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1、考点3 1直线、平面平行的判定及其性质旁 拥展攵（1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.理解以下判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.理解以下性质定理，并能够证明：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.（2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.知识整合_J一、直线与平面平
2、行的判定与性质1 .直线与平面平行的判定定理文字语言平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行n线面平行图形语言a/符号语言阂 a,be:a,旦 a ll g all a作用证明直线与平面平行2 .直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行=线线平行图形语言Q z符号语言a a,a u B，a B=b=a b作用作为证明线线平行的依据.作为画一条直线与已知直线平行的依据.二、平面与平面平行的判定与性质1.平面与平面平行的判定定理文字语言一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，
3、则这两个平面平行.简记为：线面平行=面面平行图形语言/符号语言au 8,bu B,a b=P,a/o,作用证明两个平面平行2.平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.简记为：面面平行=线线平行图形语言符号语言a/p.a y=a,0 y=b=a b作用证明线线平行3.平行问题的转化关系性质定理I 判定定理 判定定理线线.黄方线面平行不俞面面,平行判定定理三、常用结论（熟记）1 .如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.2 .如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线.3 .夹在两个平行平面间
4、的平行线段长度相等.4 .经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.5.两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.6 .如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行.7 .如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.8 .如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行.:点考向.考向一线面平行的判定与性质线面平行问题的常见类型及解题策略：(1)线面平行的基本问题判定定理与性质定理中易忽视的条件.结合题意构造图形作出判断.举反例否定结论或反证法证明.(2)线面平行的证明问题判断或证明线面平行的常用方法有：利用线面平行的定义(无公共点
5、)；利用线面平行的判定定理(aa/3).(3)线面平行的探索性问题对命题条件的探索常采用以下三种方法：a.先猜后证，即先观察与尝试，给出条件再证明；b.先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；c.把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件.对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.典例引领典 例 1已知孙是两条不同直线，a,B,7 是三个不同平面，给出下列命题：若 m/a、nil a,则 m/；若 a_L y,F _ L 7,则。；若 mil a,m/B,则
6、。；若加 _ 1 _ a,nl.Q,则 m/n.其中正确的有_ _ _ _ _ _ _ _.(填序号)【答案】【解析】着网 叫 廊.R 可以平行，可以相交，也可以号面，被不正磁I若。1/r 1 人四力可以相交，敬不正旗，若mi,#,a,，可以相交，故不正确，若 mJLa,电1_%则 ej i,故正丽.故 变式拓展1.如图，在正方体BCD-4IBICRI中，M,N,P分别是C W i，B C/的中点，则下列命题正确的是A.M N/A PC.M N平面B.M N/B D,D.M N平面B D P典例引领AB=BC=-AD典例2如图，四棱锥P-A B C D中，A D/B C,2 ,E,F,H分 别
7、 为 线 段 的PC,C D的中点，4 c与B E交于。点，G是线段O F上一点.(1)求证：4 P平面B E F；(2)求证：GH平面PA。【解析】(D 如图，连接EC,B C=-A D:AD/BC,2,：.B C=A Ef BC/AE,.四边形月BCE是平行四边形，二。为4c的中点.又尸是PC的中点，.F。月 P,又,FO u 平面 BEF,AP 平面 BEf,.平面8工(2)如图,连接F如 OH,；尸，”分别是PC 6 的中点，./PD,又.PD u 平面PAD,平面P4D,；.FH 平面 PAD.又.。是4c的中点，”是CC的中点，；AD c-PAD,OHC平面P4C,.3 平面 P4
8、D.又.FHcOHuH,平面。F 平面P 4。，又,:GH u平面。HF,.6 月平面。私变式拓展2.如图，在四棱锥P-B C D 中，P A J_ 平面4 8 C D,P 4 =B C =4/D =2,4 C =4 8 =3/D B C,N 是尸。的中点.(1)求证:N D 平面P 4 B；(2)求三棱锥N-4 C。的体积.考向二面面平行的判定与性质判定面面平行的常见策略：(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用).(2)利用面面平行的判定定理(主要方法).(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用).(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行
9、(客观题可用).典例引领典 例 3 如图，直角梯形4 B C C 与梯形E F C D 全等，其中ABCDEF,A D =A B =-C D =,且EDI 平面力B C D,2点G 是C D 的中点.（1）求证：平面8CF平面4GE；（2）求平面BCF与平面4GE的距离【解 析】（D AB/CDf AB=C D ,G是C D的中点,2JJ,qc c 、1 7TT Z -r m s_l_ T T 2 cci/qc又NGc.BC 斗直角梯：.EF=/，四边形：.BFf/A又NE c，BF 斗：BF a B二.平面队 设,e易知 4E=EG=4G=#,由 -AGE=E-ACG,M x x AE2 x
10、sin60 xJ=x x CGx AD-x.DE,3 2 3 2即4=CG x AD x DEAE2xsin60.平面BCF 平面4GE,平面B C P与平面力G E间的距离为变式拓展3.如图，四棱柱4 3 c o-的底面A?0是正方形，。是底面中心，底面相切，AB=y/2.(1)证 明:平 面A/D 平面C D 1 4；(2)求三棱柱A 6 O-4月。的体积.声点冲关1.已 知 直 线 和平面a ,满足 wa,ua,则“/是 加a ”的A.充分而不必要条件C.充分必要条件2.平 面a与 平 面S平行的条件可以是A.。内的一条直线与平行C.。内的无数条直线与平行B.必要而不充分条件D.既不充分
11、也不必要条件B.。内的两条直线与平行D.。内的两条相交直线分别与平行3.平面a与四。的两边1 6,然分别交于点，E,且 A D：D F A E：E C,如图，则a 与a的位置关系是A.异面C.平行或相交4.下列命题中，错误的是B.相交D.平行A.平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B.平行于同一个平面的两个平面平行C.若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行D.若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面5.如图所示,长方体ABCD-ABC队中，E,尸分别是棱44和阳的中点,过曲的平面EFGH分别交区 和4。于 点G,H,则 的 与48的位置关
12、系是A.平行C.异面B.相交D.平行和异面6.设a,b是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是A.a/b,b c a,贝!aa B.a AD.E为 梭AD2的中点，异 面 直 线 为 与 必 所 成 的 角 为90。.(1)在平面为8内找一点M,使 得 直 线 平 面P 8 E,并说明理由.e5考答案变式拓展-I .【答案】C【解析】取功的中点E,连接M瓦田E,B R,BD,由三角形中位线定理可得ME为凡,.ME平面BB1必。，由四边形B当EN为平行四边形得NE/伊当，:.NE平面BB也D,.平面MNE 平 面 也D,又MNu平面MNE,二加田平面BE，D】D,故选C.2 .【解析
13、】(1)取 外 中 点 必 连 接 做 融1物 V是 的 中 位 线，.加 能 且 M虚BC.依题意得，ADIBC,则有&M N,，四 边 形 是 平 行 四 边 形；.ND 4M,MDC平面R如 M匕平面PAB,：.NDII 平面 PAB.(2):N 是 PC的中点，到平面A B C D的距禽等于P到平面A B C D的距禽的一半，且 R41平面ABCDA=4,，三棱锥N-A C D的高是2.在等股ZUBC中/O 3=3 C=41s。边上的高为、字-2,=BCIAD,.，到加的距禽为渔.SAADC=X 2 x V5=VS.-x J5x2=-d5，三棱锥A M或的体积是3 3 .3.【解析】(
14、1)由题设知，BB、&DD,：.四边形B B Q Q是平行四边形，BD/BD.又 则 平 面C D,耳，52 U平面C D M ,.龙平面C D 4.AA 4 4c14 BC,.四边形48cA是平行四边形，B/DC.又 A B C平面C g,Cu 平面C Q|8 1,A B I I 平面 C D圈.又：B D C 4 3=3,二.平面4 B D H平面CD国.(2)r d O l平面25cD,/.4。是三棱柱扉D-4用A的高又；/。=:/。=1,必=应，4。=竭-=1.又 S,硝=x V2 x 5/2=1 “=S2加 X 4 0 =1.【名师点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴
15、截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法一一割补法、等体积法.割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.等体积法：应用等体积法的前提是几何体的体积通过已知条件可以得到，利用等体积法可以用来求解几何体的高，特别是在求三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三棱锥的高，而通过直接计算得到高的数值.考点冲关4 -1 .【答案】A【解析】若加,m/n,由线面平行的判定定理可得/a,若tn/a,则，与可以是异面直线，所 以“小”是“m a”的充分而不必要条件，故选A.2 .【答案】D【解析】若两个平面明 尸相交，设交线是/，则 有a内的直线
16、勿与/平行，得到加与平面平行，从而可得A是不正确的;而B中两条直线可能是平行于交线，的直线，所以也不能判定a与8平行;C中的无数条直线也可能是一组平行于交线1的直线,因此也不能判定。与 平行.由平面与平面平行的判定定理可得D项是正确的.3 .【答案】DA n A F【解析】在 A BC中，因 为 一=，所以。石B C,又B C a平面a ,D Eu平面a ,所以8 C平面a ,D B E C选D.4 .【答案】C【解析】如果两个平面平行，则位于这两个平面内的直线可能平行，可能异面.5.I 若案】A【解析】分畀图”i.踢 的中O.m/艮又 小 干 面 5 r平il 呼 而KKIH父“T 干面 4
17、0co.干 n CDG 干 f l|I FGH-GH.：L GH6.(W*1D【*研】计干A,可能.日生人玲谩一对于B,b L 6 *i 与 3 QH关 系 杵 行 或 mp u yu。,面*B裾 谖 了 欠.Q u a W M/”侧 声 一 行 叫 敢 做C fliS.m ia fn D.7.KSX1C【暇析】长 方 体 由D-册为C J B.平BMAMDtj平说6&G阡 行，又冒过。，的 平BW制空44.忙CC,于6 E F,事费面面军行的性质定及，D,E/B,同“可证5/E 8,帆J,困 比。,用 由平行区功 所 也C.8.【咎案】A【解析】如图所示,延长厂交直线DC 于点、P,连接加并
18、延长,交DA的延长线于点R,连接R h交44于。，则Q2是 平 面 与 平 面”两尸的交线,在平面4D%为内，与直线。平行的直线有无数条，由直线与平面平行的判定定理可知,这无数条直线与平面生 石 尸 都平行,故答案为A.9.【答案】A【解析】因 为 平 面。平面6 G E，平面a 平面4 4片8=4/，平面BC；E 平面A 4,4 B=B E,所以N B E.又 R E/B F ,所以四边形AEB尸是平行四边形，所以A E=BF=2,所以Ab=L10.【答案】D【解析】如图所示，：,b 分别是棱A B i,JG 的中点，.用力/G则平面OEF即 平 面 的 与 平 面 相 交于。尸,即直线m；
19、由C F/O E,可 得 平 面O KE,故 平 面 与 平 面 孔为相交于时，必 有 /即 3/,则直线山,”的夹角为0.11.【答案】A【解析】因为“F/G 所以MF平面4C C 3.取CB中 点 儿 因为MN CC：所以MN平面A C C/f,从而平面MFHN 平 面 力 即 动 点 尸 的轨迹为线段H F,因此长度为4,选 A.12.【答案】平行【解析】由。，区F分别是的中点，知即是41s s e的中位线，琦叶B C.又TBCu平面4 S C,明 平 面&C,.即“平面3 C.同理DE”平面45。,又明 口1）后=豆，平面1）即“平面A5C.13.【答案】在线段77/上移动【解析】当材
20、在线段 上移动时,有M H/DD）.而H N/B D,：.平面的 明/平面B B DD.又扬匕平面M NH,.助 V/平面B B DD.14.【答案】【解析】对于,该正方体的对角面平面MNP得 出 A 3平面MNP;对于,直线48与平面MNP不平行；对于,直线48与平面MNP不平行；对于,直线48与平面MNP内的直线NP平行.15.【答案】-n 解析】：A C/平面EFGH,平面A B C,平面A B C C平面EFGI EEF,C.A C/EF.EB EF：.=.AB AC由四边形的是菱形知EH/FG,酸 平 面B C D,F k平面B C D,.仍平面BCD.而E HCL平面ABD,平面A
21、BDH平面BCD-BD,AF PH：.EH/BD,：.-=.A B B D由得A E E H x A CEB B D x E FAE又 EP=EH,AC=m,BD=n,所以-EBmn916.【答案】-2【解析】在正方体A B C D-4 用G R 中，因为平面MCI Cl平面D C C,DX=CD,所以平面M CI Q平面A B B A=M M,且MNll CD,所以N 为?的中点（如图），所以该截面为等腰梯形MNCD,.因为正方体的棱长为2,所以-&,CDi=2乃,皿=出,所以等腰梯形MNCDx的高，有了 一（孝）=0,所以截面面积为1 x（、历+9）乂 芋=2.17【解析】（1）如图，取4
22、片的中点G,连接班,FG.;巴G分别是，的中点，:.FGN BBl，FG=BBl,.上为例榜C G的中点，/.FGlI EC,FG=EC,1,四边形 E C 是平行四边形，.*.CFlI EG,TCFC平 面 AB.E,Gz平 面 ABE,(2).三棱柱4 8。一4与。|的侧棱44，底面/比；AA./BB,：.BBi _ L 平面 ABC.：ACCL 平面 ABC,:.AC BB、,；ZACB=90,：.AC IB C,：BB BC=B,BBt=平面 EB,C,BC u 平面 B,C,平面E B|C,V CB u 平面 EBXC,，AC 1 CB),*0-匕-邺=町C -/C=X（X 1 X
23、1）X 1 =.A E =EB=y/2,ABY=A/6,.c 一 出-,v 一夕 一,A T时 ）.,三棱锥C-A B.E的 高 为 善 上=立.S*z 318.【解析】（1）连接AE,则AE必过。尸与GN的交点0,连接M 0,则M 0为AABE的中位线，所以又BE Z 平面DMF,MO u平面DMF,所以8 E 平面DA.（2）因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点，所以DEGN,又。E Z平面MNG,GN u平面MNG,所 以 平 面MNG.又M为AB中点，所以MN为AABD的中位线,所以BD/MN,又BD U平面MNG,MN u平面MNG,所 以 即 平 面MNG,又DE
24、与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE/平面MNG.【名师点睛】在立体几何中，常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的,而是相互联系，并且可以相互转化的.在解决问题的过程中，要灵活运用平行关系的判定定理.（1）应用判定定理证明线面平行的步骤:在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线证明已知直线平行于找到（作出）的直线由判定定理得出结论上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理.（2）利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤：第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第二步：证明这
25、两条相交直线分别平行于另一个平面；第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论.A A19.【解析】（1）如图所示，取 4为线段4G的中点，此 时 景 =1.连 接/出 员 出 厅 点 0.连接OD1DA由 楼 柱 的 必 知,血 形/i/t5比为平行睨形,.点O为4 3 的中臣.Di为/C的中点。为4出的卬点二.ODi月 G,平面12hDi#CQ平面平面ABiDig二 当 多 1时 R J/平面HJQ1-4 G由平面勿平面ABD,且平面A.BCx n平面BCMBC”平面AxBQ D平面AR昨仄0,得BQ/D.0,.42 =4。,D OB-又平面 AB。A 平面 ACCxA=ADx,平面 BD
26、C、A 平面 ACCDCx,：.ADJ/DQ,*AD-DCt DCADtAD D,C,OBCDAp 32 0.【解析】（1）线段AD上存在一点P,使得C P平面A B E F,此时=-.PD 2理由如下：A P 3 A P 3当 =时 =二尸D 2 hA D 5,过点P作A俏 初 交 心 干 点”集按 皿.哂生/3F D A D 5 B E .：.FDm 5.故 MP=3.又 E C =3,MPll FDN EC,故有M P EC.故四边光AWEC为平 四 边 形.，C PU M E.又cp a平面MEF ME u平面ABEF,.*.C P U 平面 ABEF.设2TE=x.XF=MO 即 3
27、=鼻,人 S 4|*h ,即点F到平面ADC的距离为百.直通高考-i.【答案】c【解析】由题意知a B=l,：*l u 0 ,，6故选C.【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，也可借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系.2.【答案】【解析】对于，m n,ma,n/J3,则46的位置关系无法确定，故错误；对于，因为 a,所以过直线n作平面y与平面a相交于直线c,则 c,因为m _ L a,所以m c.所以m _ L，故正确；对于，由两个平面平行的性质可知正确；对于，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确.故正确的命题有.【名师点睛】求解本题时应注意在空间中考
28、虑线面位置关系.3.【解析】在平行六面体 脑纸力由G 中，四4名.因为A B a平面A出C,u 平面A yB xC,所以四平面4 8 C4.【解析】（1）取R 4的中点F,连接放，BF.因为E是PO的中点，所以 所 A。，E F -AD,2由 Z R 4 D =Z A B C =9 0 得B C/A D,又2所以E F gB C,即四边形B C E尸是平行四边形，所以C E 8尸.又 Bbu 平面Q 4 B,C E u平面E 4 8,故C E 平面B 4 B.5.【解析】（1）如图，设AC,B交点为E，连接ME因为F ）平面MAC,平面M 4 C 平面PDB=ME,所以PDME.因为四边形A
29、B C。是正方形，所以E为3。的中点，所以M为P B的中点.6.【解析】（1）设尸C的中点为/，连接G/,“/,在 仁歌中，因为G 是 C E 的中点，所以田II EF,又 EFlI 0B,所以 OB.在 函?中，因为H 是网的中点，所 以 印 C ,所以平面GHlH平面ABC,因为G H u 平面GHI,所以Gff”平 面 疑 C.027.【解析】（1）由己知得AM=A D =2.3取30的中点T,连接A T,-V,由N为PC中 点、知TN/BC,TN=-B C=2.2又ADH B C,故7 7 V纨0,四边形A M N T为平行四边形，于是MN AT.因为ATu平面MNU平面P A B,所以MN平面P A R8 .【解析】（1）在梯形位?切中，四与必不平行.如图，延长DC,相 交 于 点 材 平 面 为 皮，点材即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC/ED,且 BC=ED所以四边形3CDE是平行四边形，从 而 CM”即.又 朋 U平面依,CMS平面P5E,所以a i仍平面产班.（说明：延 长 至 点 用 使 得 3 P M则所找的点可以是直线MV上任意一点）