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1、2016年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.（5 分）（2016 浙江）已知集合 P=xW R|l W xW 3,Q=xGR|x2 4,则 P U （CRQ）=（）A.2,3 B.（-2,3 C.1,2）D.（-2 U 1,+8）2.（5分）（2016 浙江）已知互相垂直的平面a,0 交于直线1,若直线m,n 满足m a,n邛，则（）A.m l B.m/nC.n l D.m n3.（5分）（2016 浙江）在平面上，过点P作直线1的垂线所得的垂足称为点P在直线1上X -240的投影，由区域,
2、x+y 0 中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为A B,则x-3ylAB=（）A.2&B.4 C.3&D.64.（5分）（2016 浙江）命题 X/xGR,m n G N*,使得n 2x2”的否定形式是（）A.V x S R,3 n G N*,使得 n x2 B.V x G R,V n E N*,使得 n x?C.3xGR,3 n N ,使得 n Vx D.3 xR V nC N ,使得 n An W An+|,n G N .BnBn+|=Bn+Bn+2 Bn W Bn+i，n G N ,（P WQ表示点P与 Q不重合）若 d n=|An Bn l，S n 为An BI1Bn+l
3、的 面 积,则（）A.S n 是等差数列 B.s/是等差数列C.d n 是等差数列 D.d?是等差数列2 27.（5 分）（2016 浙江）已知椭圆 Ci：_+y2=l （m l）与双曲线 C2：-y2=l （n 0）的焦点重合，e i，e 2分别为Ci，C 2 的离心率，则（）A.m n 且 传21 B.m n 且 e】e 2Vl C.m V n 且 匹21 D.m n 且 e i e 2Vl8.（5分）（2016 浙江）已知实数a,b,c.（）A.若|a2+b+c +a+b2+c I W1,则 a2+b2+c2 100B.若|a?+b+c|+1a?+b -c l Wl,则 a2+b2+c2
4、100C.若|a+b+c21 +1 a+b -c2|1,则 a2+b2+c2 0）,贝 1 J A=,b=.11.（6 分）（2016浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的表面积是止视图 侧视图俯河圈12.（6 分）（2016浙江）已知 a b l,logab+logba=-|-,ab=ba,则 a=,b=.13.（6 分）（2016浙江）设数列 a j 的前 n 项和为 Sn，若 Sz=4,an+I=2Sn+l,n N*,贝 ijai=，85=.14.（4 分）（2016浙江）如图，在AABC 中，AB=BC=2,ZABC=120.若平面 ABC 外的点 P 和线段A C
5、上的点D,满足PD=DA,PB=B A,则四面体PBCD的体积的最大值15.（4 分）（2016 浙江）己知向量W，b.la -b b i-2,若对任意单位向量彳，均有a*e+b*el W W 则 ab的最大值是.三、解答题：本大题共5 小题，共 74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（14分）（2016浙江）在AABC中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.（I）证明：A=2B2（II）若4A B C 的面积S=-2,求角A 的大小.417.（15分）（2016浙江）如图，在三棱台ABC-DEF中，已知平面BCFE_L平面ABC,/ACB=90
6、,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3,（I）求证：BF_L平面 ACFD；(I I )求二面角B-A D -F的余弦值.18.(15 分)(2016 浙江)已知 a 2 3,函数 F (x)=m i n x-11,x2-2ax+4a-2,其中m i n (p,q)=q(I )求使得等式F (x)=x2-2ax+4a-2 成立的x 的取值范围(II)(i)求 F (x)的最小值m (a)(i i)求 F (x)在 0,6 上的最大值M (a)21 9.(1 5 分)(2 0 1 6 浙江)如 图，设椭圆 C：+y2=l (a l)2(I )求直线y=k x+l 被椭圆截得到的弦长(用a,k
7、表示)(I I)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.2 0.(1 5 分)(2 0 1 6 浙江)设数列满足 a n-&i L W l,n G N*.2(I )求 证:|an|2n _ 1(|a,|-2)(n N*)(I D 若 l a j W(2)n,n S N*.证明：|an|2,n G N*.22016年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.（5 分）（2 0 1 6浙江）已知集合P=x e R|l Wx W3 ,Q=x G
8、 R|x24 ,则 PU RQ）=（）A.2,3 B.（-2,3 C.1,2）D.（-8,-2 U 1,+）【考点】并集及其运算.【专题】集合思想；分析法；集合.【分析】运用二次不等式的解法，求得集合Q,求得Q的补集，再由两集合的并集运算，即可得到所求.【解 答 解：Q=x G R|x 2 2 4 =x G R|x 2 2或x W-2 ,即有RQ=XC R-2 Vx 0 中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为A B,则x-3y+40A B|=（）A.2&B.4 C.3A/2 D.6【考点】简单线性规划的应用.【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及应用.【分析】作出不等式组对应的平面
9、区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）,区域内的点在直线x+y-2=0上的投影构成线段RQ,即SAB,而 RQ=RQ,fx-3y+4=0,fx=-1 HH 八.,由 得 ，即Q（-1,1）,x+尸 0 1y=l由x=2 得x=2,即 R(2,-2),x+y=0-2则 AB=iQR=yj-2)+(l+2)故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义以及数形结合是解决本题的关键.4.（5分）（2016浙江）命题“V xG R,m nW N*,使 得nx?”的否定形式是（）A.V x S R,
10、3 n G N*,使得 nx?B.V xG R,V n G N*,使得 n 使得 n l)与双曲线 C2：-y2=l(n0)m 2 n2的焦点重合，ei，e2分别为C|,C2的离心率，则()A.m n 且 e】e2l B.m n 且 e1e2l C.m l D.m n 且 e1e2 n,求出两个离心率，先平方进行化简进行判断即可.2 2【解答】解：；椭圆C1：号+y2=l(m l)与双曲线C2：号-y2=l(n 0)的焦点重合,m n 满 足 c2=m2-l=n2+l,B P m2-n2=20,m2 n2,则 m n,排除 C,D则 c2=m2-1 n2,则 cV,ei=,e2=,m n2则
11、ei*e2=,m n m n则(e】e2)2=(2)2(_2_)m n2 c2 c2(i n2 -1)(n2+l)m2n2+(i n2 _ n2)_ 1 .i n2 _ n2 _ 1 .2 -1=_ Q 二_-=-=1 +-=J+-=J+ee2 1，故选：A.【点评】本题主要考查圆锥曲线离心率的大小关系的判断，根据条件结合双曲线和椭圆离心率以及不等式的性质进行转化是解决本题的关键.考查学生的转化能力.8.（5 分）（2016浙江）已知实数a,b,c.（）A.若 I a?+b+c I +a+b2+c I W1,则 a2+b2+c2 100B.若 la+b+cl+m+b-c|,JU!a2+b2+c
12、2 100；B.设 a=10,b=-100,c=0.则 la2+b+cl+la b -c|=OW1,a2+b2+c2 100；C.设 a=100,b=-100,c=0,则 a+b+c2|+|a+b-c2|=01,a2+b2+c2100；故选：D.【点评】本题主要考查命题的真假判断，由于正面证明比较复杂，故利用特殊值法进行排除是解决本题的关键.二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共 36分.9.（4 分）（2016浙江）若抛物线y2=4x上的点M 到焦点的距离为1 0,则 M 到 y 轴的距离是9.【考点】抛物线的简单性质.【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、
13、性质与方程.【分析】根据抛物线的性质得出M 到准线x=-1 的距离为1 0,故到y 轴的距离为9.【解答】解：抛物线的准线为x=-1,:点 M 到焦点的距离为10,.点M 到准线x=-1 的距离为10,点 M 到 y 轴的距离为9.故答案为:9.【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题.10.（6 分）（2016浙江）已知 2cos2x+sin2x=Asin（u）x+4）+b（A 0）则 A=._、历，b=1 .【考点】两角和与差的正弦函数.【专题】综合题；函数思想；综合法；三角函数的求值.【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案.【解答】解：2cos2x+sin
14、2x=l+cos2x+sin2x=1+-*/?（-cos2x+Xin2x）+12 2=J in （2x+上-）+1,_ 4A=V2,b=l,故答案为：1.【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键.1 1.（6 分）（2 0 1 6浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：c m）,则该几何体的表面积是7 2 c m2.体积是 3 2 c m .止视图 侧视图俯河园【考点】由三视图求面积、体积.【专题】计算题；整体思想；数形结合法；空间位置关系与距离.【分析】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2 c m 的小正方体所构成的，代入体积公式和面积公式计算即可
15、.【解答】解：由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2 c m 的小正方体所构成的，则其表面积为2?X （2 4-6）=7 2 c m2,其体积为4 X 2 3=3 2,故答案为：7 2,3 2【点评】本题考查了由三视图求儿何体的体积和表面积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力.1 2.（6 分）（2 0 1 6浙江）已知 a b l,l o gab+l o g b a=,ab=ba,则 a=4 ，b-2 .2【考点】对数的运算性质.【专题】计算题；整体思想；换元法；函数的性质及应用.【分析】设 t=l o g b a 并由条件求出t 的范围，代入1 o g
16、a b+k g b a=a 化简后求出t 的值，得到a2与 b的关系式代入a b=b，化简后列出方程，求出a、b的值.【解答】解：设 t=l o g b a,由 a b l 知 t L代入 l o gab+l o g b a=-1-W t即 2t2-5t+2=0,解得 t=2 或 t=L （舍去），2所以 logba=2,即 a=t2,因为 a M/,所以 b =b a,则 a=2b=b?,解得 b=2,a=4,故答案为：4；2.【点评】本题考查对数的运算性质，以及换元法在解方程中的应用，属于基础题.13.（6 分）（2016浙江）设数列 a j 的前n 项和为Sn，若 S?=4,an+i=2
17、Sn+l，n E N*.则 a尸J_,S s=.【考点】数列的概念及简单表示法.【专题】方程思想；分析法；等差数列与等比数列.【分析】运用n=l时,ai=S）,代入条件，结合S2=4,解方程可得首项；再由n l 时，an+i=Sn+i-Sn,结合条件，计算即可得到所求和.【解答】解：由n=l时，ai=Si，可得a2=2Si+l=2ai+l,又 S2=4,即 a+a2=4,即有3即+1=4,解得ai=l；由 n+1=Sn+l Sn,可得Sn+l=3Sn+l，由 S z=4,可得$3=3X4+1=13,S4=3X 13+1=40,S5=3X40+l=121.故答案为：1,121.【点评】本题考查数
18、列的通项和前n 项和的关系：n=l时，ai=Si，n l 时，a/Sn-i，考查运算能力，属于中档题.14.（4 分）（2016浙江）如图，在aABC 中，AB=BC=2,ZABC=120.若平面 ABC 外的点 P 和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是上_.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何.【分析】由题意，4ABD丝P B D,可以理解为4P B D 是由4A B D 绕着BD旋转得到的，对于每段固定的A D,底面积BCD为定值，要使得体积最大，4P B D 必定垂直于平面ABC,此时高最大，体积也最大.【
19、解答】解：如图，M 是 A C的中点.当A D=t A M=J多寸，如图，此时高为P到B D的距离，也就是A到B D的距离，即图中A H,D M=t -V 3由等面积，可得,y*f 1=y7（t -yj）2+l,h-t-t）2+lv=i3 *42-，（2 -t）4 -z=-2-q J y；）t e（仃 2百）配-t）2+l 6 7（V 3-t）2+l综上所述，V,：-（6 -t）2,te（0,2愿）6 V（V3-t）2+l2令 mR（&t）2+l C L 2）,则 vq.L；.m=l 时，Vmax=L2故答案为：1.2【点评】本题考查体积最大值的计算，考查学生转化问题的能力，考查分类讨论的数学
20、思想,对思维能力和解题技巧有一定要求，难度大.15.（4分）（20 16 浙江）已知向量W，b-l a =1.苗=2,若对任意单位向量彳，均有a,e+l b*el 则a*b的最大值是 工.【考点】平面向量数量积的运算.【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用.【分析】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论.【解答】解：由绝对值不等式得，2 I a e!+1 b*e 1 a*e+b*d=1（a+b）已 1，于是对任意的单位向量W，均有I（W+E）I （-a+b）l2=l al2+l bl 2+2 京 b=5+2 a*b，,/+5），5+2。后因此I（W+4）e 的 最
21、 大 值 饵 豆 片 W JE，则 a*b 2下面证明：WE可以取得L,2（1）若 I eJ+1 b已I=a*e+b*e，则显然满足条件.（2）若 I a*el+l b*el=l a*e-be el 此时 I a b l2=l al2+l b l2 _ 2 ab=5-1=4,此时 I a-bl=2 于是 I a*el+b*e!=l a*e b*已|x 2,符号题意，综 上 的 最 大 值 是 L，2故答案为：.1.2【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系是解决本题的关键.综合性较强，有一定的难度.三、解答题：本大题共5 小题，共 74分.解答
22、应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（14分）（2016浙江）在4A B C 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.（I）证明：A=2B2（II）若4A B C 的面积S=3一,求角A 的大小.4【考点】余弦定理；正弦定理.【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形.【分析】（I）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明A=2B（II）若AABC的面积S=,则L b c sin A=,结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A4 2 4的大小.【解答】（I）证明：.，b+c=2acosB,/.sinB+sinC=2sinAcosB，AsinB+sin（A+B
23、）=2sinAcosB.*.sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosBsinB=2=sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）,:A,B 是三角形中的角,B=A-B,/.A=2B；2(II)解：ABC 的面积 s=3一,4AbcsinA=,24.2.2bcsinA=a-,:.2sinBsinC=sinA=sin2B，sinC=cosB,，B+C=90,C=B+90,.A=90或 A=45.【点评】本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用,属于中档题.17.(15分)(2016浙江)如 图，在三棱台ABC-DEF中，已知平面BCFE
24、_L平面ABC,ZACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3,(I)求证：BF_L 平面 ACFD；(II)求二面角B-AD-F 的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系.【专题】数形结合；转化思想；综合法；空间角.【分析】(I)先证明BF_LAC,再证明BF_LCK,进而得到BF_L平面ACFD.(I I)方法一：先找二面角B-A D-F 的平面角，再在RtZXBQF中计算，即可得出；方法二：通过建立空间直角坐标系，分别计算平面ACK与平面ABK的法向量，进而可得二面角B-AD-F 的平面角的余弦值.【解答】(I)证明：延长AD,BE,C F相交于点
25、K,如图所示，.平面BCFEL平面ABC,NACB=90。，；.AC_L平面 BCK,ABFAC.又 EFBC,BE=EF=FC=1,B C=2,二ZBCK为等边三角形，且 F 为 C K 的中点，则 BF_LCK,.BF_L平面 ACFD.(I I)方法一：过点 F 作 FQ J_A K,连接 BQ,：BF_L平面 ACFD.A B F 1 A K,则人1 -I m I I n|4【点评】本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题.1 8.(1 5 分)(2 0 1 6浙江)己知 a 3,函数 F (x)=m in 2|x -I|,x2-
26、2 a x+4a -2),其中./、(P，p4 qm in (p,q)=q，P q(I )求使得等式F(x)=x?-2 a x+4a -2成立的x的取值范围(I I )(i)求 F (x)的最小值m (a)(ii)求 F (x)在 0,6 上的最大值M (a)【考点】函数最值的应用；函数的最值及其几何意义.【专题】新定义；函数思想；分析法；函数的性质及应用.【分析】(I)由 a，3,讨论x W l 时，x 1,去掉绝对值，化简x2-2 a x+4a -2 -2|x -1 I,判断符号，即可得到F (x)=x2-2 a x+4a -2成立的x的取值范围；(I I )(i)设 f (x)=2 1
27、x -1 1,g (x)=x2-2 a x+4a -2.求得 f (x)和 g (x)的最小值，再由新定义，可得F (x)的最小值；(ii)分别对当0 W x W 2 时，当 2 0；当 x 1 时，x2-2 a x+4a -2 -2 1 x -1 1=x2-(2+2 a)x+4a=(x -2)(x -2 a),则等式F (x)=x?-2 a x+4a-2 成立的x的取值范围是 2,2 a ；(I I )(i)设 f (x)=2 1 x -1 1,g (x)=x2-2 a x+4a -2,则 f (x)m in=f (l)=o,g(X)m in=g (a)=-a2+4a -2.由-a2+4a
28、-2=0,解得a=2+&(负的舍去)，由 F (x)的定义可得 m (a)=m in f (1),g (a),0,3 a 2+&(ii)当 0 W x 2 时，F (x)Wf (x)Wm a x f (0),f (2)=2=F (2)；当 2 V x W 6 时，F (x)W g (x)m a x g (2),g (6)=m a x 2,3 4-8 a =m a x F (2),F (6).、-8 a,3 a 4【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题./21 9.(1 5 分)(2 0 1 6浙江)
29、如 图，设椭圆 C：-L_+y 2=1 (a l)2a(I)求直线y=k x+l 被椭圆截得到的弦长(用a,k表示)(I I )若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.【考点】楠圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合.【专题】计算题；规律型；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】（I）联立直线丫=1 +1 与椭圆方程，利用弦长公式求解即可.（I I ）写出圆的方程，假设圆A 与椭圆由4 个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任意一 A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，a的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围.【解答】解：（I）
30、由题意可得：!y=kx+lx?n ，可得：(l+a2k2)x2+2 k a2x=0,+y2=i得 X 1=O 或 X 2=-2 k a2直线y=k x+l 被椭圆截得到的弦长为：行 滔|x-x尸2 a2吗2.1 2 1+a 2 k 2（I D 假设圆A 与椭圆由4 个公共点，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|,记直线AP,A Q 的斜率分别为:k|,k2；且 k i，k2 0,k i k2,由 可 知2 a 2 1 k l IJl+k j2A。，+才 22a?I k 2 I J l+k 2?AQ=H aV故.至+k2 a+k1-+a 2ik 21u+a 2
31、ik 222,(k i2-k22)l+k i2+k22+a2(2 -a2)k i2k22=0,由 k Wk 2，k),k?0,可得：l+k I2+k 22+a2(2 -a2)k|2k 22=0 I k 1|石2|k2|l因 此,J 2+1）（J 2+1）=1+联（联-2），因为式关于卜，k2；的方程有解的充要条件是：1+a?（a?-2）1,所以a&.因此，任意点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为：-1得,所求离心率的取值范围是：oe 返.a a 2【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想以及计
32、算能力.20.(15 分)(2016浙江)设数列满足 1,nGN*.2(I)求证：la/2 2nr (|aj I -2)(nN*)(II)若|an I W(A)n,n 6 N*,证明：|ajW 2,nCN”.2【考点】数列与不等式的综合.【专题】整体思想；综合法；不等式.【分析】(I)使用三角不等式得出lanl-L|a n+J W l,变 形 得 丛 L_ J a n+J 使2 2n 2n+1 2n|a I I a用累加法可求得L L L _L_2_LI,即结论成立;2 2n(ID 利 用(I)的结论得出an2n匕 吐 二 一，进而得出|anl2+(3)m2n,利用m 的任意性可证|ajW 2
33、.【解答】解：(I)V|an-t L|l,2 a”I ln+lj_ 1 n(=N*-,，,n J N,nn nn+l onIan-Lan+1|W1,2.hkL-hnL(hil-A l.)+(h iL h il)+.+2 2n 2 22 22 23wLA_+A_+.+Ji_=-=i-l-2n|(|ai|-2)(nGN*).(I I)任取nN 人,由 知，对于任意mn,I an-l I2n-1an2n_ 属1(la_ I an+l )+(an+l _ an+2 )+(国-1 Ion om on on+l on+l on+2 nm-1am2m)_!_+_!_+.2n 2n+1+_2m-1A-2n 2
34、际-同 二2A|an|2,noI an I-2取正整数 m（）l o g -2-且 m（）n（）,则4 2n0 1-2I 3-7 2%.（旦）mo 0时，求 2 x+包的最小值，有 2 x+&2 2.X X2X=8；转化法：如求|x-5 l +|x-3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x=5 和 x=3 的距离之和，易知最小值为2；求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较.【命题方向】本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视.本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定
35、要求的自变量或者参数的范围.常用方法有分离参变量法、多次求导法等.5.对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：a 1 0%”=凶；/o gaaN=R(a 0 且 ar i).lo ga(M N)=lo gaM+lo gaN；lo gai=lo gaM -lo gaN；Nlo gaMn=nlo gaM；lo gay=lo gaM.6.函数最值的应用【函数最值的应用】函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值.在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题.另外，最值可分为最大值和最小值.【函数最值得应用】这种题的
36、关犍是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很多高考题中也常常以大题的形式出现，所以务必引起重视.这里我们以具体的例题来讲解.例：城关中学要建造一个长方形游泳池，其容积为4 8 0 0 立方米，深为3米，如果建造池底的单价是建造池壁单价的1.5 倍，怎样设计水池才能使总造价最低？设池壁造价为每平方米m 元，则最低造价为多少？解：设水池底面的长为x米，宽为4 8 0 0+3 X米，总造价为y,则尸 x x 颦I x i.5/3X 2（x+-）m=2 4 0 0 m+6（*声&）m.（6 分）3 x 3 x x求导可得y
37、 =6 m（l-小 黑）X令y =6 m（l-攻 孚 ）=0,可得 x=4 0.（1 1 分）x z.函 数 在（0,4 0）上单调递增，在（4 0,+8）上单调递减,当池底长为4 0 米，宽为4 0 米时，总造价最低为2 8 8 0 m元.这是工程上一个很常见的成本最低的问题，也很有代表性，在这个立体当中，我们要做的第一步是构建数学模型，把求成本最低的问题转化为求函数的最小值，这个题在构建模型的时候最关键的是要找到造价与底面长的关系，从而又把造价问题转化为关于底面长的一个函数，这也是我们常用的方法.第二步构建函数，然后运用数学方法求解，这个是重点，求解的一般方法为基本不等式和求导判定单调性.
38、【高考预测】应用题紧贴实际，很能体现学以致用，是出题老师很喜欢的一种题型，解答这种题需要考生先苦练基本功，会求一般函数的最值；然后也具备基本的建模能力，在文字当中找到它们的内在逻辑关系，最后以函数的形式表达出来.7.简单线性规划的应用【知识点的知识】二元一次不等式（组）与简单线性规划问题1、二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线/：办+纱+。=0把直角坐标平面分成了三个部分：直 线/上 的 点（x,y）的坐标满足a r+Z y+片0；直线/一侧的平面区域内的点（x,）的坐标满足a x+b/c X）；直线/另一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标满足o r+勿+c 0.所以，只需在直线/的某一侧
39、的平面区域内，任取一特殊点（冲，并），从以（）+力o+c 值的正负，即可判断不等式表示的平面区域.2、线性规划相关概念名称 意义目标函数 欲求最大值或最小值的函数约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组可行解 满足约束条件的 解（x,y）可行域 由所有可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解,通常在可行域的顶点处取得二元线性规 如果两个变量满足一组一次不等式，求这两个变量的一次函数的最大值或最划问题 小值问题叫作二元线性规划问题3、线性规划（1）不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=A r+B
40、y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量X、的解析式，我们把它称为目标函数.由 于z=A v+B y又是关于X、的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.（2）一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.（3）那么，满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（x i，y】）和（x2.y2）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解
41、必须首先要看它们是否在可行.4、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.设z=0,画出直线/o.观察、分析，平移直线/（），从而找到最优解.最后求得目标函数的最大值及最小值.5、利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.最后,还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.【典型例题分析】题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域典 例1：若不等式组所
42、表示的平面区域被直线产自+分为面积相等的两部分，则人的值是（）A.工 B.3 C.A D.33 7 3 4分析：画出平面区域，显 然 点（0,1）在已知的平面区域内，直线系过定点（0,1）,结3 3合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可.解答：不等式组表示的平面区域如图所示.由 于 直 线 产 过 定 点（0,A）.因此只有直线过AB中点时，直线广履+且能平分平面区3 3 3域.因为 4 （1,1）,B（0,4）,所以 A B 中点 D （L,）.2 2当 y=齿+9 过点（工，）时，至L+&,所以上工.3 2 2 2 2 3 3答案：A.点评：二元一次不 等 式（组）表示平面区域的判断方法
43、：直线定界，测试点定域.注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.题型二：求线性目标函数的最值%4 -3 3x+5yW25典例2：设 x,y满足约束条件：1 x 2 1 ,求 z=x+y 的最大值与最小值.分析：作可行域后，通过平移直线/（）：户）=0来寻找最优解，求出目标函数的最值.解答：先作可行域，如图所示中AABC的区域，且求得A （5,2）、B（1,1）、C （1,）,作出直线/o：x+y=0,再将直线/o 平移，当/o 的 平 行 线 过 点 B时，可使z=x+y 达到最小值；当/o 的
44、平行线b过点A时，可使Z=X-y达到最大值.故Zm i n=2,Zm a x=7.01.2、345、x、loa+y=O点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得.（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系.题型三：实际生活中的线性规划问题典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过5 0 亩，投入资金不超过5 4 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：；年 产 量/亩；年种植成本/亩 每吨售价黄瓜 4吨 1.2 万元 0.5 5 万元韭菜 6 吨 0.9万元 0.3万元为使一年的种植总利
45、润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分 别 为()A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题.解析 设种植黄瓜x 亩，韭菜y 亩，则由题意可知1.2x+0.9y54x,y N+求目标函数z=x+0.9y的最大值,根据题意画可行域如图阴影所示.当目标函数线/向右平移，移至点A(30,2 0)处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大.故答案为：B点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题
46、意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：(1)作图-画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条I;(2)平 移-将/平行移动，以确定最优解的对应点A 的位置；(3)求值-解方程组求出A 点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值.题型四：求非线性目标函数的最值x y 2W 0,0,a W l),设数列 f (a p,f (a 2),f (3 3),f (a Q .是首项为4,公差为2 的等差数列.(I)设 a 为常数，求证：a j 成等比数列；_(I I)设 b n=a n f
47、 (a n),数列 b n 前 n项和是S n，当aW曲求S n.分析：(I)先利用条件求出f (a n)的表达式，进而求出 a n 的通项公式，再用定义来证 a 1是等比数列即可；(I I)先求出数列 b n 的通项公式，再对数列 b n 利用错位相减法求和即可.解答：证明：(I)f (a n)=4+(n -1)X 2=2n+2,即 l o ga a n=2n+2,可得 a n=a 2n+2.ana22a n a 2 8 7)+22rtt-2=a 9n=a 2(n 2,an N*)为定值an为等比数列.(5 分)(I I)解：bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a
48、2n+2.(7 分)当 a j 历时，b n=a n fQ n)=(2n+2)(&)2n+2=(n+l)2n+2(8 分)Sn=2 X 23+3 X 24+4 X 25+(n+1)-2n+2(l)2Sn-2 X24+3X25+4X26+n2n+2+(n+1)2计3(D-(2)W-Sn=2 X 23+24+25+2n+2-(n+1)2n+3(12 分)=161 2 4(1；：1 -(n+1)2计3=16+293-24-n2n+3-2n+3./.Sn=n*2n+3.(14 分)点评：本题的第二问考查J数列求和的错位相减法.错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列.1 0.数列与不等
49、式的综合【知识点的知识】证明与数列求和有关的不等式基本方法:(1 )直接将数列求和后放缩；(2)先将通项放缩后求和；(3)先将通项放缩后求和再放缩；(4)尝试用数学归纳法证明.常用的放缩方法有：2n-1 2n+l 1 12n 2n+l 2 n_ 1 2n 2n+l 2nJ-1_1-1 n3 n(n2 1)2 n(n-1)n(n+l)1.1=1 y 1 1 _ 1 _ 1(Q 2)n n+1 n(n+l)n2 n(n-1)n-1 n-1 _ _1 _=L(_-L-)(n,2),n2 n2-1 2 n-1 n+11=4|a|；V n(n+l)n；(2)将分子或分母放大(或缩小)；(3)利用基本不等
50、式；W(n+D n+(n+l)；2(4)二项式放缩；(5)利用常用结论；(6)利用函数单调性.(7)常见模型：等差模型；等比模型；错位相减模型；裂项相消模型；二项式定理模型；基本不等式模型.【典型例题分析】题型一：等比模型典 例1：对于任意的n d N*,数列 a j满足a.-1 +aY9-2 +1a”一-n=n+l.2 1+1 22+1 2n+l(I)求数列 an的通项公式；(II)求证：对于n22,2，.q 2)2n+l,an=2n+l+n(n 2)-a,-1又 一 二2,得ai=7不适合上式.2 1+1(7,n=l综上得a 二1 ；n1 2叫1+1 1,n 2(H)证明：当 n2 时，2