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1、名师总结 优秀知识点 不等式知识结构及知识点总结 一知识结构 二知识点 1、不等式的基本性质 （对 称 性）abba （传 递 性）,ab bcac （可 加 性）abacbc （同 向 可 加 性）dbcadcba,（异 向 可 减 性）dbcadcba,（可积性）bcaccba0,bcaccba0,（同向正数可乘性）0,0abcdacbd （异向正数可除性）0,0ababcdcd （平方法则）0(,1)nnababnNn 且 （开方法则）0(,1)nnabab nNn 且（倒数法则）babababa110;110 2、几个重要不等式 222abab abR，,（当且仅当ab时取号）.变形公
2、式：22.2abab 名师总结 优秀知识点（基本不等式）2abab abR，,（当且仅当ab时取到等号）.变形公式：2abab 2.2abab用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.（三个正数的算术几何平均不等式）33abcabc()abcR、（当且仅当abc 时取到等号）.222abcabbcca abR ，（当且仅当abc 时取到等号）.3333(0,0,0)abcabc abc（当且仅当abc 时取到等号）.0,2baabab 若则（当仅当 a=b 时取等号）0,2baabab 若则（当仅当 a=b时取等号）banbnamambab1其中
3、(000)abmn，规律：小于 1 同加则变大，大于 1同加则变小.220;axaxaxaxa 当时，或 22.xaxaaxa 绝对值三角不等式.ababab 3、几个著名不等式平均不等式：2211222abababababR，,（当且仅当ab时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：222;22ababab 222().2abab 幂平均不等式：222212121.(.).nnaaaaaan 二维形式的三角不等式：22222211221212()()xyxyxxyy1122(,).x y xyR 二维形式的柯西不等式22222()()()(,).abcdacbda b c
4、dR当且仅当adbc时，等号成立.三维形式的柯西不等式：22222221231231 1223 3()()().aaabbba ba ba b 一般形式的柯西不等式：2222221212(.)(.)nnaaabbb 21 122(.).nna ba ba b 当时取号变形公式名师总结优秀知识点基本不等式当且仅当时取到等号到等号当且仅当时取到等号若则当仅当时取等号若则当仅当时取等号其平均不等式二维形式的三角不等式二维形式的柯西不等式当且仅当时等名师总结 优秀知识点 向量形式的柯西不等式：设,是两个向量，则,当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立.排序不等式（排序原理）：设1212.,.
5、nnaaabbb 为两组实数.12,.,nc cc是12,.,nb bb的任一排列，则 12111 122.nnnnna ba ba ba ca ca c 1 122.nna ba ba b（反序和乱序和顺序和）当且仅当12.naaa 或12.nbbb 时，反序和等于顺序和.琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x,对于定义域中任意两点1212,(),x xxx有12121212()()()()()().2222xxf xf xxxf xf xff或则称 f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它
6、方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项，如22131()();242aa 将分子或分母放大（缩小），如 211,(1)kk k 211,(1)kk k2212(),21kkkkkk*12(,1)1kNkkkk等.5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式20(0)axbxc 或2(0,40)abac 解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分
7、解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f xf xg xg xf xg xf xg xg x （“或”时当时取号变形公式名师总结优秀知识点基本不等式当且仅当时取到等号到等号当且仅当时取到等号若则当仅当时取等号若则当仅当时取等号其平均不等式二维形式的三角不等式二维形式的柯西不等式当且仅当时等名师总结 优秀知识点 同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 2()0()(0)()f xf xa af xa
8、2()0()(0)()f xf xa af xa 2()0()0()()()0()0()()f xf xf xg xg xg xf xg x或2()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：当1a 时,()()()()f xg xaaf xg x当01a 时,()()()()f xg xaaf xg x 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法 当1a 时,()0log()log()()0()()aaf x
9、f xg xg xf xg x当01a 时,()0log()log()()0.()()aaf xf xg xg xf xg x 规律：根据对数函数的性质转化.11、含 绝 对 值 不 等 式 的 解 法：定 义 法：(0).(0)aaaaa 平 方 法：22()()()().f xg xfxgx 同解变形法，其同解定理有：(0);xaaxa a (0);xaxaxa a 或()()()()()()0)f xg xg xf xg xg x()()()()()()()0)f xg xf xg xf xg xg x或 规律：关键是去掉绝对值的符号.当时取号变形公式名师总结优秀知识点基本不等式当且仅当
10、时取到等号到等号当且仅当时取到等号若则当仅当时取等号若则当仅当时取等号其平均不等式二维形式的三角不等式二维形式的柯西不等式当且仅当时等名师总结 优秀知识点 12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法 解形如20axbxc 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：讨论a与 0 的大小；讨论与 0 的大小；讨论两根的大小.14、恒成立问题 不等式20axbxc 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当0a 时 0,0;bc当0a 时00.a 不等式20axbxc 的解集是全
11、体实数（或恒成立）的条件是：当0a 时0,0;bc当0a 时00.a ()f xa恒成立max();f xa()f xa恒成立max();f xa()f xa恒成立min();f xa()f xa恒成立min().f xa 15、线性规划问题 二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线0AxByC 的同一侧的所有点的坐标代入AxByC后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)xy（如原点），由00AxByC的正负即可判断出0AxByC(或0)表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据0A
12、xByC(或0)，观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，0AxByC(或0)表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.利用线性规划求目标函数zAxBy(,A B为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数zAxBy（xy、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值 法二：画移定求：第一步，在平面直角坐标系中画出
13、可行域；第二步，作直线0:0lAxBy，平移直线0l（据可行域，将直线0l平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(,)x y；第四步，将最优解(,)x y代入目标函数zAxBy即可求出最大值或最小值.当时取号变形公式名师总结优秀知识点基本不等式当且仅当时取到等号到等号当且仅当时取到等号若则当仅当时取等号若则当仅当时取等号其平均不等式二维形式的三角不等式二维形式的柯西不等式当且仅当时等名师总结 优秀知识点 第二步中最优解的确定方法：利用z的几何意义：AzyxBB,zB为直线的纵截距.若0,B 则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得
14、最小值；若0,B 则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值.常见的目标函数的类型：“截距”型：;zAxBy “斜率”型：yzx或;ybzxa“距离”型：22zxy或22;zxy 22()()zxayb或22()().zxayb 在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.16.利用均值不等式：abab abRabababab222222，；求最值时，你是否注 意到“，”且“等号成立”时的条件，积或和其中之一为定abRabab()()值？（一正、二定、三相等）注意如下结论：ababa
15、babababR22222，当且仅当时等号成立。ab abcabbcca abR222，当且仅当时取等号。abc abmn 000，则 babmamanbnab 1 如：若，的最大值为xxx0234（设yxx 23422 1224 3 当且仅当，又，时，）3402 3324 3xxxxy max 当时取号变形公式名师总结优秀知识点基本不等式当且仅当时取到等号到等号当且仅当时取到等号若则当仅当时取等号若则当仅当时取等号其平均不等式二维形式的三角不等式二维形式的柯西不等式当且仅当时等名师总结 优秀知识点 又如：，则的最小值为xyxy2124（，最小值为）222 22 22 2221xyxy 17.
16、不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。如：证明1121312222n （112131111212311222 nnn 11121213111212）nnn 18的一般步骤是什么？解分式不等式0)()(.aaxgxf （移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为 1，穿轴法解得结果。）19.用“穿轴法”解高次不等式“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始 如：xxx112023 20.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 如：对数或指数的底分或讨论aa 101 21.对含有两个绝对值的不等式如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最
17、后取各段的并集。）例如：解不等式|xx 311（解集为）x x|12 22、证明较简单的不等问题会用不等式|bababa 如：设，实数 满足f xxxaxa()|2131 求证：f xf aa()()(|)21 当时取号变形公式名师总结优秀知识点基本不等式当且仅当时取到等号到等号当且仅当时取到等号若则当仅当时取等号若则当仅当时取等号其平均不等式二维形式的三角不等式二维形式的柯西不等式当且仅当时等名师总结 优秀知识点 证明：|()()|()()|f xf axxaa 221313|()()|(|)|xa xaxaxa xaxaxa11111 又，|xaxaxa 11 f xf aaa()()|2
18、221 （按不等号方向放缩）23.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“”问题）如：恒成立的最小值af xaf x()()af xaf x()()恒成立的最大值 af xaf x()()能成立的最小值 例如：对于一切实数，若恒成立，则 的取值范围是xxxaa 32 （设，它表示数轴上到两定点和 距离之和uxx 3223 uaam i n 32555，即 或者：，）xxxxa 323255 当时取号变形公式名师总结优秀知识点基本不等式当且仅当时取到等号到等号当且仅当时取到等号若则当仅当时取等号若则当仅当时取等号其平均不等式二维形式的三角不等式二维形式的柯西不等式当且仅当时等