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1、2019年高考数学（文）考点一遍过考点2 8 空间几何体的表面积与体积考 虫点攵了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.知识整合,_/一、柱体、锥体、台体的表面积i.旋转体的表面积圆 柱（底面半径为母线长为/）圆 锥（底面半径为r,母线长为/）圆 台（上、下底面半径分别为，储母线长为/）侧面展开图:9E：2TT/-RA/底面面积3底=兀/%=兀/S j g =兀r ，s下 底=兀厂侧面面积S恻=2nrlsi=K”%=兀/（+八）表面积S表=2兀r(r +/)5衣=(+/)S表=兀(/2+/+/+)2.多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.棱锥、棱台、棱柱
2、的侧面积公式间的联系：二、柱体、锥体、台体的体积1.柱体、锥体、台体的体积公式几何体体积柱体%体=S（S为底面面积，耳为高）,柱=兀/（，为底面半径，/?为高）锥体9体=gs/z（S为底面面积，为高），%锥为底面半径，/?为高）台体%体=g（s+J M+s）/z（s、s分别为上、下底面面积，为高），台;兀人卜口+尸厂+,卜人/分别为上、下底面半径，h 为高）2.柱体、锥体、台体体积公式间的关系3.必记结论（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差;（2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.三、球的表面积和体积1.球的表面积和体积公式设球的半径为R,它的体积与表面积都由半径R唯一确
3、定，是以R为自变量的函数，其表面积公式为4兀心，即4,球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为一兀R、32.球的切、接 问 题（常见结论）1 a（1）若 正 方 体 的 棱 长 为 则 正 方 体 的 内 切 球 半 径 是 正 方 体 的 外 接 球 半 径 是 当。；与正方体所有棱相切2 2的球的半径是注Q.2（2）若长方体的长、宽、高分别为。，b,h,则 长 方 体 的 外 接 球 半 径 是 从+/.2（3）若正四面体的棱长为。，则 正 四 面 体 的 内 切 球 半 径 是 迈 正 四 面 体 的 外 接 球 半 径 是 如 与 正 四 面 体12 4所有棱相切的球的半径是注a
4、 .4（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径.（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高.考向一柱体、锥体、台体的表面积1.已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积.2 .多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.3 .求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.典例引领典 例1如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(
5、)oA.20K B.24KC.32兀 D.28兀【答案】D【解析】由三视图知，该几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4,圆锥的高是2指，,在轴截面中圆锥的母线长是后a =4二圆锥的侧面积是KX2x4=8n,下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4,圆柱的高是4,.圆柱的侧面积是2nx2x4=l&i,一个底面的面积是nx22=4K;空间组合体的表面积是28K,故选D.【名师点睛】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积时常会设计此种陷阱.典例2若正四棱柱ABC。一 4 4 a A的底边长为2,AG与底面A8CO成45。角，则三
6、棱锥8 ACG的表面积为A.6+2及+2 6 B.4+3夜+3 6C.8+2.yj3 D.10+y/3【答案】A【解析】由AG与底面ABCD成45。角，且正四棱柱ABC。-A 5G。的底边长为2,可知棱柱的高为2及，故三棱锥 B ACG 的表面积为gx2夜x2夜+gx2及x2+；x 2 6 x 2 +gx2x2=6+2/+2 6.故答案为A.变式拓展1.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形，俯视图为两个正方形，则该几何体的表面积为 9 9A.2C.6 2B.6 1D.7 32.梯卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫柳，凹进部分叫卯，桦和卯咬合，起到连
7、接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榨卯的三视图，其表面积为A.1 9 2C.1 8 0B.1 8 6D.1 9 8考向二 柱体 锥体 台体的体积空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题.求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解.等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法
8、进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积.因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积
9、，就是求体积的“加、减 法.（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.典例引领典例3如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱得到的一个几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积比为A 3百.A.-1nC 3A/3c.-T t【答案】A【解析】正三棱柱与圆柱的体积比为4一=二 丝（，力分别为圆柱的底面半径和高）,因此该几何体的体积与挖去的圆柱的体积比为亚丁，选A.典例4如图，几何体E F-H B C D中，DE 平面4 B C D,C D E F是正方形，力B C D为直角梯形，AB/CD,AD DC,/ACB是腰长为2式的等腰直角三角形.(1)求证：
10、BC LAF.(2)求几何体EF-4EC。的体积.【解析】(1)因 为 是 腰 长 为2夜的等腰直角三角形,所以月C L BC.因为D E坪面幺B C D,所以D E 1 BC.又 C F,所以行1 BC.又A C CCF=C,所以B C _ L平面月C F.所以B C L AF.（2）因为 B C是腰长为2段的等腰直角三角形，所以 AC=BC=2y/2,AB=AC2+BC2=4,所以 40=BCsinABC=2小 x sin450=2,CD=AB-BCcos/ABC=4-272 x cos45=2所以 DE=EF=CF=2,由勾股定理得4E=AD2+DE2=2#，因为DEL平面4BCD,所以
11、CEl/lD.又4。1 DC,DE CDC=D,所以4D 1平面CDEF.所以匕l何 体EF-A B C D =匕L何 体A-C D EF+匕I何 体F-AC7?=V SU lJU C D E F +Q ABC CF CD-DE-AD+-x-A C B C C F =-x 2 x 2 x 2 +-x x 2 j2 x 2 y/2 x 2 =.3 2 3 3 2 3变式拓展3 .甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为匕，匕，则A.K 2匕C.乂 一 匕=1 6 3甲 乙B.%=2%D.乂 一匕=1 7 34 .如图，在斜三棱柱A B C 4A G中，底 面A
12、 8 C是边长为2的正三角形，M为棱6c的中点，6 4=3,AB=V1 0,N C B B】=6 0。.（1）求证：A M,平面B C G4；（2）求斜三棱柱A B C A gG的体积.考向三球的表面积和体积1.确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.2 .球与几种特殊几何体的关系：（1）长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；（2）正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3：1；（3）直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底
13、面三角形外心连线的中点；（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；（5）球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高.3 .与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.4 .有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：d=J/?一尸.典例引领典例5 九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖麝.若三棱锥P-A B C为鳖腌，/%，平面ABC,B4 =A B =2,4 c =4,三
14、棱锥PA B C的四个顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为A.8 兀B.1 2 7 1C.20K D.2 4兀【答案】C【解析】如图，由题可知，底 面 K 5 C 为直角三角形，目 乙 3 C =1则5C=LC2-加=跖,2则 球。的直径2R=P +A B2+B C2=闻=邛 R =5则 球。的表面积S =4成 2=20K.故选 C.典例6如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 c m,将一个球放在容器口，再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 c m,如果不计容器的厚度，则球的体积为A.C.500K 3-c m31 3 7 2兀-c m32 0 4 87 r ,D.
15、-c m33【答案】A【解析】设球的半径为R,由题意知R,R-2,正方体棱长的一半可构成直角三角形，即 O B4为直角三角形,如图所示.则 6 c=2,BA=A,OB=R-2,OA=R,由 7?2=（/?-2）2+4?,得 R=5,所以球的体积为a兀x 5 3=97 T（c m 3）,故选A.3 3变式拓展5.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是A.1 6 兀B.14KC.12K D.8兀6.三棱锥4-BC。的所有顶点都在球o 的表面上，力 6 j_ 平面8 c O，BC=BD=2,A8=2C0=4百，则球。的体积为128A.64兀 B.兀36
16、4 256C.7T D-7T3 3考向四空间几何体表面积和体积的最值求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决.典例引领典例7如 图 是 圆 柱 的 母 线,43是圆柱底面圆的直径,C 是底面圆周上异于4,8 的任意一点,AM=AB=2.(1)求 证:BC_L平面4AC;(2)求三棱锥4-ABC的体积的最大值.【解析】(1)因为C 是 底 面 圆 周 上 异 于
17、的 任 意 一 点，且 AB是圆柱底面圆的直径,所以 BCA.AC.因为AAi_L平面A8C,BCu平面ABC,所以 A4_LBC.又 A4AC=A,所以8C_L平面AAtC.(2)方法一：设 AC=x(0r2),在 R tA A B C 中 小=9 2 _ 婚=)4-,1 11 1 _ 1 _ 1 _,/二 梭 锥（一 ABC=3 3 X 耳 ,J 4 T 2 =3 J%2（4 _.2）=力-（公-2）2 +4故 一 俊 带 1 3 s“8 C X A 4 1=3 2XACXBCXA4=3 尸 3、3 .因为 0 r 2,0 4 2 0）,则此三棱锥外接球表面积的最小值为正 舶倒视网17A.
18、7 14C.4兀B 兀4D.5兀声 点 冲 关 充1.一个长方体共一顶点的三条棱长分别是G,G,、后，这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是A.1271B.18TIC.36兀D.6兀2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.1C.3俯视图B.2D.63.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A.60D.1144.5.C.81一个与球心距离为2的平面截球所得圆面面积为小 则球的表面积为A.207rC.167rB.20y(2nD.1672T T我国古代数学名著 孙子算经中有如下问题：“今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三
19、丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺.问：须工几何？意思是：现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为2丈、下底为5.4丈、高为3.8丈，直棱柱的侧棱长为5550尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出300立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？（注：一丈等于十尺）A.24642B.26011C.52022D.780336.某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得，其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该几何体的表面积为A.60兀C.9071B.75兀D.93兀7.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是10+2石，则该几何体的体积为正视图R4634企L
20、.138D.-38.如图，直角梯形4 B 8中，ADA.D C,A D/B C,BC=2C)=2AD=2,若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为9.将若干毫升水倒入底面半径为4 c m的圆柱形器皿中，量得水面高度为8 c m,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 c m.1 0 .正三棱锥的高为1，底面边长为2卡，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则 此 球 的 表 面 积 是.1 1 .如图所示的几何体Q P A B C D为一简单组合体，在底面A B C。中，4 0 4 5 =60,A D V D C,AB BC,Q D J _ 平面 A B C。，
21、PA/QD,1ft 4 =1，A D=A B =Q D =2.（1）求证：平面尸A 8 _ L平 面QBC；（2）求该组合体Q P A B C O的体积.直通高考1.（2 0 1 8新课标I文科）在长方体A B C。44GA中，A B=B C =2,AG与 平 面 所 成 的 角 为3 0 ,则该长方体的体积为B.6 0C.8逝D.8G2.（2 0 1 8新课标I文科）已知圆柱的上、下底面的中心分别为。-02,过直线口。2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为3.4.5.6.A.12 为C.8缶B.12 兀D.10 兀（2018年浙江卷）某儿何体的三视图如图所示（单位:
22、cm）,则该几何体的体积（单位：cn?）是俯视图A.2C.6B.4D.8（2016新课标全国II文科）体积为8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A.12?132B.兀3C.8兀D.4兀（2018年高考新课标HI卷文科）设 A，B,C,。是同一个半径为4 的球的球面上四点，八铝。为等边三角形且其面积为9 6，则三棱锥。-A B C 体积的最大值为A.1273C.24。B.D.（2017浙江）某几何体的三视图如图所示（单位:1 8 5473cm)，则该几何体的体积（单位：cm3）是俯视图A.1B.畀33K 1C.-F 123兀oD.-F 327.（2017北京文科）某三棱锥的三视图如
23、图所示，则该三棱锥的体积为A.60B.30H 3 侧（左）视图C.20D.108.（2016新课标全国I 文科）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几冗何体的体积是，则它的表面积是3A.17KC.20兀D.28719.（2016山东文科）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为Wflu1 2A.一 1 7 13 3B.L旦3 3c-+与3 6D.1+J610.（2016四川文科）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为.侧视图俯视图11.（2016浙江文科）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的表面积是.c
24、mz,体积是cm3.俯视图1 2.（2 0 1 7 山东文科）由一个长方体和两个一圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为:正 视 图（主视图）侧 视 图（左视图）2 俯视图1 3.（2 0 1 7 天津文科）已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为1 8,则这个球的体积为1 4.（2 0 1 7 新课标全国I I 文科）长方体的长，宽，高分别为3,2,1,其顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为.1 5.（2 0 1 7 江苏）如图，在 圆 柱 内 有 一 个 球 O,该球与圆柱的上、下 底 面 及 母 线 均 相 切.记 圆 柱 的 体 积 为K，球。的体积为
25、匕，则孑的值是“21 6.（2 0 1 7 新课标全国I 文科）已知三棱锥S-A B C的所有顶点都在球O的球面上，S C是球O的直径.若平面S C A，平面S C B,SAAC,S B=BC,三棱锥S-A B C 的体积为9,则球。的表面积为.1 7.（2 0 1 8 天津卷文）如图，已知正方体的棱长为1,则四棱锥A i-B B i U Q 的体积为.AB1 8.（2 0 1 8 新课标I I 文科）已知圆锥的顶点为S,母线S 4,S3互相垂直，S 4 与圆锥底面所成角为3 0,若 空S的面积为8,则 该 圆 锥 的 体 积 为.1 9.(2 0 1 7新课标全国I文科)如图，在四棱锥P-4
26、 B C。中，AB/CD,且N 8 4 P =N C D P =9 0 .(1)证明：平面P 4 B _ L平面P A。；8(2)PA=PD=AB=DC,N A P =90，且四棱锥P-A B C D的体积为 ,求该四棱锥的侧面积.2 0.(2 0 1 8新课标I文科)如图，在 平 行 四 边 形 中，A 3 =A C =3,N A C M =9 0,以AC为折痕将 ACM折起，使点”到达点。的位置，且A B _ L Z M.(1)证明：平面A C _ L平面ABC；参考答案变式拓展-I.【答案】C【解析】由三视图画出几何体如图所示，上、下底面分别为边长是1、4的正方形；左、后两个侧面是上底为
27、1,下底为4,高为4的直角梯形；前、右两个侧面是上底为1,下底为4,高为5的梯形.其表面积为 S =l x l +4x 4+g x(l +4)x 4x 2+g x(l +4)x 5x 2=6 2.故选 C.2.【答案】A【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部分是长方体，棱长分别为2,6,3,下部分为长方体，棱长分别为6,6,3,其表面积为 S =4 x 6 x 3+2 x 6 x 6+（2+6）x 2x 3=192.故选A.【名师点睛】本题考查了求组合体的表面积问题，关键是由三视图还原几何体图形，注意题目中的计算.3.【答案】D【网析】由申的三徵期可谈几何体力一个正方体中司花
28、掉T长方体，正方体的慢长为I.长方体的长为 友为4,福 为6,财茂几何体的工程力耳1 整一4 4 6-4 1 6,由5二段图b如，谆几何4 是-i 出面也匕49 叫 万 R,M*1 9 的 峭|,则 谋 匚 闻 体 的 W乃 用【名 1x9x9x9=243.事-匕=416-243=173,热送D师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等“，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的
29、影响，对简单组合体的三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.4.【解析】（1）如图，连接4,因为底面A B C是边长为2的正三角形，所以A M J _ 6 C,且AM=J5，因为 8耳=3,NCBB=60 ,B M =1,所以用 A/?=+32-2x l x 3x c o s 60 =7,所以B1 M=布,又 因 为 做=回,所以 A A/2+4M 2=10 =A B：,所以A M _ L 4用，又 因 为 用/BC=M ,所以A M _ L平面BC C 4.61#SA Ab -(2*)由专体，E态用 t 卜;-A C w，PX K,JC.JMC IjiT
30、知 她 押 面 咫 是S=4”(、8 -2/=8(3-2RR.【名师点评】球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径H来求出R,以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法.1 1.【解析】（1）QD J平面A B C。，PA/QD,：.而，平面45 8,又,:BCu 平面A B C。，.,.PALBC,又3 C L 4 3,P Au平面PA B,ABu平面PA 8,PA AB=A,：.BC 平面PA B ,又,:B C u平面QBC,；.平面P ABL平 面Q6C.(2)连接S。，过6作于。，PA,平面ABCD,BO u 平面/2?CD.PA1
31、BO,yB O IA D,ADu 平面 PADQ,2/仁平面/MD0,PAfADAt.二 3。_1 平面,加=期=2,NDAB=60,.3 D是等边三角形，:/.B-P 1D Q=；皿 。=XQ x(l+2)2 -O =/5.vzxzc=zx/rc=90,.*.NaD=NCM=30,又 BD=AB=2,B C =C D =，31 0 2 百.旬。百,S BCD=2 x 2 X -y-x S i n 3 0 =,Q D1 平面 A B C。，Q-BCD=)S&BCD，QD=q X x 2 =:.该组合体的体积V =vB_PADQ+展。=呼.直通高考1.【答案】c【解析】在长方体A B C。-44
32、G 9中，连接8G，根据线面角的定义可知N A G 3 =3 0 ,因为A 6=2,所以6G=2),从而求得。6=2近，所以该长方体的体积为丫=2 x 2 x 2及=8后，故选C.【名师点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长、宽、高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，最终求得结果.2.【答案】B【解析】根据题意，可得截面是边长为20的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是近 的圆，且高为2虚，所以其表面积为5=2冗(应)+2 w J 5-2
33、点=12冗，故选B.【名师点睛】该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.3.【答案】3【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2,底面为直角梯形，上、下底分别为1,2,梯形的高为2,因此几何体的体积为:x(l +2)x 2 x 2 =6,选C.名师点睛先由几何体的三视图还原几何体的形状，再在具体几何体中求体积或表面积等.4.【答案】A【解析】因为正方体的体积为8,所以棱长为2,所以正方体的体对角线长为2 g，所以正方体的外接球的半径为 百，所以
34、该球的表面积为4兀（6 =12兀，故选A.5.【答案】B【解析】如图所示，设点M为三角形A B C的重心，E为A C中点，当点。在平面3 C上的射影为M时，三棱锥Q-/5 c的体积最大，此时，0 D =0 B=R=4,，S皿=9 4 5 2=9 4，二 期=6,；点飘为三角形月6 c的重心，二 皈=：方召=玷，4s RtZkOSAf 中，有0 M =-=2，=DAT=。+。拉=4+2=6,二 仇 3）g=；x 9 右x6=18W,故选 B.【名师点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当点。在平面4 B C上的射影为三角形A B C的重心时，
35、三棱锥。-A B C体积最大很关键，由M为三角形A 8 C的重心，计算得到助0=2 B E=2百，再由勾股定理得到0M,进而得到结果，属于较难题型.36.【答案】A【解析】根据所给三视图可还原儿何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积为1 _ 7T X 1 1 兀,V x 3x（-1 x 2x l）=F 1 1 址 A.3 2 2 2【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视
36、图画出直观图的步骤和思考方法：（1）首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；（2）观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；（3）画出整体，然后再根据三视图进行调整.7.【答案】D【解析】该几何体是如下图所示的三棱锥AB C.p由图中数据可得该几何体的体积是V=-x-x 5 x 3 x 4 =1 0,故选D.3 2【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法：定 底 面|一|根据俯视图确定一|根据正视图、侧视图确定几何体的侧|定棱 侧 而|棱叮侧面特征.调整实线、虚线对应棱|的位置 _定 向 犬 -|确定几何体的形状 j如果我们死记硬背，不会具体问题具体分析，就
37、会选错，实际上，这个题的俯视图不是几何体的底面，因为顶点在底面的射影落在了底面三角形的外面，否则中间的那条线就不会是虚线.8.【答案】A【解析下亥几何体的直观图如图所示.该几何体是一个球被切掉左上角的。后剩余的部分,设球的半径为K,O则/=：乂2成3=半 解 得 犬=2,所以它的表面积是:的球面面积与三个扇形面积之和即o 3 3 o715#亮.n 丽v-=g x 4兀x 2+3x4 兀x 2”=17兀.，故、”选A.9.【答案】C【解析】由已知及三视图可得，半球的直径为、回，正四棱锥的底面边长为1,高 为1,所以其体积为1 ,1 4 1 后 兀、出 cX 1 X 1 +X 71（）=-H-，选
38、 C.3 2 3 2 3 61 0 .【答案】正3【解 析】由三视图 可 知该几何体的底面积为S=x 2百x l =6 ,高 为1,所以该几何体的体积为21 1 .【答案】8 0,4 0【解析】由三视图可知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，则S表面积=6 x 2?+2 x 4?+4 x 2 x 4-2 x 2?=8 0（cm2）,V=23+4 x 4 x 2 =4 0（cm3）.IT1 2 .【答案】2 +22【解析】由三视图可知，长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆的半径为1,所以_./_ 7 t X 1 7 tV =2 x l x l +2 x-x 1 =2
39、H 4 2【名师点睛】（1）由实物图画三视图或判断、选择三视图,此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则.（2）由三视图还原实物图，解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉，复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的；其次，要遵循以下三步：看视图，明关系；分部分，想整体；综合起来，定整体.9兀1 3.【答案】2【解析】设正方体的边长为。，则&?=1 g=a=君，其外接球直径为2K=岳=3,故这个球的4,4 27 9体积 V=-T LR3=7CX-=1 1 .3 3 8 2【名师点睛】求多面体的外接球的表面积或体积的问题常用的方法有：三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角
40、线为外接球的直径，求出球的半径；直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行,借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；如果多面体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点即球心.1 4.【答案】14K【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以2 R =6=i=m,5=4兀叱=1 4兀【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系
41、，列方程（组）求解.31 5.【答案】-2Vt _ nr2 x 2 r _ 3 -【解析】设球半径为r,则 记=4 3 =5.故答案为上.2-nr 23【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.1 6.【答案】3 6 7 1【解析】取S C的中点。，连接因为 1s所以C U _ LS C O5 _ LS C,因为平面S AC-L平面S B C 所以04-L平面S B C 设 0A=广,贝U 匕.s s c=Hx 幺=,所
42、以;，=9 n =3,所以球的表面积为4 a 2 =3 6.【名师点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的各顶点的距离相等，然后用同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体
43、法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.1 7.【答案】-3【解析】如图所示，连接交用A于点。，很明显A在平面8 0 4上的射影是点0,则4。是四棱锥ALBB Q IO的高，且=F=孝,S四边形BO R=BDX DD、=V2 x 1 =/2,结合四棱锥体积公式可得其体积为：V =-S h =-x y/2x =-3 3 2 3【名师点睛】本题主要考查棱锥体积的计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.1 8.【答案】8兀【解析】如下图所示，有。=30:4阳=9 0,又S立解得双=4,所以 SO=L4=2,KO=ylSA2-SO2=2 ,
44、所以该圆锥的体积为 F=-K OA2 SO=8K.2 3【名师点睛】此题为填空题的压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形，利用平面几何知识求解相应线段长，代入圆锥体积公式即可.1 9.【解析】（1）由已知N A 4 P =N C P =9 0,得C D V P D.由于A B C D,故A 5 _ L P D，从而A B _ L平面尸A D.又ABu平面Q 4 3，所以平面P 4 B _ L平面B A D.(2)在平面PA。内作P E，A，垂足为E.由(1)知，AB_L平面PA，故A5_LPE，可得尸E_L平面A8CZ).历设AB=x,则由已知可得AO=0 x，PE=x.2故四棱锥
45、P 3 C D的体积丫=#Q由题设得一/=,故x=2.3 3从而9=P =2,AD=BC=2五PB=PC=2旧可得四棱锥 P ABCD 的侧面积为-P A PD+-PA AB+-P D DC+-B C2 sin 600=6+.2 2 2 2【名师点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；计算点面距离时，如直接求不方便，应首先想到转化，如平行转化、对称转化、比例转化等，找到方便求值时再计算，可以减少运算量，提高准确度，求点面距离有时能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看成三棱锥的高，利用等体积法求出.2 0.【解析】(1)由已知可得，Z5JC=90%BA L A
46、C.y BAVAD,且a c n&=/,所以4 8 1平面月CD.又HSU平面孔g g所以平面RCD1平面A B C.(2)由已知可得，DC=CM=AB=3,D4=3近.2又 BP=DQ=D A,所以BP=2.作 QELAC,垂足为 E,则一 3由已知及(1)可得。CJ_平面ABC,所以 QEJ_ 平面 ABC,QE=l.因此，三棱锥。一 树 的 体 积 为 小f Q E X S 京*3 x 2伍的.【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可.