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1、第1课时利用导数研究函数的极值第一章1.3.2利用导数研究函数的极值学习目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1知识点极值的概念观察yf(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值.答案答案答案极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h).思考2导数为0的点一定是极值点吗？答案答答案案不一定，如f(x)x3，尽管由f(x)3x20，得出x0，但f(x)在R上是增函数
2、，不满足在x0的左、右两侧符号相反，故x0不是f(x)x3的极值点.极值的概念(1)极大值与极大值点已知函数yf(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有 ，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作 ，并把 称为函数f(x)的一个极大值点.梳理梳理y极大f(x0)f(x)f(x0)y极小f(x0)极大值极小值极大值点极小值点题型探究例例1求下列函数的极值，并画出函数的草图.(1)f(x)(x21)31；解答类型一求函数的极值命题角度命题角度1不含参数的函数求极值不含参数的函数求极值解答(1)讨论函数的性质时，要树立定义域优先的原则.(2)求可导函数f(x)的极值的
3、步骤求导数f(x)；求方程f(x)0的根；观察f(x)在方程根左右值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个方程根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个方程根处取得极小值.注意：f(x)无意义的点也要讨论，可先求出f(x)0的根和f(x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断.反思与感悟 跟跟踪踪训训练练1设三次函数f(x)的导函数为f(x)，函数yxf(x)的图象的一部分如图所示，则C.f(x)极大值为f(3)，极小值为f(3)D.f(x)极大值为f(3)，极小值为f(3)解析解析当x0，即f(x)0；当3x3时，f(x)1时，函数在x0处取得极大值1，在xa1处取得极小值1
4、(a1)3.讨论参数应从f(x)0的两根x1，x2相等与否入手进行.反思与感悟跟踪训练跟踪训练2已知函数f(x)xaln x(aR).(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；解答因而f(1)1，f(1)1.所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)求函数f(x)的极值.解答当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值.综上，当a0时，函数f(x)无极值；当
5、a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.类型二已知函数极值求参数解答已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.反思与感悟跟跟踪踪训训练练3(1)函数f(x)x3ax2bxc的图象如图所示，且与直线y0在原点处相切，函数的极小值为4.求a，b，c的值；解答解答求函数的单调减区间.解解由知f(x)x33x2，且f(x)3x(x2).由f(x)0，得3x(x2)0，0 x2，函数f(x)的单调
6、减区间是(0,2).解答类型三函数极值的综合应用例例4(1)函数f(x)x34x4的图象与直线ya恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是_.答案解析(2)已知函数f(x)x36x29x3，若函数yf(x)的图象与y f(x)5xm的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围.解答利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基本上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.反思与感悟跟跟踪踪训训练练4若2ln(x2)x2xb0在区间1,1上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围.解答当堂训练1.函数f(x)
7、的定义域为R，它的导函数yf(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是A.在(1,2)上函数f(x)为增函数B.在(3,4)上函数f(x)为减函数C.在(1,3)上函数f(x)有极大值D.x3是函数f(x)在区间1,5上的极小值点答案2233445511解析2.已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为A.1a2 B.3a6C.a2 D.a6答案2233445511解析解析解析f(x)3x22axa6.因为f(x)既有极大值又有极小值，所以(2a)243(a6)0，解得a6或a3.22334455113.函数f(x)aln xbx23x的极值点为x11，x22，则a
8、_，b_.答案解析24.直线ya与函数yx33x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是_.2233445511解析解析解析f(x)3x23.令f(x)0可以得到x1或x1，f(1)2，f(1)2，2a2.答案(2,2)5.已知函数f(x)ax2bln x在x1处有极值 .(1)求a，b的值；解答2233445511(2)判断f(x)的单调区间，并求极值.解答2233445511规律与方法1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)的符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.本课结束