、解答题 11设 ab0，试比较a2b2a2b2与abab的大小 12设 f(x)1logx3，g(x)2logx2，其中 x0 且 x1，试比较 f(x)与 g(x)的大小 成数学语言是用不等式知识解决实际问题的第一步只需根据题意建立相等式的基性质是解决不等式的有关问题的依据应用时每步都要做到等价传递性可加性二经典范例问题探究一实数比较大小问题实数比较大小的优秀教案 欢迎下载 能力提升 13若 0a1a2,0b1b，则下列不等式成立的是 ()A.1ab2 C.ac21bc21 Da
8、|c|b|c|2已知 a、b 为非零实数，且 ab，则下列命题成立的是 ()Aa2b2 Ba2bab2 C.1ab21a2b D.baab 3若 x(e1,1)，aln x，b2ln x，cln3x，则 ()Aabc Bcab Cbac Dbc0 且 a1，Mloga(a31)，Nloga(a21)，则 M，N 的大小关系为 ()AMN DMN 5若 abc 且 abc0，则下列不等式中正确的是 ()Aabac Bacbc Ca|b|c|b|Da2b2c2 二、填空题 6若 1a5，1b2，则 ab 的取值范围是_ 7若 xR，则x1x2与12的大小关系为_ 8设 n1，nN，A n n1，B
9、 n1 n，则 A与 B 的大小关系为_ 三、解答题 9比较 x61 与 x4x2的大小，其中 xR.10设 ab0，试比较a2b2a2b2与abab的大小 11.已知 12a60,15b36，求 ab 及ab的取值范围 四、探究与拓展 12设 f(x)1logx3，g(x)2logx2，其中 x0 且 x1，试比较 f(x)与 g(x)的大小 成数学语言是用不等式知识解决实际问题的第一步只需根据题意建立相等式的基性质是解决不等式的有关问题的依据应用时每步都要做到等价传递性可加性二经典范例问题探究一实数比较大小问题实数比较大小的优秀教案 欢迎下载 部分参考答案：问题 2：设原来 a 克糖水中含
10、糖 b 克，加入 m 克糖后，糖水浓度变大了，用不等式表示为bab)证明如下：bmambaa(bm)b(am)a(am)m(ab)a(am)，又a，b，m均为正数且ab，ab0，m(ab)0，a(am)0，m(ab)a(am)0.因此，bmamba，也就是糖水浓度更大了，糖水变得更甜了 问题 3：证明 ab0c0acbc0 cd0b0bcbd0acbd.问题 4：解 16x3423x1122x98x1(不等式两边都乘以 12，不等式方向不改变)2x8x10(不等式两边都加上9)10 x1(不等式两边都乘以110，不等式方向改变)变式练习 1：设软件数为 x，磁盘数为 y，根据题意可得 60 x
11、70y500，x3且xN，y2且yN.变式练习 2：(x31)(2x22x):x32x22x1(x3x2)(x22x1)x2(x1)(x1)2(x1)(x2x1)(x1)(x12)234，(x12)2340，x10，(x1)(x12)234 0，x312x22x.成数学语言是用不等式知识解决实际问题的第一步只需根据题意建立相等式的基性质是解决不等式的有关问题的依据应用时每步都要做到等价传递性可加性二经典范例问题探究一实数比较大小问题实数比较大小的优秀教案 欢迎下载 变式练习 3：解(1)(a3)(a5)(a2)(a4)(a22a15)(a22a8)70.(a3)(a5)bc2知c0，c20，a
12、b，故该命题为真命题(3)abaab；又 abbb2，a2abb2，故该命题为真命题(4)ab0，ab，caab0，1(ca)(cb)0，在ca1cb0，又ab0，acabcb.故该命题为真命题(5)由已知条件知abab0，又1a1b1a1b0baab0，ab0，ba0，abb，a0，b0，故该命题为真命题 变式练习 5：解(1)ca01ab，故(1)错(2)ab0cd0adbc0 ad bc成立，故(2)对(3)错例如，当a1，b1 时，不成立(4)错例如，当 ac1，bd2 时，不成立 过关测试：1、答案 C 解析 对 A，若 a0b，则1a0，1b1b，A 不成立；对 B，若 a1，b2
13、，则 a2b，ac21bc21恒成立，C 正确；对 D，当 c0 时，a|c|b|c|，D 不成立 成数学语言是用不等式知识解决实际问题的第一步只需根据题意建立相等式的基性质是解决不等式的有关问题的依据应用时每步都要做到等价传递性可加性二经典范例问题探究一实数比较大小问题实数比较大小的优秀教案 欢迎下载 2、答案 D 解析 取 a2，b2，则ab1，ab212，abab2a.3、答案 C 解析 对于 A，当 a0，b0 时，a2b2不成立；对于 B，当 a0 时，a2b0，ab20，a2bab2不成立；对于 C，a0，1ab21a2b；对于 D，当 a1，b1 时，baab1.4、答案 C 解
14、析 1ex1，1ln x0.令 tln x，则1t0，ab.cat3tt(t21)t(t1)(t1)，又 1t0，0t11，2t10，ca.cab.5、答案 D 解析 由 a|b|得ab0，且 ab0.ba0，故 B 错而 a2b2(ab)(ab)0，C 错 6、答案 A 解析 由 abc 及 abc0 知 a0，c0，bc，abac.故选 A.7、答案 1,6解析 1b2，2b1，又 1a5，1ab6.8、答案 f(x)g(x)解析 f(x)g(x)x22x2(x1)210，f(x)g(x)9、答案 x1x212解析 x1x2122x1x22 1x2 x122 1x20，x1x212.10、
15、答案 AB 解析 A1nn1，B1n1 n.nn1B.11、解 方法一 作差法 a2b2a2b2abab aba2b2 aba2b2 a2b2ab ab ab2 a2b2 a2b2ab2ab ab aba2b2 ab0，ab0，ab0,2ab0.2ab ab aba2b20，a2b2a2b2abab.方法二 作商法 ab0，a2b2a2b20，abab0.a2b2a2b2abab ab2a2b2a2b22aba2b212aba2b21.a2b2a2b2abab.12、解 f(x)g(x)1logx32logx2logx3x4，当 0 x1，3x41，或 x1，03x41，即 1x43时，log
16、x3x40，f(x)g(x)；成数学语言是用不等式知识解决实际问题的第一步只需根据题意建立相等式的基性质是解决不等式的有关问题的依据应用时每步都要做到等价传递性可加性二经典范例问题探究一实数比较大小问题实数比较大小的优秀教案 欢迎下载 当3x41，即 x43时，logx3x40，即 f(x)g(x)；当 0 x1，03x41，或 x1，3x41，即 0 x1，或 x43时，logx3x40，即 f(x)g(x)综上所述，当 1x43时，f(x)g(x)；当x43时，f(x)g(x)；当 0 x1，或x43时，f(x)g(x)13、答案 A 解析 方法一 特殊值法 令 a114，a234，b11
17、4，b234，则 a1b1a2b2101658，a1a2b1b261638，a1b2a2b161638，581238，最大的数应是a1b1a2b2.方法二 作差法 a1a21b1b2且 0a1a2,0b1a1，b21b1b1，0a112，0b10，a1b1a2b2a1b2a2b1.(a1b1a2b2)122a1b112a1b1 b1(2a11)12(2a11)(2a11)b112 2a112b1120，a1b1a2b212.综上可知，最大的数应为 a1b1a2b2.14、解 5x2y2z2(2xy4x2z2)4x24x1x22xyy2z22z1(2x1)2(xy)2(z1)20，5x2y2z2
18、2xy4x2z2，当且仅当 xy12且 z1 时取到等号 课后练习答案：1C 2.C 3.C 4.C 5.A 61,6 7.x1x212 8.AB 9解 x61(x4x2)x6x4x21 x4(x21)(x21)(x21)(x41)(x21)2(x21)0.当 x 1 时，x61x4x2；当 x 1 时，x61x4x2.成数学语言是用不等式知识解决实际问题的第一步只需根据题意建立相等式的基性质是解决不等式的有关问题的依据应用时每步都要做到等价传递性可加性二经典范例问题探究一实数比较大小问题实数比较大小的优秀教案 欢迎下载 综上所述，x61x4x2，当且仅当 x 1 时取等号 10解 方法一 作
19、差法 a2b2a2b2abab(ab)(a2b2)(ab)(a2b2)(a2b2)(ab)(ab)(ab)2(a2b2)(a2b2)(ab)2ab(ab)(ab)(a2b2).ab0，ab0，ab0,2ab0.2ab(ab)(ab)(a2b2)0，a2b2a2b2abab.方法二 作商法 ab0，a2b2a2b20，abab0.a2b2a2b2abab(ab)2a2b2a2b22aba2b2 12aba2b21.a2b2a2b2abab.11解 15b36，36b15.1236ab6015，24ab45.又1361b115，1236ab6015，13ab4.24ab45，13ab4.12解 f
20、(x)g(x)1logx32logx2logx3x4，当 0 x1，3x41，或 x1，03x41，即 1x43时，logx3x40，f(x)g(x)；成数学语言是用不等式知识解决实际问题的第一步只需根据题意建立相等式的基性质是解决不等式的有关问题的依据应用时每步都要做到等价传递性可加性二经典范例问题探究一实数比较大小问题实数比较大小的优秀教案 欢迎下载 当3x41，即 x43时，logx3x40，即 f(x)g(x)；当 0 x1，03x41，或 x1，3x41，即 0 x1，或 x43时，logx3x40，即 f(x)g(x)综上所述，当 1x43时，f(x)g(x)；当 x43时，f(x)g(x)；当 0 x1，或 x43时，f(x)g(x)成数学语言是用不等式知识解决实际问题的第一步只需根据题意建立相等式的基性质是解决不等式的有关问题的依据应用时每步都要做到等价传递性可加性二经典范例问题探究一实数比较大小问题实数比较大小的