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1、20XX年江苏数学高考试卷一.填空题1.（5 分）已知集合人=1,2 ,B=a,/+3 .若 A C B=1 ,则实数。的值为.2.（5 分）已知复数2=（1+/）（1+2 力，其中i 是虚数单位，则 z 的模是.3.（5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为2 00,4 00,3 00,1 00件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取6 0件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件.4.（5 分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为一 则输出y的值是.5.（5 分）若 ta n（a -.则 ta na-.4 66.（5 分）如图，在圆柱0 0 2内
2、有一个球。，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱0。2 的体积为 ,球。的 体 积 为 则 L 的值是.V27.（5 分）记函数/（X）=6+x-X 2 定义域为建 在区间1-4,5上随机取一个数x,贝 i Jx W Q的概率是28.（5 分）在平面直角坐标系x O y 中，双曲线掾-/刁的右准线与它的两条渐近线分别交于点尸，Q,其焦点是F“&，则四边形丹P F?。的面积是.9.（5 分）等比数列 6 的各项均为实数，其前项为S”，已知S.=L,$6=更，则的=.4 41 0.（5 分）某公司一年购买某种货物6 00吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4 x 万 元.要
3、 使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x的值是.1 1.（5 分）已知函数/（;0=/-您+/-1-,其中e 是自然对数的底数.若/-1）Xe=x|x=L 二 L C N*,则方程/（x）-/g x=0的 解 的 个 数 是.n二.解答题1 5.（1 4分）如图，在三棱锥A-B C D 中，ABA.AD,B C LB D,平面AB。_ L 平面B C D,点E、尸（E 与 A、。不重合）分别在棱A。，B D上,J I E FL AD.求证：（1）EF平面A 8 C；(2)AD 1 AC.1 6.（1 4 分）已知向量2=（c o s x,si nx）,b=（3,-J），x G O,%.（1
4、）若之总求x的值；（2）记f （x）=a b.求/（X）的最大值和最小值以及对应的x的值.2 21 7.（1 4分）如图，在平面直角坐标系x O y 中，椭 圆 E：=且=1 （a b 0）的左、右2,2a b焦点分别为为，&,离心率为工，两准线之间的距离为8.点尸在椭圆上，且位于第一象2限，过点凡作直线P Q 的垂线/”过点B 作直线PF2的垂线（1）求椭圆E的标准方程：（2）若 直 线，2的交点。在椭圆E 上，求点尸的坐标.1 8.（1 6 分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I 和正四棱台形玻璃容器I I 的高均为32cm,容 器 I 的底面对角线A C 的长为1 0 工”，容器H的两
5、底面对角线EG,E Q i 的长分别 为 1 4c?和62cm.分别在容器I 和容器H中注入水，水深均为1 2cm.现有一根玻璃棒/,其长度为40c?.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将/放在容器I 中，/的一端置于点A 处，另一端置于侧棱C G 上，求/没入水中部分的长度；（2）将/放在容器H中，/的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GGi 上，求/没入水中部分的长度.容器i 容器n1 9.(1 6分)对 于 给 定 的 正 整 数k,若数列 斯 满足：an-k+an-*+(+.+a i+a,)+i+.an+k1+%+*=23对任意正整数(%)总成立，则称数列 斯 是“P(*)数列”.
6、(1)证明:等差数列 册 是“尸(3)数列”;(2)若数列 斯 既是“尸(2)数列”，又是“P(3)数列”,证 明：%是等差数列.20.(1 6分)已知函数/(x)=x3+a x2+b x+1 (a 0,b w R)有极值，且导函数了(x)的极值点是(X)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(I)求6关于“的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：户 3a；(3)若于(x),f(x)这两个函数的所有极值之和不小于-工，求a的取值范围.2二.非选择题，附 加 题(21-24选做题)【选修4：几何证明选讲】(本小题满分0 分)21.如图，4 8为半圆。的直径，直线P C切半圆。于点C,
7、APA.PC,尸为垂足.求证：(1)Z FAC=Z CAB；(2)ACL=APAB.选修4-2：矩阵与变换22.己知矩阵 A=1 0 1 ,1 0.1 oj Lo 2(1)求 A&2 2(2)若曲线Ci：=2q1在矩阵A 8对应的变换作用下得到另一曲线C 2,求C 2的方程.8 2 选修4-4：坐标系与参数方程x=-8+t23 .在平面直角坐标系x O y中，已知直线/的参数方程为 t （/为参数），曲线C的ly=7 2参数方程为X=2 s（s为参数）.设P为曲线C上的动点，求点P到直线/的距离的最小y=2y2s值.选修4-5：不等式选讲24 .已知 a,b,c,d 为实数，Ji a2+Z 2
8、=4,c2+J2=1 6,证明【必做题】25 .如图，在平行六面体 ABC。-AIB C QI 中，A4 i _L 平面 ABC ,且 4 B=AO=2,A4,=V s/8 4 0=1 20.（1）求异面直线A B与A G所成角的余弦值;（2）求二面角B-A i D-A的正弦值.26 .已知一个口袋有帆个白球，个黑球（血，2）,这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,，m+的抽屉内，其中第A次取出的球放入编号为左的抽屉（k=l,2,3,m+n）.1 2 3 .m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量尤表示最后一个取出的黑
9、球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望,证明 E(X),1 6所以产2+/峰今2 -1。g 2邑一 2，10 4故答案为：-2.【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累,属于基础题.5.(5 分)(2 0 1 7 江苏)若 S 几(a -2 E_)=J L.贝4 6 .5一【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可兀t a n C I -t a n .解答解：(a-)=-t a n。一】J4 at a4+1 66ta na -6=ta na-1,解得 ta na=,5故答案为：工.5【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6.（5 分）（2017
10、江苏）如图，在圆柱0。2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记 圆 柱 的 体 积 为 明，球 O 的体积为丫 2,则V1 的值是_ 旦2_.【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果.【解答】解：设球的半径为R,则球的体积为：国兀叱，3圆柱的体积为：兀 w27?二 2加 7?3.则工空菜3.V2 4冗 R3 2故答案为：1.2【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力.7.（5 分）（2017江苏）记函数/（x）=46+x-X2定义域为在区间L*5 上随机取一个数x,则x e。的概率是 竺.一9 一【分析】求出函数的定义域，结
11、合几何概型的概率公式进行计算即可.解答解：由 6+x-x20 得 f -x-6S0，得-2x3,则 D=-2,3,则在区间-4,5 上随机取一个数x,则xG D 的概率=立,5-（-4）9故答案为：”9【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出。，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键.28.（5分）（2 0 1 7 江苏）在平面直角坐标系x O y 中，双曲线宠-尸=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是居，Fi，则四边形F/F z Q 的面积是_2返 _.【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，。坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积.【
12、解答】解：双曲线且1-尸=的右准线：4 3,双曲线渐近线方程为：产 返 x,3 2 3所以 P（3,返），Q（A,-返），Fl（-2,0）.F2（2,0）.2 2 2 2则四边形 P F?。的面积是：/x 4 X 后2 y.故答案为：2 .【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.9.（5 分）（2 01 7 江苏）等比数列 斯 的各项均为实数，其前项为S,，已知$3=工，$6=毁,4 4贝 lj 产 32 .【分 析】设 等 比 数 列%的公比为 g 1,$3=工，$6=毁，可 得 a i -q J 工,4 4 1-q 4（1 -a 6）1 =双 联立解出即可得出.1-q 4【解
13、答】解：设等比数列 卬 的公比为#1,.e,7 ”6 3.a i（l-q b _ 7 a i（l-q6）_6 34 4 1-q 4 1-q 4解得 产 工，q=2.4则 as=X 2 7=32.4故答案为：32.【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.1 0.(5分)(2 01 7 江苏)某公司一年购买某种货物6 00吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是30.【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=迎*6+以，利用基本不等式的性X质即可得出.【解答】解：由题
14、意可得：一年的总运费与总存储费用之和=迎 X 6+4x“x2 x楞口=2 40(万元).当且仅当4 3 0 时取等号.故答案为：30.【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.1 1 .(5分)(2 01 7 江苏)已知函数f(x)=x 3-2 x+e J j 其中e 是自然对数的底数.若/Xe(a-)+f(2 a2)0.则实数a的 取 值 范 围 是 f-1,3.2【分析】求出/(x)的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f (x)在 R上递增；再由奇偶性的定义，可得f(x)为奇函数，原不等式即为2 2-2+2 ex可得在R上递增；又 f(-x)+
15、f(x)=(-x)y+2x+ex-ev+x3-2x+ex-k=0,Xe可得/(X)为奇函数，则/(a -1)+f C2a)0,即有/(2 a2)-/(-1)=f(,1 -a),BP W 2 a2 l -a,解得-i o）=（1 2+x o）沏-九（6 -%）=1 2 ro+6 3 H-x o2+,o22 O,化为：1 2 x（）+6 y o+3 0 S 0,即 2 x o+y o+5 0.表示直线2 x+y+5 0 以及直线下方的区域，联 立 X0n+yn=500,解可得沏=-5或沏=1，2xo+yo+5=O结合图形分析可得：点尸的横坐标网的取值范围是-5 加，1 ,故答案为：-5 料，1 .
16、【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于须、丸的关系式.1 4.（5分）（2 0 1 7江苏）设/（X）是定义在R上且周期为1的函数，在区间 0,1）上，/（%）-xD,其中集合。=妙三二二L,nG N i ,则方程f（x）-/gx=0 的解的个数是x,x 旬 n8.【分析】由已知中八x）是定义在R上且周期为1 的函数，在区间 0,1）上，火x）=1 x E D,x,xO其中集合O=x|广二二L G N*,分析/（x）的图象与尸/gx 图象交点的个数，进而可得答n案.【解答】解：.在区间 0,1）上，/（X）=x x D,X,xO第一段函数上的点的横
17、纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1 的函数，在区间 1,2）上，/（x）=（x-1）xD,此时/（X）的图象与广姐有且只有一个x-1,xO交点；同理：区间 2,3）上，/（%）的图象与产/gx 有且只有一个交点；区间 3,4）上，/（x）的图象与尸/gx 有且只有一个交点；区间 4,5）上，f（x）的图象与产/gx 有且只有一个交点；区间 5,6）上，于（x）的图象与产/gx有且只有一个交点；区间 6,7）上，/（X）的图象与）=/股有且只有一个交点；区间 7,8）上，f（x）的图象与产/gx有且只有一个交点；区间 8,9）上，f（x）的图象与产/gx有且只有一个交点；在区间
18、9,+oo）上，f（X）的图象与）=/gx无交点；故/（x）的图象与产/gx有 8 个交点；即方程于（x）-lgx=0的解的个数是8,故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想,难度中档.二.解答题15.（14 分）（2017江苏）如图，在三棱锥 A-8 8 中，ABL AD,B C LB D,平面 ABC_L平面B C Q,点 E、尸（与 4、。不重合）分别在棱AO,8。上，K E FL AD.求证：（1）EF平面ABC；（2）AD 1 AC.【分析】（1）利用A3EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段C 上点G,连结FG、EG 使
19、得 F G BC,则 EG/1 C,利用线面垂直的性质定理可知尸G L A D,结合线面垂直的判定定理可知4。，平面E F G,从而可得结论.【解答】证明：（1）因为AB_LAO,E F L A D,且 A、B、E、F 四点共面，所以ABEF,又因为瓦岑平面ABC,A8U平面ABC,所以由线面平行判定定理可知：E/平面ABC；（2）在线段CQ上取点G,连结尸G、EG使得FG BC,则 EGAC,因为 8CJ_2。，所以 FG_LBC,又因为平面A B C _ L 平面BCD,所以F G _ L 平面4 8。，所以F G _ L A D,又因为 ADLER 且 E/T l PG u F,所以AO
20、J _平面E F G,所以AOJ _E G,故 AD AC.【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题.1 6.（1 4 分）（2 0 1 7 江苏）已知向量2=（c o s x,s i x）,（3,-J ），x G 0,n.（1）若Z E，求 x的值；（2）记f G）=a b-求/（x）的最大值和最小值以及对应的x的值.【分析】（1）根据向量的平行即可得到加取=-返，问题得以解决，3（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）,*a=Ccosx,s
21、i mc）,b=（3,-J），a b，/.-y/posx=3si nx9ta nx=-2/H.,3V%e 0,兀 ,1 5兀6（2）f（x）=a f e=3 c o s x -/3?z n x=2 3（-cosx-=2y pos（x+_2 L）,2 2 67lf：.x+2 L,Z 2 L,6 6 6-IWcos（x+-2 I _）%）总成立,则称数列%是“P （左）数列（1）证明：等差数列%是“P （3）数列”；（2）若数列 斯 既是“P （2）数列”,又 是“P （3）数列”,证 明：是等差数列.【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，火 厂 3+4 2+即+%+斯+2+即+3=（斯-3
22、+。+3）+（斯-2+斯+2）+（*+*）=2 x 3。，根据P 数列 的定义，可得数列 斯 是“P（3）数列“；（2）由“P （欠）数列”的定义,则 an-2+-1 +即+1+即+2=4/，%-3+。-2+斯-1 +斯+1+恁+2+3=6 ,变形整理即可求得2 0 尸 ，+0 向，即可证明数列 斯 是等差数列.【解答】解：（1）证明:设等差数列 为 首项为外，公差为1 则。办+（H-1）d,贝 U -3+%-2+。-1+1 +即+2+“+39=（“-3+斯+3）+（。-2+2）+（斯-1+。+1），=2。”+2。+2 斯，=2 x 3。“，等差数列 恁 是“P （3）数列”；（2）证明：由数
23、列 斯 是“P （2）数列”则册-2+。,厂 1+。”+1+。+2=4 ，数列 是“P（3）数列%3+a”-2+7+i+a +2+4”+3=6 a“，由可知：。-3+斯-2+为+斯+1=4 斯-1，厂 1+。+。+2+恁+3=4 为+1，由一（+）：一 2 ”=6。4。-4 a +i,整理得：2an=an 1+斯+1,，数列%是等差数列.【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题.2 0.（1 6 分）（2 0 1 7 江苏）已知函数/（X）=x+a x2+b x+（a 0,b G R）有极值，且导函数f（x）的极值点是/（x）的零点.（极
24、值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求。关于。的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：/3；(3)若f(x),f(x)这两个函数的所有极值之和不小于-工，求的取值范围.2【分析】(1)通过对/(x)=/+/+从+1求导可知g (x)=f(x)=3x2+2a x+b,进而再求导可知g，(x)=6x+2 a,通过令g(x)=0进而可知f(x)的极小值点为x=-A,从而/(一包)3 32=0,整理可知6=2里_+3 (a 0),结合/(X)+a x2+b x+(a 0,b q R)有极值可知了9 a(x)=0有两个不等的实根，进而可知。3.(2)通 过(1)构造函数 h(a)=从 I (4
25、a3-2 7)(a3-2 7),结8 1 3 a2 8 1a2合a 3可知(a)0,从而可得结论;2(3)通 过(1)可知了(%)的极小值为/(-A)=6-曳利用韦达定理及完全平方关系3 33 2 3可 知 产/(尤)的 两 个 极 值 之 和 为 生2也+2,进而问题转化为解不等式人-J-+生2 7 3 3 2 72&k+2=3-工，因式分解即得结论.3 a 9 2【解答】(1)解：因为/(x)=x3+a x2+b x+,所以 g (x)=f(x)=3+2+8,g(x)=6x+2 a,令g(x)=0,解 得 产-A.3由于当x-曳时g(x)0,g(x)-f(x)单调递增；当x-三时g(x)g
26、(x)3 3=f(x)单调递减；所 以/(X)的极小值点为户-巨，3由于导函数/(X)的极值点是原函数/(X)的零点，3 3,所以/(-_ 1)=0,即-且+3_ -也+1=0,3 2 7 9 3所以 6=2 1_+3(a 0).9 a因为/(x)=+a+b x+(a 0,b G R)有极值，所以/(x)=3/+2加+6=0有两个不等的实根，2所以 4 a 2-12 60,即 生 一+且 0,解得 3,3 a2所以匕=2 1_+旦(3).9 a（3）解：由（1）可知/（x）的极小值为（-曳）3设X1，工2是y=f（X）的两个极值点，则x+x2=一红,3所以 f（国）+/（工2）二 V 4 Y
27、斗4（v V 2）+。（2）证明：由（1）可知/z（）=Z 2-3 a=-1.（4a3-27）（a3-27）,81 3 a2 81a2由于a 3,所以人（a）0,即 Z?23a；2=b -3XXi=,3（X+M）+2=（X+X2）（X1+X2）2-3为 入2+。（两+必）2 2比2+/?（X+X2）+2_4a3 _ _2ab_+2-27 3-又因为f（x）,f（x）这两个函数的所有极值之和不小于-工，2所以 b -纯+2=3-a-L,3 27 3 a 9-2因为。3,所以 2/-63a-5400,所以 2a（/-3 6）+9（a-6）0,所 以（a-6）（2a2+12a+9）3 时 22+12
28、a+90,所以a -6 0,解得a 6,所以的取值范围是（3,6.【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想,注意解题方法的积累，属于难题.二.非选择题，附 加 题（2124选做题）【选修4 4：几何证明选讲】（本小题满分0 分）21.（2017江苏）如图，AB为半圆。的直径，直线尸C 切半圆。于点C,A P L P C,尸为垂足.求证：（1）Z P A C=Z C A B；（2）A C1=AP-AB.OB【分析】(1)利用弦切角定理可得：Z A C P=Z A B C.利用圆的性质可得N ACB=9 0。.再利用三角形内角和定理即可证明.(2)由(1)可得
29、：&A P C s/A C B,即可证明.【解答】证明：(1).直线P C切半圆。于点C,.N ACP=/A8 C.AB为半圆0的直径，Z ACB=90.：APPC,：.Z APC=90.：.Z PAC=9Q-Z ACP,Z CAf i=9 0-Z ABC,：.Z PACZ CAB.(2)由(1)可得：x A P C s X A C B,AC_ AP*ABAC-:.AC2=AP-AB.【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.选修4-2：矩阵与变换2 2.(2 017江苏)已知矩阵4=1,8=1.1 o j Lo
30、 2.(1)求 AB；2 2(2)若曲线Ci：二2二1在矩阵A B对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.8 2【分析】(1)按矩阵乘法规律计算；(2)求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线G的方程化简即可.【解答】解:(1)AB=f 0W 21u oA 0 2)1 oj(2)设点P(x,y)为曲线CI的任意一点，点P在矩阵4 B的变换下得到点P (沏，刈)，则。2 (x)=(2 y),即须=2乃,o=x,_x0 x=y（）,.一 ,22 2A7 0+X0=i,即 城+舟，8 8二曲线C2的方程为+9=8.【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题.选修4-4：坐标系与参数方程x=
31、8+t23.（2017江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线/的参数方程为J t（，为参数）,ly=2r2曲线C的参数方程为x=2s（s为参数）.设P为曲线C上的动点，求 点P到直线/的y=2V2s距离的最小值.【分析】求出直线/的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数S的函数，从而得出最短距离.【解答】解：直线/的直角坐标方程为x-2y+8=o,：.P到直线/的 距 离2 s2-”S+8|=（*s：）f+4,V5 V5当s=。寸，d取 得 最 小 值 先 延V5 5【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题.选修4-5：不等式选讲24.（2017江苏）已知mb,c,d为实数,且
32、。2+=4,c W=1 6,证明c+标W8.分析a2+b2=4f c2+d2=1 6,令 a=2cosa，b=2sina,c=4cos/3，d=4sin/i.代入 ac+bd 化简，利用三角函数的单调性即可证明.【解答】证明：.2+b2=4,c2+di=16,令。=2cosa,b=2sina,c=cosp,d=4sinp.ac+bd=S（cosacosP+sinasin/）=8cos（a-4）8.当且仅当 cos（a-4）=1 时取等号.因此 ac+bd 2,A4|=A/3 Z BAD=2O0.（1）求异面直线A j B与AG所成角的余弦值；（2）求二面角B-AiD-A的正弦值.3C【分析】在
33、平面A 8 C。内，过A作A t _ L A。，由平面A B C。，可得A&_ L A x,AAtAD,以A为坐标原点，分别以A n AD.A 4 1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.结合已知求出A,B,C,D,A,G的坐标，进一步求出入 由A C:D B-D A；的坐标，（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线与AG所成角的余弦值；（2）求出平面BAtD与平面A.AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角8-A。-A的余弦值，进一步得到正弦值.【解答】解：在平面A B C。内，过A作.凡4 1 _ 1 _平面/1 8。）,AD.A r u平面 A B C C,：.
34、AAi Ax,AAtlAD,以4为坐标原点，分别以A x、AD,44所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.AB=AD=2,A A|=V 3 /8 4 0=1 2 0,；.A （0,0,0）,B（V 3 -1，0），C（百，1,0）,D（0,2,0）,4（0,0,V 3）,G（V 3 1，V 3）.A p B =（V 3 -1.-V3）.届=（仃，1，虫），D B =（V 3，-3,0）,DA=(0,2,y/3)-(1)：cosT AC L 7A1B，A C 1 l A j B l l A C j V 7 X V 7 7:.异面直线48与AG所成角的余弦值为工；7(2)设平面8AQ的一个法向
35、量为W=(x,y,z)，n D B =0 f V 3 x-3 y=0一 ，传n D A j =0 l-2 y+V 3 z=0取产，得n =(J，1，一产);o取平面4 A。的一个法向量为孟=(1,0,0).cos=m*na3m|n I I X 3+i+A 4二面角8-AQ-4的正弦值为3,则二面角B-AQ-A的正弦值为4【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题.2 6.(2 0 1 7江苏)已知一个口袋有m个白球，n个 黑 球(机，nM,n 2),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,m+n的抽屉内，其中第
36、攵次取出的球放入编号为A的 抽 屉(k=l,2,3,m+n).1 2 3 .m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；(2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明 E(X)-2-(m+n)(n-1)【分析】(1)设事件4表示编号为，的抽屉里放的是黑球，贝i j p=p (A2)=P(A2|A|)P(A)+P (A2IA)P(K)，由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率.(2)X的所有可能取值为工，-A-n n+1,P(x=)n+m=-,k=n,+1,+2,.Cn!也n-+m in+m9 从而 (X)=T匕(工k%n+m C=一-C k=nn-1,由此能证明E(X)-=-Cn-h n k=n k%k=n k 7 C黑 k=nn-1=-(-n-l-)-,(%pn2-2 +Cp nn_-12,.+脸0 n-2 )11r之=i-cj=_ 2 _(n-l)卅(m+n)(n-1)：.E(X)-(m+n)(n-1)【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题.