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1、月球探测器登月着陆轨道优化设计摘要：为研究月球着陆器从着陆准备轨道向月面软着陆的最优控制问题，在考虑月球自转基础上，以减小燃耗和安全避障为指标，综合考虑天体对着陆器引力、月球自转、发动机推力等因素对着陆器绕月飞行的影响，将着陆器的登月过程分解为准备轨道、减速下降、姿态调整、避障着陆等几个阶段，对不同阶段的轨道定位、动力控制和着陆安全性问题进行了建模分析和计算优化。针对第一问，运用开普勒第三定律和万有引力定律等动力学模型对着陆器绕月轨道的速度、姿态及落点等进行高精度定量分析，得到结果如下：速度v近=1.692103m/s， v远=1.614103m/s，方向为该点所在的椭圆轨道切线方向。近月点坐
2、标为（1752km, 199.51。, 44.12。）。，远月点坐标为（100km, (18.47-2.08k)。,- 44.12。）。针对第二个问题提出的轨道的最优控制问题，本文针对着陆器着陆过程中的下落过程利用动力学微分方程、霍曼变轨和轨道优化理论进行了建模，利用龙格库塔四阶方法求出不同控制策略下着陆器运动状态的数值解，利用模拟退火算法对着陆器的控制策略和燃料消耗进行了优化，得出了优化后的控制轨道和相应的动力控制策略；针对避障扫描过程利用梯度分析和搜索算法，针对着陆过程中的安全性和着陆时间提出了着陆方案。最后，本文针对计算过程中可能引入的误差和太阳、地球等其他天体、月球自转可能引起的误差进
3、行了分析，考察论证了计算结果的精度。同时对于实际着陆器运行时可能产生的参数变化进行了敏感性分析，主要考虑推力F变化带来的影响，对控制方案的稳定性进行了评价。关键词：轨道优化 模拟退火 常微分方程 龙格-库塔算法 自主安全避障一、问题重述1. 问题背景月球的开发和利用对人类的发展具有重要的意义,目前世界主要航天国家都已经开展了各自的月球探测计划。我国也早已启动自己的月球探测计划“嫦娥工程”,嫦娥三号”任务是我国探月工程“绕、落、回”三步走中的第二步，也是阿波罗计划结束后重返月球的第一个软着陆探测器。它实现了我国航天器首次在地外天体软着陆。2. 提出问题准确软着陆的关键是着陆轨道与控制策略的设计。
4、本论文中尝试解决以下问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。（3）对着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。二、问题分析对于第一问，分析月球、地球、太阳等天体对嫦娥三号的引力、月球扁率等因素对着陆点的影响，并判断是否可以忽略以简化计算。另外，应充分考虑月球自转的影响。再运用开普勒第三定律和牛顿万有引力定律等列动力学方程组解得近远月点的坐标、速度的大小和方向。对于第二问，要实现软着陆的最优控制，确定嫦娥三号的着陆轨道，需要从节省燃料和确保安全着陆两个方面考虑，其中前三个阶段主要考虑节省燃料
5、的问题，第四阶段粗避障阶段综合考虑安全和节能两个方面，第五、第六阶段以安全着陆为重点，兼顾节约能源。根据以上设计目标，本论文给出着陆器在各个阶段不同的飞行设计方案如下：1）对于着陆准备阶段，主发动机在远月点施加冲量进行霍曼变轨，只进行一次引擎推进减速，最大程度利用天体间引力为着陆器提供飞行动力，使着陆器从远月点高度沿椭圆轨道降低到近月点高度，以节省燃料。2）对于主减速阶段，主发动机持续工作较长时间，燃料消耗巨大。故应当基于动力学方程建立飞行器的最优轨道控制模型来尽量减小燃料消耗。考虑到问题的求解较难，本文采取模拟退火算法求得最优解。 3）对于快速调整阶段，为了衔接主减速段和后续粗避障段，着陆器
6、的姿态发生较大变化。为了防止发动机熄火等因素，必须令发动机推力平缓变化。同时基于快速以及节约燃料等因素加以综合考虑。4）对于粗避障阶段，其主要目的是在较大着陆范围内剔除明显危及着陆安全的大尺度障碍，为精避障提供较好的安全点选择区域，避免出现近距离精避障避无可避的风险，整体提高系统安全着陆概率。本文拟运用梯度分析的方法找到安全着陆区域，基于确保着陆器成像因素，实际采用下降轨道接近与水平面夹角约45的直线下降方式逐步靠近着陆区。一旦接近着陆区，着陆器开始悬停。5）对于精避障阶段，主要是在粗避障选取的较安全区域内进行精确的障碍检测，确保识别并剔除危及安全的小尺度障碍，确保落点安全。下落过程中，采用分
7、类处理措施，根据不同的距离，采取不同的下落速度，以节省燃料。6）对于缓慢下降阶段，为了保证着陆月面的速度和姿态控制精度，着陆器要以较小的设定速度匀速垂直下降，并保持着陆器水平姿态。从约30m高度垂直下降到离着陆点上方约4m的位置。对于第三问，本文回顾了在计算前两个问题时为了简化计算而忽略的可能引发误差的因素，如地球、太阳等其他天体、月球的偏心率等问题对实际计算结果的影响，以及文中采用的数值计算方法的精确性，分析了文章中得出的计算值与实际值之间的误差范围，对计算结果的精确性进行了评价。在对敏感性进行分析的过程中，本文主要考虑在着陆器实际运行时运行参数与理论值之间可能存在的差异，讨论了当发动机最大
8、推进力、着陆器飞行姿态等参数与理论值存在偏差时计算结果产生的变化，对计算结果和控制方案的稳定性进行了评价。三、问题假设1假设月球表面及绕月轨道为绝对真空，不存在任何空气阻力；2. 假设着陆器在真空中进行姿态调整的速度足够快，调整时间可以忽略不计；3. 假设着陆器的质量仅随燃料消耗而减小，不因其他因素发生变化；4. 假设着陆器初始燃料质量不小于1.4t；5. 假设着陆器始终工作正常，运行参数不随环境发生变化。四、定义变量m：嫦娥三号质量；M：月球质量；G：万有引力常数；：月球引力常数；R：月球平均半径；r：着陆器距月心距离；（，）：着陆器经纬度；ve：着陆器比冲；F：着陆器主发动机推力；hi：阶
9、段i嫦娥三号距月面的瞬时高度；vi：中嫦娥三号的瞬时速度；mi：阶段i中嫦娥三号的瞬时质量；(X)：误差X对结果的影响量级。五、模型建立与假设1.近月点和远月点模型建立选嫦娥三号为对象进行受力分析，由于月球表面不存在稠密的大气层,月球卫星的运动无能量耗散问题。其运动主要受到月亮、地球、太阳等其他星体对其产生的引力以及主发动机的推动力，根据万有引力定律F=GMmR2，得：月球对其引力：F月=3.47103N地球对其引力：F地=6.49N太阳对其引力：F日=1.4210 N其中，取万有引力常数G=6.6710-11Nm2kg-2,嫦娥三号在100km环月圆轨道上的飞行重量m=2.4103kg,月球
10、质量M=7.351022kg，环月圆轨道高度r环=105m, 月球平均半径R=1.74106m，地球质量M地=5.981024kg，地球与嫦娥三号距离取月地平均距离r地=3.84108m，太阳质量M日=2.01030kg，太阳与嫦娥三号距离取日地平均距离r地=1.501011m。随着轨道高度的降低，月球引力逐渐增大，而其他引力基本不变。可见F月F地、 F日，因此只需考虑月球对其的万有引力影响，地球、太阳等其他天体可以忽略不计。现在考虑月球扁率对其影响，月球的赤道半径R赤=1737.646km，极区半径R极=1735.843km，而着陆点位于北纬44.12。，半径介于二者之间。若把极区半径当成赤
11、道半径计算，其误差影响()为：=F极-F赤F赤=R赤2R极2-1100%代入数据，算出值为0.207%，而实际上扁率影响还要远小于该值，因此扁率影响可以忽略不计，把月球看作一个球体，取月球的实际平均半径R=1737.013km。图1现在考虑着陆点与近月点的经纬度关系。如图1，以月心为极点建立如图所示球极坐标系，则着陆点的经纬度可以表示为（，）。其中，=199.51。，=44.12。当着陆点在水平方向改变1km时，其精度改变为：=12Rcos=0.000128。当着陆点在竖直方向改变1km时，其精度改变为：=12R=0.0000916。因此后面阶段对经纬度影响可以忽略不计，可以把着陆点经纬度等价
12、于近月点经纬度。在此球极坐标系中，近月点坐标为（1752km, 199.51。, 44.12。）。图2如图2，根据万有引力定律提供向心力GMr2=mv2r推得嫦娥三号在100km环月圆轨道上的飞行速度为v环=R+r远其中，月球引力常数=GM=4.9021012Nm2kg-1，代入数据v环=1.633103m/s在椭圆轨道运动过程中，嫦娥三号总机械能守恒，且在轨道上运动的机械能E等于其动能和势能之和，同时根据开普勒第三定律，列出方程如下：v近v远=R+r远R+r近EA=12mv近2-mR+r近EB=12mv远2-mR+r远EA=EB解得：v近=1.692103m/s， v远=1.614103m/
13、s ，方向为该点所在的椭圆轨道切线方向。 不考虑月球自转情况，因为远月点与近月点的经纬度关于月心对称，故远月点坐标为（100km, 19.51。,- 44.12。）。现考虑月球自转对经度的影响。根据开普勒三大定律，可以推导得椭圆轨道周期公式：T=2a3而由远月点到近月点，正好为椭圆轨道的一半，算得其时间t=（2k+1）T/2=(2k+1)6822s，其中k为沿椭圆轨道绕月旋转圈数。其值由着陆器具体绕月情况即可确定。月球自转周期T转=27.32166日=2.361106s。因此 自转对经度带来的影响=(2k+1)68222.361106360。=2k+11.040。修正后的远月点坐标为（100k
14、m, (18.47-2.08k)。,- 44.12。）2. 6个阶段的着陆轨道及最优控制策略1) 着陆准备轨道其最优变轨策略为霍曼变轨方法。霍曼变轨是一该阶段由远月点变轨至近月点。种空间常用变轨方法，途中只需分别在远月点和近月点进行减速，相对地节省燃料。具体操作如下：根据比冲公式，可以得到每一阶段消耗的燃料质量m=Fdtve其中，t为该阶段所用时间。由于ve是定值，因此只要推力产生的冲量越小，其燃料消耗也就越小。而该阶段动量及质量公式为m10v10-m1fv1f=Fdtm10-m1f=Fdtve其中，v10=v环，v1f=vB。把Fdt看作一个整体，根据二元一次方程组解的唯一性，得到无论F取何
15、值，Fdt都为一定值。因此，基于减小月球引力对变轨的影响这一因素考虑，这里推力取最大值F=7500N。解得m1f=2.367103kg。该阶段的着陆轨道见第一问。2) 主减速段：该阶段的区间是从海拔15km到距离月面3km。该阶段主要目的是减速，实现到距离月面3公里处嫦娥三号的速度小于100m/s。该过程可以化为最优控制问题，由直接法进行求解。考虑到着陆点海拔为-2640m，为便于下面的计算，建立着陆器距月面高度h同着陆器距月心距离r之间的转换公式：h=r-R+2640将建模过程分为如下两阶段：动力学方程：为分析着陆器的下降过程，建立极坐标系，以月球球心为原点，着陆器距离原点的距离（月心距）为
16、r，角度为。则着陆器的速度可以沿径向和切向正交分解为径向速度vr和切向速度v（如图3所示）。图3 考虑到在短时间内月球自转角速度的影响较小，可以忽略不计。则着陆器在下降过程中在推进力、月球引力和自转向心力的影响下运动的动力学方程可以表示为：dvrdt=-Fm2sin-r2+v2rdvdt=Fm2cos-vrvrdrdt=vrdm2dt=-Fve初始条件为：vr=0m/sv=1692m/sr0=1752kmm20=2367kg在着陆器的下降阶段，着陆器距离月面的高度由15km降至3km，同时为了满足粗定位阶段的速度要求，着陆器的切向速度应保持在50m/s以上，径向速度不超过20m/s。因此，微分
17、方程的约束条件可以由以下方程表示：vr20m/s50m/sv100m/srf=1740km优化变量为着陆器的燃料消耗m=m20-m2f控制变量为：Ft:着陆器的推进力t:着陆器的推进角度根据以上条件，在初值、控制量已知的条件下利用四阶龙格-库塔方法可以在计算机上求出微分方程的数值解，即着陆器在下降过程中vr,v,r,m随时间变化的曲线。考虑微分方程：dvdt=-F/m2dm2dt=-Fve用四阶龙格-库塔法求解可以看出，单位燃料质量m2所产生的速度变化v随推进力F的增大而增大。因此F=Fmax为了保证燃料消耗的最小化,控制量在任意时刻应至少满足条件：-Fm2sin-r20cos0取n=4,迭代
18、次数定义为k，温度函数和惩罚系数定义为：Femp=Femp0exp-0.001k1=2=exp0.001k10-23=exp0.001k10-5进行模拟退火，退火过程中保存不同温度下的最优解并进行多次退火，经过人工选择得到较优的几组控制方案如下：序号控制序列t(s)控制序列(rad)1173.1,64.7,85.5,83.8-,-0.6939,-0.9168,-0.8819,-0.84722162.3,75.7,84.5,84.7-,-0.9583,-0.9167,-0.8900,-0.861134表1序号末状态vr(m/s)末状态v(m/s)末状态r(m)末状态m(kg)1-9.572563
19、.8377173691061.32721032-13.404858.4851173951061.328210334表2选择决策1作为最终决策组，其原因如下：速度较为接近要求值，且燃料最省，末状态到月心距离最符合要求。最终选择的决策序列的下降过程如图4示：图4其着陆轨迹如图5：图53) 快速调整段在完成减速下落阶段之后，着陆器的高度和速度基本符合对月面进行扫描壁障的需求。为了满足扫描壁障阶段对月面进行扫描并规避障碍的操作，必须先对着陆器的速度、姿态和发动机推进力进行控制。为了尽快地完成快速调整阶段，我们控制推进力方向为与火箭速度方向相反的方向；同时，为了防止火箭发动机因推进力调整速度过快熄火，设
20、置火箭发动机的初始推进力与上一阶段的末状态相同，随时间均匀减少。此时的动力学方程转化为：dv3rdt=-Fm3sin-r2+v32rdv3dt=Fm3cos-v3rv3rdrdt=vrdm3dt=-FveF=F0-210t=arctanv3rv3其中t为飞行时间。在上一阶段的前提下用龙格-库塔四阶方法解微分方程得到 v3r,v3,r,m的图像如图6：图6根据以上计算，快速调整阶段持续时间17.1s，距离着陆点高度h=2393.9m，着陆器剩余质量m3=1293.5kg，燃料消耗34kg，末速度小于510-3m/s。其着陆轨迹如图6：图64) 粗避障段该阶段的范围是距离月面2.4km到100m区
21、间，其主要任务是识别有效的着陆区域使着陆器可以安全着陆。该阶段及其后阶段，由于离月面高度远小于月球半径，为了便于计算，把着陆点表面重力加速度看成定值。即，g=(R-2640)2其中，R取月球平均半径，算得其值为1.630m/s2。同时，由于此后每一阶段的燃料消耗较少，为了便于计算，可以把每一阶段中着陆器的质量m当成一个定值。图7图像识别：在模型中我们把着陆器抽象为一个着陆器舱体和四条可伸缩起落架的起落架（如图7）。为了保证着陆器在下落在月球表面时起落架不发生损坏、舱体不发生倾覆，理想的着陆点应满足坡度较小和平坦无障碍物的两重条件。由于在粗避障阶段内高程图的精度限制，着陆器无法检测小障碍物，此阶
22、段的主要目标是选择一个坡度较小的区域进行降落。考虑到着陆器着陆过程中可能出现的偏差，选定的安全着陆区域的面积应当最大化。为了限制着陆点的坡度范围，我们对可行的着陆区域的高程图计算每个点的梯度：H=hx+hy则待处理的高程图和相应的梯度图如图8，9所示： 图8 图9由于着陆器的尺寸约为1.5m1.5m，为了简化计算，将梯度图的精度缩减为10m，得到低精度的梯度图（如图10）。在低精度的梯度图的基础上，取安全着陆的坡度为15，得到可行的着陆区域（红色区域）如图11所示： 图10 图11经过以上梯度化、筛选处理，得到的精度为10m的可行区域图已经可以判断可以用于精确避障识别的着陆区域。通过对梯度化、
23、筛选过的可行区域图与原高程图的对比，我们可以认为此时的筛选区域图已经可以表示出可行的着陆区域（如图12）。图12为了利于精避障阶段找到一个合适的着陆区域，利用搜索算法寻找一个安全着陆面积比率大于85%、面积最大的矩形区域如下图所示。选定的着陆区域相对图片中心的坐标为(301650)E(8101650)S(m)，区域尺寸为1360800m3（如图13）。图13.轨迹控制：为了保证在接近段成像敏感器视场能够观测到着陆区, 经查嫦娥三号采用下降轨迹接近与水平面夹角 45的直线下降方式逐步接近着陆区4。到达着陆区后，关闭发动机，让着陆器自由落体，一段时间后快速制动，保证h=100m时，着陆器悬停。为实
24、现粗避障轨迹接近与水平面夹角=45的直线下降方式, 着陆器合加速度和速度方向必须相反。基于节省燃料，应使下降时间尽量短，为此采用先匀加速后匀减速运动的方式, 且两阶段加速度大小相等、方向相反。其推力、月球引力加速度和速度的几何关系如图14（其中虚线为加速阶段，实线为减速阶段）： 图14两个阶段的下降高度及航程为： h4=vh12-vh222ah , x=vx12-vx222ax加速阶段，其加速度方程如下：ah=aFcos-g,ax=aFsin ，ah=-ax 。减速阶段，其加速度方程如下：ah=aFcos-g,ax=-aFsin ，ah=ax 。考虑到区域边界为5050m，拍照间隔时间为1s，
25、为了保证区域连续性，该阶段最大飞行速度v4max251=25m/s。考虑到照片区域范围为23002300m，xmax=1150m，为使时间最短，ah=v4max22(xmax/2)=0.556m/s2将ah值代入方程，得：a=0.786m/s2，aF=1.209/s2，=14.268。，aF=2.256m/s2，=27。380。根据识别的图像，起点与着陆区域中心的位置x=934.7m，该过程持续时间为82.04s，过程末期着陆器质量m4t=1286.7kg。自由落体及制动过程，h4=2300-934.7=1365.3m，a制=Fm4t-g=4.199m/s2，根据动量、能量守恒定律，列出方程如
26、下：gt41=a制t42mgh4=F(12a制t422)解得t41=34.738s，t42=13.485s。则该过程持续时间t41+t42=48.223s，m4=3.44010-2kg，消耗质量可以忽略不计。到达着陆区域后，着陆器速度迅速减为0，进入悬停状态，为下一阶段作准备。因为该阶段以及随后阶段运动过程较为简单，故不再额外附上着陆轨迹图。5) 精避障段图像识别：在精确避障阶段，由于粗避障阶段的着陆区域选择，着陆区域内应不再有大尺寸的障碍物或坡度过大的区域。此时避障的目标是避开突然起伏的小型障碍物和障碍区域。为了实现避障操作，先对着陆器采集的高程图进行处理，选择着陆点。根据对高程图的分析（如
27、图15），由于月球表面材质和数据采集精度问题，着陆器采集到的高程图存在明显的毛刺，为了使高程图更具实际意义，我们先对高程图取平均值进行降噪处理并将x轴、y轴方向的精度降为1m（如图16）。 图15 图16对高程图进行降噪处理后，将100m100m的扫描区域划分为以5m5m为单位的小区域进行计算。对于每个单元格，定义安全性的标准为：hmax-hmin1.0m 在此标准下的安全着陆点分布图为：图17由于可供着陆器安全着陆的区域较小，着陆器采取螺旋搜索的可行的着陆地点，在距离登陆器最近的位置找到着陆点。轨迹控制：该阶段水平位移较小，用水平姿态调整发动机足以实现，故保持主发动机推力方向竖直。为提高避障
28、准确性，该阶段推力等于重力，在竖直方向一直以一个恒定速度下落。由于竖直速度较小，加速时间较短，故不考虑竖直方向加速过程。而为达到省燃料目的，应尽量缩短其过程时间t5。经查，水平姿态调整发动机最大推力T=150N5，采用最大推力，先匀加速后匀减速运动，以实现水平方向最快位移。当着陆器到达安全着陆点时，水平位移停止，竖直方向上速度不变继续下落。为了进一步节省燃料，还可以采取分类处理措施：若着陆器与着陆点距离小于阈值，避障需要的水平位置机动较小，避障时间较短，则以较大速度下降；若着陆器与着陆点距离大于阈值, 避障时间较长，则以较小速度下降。考虑到图像为100100米区域，且着陆器初始位置位于区域正中
29、央，取着陆器可能花费最大时间的一半所经过的路程12.5米作为阈值。当距离小于阈值时，其避障时间t5=23.15s，竖直速度v5h=3m/s；当距离大于阈值时，其避障时间t5=46.30s，竖直速度v5h=1.5m/s。无论哪种措施，其着陆器质量改变量m5均为10-2kg量级，可以忽略。若v5h=3m/s，在离月面30m时，将速度降为1.5m/s，使两种措施的末状态一致，便于下一阶段处理。6) 缓速下降段该阶段区间是距离月面30m到4m。缓速下降段主要考虑到着陆安全性, 为了保证着陆月面的速度和姿态控制精度, 消除水平速度和加速度, 保持着陆器水平姿态等诸多因素,其最优策略应尽可能以较小的设定速
30、度匀速垂直下降,且最后减速过程较为缓慢。相对于其他过程，该阶段时间较短，推力较小，着陆器质量消耗最小，可以把着陆器质量当成定值。其动量方程为m5v5f=m5gt-Fdt即Fdt=m5gt-m5v5f为达到省燃料目的，应该在满足安全性的基础上，尽量缩短其过程时间t。其具体策略如下：先以一个略小于重力的推力下降(实际上为便于计算可近似成匀速直线运动)，等到进入某一临界值（为便于计算，这里拟采用20米）时开始匀减速制动，确保4米处速度降为0。设加速时间t61，减速时间t62，其运动方程为：h61=v60t612a6h62=v602v60=a6t62其中h61，h62为30m10m,10m4m距月表面
31、距离，t1，t2为各阶段所用时间，a6为第二阶段加速度。由此可以求得，t1=13.3s，t2=8s。共花费时间21.3s。3.误差和敏感性分析1）误差分析误差分析，即对于每阶段的可能存在的误差因素进行分析，考虑其对结果产生的影响量级。误差对于着陆轨道的影响，即考虑误差使动力学方程的解产生了多少变化；误差对于控制策略的影响，由于建模主要为了控制燃耗，即考虑误差使着陆器剩余质量产生了多少变化。该模型中误差来源主要有以下因素：1、着陆准备段:月球扁率：月球扁率为1/963.7256，根据第一问的计算，若考虑该因素，万有引力会有10-3级变化。由运动方程估得，月球扁率对远日点、近日点坐标以及着陆器剩余
32、质量产生的误差影响量级月球扁率=O(10-3)。地球引力：地球对着陆器的万有引力会使绕月向心力产生10-3级的误差。估得其误差量级地球引力=O(10-3)。太阳引力：理由同上，太阳引力=O(10-3)。此外，月球自转，太阳光压、月球物理天平动、大行星引力（金星、木星）也会产生误差，只不过量级很小，且难以定性分析。2、主减速段：月球自转：该阶段时间为407.1s，月球自转角度(6.20710-2)。，旋转距离为1.882km，故月球自转对着陆轨道月球自转=O(10-2)，对控制策略无影响。此外，龙格-库塔算法模拟退火算法也会带来一定的误差，该误差较小，且难以定性分析。3、快速调整段：姿态调整发动
33、机：根据资料，该发动机的推力为10N,个数为16个5，根据的变化情况，姿态调整时间约为1s左右，使着陆器剩余质量减小54.42g，对控制策略姿态调整发动机=O(10-5)。因为质量改变，对着陆轨道姿态调整发动机=O(10-6)。此外，龙格-库塔算法也会带来一定的误差，具体同上阶段。4、粗避障段：姿态调整发动机：姿态调整时间约为2s左右，产生影响同上。重力加速度：实际上随着高度下降，重力加速度会随之变化。若g取实际高度，其重力加速度=O(10-3)。着陆器质量：若着陆器质量m一直取时实值计算，且计算悬停阶段的燃料消耗，其着陆器质量=O(10-3)。5、精避障段：姿态调整发动机：同上。重力加速度：
34、重力加速度=O(10-6)。着陆器质量：着陆器质量=O(10-6)。6、缓速下降阶段：重力加速度：重力加速度=O(10-7)。着陆器质量：着陆器质量=O(10-7)。2）敏感性分析敏感性分析是指从定量分析的角度研究有关因素发生某种变化时，对某一组关键指标影响程度的一种不确定分析技术。其实质是通过逐一改变相关变量数值的方法来解释关键指标受这些因素变动影响大小的规律。在该模型中收到敏感性影响且量级最大的参数为发动机的推进力F。由于发动机在第二、三阶段中始终以最大推理运行，考虑最大推力Fmax发生变化时对下降过程的影响：经过计算，当最大推力Fmax由7500N 下降为7200N时，模拟退火算法仍可以
35、求出可行的控制方案，下降时间为427s 与Fmax 为7500N时的偏差不大。考虑到模拟退火算法具有一定的全局搜索能力，模型对于参数变化可以进行相应调整，具有较强的稳定性。六、模型优缺点本文所采用的模型在处理月球着陆器的运动控制问题中完成了着陆器由环绕轨道进入着陆准备轨道直到降落在月球表面的全过程的控制策略，对着陆器的燃料使用、着陆时间、着陆安全性进行了优化，在比较高的精度上完成了月球着陆器的优化问题。在解决问题的过程中，该模型仍具有一定的局限性。例如：在计算过程中模型无法证明控制方案的最优性、没有考虑火箭发动机在图里快速变化时的推进力特点、着陆器姿态控制时的调整速度等。在引入更多变量进行分析
36、的情况下可以获得更加精确的控制方案。七、模型的进一步讨论与改进对于模型的进一步改进，可以进一步考虑主发动机的推进力改变速度、姿态调整速度对着陆器运动过程的影响。在对最优控制问题进行求解时，也可以对模拟退火的初始条件生成方式加以优化，增强模拟退火过程的全局性；在避障过程中对高程图的识别可以用小波分析提取图像信号中的噪声和障碍物信息，获得更加精确的识别信息。在模型的进一步改进中也可以加入针对突发情况的实时调整，增加系统的稳定性。八、参考文献1吴孟达 成礼智 吴翊 ,数学建模教程, 长沙，高等教育出版社，20112Frank R.Giordano William P.Fox ,A First Cou
37、rse in Mathematical Modeling，北京， 机械工业出版社，20093刘林，月球卫星轨道力学综述， 天文学进展，第21卷第4期：281-288,2003年4张洪华，嫦娥三号自主避障软着陆控制技术，中国科学，第44卷 第6期：559-568，2014年5张洪华，嫦娥三号着陆器动力下降的制导导航与控制，中国科学，第44卷第4期：377-384,2014年6Bong-Gyun Park,Jong-Sun Ahn and Min-Jea Tahk, Two-Dimensional Trajectory Optimization for Soft Lunar Landing Con
38、sidering a Landing Site, IntI J. of Aeronautical &Space Sci. 12(3),288-295,20117周净扬，月球探测器软着陆精确建模及最优轨道设计，宇宙学报，第28卷第6期，1462-1471,2007年九、 附录建模过程中使用的主要代码以及相关表格包括：trajectory.m对第二阶段动力学微分方程的求解descend.m对第二阶段决策序列的运动状态和评估函数求解counter_thrust.m 对第三阶段动力学微分方程的求解SA.m对给定的初状态进行模拟退火优化gradient.m对给定的高程图生成梯度矩阵sum_mat.m 求解给定的梯度矩阵的平均值 28