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1、学案学案1 1 集集 合合 知识网络构建知识网络构建知识网络构建知识网络构建填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测返回目录返回目录 返回目录返回目录(3)能使用韦恩图能使用韦恩图(Venn)表示集合的关系及运算表示集合的关系及运算.考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读 1.集合的含集合的含义与表示义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的了解集合的含义、元素与集合的“属于属于”关系关系.(2)能用自然语言、图形语言、集合语言（列举
2、法能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题或描述法）描述不同的具体问题.2.集合间的集合间的基本关系基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定能识别给定 集合的子集集合的子集.(2)在具体情境中在具体情境中,了解全集与空集的含义了解全集与空集的含义.3.集合的基集合的基 本运算本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个会求两个简单集合的并集与交集简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集求给定子集的补集.返
3、回目录返回目录 1.对于以集合及其运算为载体考查函数、三角、不等对于以集合及其运算为载体考查函数、三角、不等式、方程、数列、曲线及轨迹等有关知识式、方程、数列、曲线及轨迹等有关知识.如不等式（组）如不等式（组）解集、方程（组）解集、函数的定义域和值域、曲线的解集、方程（组）解集、函数的定义域和值域、曲线的位置关系等位置关系等.2.以考查集合的交、并、补等运算为主，同时考查集以考查集合的交、并、补等运算为主，同时考查集合特性及集合、元素间的关系合特性及集合、元素间的关系.同时注意对用韦恩同时注意对用韦恩（Venn）图、数轴求交、并、补等数形结合思想的考查）图、数轴求交、并、补等数形结合思想的考查
4、.3.集合在高考中常以选择、填空题考查，偶尔也会出集合在高考中常以选择、填空题考查，偶尔也会出现与其他章节知识结合的解答题现与其他章节知识结合的解答题.考考考考 向向向向 预预预预 测测测测 1.元素与集合元素与集合 .（2）集合中元素与集合的关系）集合中元素与集合的关系 文字描述为文字描述为 和和 .符号表示为符号表示为 和和 .返回目录返回目录（1）集合中元素的三个特性）集合中元素的三个特性确定性确定性 互异性互异性 无序性无序性 属于属于 不属于不属于 返回目录返回目录 .2.集合间的基本关系集合间的基本关系(1)集合间基本关系集合间基本关系相等关系相等关系:AB且且BA ;子集子集:A
5、是是B的子集的子集,符号表示为符号表示为 或或BA;真子集真子集:A是是B的真子集的真子集,符号表示为符号表示为 或或 .(2)不含任何元素的集合叫做不含任何元素的集合叫做 ,记为记为 ，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的的 .(3)集合的表示集合的表示 法法 列举法列举法 描述法描述法 图示法图示法A=B A B A B B A空集空集 真子集真子集 3.并集并集一般地，由所有属于集合一般地，由所有属于集合A或属于集合或属于集合B的元素所组成的的元素所组成的集合，称为集合集合，称为集合A与与B的并集，记作的并集，记作A B，即，即A
6、B=.4.交集交集一般地，由所有属于集合一般地，由所有属于集合A且属于集合且属于集合B的所有元素组成的所有元素组成的集合，称为的集合，称为A与与B的交集，记作的交集，记作AB，即，即AB=.5.补集补集对于一个集合对于一个集合A ，由全集，由全集U中不属于集合中不属于集合A的所有元素组的所有元素组成的集合称为集合成的集合称为集合A相对于全集相对于全集U的补集，记作的补集，记作 CUA=.返回目录返回目录 x|x A,或或x B x|x A,且且x Bx|x U,且且xA6.集合的运算性质集合的运算性质(1)交集交集AB=;AA=;A=;AB A,AB B;AB=A .(2)并集并集A B=;A
7、 A=;A=;A B A,A B B;A B=B .(3)交集、并集、补集的关系交集、并集、补集的关系A(CUA)=;A(CUA)=.CU(AB)=;CU(A B)=.返回目录返回目录 BA A A B B A A A U 返回目录返回目录 若若a,b R，集合，集合1,a+b,a=,求求b-a的值的值.【分析分析分析分析】由由1,a+b,a=可知，可知，a0，因此只，因此只能能a+b=0，然后利用两集合相等的条件列出方程组，然后利用两集合相等的条件列出方程组，分别求出分别求出a,b的值即可的值即可.考点考点考点考点1 1 集合的概念集合的概念集合的概念集合的概念 返回目录返回目录【解析解析解
8、析解析】由由1,a+b,a=可知可知a0,则只能则只能a+b=0，则有以下对应关系：，则有以下对应关系：a+b=0 a+b=0 =a b=a b=1 =1 a=-1 b=1 所以所以b-a=2.或或 由由得得,符合题意；符合题意；无解无解.(1)(1)解决该类问题的基本方法为：利用集合中元解决该类问题的基本方法为：利用集合中元解决该类问题的基本方法为：利用集合中元解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点素的特点素的特点素的特点 ，列出方程组求解，列出方程组求解，列出方程组求解，列出方程组求解.但解出后应注意检验，看但解出后应注意检验，看但解出后应注意检验，看但解出后应注意检验，看所得结果
9、是否符合元素的互异性所得结果是否符合元素的互异性所得结果是否符合元素的互异性所得结果是否符合元素的互异性.(2)(2)解决此类问题还可以根据两集合中元素的和解决此类问题还可以根据两集合中元素的和解决此类问题还可以根据两集合中元素的和解决此类问题还可以根据两集合中元素的和相等、元素的积相等，列方程求解，但仍然要检验相等、元素的积相等，列方程求解，但仍然要检验相等、元素的积相等，列方程求解，但仍然要检验相等、元素的积相等，列方程求解，但仍然要检验.返回目录返回目录 返回目录返回目录 已知集合已知集合A=,B=x2,x+y,0,若若A=B,则则x2 011+y2 012=,A=B=.-1,0,1-1
10、 返回目录返回目录 解：解：(根据集合相等的定义知根据集合相等的定义知x=0或或 =0.当当x=0时时,无意义无意义,只能只能 =0,得得y=0,代入代入A,B得得 A=x,0,1,B=x2,x,0.又又A=B,x2=1,x=1或或x=-1.当当x=1时时,A=1,0,1,B=1,1,0,不符合集合元素的互不符合集合元素的互异性异性,故舍去故舍去;当当x=-1时时,A=-1,0,1,B=1,-1,0,A=B,符合题意符合题意.x2 011+y2 012=(-1)2 011+02 012=-1.AB-1,0,1.)返回目录返回目录 考点考点考点考点2 2 集合与集合的关系集合与集合的关系集合与集
11、合的关系集合与集合的关系 2010年高考浙江卷设年高考浙江卷设P=x|x4,Q=x|x24,则则()A.PQ B.QP C.PCRQ D.QCRP【分析分析】先求出先求出Q,研究研究P与与Q的关系的关系,确定确定A,B是否正确是否正确.再求再求CRQ,CRP判断判断C,D是否正确是否正确.【解析解析】Q=x|-2x2,QP.故应选故应选B.返回目录返回目录 本题考查一元二次不等式的解法、集合间的关系本题考查一元二次不等式的解法、集合间的关系及集合的运算，同时考查学生的逻辑思维能力及运算及集合的运算，同时考查学生的逻辑思维能力及运算能力，属基础题能力，属基础题.返回目录返回目录 已知集合已知集合
12、A=x|0ax+15，集，集合合B=(1)若若AB,求求实数实数a的取的取值范围值范围;(2)若若BA,求求实数实数a的取的取值范围值范围;(3)A,B能能否相等否相等?若若能能,求出求出a的的值值;若不能若不能,试说明理试说明理由由.返回目录返回目录【解析解析解析解析】A中不等式的解集应分三种情况讨论中不等式的解集应分三种情况讨论:若若a=0,则则A=R；若若a0,则则A=.(1)当当a=0时，若时，若AB，此种情况不存在此种情况不存在.当当a-a-8 -2,a-,a0时时,若若AB,如图如图,-a2 2,a2.a2.综上知综上知,此时此时a的取值范围是的取值范围是a-8或或a2.则则返回目
13、录返回目录(2)当当a=0时时,显然显然BA;当当a0时，若时，若BA，如图，如图，0a2.综上知综上知,当当BA时时,-a2.(3)当且仅当当且仅当A,B两个集合互相包两个集合互相包含时含时,A=B.由由(1),(2)知知,a=2.则则返回目录返回目录 考点考点考点考点3 3 集合的基本运算集合的基本运算集合的基本运算集合的基本运算2010年高考辽宁卷已知年高考辽宁卷已知A,B均为集合均为集合U=1,3,5,7,9的的子集，且子集，且AB=3,(C CUB)A=9,则则A=()A.1,3 B.3,7,9C.3,5,9 D.3,9【分析分析】利用利用B(C UB)=U,可得可得A=(AB)(A
14、 CUB)=3,9.【解析解析】AB=3,(C UB)A=9,又又B(C UB)=U,A=3,9.故应选故应选D.返回目录返回目录 本题考查集合的交、并、补运算，难度较小本题考查集合的交、并、补运算，难度较小.返回目录返回目录 设集合设集合A=x|x2-3x+2=0,B=x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0.(1)若若AB=2,求实数求实数a的值的值;(2)若若A B=A,求实数求实数a的取值范围的取值范围;(3)若若U=R,A(CUB)=A,求实数求实数a的取值范围的取值范围.【解析解析解析解析】由由x2-3x+2=0得得x=1或或x=2,故集合故集合A=1,2.(1)AB=2,2 B
15、,代入代入B中的方程中的方程,得得a2+4a+3=0,a=-1或或a=-3.当当a=-1时时,B=x|x2-4=0=-2,2,满足条件满足条件;当当a=-3时时,B=x|x2-4x+4=0=2,满足条件满足条件.综上综上,a的值为的值为-1或或-3.返回目录返回目录 返回目录返回目录(2)对于集合对于集合B,=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).A B=A,BA,当当0,即即a0,即即a-3时时,B=A=1,2才能满足条件才能满足条件.则由根与系数的关系得则由根与系数的关系得 1+2=-2(a+1)a=-12=a2-5,a2=7综上综上,a的取值范围是的取值范围是a-3.,矛盾矛盾.
16、即即返回目录返回目录(3)A(CUB)=A,A CUB,AB=.若若B=,则则0 a-3,此时需此时需1B且且2B.将将2代入代入B的方程得的方程得a=-1或或a=-3(舍去舍去);将将1代入代入B的方程得的方程得a2+2a-2=0 a=-1 .a-1且且a-3且且a-1 .综上综上,a的取值范围是的取值范围是a-3或或-3a-1-或或-1-a-1或或-1a-1+.考点考点考点考点4 4 维恩维恩维恩维恩(Venn)(Venn)图的应用图的应用图的应用图的应用 返回目录返回目录 2009年高考江西卷已知全集年高考江西卷已知全集U=A B中有中有m个元素，个元素，（C UA）(C UB)中有中有
17、n个元素个元素.若若AB非空，则非空，则AB的元素个数为的元素个数为 ()A.mn B.m+n C.n-m D.m-n【分析分析】可利用可利用Venn图解题图解题.【解析解析】（CUA)(CUB)中有中有n个元素，个元素，如图所示阴影部分，又如图所示阴影部分，又U=A B中有中有m个元素，故个元素，故AB中有中有m-n个元素个元素.故应选故应选D.返回目录返回目录 本题考查集合的表示法本题考查集合的表示法Venn图的应用图的应用.返回目录返回目录 某班有某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组每名同学至多参加两个小组.已
18、知参加数学、物理、化学已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小，同时参加数学和物理小组的有组的有6人，同时参加物理和化学小组的有人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时人，则同时参加数学和化学小组的有人参加数学和化学小组的有人.【答案答案】8【解析解析】如图，设同时参加数学和如图，设同时参加数学和化学小组的有化学小组的有x人，则人，则26+15+13-6-4-x=36，解得解得x=8.考点考点考点考点5 5 自定义集合的运算自定义集合的运算自定义集合的运算自定义集合的运算若集合若集合A1,A2满足满足A1 A2=A,则称则称(A1,A2)
19、为集合为集合A的一种的一种分拆分拆,并规定并规定:当且仅当当且仅当A1=A2时时,(A1,A2)与与(A2,A1)为集为集合合A的同一种分拆的同一种分拆,则集合则集合A=1,2,3的不同分拆种数是的不同分拆种数是()A.27 B.26 C.9 D.8【分析分析分析分析】在正确理解在正确理解“分拆分拆”定义的基础上定义的基础上,采用列举法采用列举法,注意分类注意分类.返回目录返回目录 A A 【解析解析解析解析】当当A1=时时,A2=1,2,3,只有一种分拆只有一种分拆;当当A1是单元素集时是单元素集时(有有3种可能种可能),则则A2必须至少包必须至少包含除该元素之外的两个元素含除该元素之外的两
20、个元素,也可能包含也可能包含3个元素个元素,有两类有两类情况情况(如如A1=1时时,A2=2,3或或A2=1,2,3),这样这样A1是单元是单元素集时的分拆有素集时的分拆有6种种;当当A1是两个元素的集合时是两个元素的集合时(有有3种可能种可能),则则A2必须必须至少包含除这两个元素之外的另一个元素至少包含除这两个元素之外的另一个元素,还可能包含还可能包含A1中的中的1个或个或2个元素个元素(如如A1=1,2时时,A2=3或或A2=1,3或或A2=2,3或或A2=1,2,3),这样这样A1是两个元素的集合时的分是两个元素的集合时的分拆有拆有12种种;返回目录返回目录 当当A1是三个元素的集合时
21、是三个元素的集合时(只有只有1种种),则则A2可能包可能包含含0,1,2或或3个元素个元素(即即A1=1,2,3时时,A2可以是集合可以是集合1,2,3的任意一个子集的任意一个子集),这样这样A1=1,2,3时的分拆有时的分拆有23=8(种种).集合集合A=1,2,3的不同分拆种数是的不同分拆种数是1+6+12+827(种种).故应选故应选A.返回目录返回目录 解此类问题的关键是理解并掌握题目给出的新定解此类问题的关键是理解并掌握题目给出的新定解此类问题的关键是理解并掌握题目给出的新定解此类问题的关键是理解并掌握题目给出的新定义义义义(或新运算或新运算或新运算或新运算).).思路是找到与此新知
22、识有关的所学知识思路是找到与此新知识有关的所学知识思路是找到与此新知识有关的所学知识思路是找到与此新知识有关的所学知识,帮助理解帮助理解帮助理解帮助理解 .同时同时同时同时 ,找出新知识与所学相关知识的不同之处找出新知识与所学相关知识的不同之处找出新知识与所学相关知识的不同之处找出新知识与所学相关知识的不同之处,通过对比，加深对新知识的认识通过对比，加深对新知识的认识通过对比，加深对新知识的认识通过对比，加深对新知识的认识.返回目录返回目录 返回目录返回目录 设集合设集合S=A0,A1,A2,A3,在在S上定义运算上定义运算为为:Ai Aj=Ak,其其中中k为为i+j被被4除的余数除的余数,i
23、,j=0,1,2,3,则满足关系式则满足关系式(x x)A2=A0的的x(x S)的个数为的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4B返回目录返回目录 (验证法验证法:(A0 A0)A2=A0 A2=A2A0,A0不满足关系式；不满足关系式；（A1 A1）A2=A2 A2=A0，A1符合关系式；符合关系式；（A2 A2）A2=A0 A2=A2A0,A2不满足关系式不满足关系式;(A3 A3)A2=A2 A2=A0,则则A3符合关系式符合关系式.故应选故应选B.)1.1.在进行集合的运算时要注意：在进行集合的运算时要注意：在进行集合的运算时要注意：在进行集合的运算时要注意：勿忘对空集的讨勿忘对空
24、集的讨勿忘对空集的讨勿忘对空集的讨论；论；论；论；勿忘集合中元素的互异性；勿忘集合中元素的互异性；勿忘集合中元素的互异性；勿忘集合中元素的互异性；对于集合对于集合对于集合对于集合A A的补的补的补的补集运算，勿忘集运算，勿忘集运算，勿忘集运算，勿忘A A必须是全集的补集；必须是全集的补集；必须是全集的补集；必须是全集的补集；对于含参数（或对于含参数（或对于含参数（或对于含参数（或待定系数）的集合问题，待定系数）的集合问题，待定系数）的集合问题，待定系数）的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取勿忘对所求数值进行合理取勿忘对所求数值进行合理取勿忘对所求数值进行合理取 舍舍舍舍.2.2.在集合运算过程
25、中应力求做到在集合运算过程中应力求做到在集合运算过程中应力求做到在集合运算过程中应力求做到“三化三化三化三化”：(1)(1)意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集还是图形，是表示函数的定义域、值域还是方程点集还是图形，是表示函数的定义域、值域还是方程点集还是图形，是表示函数的定义域、值域还是方程点集还是图形，是表示函数的定义域、值域还是方程或不等式的解集或不等式的解集或不等式的解集或不等式的解集.返回目录返回目录 (2)(2)直观化：借助数轴、直角坐标平面、直观
26、化：借助数轴、直角坐标平面、直观化：借助数轴、直角坐标平面、直观化：借助数轴、直角坐标平面、VennVenn图等图等图等图等将有关集合直观地表示出来将有关集合直观地表示出来将有关集合直观地表示出来将有关集合直观地表示出来.(3)(3)具体化：具体化：具体化：具体化：具体求出相关集合中函数的定具体求出相关集合中函数的定具体求出相关集合中函数的定具体求出相关集合中函数的定 义义义义 域、域、域、域、值域或方程、值域或方程、值域或方程、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也不等式的解集等；不能具体求出的，也不等式的解集等；不能具体求出的，也不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简单形式应力求将相关集合转化为最简单形式应力求将相关集合转化为最简单形式应力求将相关集合转化为最简单形式.返回目录返回目录