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1、第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用类类型一型一组组数数问题问题【典例典例1 1】(1)(2017(1)(2017衡水高二衡水高二检测检测)我我们们把个位数比把个位数比十位数小的两位数称十位数小的两位数称为为“和和谐谐两位数两位数”,则则1,2,3,41,2,3,4四个数四个数组组成的两位数中成的两位数中,“和和谐谐两位数两位数”有有_个个.(2)8(2)8张张卡片上写着卡片上写着0,1,2,0,1,2,7,7共共8 8个数字个数字,取其中的三取其中的三张张卡片排放在一起卡片排放在一起,可可组组成多少个不同的三位数成多少个不同的三位数?【解解题指南指南】(1)要要组成一个成一个
2、“和和谐两位数两位数”可按个位可按个位数数进行分行分类,然后先排个位数再排十位数然后先排个位数再排十位数.(2)百位数字不能百位数字不能为0,同同时每位上的数字不能重复每位上的数字不能重复.【解析解析】(1)当个位数当个位数为1时,十位数可以是十位数可以是2,3,4任意一任意一个个,有有3种种选法法;当个位数当个位数为2时,十位数可以是十位数可以是3,4任意一任意一个个,有有2种种选法法;当个位数当个位数为3时,十位数只能是十位数只能是4,有有1种种选法法;由分由分类加法加法计数原理数原理,满足条件的足条件的“和和谐两位数两位数”有有3+2+1=6(个个).答案答案:6(2)先排放百位从先排放
3、百位从1,2,7共共7个数中个数中选一个一个,有有7种种选法法;再排十位再排十位,从除去百位的数外从除去百位的数外,剩余的剩余的7个数个数(包括包括0)中中选一个一个,有有7种种选法法;最后排个位最后排个位,从除前两步从除前两步选出的数外出的数外,剩剩余的余的6个数中个数中选一个一个,有有6种种选法法.由分步乘法由分步乘法计数原理数原理,共可以共可以组成成776=294(个个)不同的三位数不同的三位数.【延伸探究延伸探究】1.1.典例典例1(2)1(2)条件不条件不变变,问问可可组组成多少个无重复数字的三成多少个无重复数字的三位密位密码码?【解解题指南指南】明确明确“三位密三位密码”各个数位上
4、的数字可各个数位上的数字可以是以是0.【解析解析】完成完成“组成无重复数字的三位密成无重复数字的三位密码”这件事件事,可以分可以分为三步三步:第一步第一步,选取左取左边第一个位置上的数字第一个位置上的数字,有有8 8种方法种方法;第二步第二步,选取左取左边第二个位置上的数字第二个位置上的数字,有有7 7种方法种方法;第三步第三步,选取左取左边第三个位置上的数字第三个位置上的数字,有有6 6种种方法方法.由分步乘法由分步乘法计数原理知数原理知,可以可以组成无重复数字的成无重复数字的三位密三位密码共有共有8 87 76=336(6=336(个个).).2.2.典例典例1(2)1(2)中将条件中将条
5、件“8 8张张卡片上写着卡片上写着0,1,2,0,1,2,7,7共共8 8个个数字数字”,改改为为“4 4张张卡片的正、反面分卡片的正、反面分别别写有写有0 0与与1,21,2与与3,43,4与与5,65,6与与7 7”.问问可可组组成多少个不同的三位数成多少个不同的三位数?【解析解析】要要组成三位数成三位数,根据百位、十位、个位根据百位、十位、个位应分三分三步步:第一步第一步:百位可放百位可放8-1=7个数个数;第二步第二步:十位可放十位可放6个数个数;第三步第三步:个位可放个位可放4个数个数.故由分步乘法故由分步乘法计数原理数原理,得共可得共可组成成764=168(个个)不同的三位数不同的
6、三位数.【方法方法总结总结】数字数字问题问题的解决方法及注意事的解决方法及注意事项项方法方法:对对于于组组数数问题问题,可从数位入手可从数位入手,逐位探究可能的逐位探究可能的选选取方法取方法,再利用两个原理再利用两个原理计计算算.一般按特殊位置一般按特殊位置(末位或末位或首位首位)由由谁谁占占领领分分类类,分分类类中再按特殊位置中再按特殊位置(或特殊元素或特殊元素)优优先的策略分步完成先的策略分步完成;如果正面分如果正面分类较类较多多,可采用可采用间间接接法求解法求解.注意事注意事项项:解决解决组组数数问题问题,应应特特别别注意其限制条件注意其限制条件,有些有些条件是条件是隐隐藏的藏的,要善于
7、挖掘要善于挖掘,排数排数时时要注意特殊位置、要注意特殊位置、特殊元素特殊元素优优先的原先的原则则.【补偿训练补偿训练】用用0,1,2,3,40,1,2,3,4这这5 5个数字可以个数字可以组组成多少成多少个按下列要求的无重复数字个按下列要求的无重复数字?(1)(1)四位密四位密码码.(2)(2)四位数四位数.(3)(3)四位奇数四位奇数.【解析解析】(1)完成完成“组成无重复数字的四位密成无重复数字的四位密码”这件件事事,分分为四个步四个步骤:第一步第一步,取左取左边第一位上的数字第一位上的数字,有有5种种选取方法取方法;第二步第二步,取左取左边第二位上的数字第二位上的数字,有有4种种选取方法
8、取方法;第三步第三步,取左取左边第三位上的数字第三位上的数字,有有3种种选取方法取方法;第四步第四步,取左取左边第四位上的数字第四位上的数字,有有2种种选取方法取方法.由分步乘法由分步乘法计数原理知数原理知,可以可以组成不同的四位密成不同的四位密码共有共有N=5432=120(个个).(2)方法一方法一:完成完成“组成无重复数字的四位数成无重复数字的四位数”这件事分件事分为四个步四个步骤:第一步第一步,从从1,2,3,4中中选取一个数字作千位数字取一个数字作千位数字,有有4种种选取方法取方法;第二步、第三步、第四步与第二步、第三步、第四步与(1)类似似,分分别有有4,3,2种种选取取方法方法.
9、由分步乘法由分步乘法计数原理知数原理知,可以可以组成不同的四位数共有成不同的四位数共有N=4432=96(个个).方法二方法二:与第与第(1)问的区的区别在于在于:四位密四位密码首位可以是首位可以是0,而而四位数首位不可以四位数首位不可以为0.因此因此,只需求首位只需求首位为0的四位密的四位密码有多少个有多少个,由由(1)的的总数减去首位数减去首位为0的个数即的个数即为所求所求.当首位是当首位是0时,第二位有第二位有4种种选取方法取方法,第三位有第三位有3种种选取取方法方法,第四位有第四位有2种种选取方法取方法,由分步乘法由分步乘法计数原理知数原理知,首首位是位是0的四位密的四位密码共有共有1
10、432=24(个个).故无重复数字的四位数共有故无重复数字的四位数共有120-24=96(个个).(3)完成完成“组成无重复数字的四位奇数成无重复数字的四位奇数”这件事件事,分两分两类方案方案.第一第一类:这个四位奇数的个位数字是个四位奇数的个位数字是1,分三个步分三个步骤要去要去完成完成.第一步第一步,选取千位上的数字取千位上的数字,有有3种种(从从2,3,4中中选)不同不同选法法;第二步第二步,选取百位上的数字取百位上的数字,有有3种不同种不同选法法;第三步第三步,选取十位上的数字取十位上的数字,有有2种不同种不同选法法.由分步乘法由分步乘法计数原理知数原理知,该类中四位奇数共有中四位奇数
11、共有1332=18(个个).第二第二类:这个四位奇数的个位数字是个四位奇数的个位数字是3,也是分三个步也是分三个步骤去完成去完成.具体求法与个位数字是具体求法与个位数字是1时完全一完全一样,因而因而这样的奇数的奇数也是也是18个个,由分由分类加法加法计数原理知数原理知,共可共可组成无重复数字成无重复数字的四位奇数的四位奇数18+18=36(个个).类类型二涂色型二涂色问题问题【典例典例2 2】(1)(2017(1)(2017临临沂高二沂高二检测检测)用五种不同的用五种不同的颜颜色色给图给图中中标标有有(1),(2),(3),(4)(1),(2),(3),(4)的各个部分涂色的各个部分涂色,每部
12、每部分涂一种分涂一种颜颜色色,相相邻邻部分涂不同色部分涂不同色,则则涂色的方法共有涂色的方法共有 ()A.96A.96种种B.320B.320种种 C.180C.180种种D.240D.240种种(2)(2)如如图图,一个地区分一个地区分为为5 5个行政区域个行政区域,现给现给地地图图着色着色,要要求相求相邻邻区域不得使用同一区域不得使用同一颜颜色色,现现有有4 4种种颜颜色可供色可供选择选择,则则不同的着色方法共有不同的着色方法共有_种种.(.(以数字作答以数字作答)【解解题题指南指南】(1)(1)先涂区域先涂区域(3),(3),再涂其他再涂其他3 3个区域个区域.(2)(2)以以同色与不同
13、色分同色与不同色分类讨论类讨论求解求解.【解析解析】(1)选B.分分4步步:第第1步先涂步先涂(3)有有5种种,其余部分均其余部分均有有4种涂法种涂法,故故总共有共有N=5444=320(种种).(2)第第1类:当当与与同色同色时有有4322=48种不同的涂种不同的涂色方法色方法.第第2类:当当与与不同色不同色时,有有43211=24种不同的种不同的涂色方法涂色方法.故共有故共有48+24=72种不同的涂色方法种不同的涂色方法.答案答案:72【方法方法总结总结】涂色涂色问题问题的三种求解方法的三种求解方法(1)(1)按区域的不同以区域按区域的不同以区域为为主分步主分步计计数数,并用分步乘法并用
14、分步乘法计计数原理分析数原理分析.(2)(2)以以颜颜色色为为主分主分类讨论类讨论,适用于适用于“区域、点、区域、点、线线段段”问问题题,用分用分类类加法加法计计数原理分析数原理分析.(3)(3)将空将空间问题间问题平面化平面化,转转化化为为平面区域的涂色平面区域的涂色问题问题.【巩固巩固训练训练】如如图图所示的所示的4 4块试验块试验田田,现现有有4 4种不同的作种不同的作物可供物可供选择选择种植种植,每每块试验块试验田种植一种作物田种植一种作物,相相邻邻的的试试验验田田(有公共有公共边边)不能种植同一种作物不能种植同一种作物,则则不同的种植方不同的种植方法有法有_种种.【解解题题指南指南】
15、可分可分类类完成此事件完成此事件:A,D:A,D种相同作物种相同作物,A,D,A,D种不同作物两种不同作物两类类.【解析解析】依依题意意,可分两可分两类第一第一类:若若A,D种植同种作物种植同种作物,则A,D有有4种不同的种法种不同的种法,B有有3种种植方法种种植方法,C也有也有3种种植方法种种植方法,由分步乘法由分步乘法计数原数原理理,共有共有433=36种种植方法种种植方法.第二第二类:若若A,D种植不同作物种植不同作物,则A有有4种种植方法种种植方法,D有有3种种植方法种种植方法,B有有2种种植方法种种植方法,C有有2种种植方法种种植方法,由分步由分步乘法乘法计数原理数原理,共有共有43
16、22=48种种植方法种种植方法.综上所述上所述,由分由分类加法加法计数原理数原理,共有共有N=36+48=84种种植方法种种植方法.答案答案:84【补偿训练补偿训练】如如图图所示所示,用用5 5种不同的种不同的颜颜料料给给4 4块图块图形形(A,B,C,D)(A,B,C,D)涂色涂色,要求共要求共边边两两块颜块颜色互异色互异,求有多少种不求有多少种不同的涂色方案同的涂色方案.【解析解析】方法一方法一:按按A,C颜色相同或不同色相同或不同进行分行分类.若若A,C颜色相同色相同,则A有有5种涂色方法种涂色方法,B有有4种涂色方法种涂色方法,D有有4种涂色方法种涂色方法,故共有故共有544=80(种
17、种)涂法涂法.若若A,C颜色不同色不同,则A有有5种涂色方法种涂色方法,C有有4种涂色方法种涂色方法,B有有3种涂色方法种涂色方法,D有有3种涂色方法种涂色方法,故共有故共有5433=180(种种)涂法涂法.根据分根据分类加法加法计数原理数原理,共有共有80+180=260(种种)不同的涂不同的涂色方案色方案.方法二方法二:按涂色种按涂色种类进行分行分类.第一第一类:涂涂4种种颜色色,分四步分四步,A有有5种涂法种涂法,B有有4种涂法种涂法,C有有3种涂法种涂法,D有有2种涂法种涂法.故共有故共有5432=120(种种)涂法涂法.第二第二类:涂涂3种种颜色色,则A,C颜色相同或色相同或B,D颜
18、色相同色相同.当当A,C颜色相同色相同时,A,C有有5种涂法种涂法,B有有4种涂法种涂法,D有有3种种涂法涂法.故共有故共有543=60(种种)涂法涂法.当当B,D颜色相同色相同时,同理也有同理也有60种不同的涂法种不同的涂法.故共有故共有60+60=120(种种)涂法涂法.第三第三类:涂涂2种种颜色色,则A,C颜色相同色相同,B,D颜色相同色相同,A,C有有5种涂法种涂法,B,D有有4种涂法种涂法.故共有故共有54=20(种种)涂法涂法.根据分根据分类加法加法计数原理数原理,共有共有120+120+20=260(种种)不不同的涂色方案同的涂色方案.类类型三型三简单简单的的选选(抽抽)取取问题
19、问题【典例典例3 3】(1)(2017(1)(2017郑郑州高二州高二检测检测)某地政府召集某地政府召集5 5家家企企业业的的负责负责人开会人开会,其中甲企其中甲企业业有有2 2人到会人到会,其余其余4 4家企家企业业各有各有1 1人到会人到会,会上有会上有3 3人人发发言言,则这则这3 3人来自人来自3 3家不同家不同企企业业的可能情况的种数的可能情况的种数为为()A.14A.14B.16B.16C.20C.20D.48D.48(2)(2017(2)(2017南昌高二南昌高二检测检测)现现准准备备将将6 6台型号相同的台型号相同的电电脑脑分配分配给给5 5所小学所小学,其中其中A,BA,B两
20、所希望小学每个学校至少两所希望小学每个学校至少2 2台台,其他小学允其他小学允许许1 1台也没有台也没有,则则不同的分配方案共有不同的分配方案共有多少种多少种?【解解题指南指南】(1)可以分成两可以分成两类,一一类是甲企是甲企业有有1人人发言另两个言另两个发言人出自其余言人出自其余4家企家企业;一一类是是3人全来自人全来自4家企家企业.(2)以以A,B两所希望小学所得两所希望小学所得电脑数数为标准分准分类求解求解.【解析解析】(1)选B.分两分两类,第一第一类:甲企甲企业有有1人人发言言,有有2种情况种情况,另两个另两个发言人出自其余言人出自其余4家企家企业,有有6种情况种情况,由分步乘法由分
21、步乘法计数原理数原理N1=26=12;第二第二类:3人全来自人全来自4家企家企业,有有4种情况种情况.综上可知上可知,有有N=N1+N2=12+4=16(种种)情况情况.(2)根据根据题意意,先先给A,B两所希望小学分配两所希望小学分配电脑,若每个若每个学校学校2台台,由于由于电脑型号相同型号相同,故只有故只有1种情况种情况,其次将剩其次将剩余的余的2台台电脑分分给其他其他3所小学所小学,若一所小学若一所小学2台台,其他的其他的没有没有,有有3种情况种情况,若若2所小学各所小学各1台台,其他的一所小学没有其他的一所小学没有,有有3种情况种情况,共共1(3+3)=6种情况种情况.若若A,B两所希
22、望小学其中一所得两所希望小学其中一所得3台台,另一所另一所2台台,有有2种情况种情况,其次将剩余的其次将剩余的1台台电脑分分给其他其他3所小学所小学,有有3种种情况情况,共共32=6种情况种情况,若若给A,B两所希望小学各分配两所希望小学各分配3台台电脑,有有1种情况种情况,若若A,B两所希望小学其中一所得两所希望小学其中一所得4台台,另一所另一所2台台,有有2种情况种情况,综上可得上可得,共共6+6+1+2=15种不同的分配方案种不同的分配方案.【方法方法总结总结】选选(抽抽)取取问题问题的解答策略的解答策略对对于于选选(抽抽)取取问题问题,一般一般带带有某些限制条件有某些限制条件,其解答方
23、其解答方法是法是:(1)(1)当数目不大当数目不大时时,可用枚可用枚举举法法.为为保保证证不重不漏不重不漏,可用可用树树形形图图法、框法、框图图法及表格法法及表格法进进行枚行枚举举.(2)(2)当数目当数目较较大大时时,符合条件的情况符合条件的情况较较多多时时,可用可用间间接法接法计计数数.但一般但一般还还是根据是根据选选(抽抽)顺顺序分步序分步,根据根据选选(抽抽)元元素特点分素特点分类类,利用两个利用两个计计数原理数原理进进行解决行解决.【巩固巩固训练训练】(1)(1)设设某班有男生某班有男生2525名名,女生女生3030名名.现现要从要从中中选选出男、女生各一名代表班出男、女生各一名代表
24、班级级参加比参加比赛赛,共有多少种共有多少种不同的不同的选选法法?(2)(2)用三只口袋装小球用三只口袋装小球,一只装有一只装有5 5个白色小球个白色小球,一只装一只装有有6 6个黑色小球个黑色小球,另一只装有另一只装有7 7个个红红色小球色小球,若每次从中若每次从中取两个不同取两个不同颜颜色的小球色的小球,共有多少种不同的取法共有多少种不同的取法?【解析解析】(1)(1)第第1 1步步,从从2525名男生中名男生中选出出1 1人人,有有2525种不同种不同的的选法法;第第2 2步步,从从3030名女生中名女生中选出出1 1人人,有有3030种不同的种不同的选法法.根据分步乘法根据分步乘法计数
25、原理数原理,共有共有N=30N=3025=75025=750种不同种不同的的选法法.(2)第一第一类办法法:取白球、黑球取白球、黑球,共有共有N1=56=30种取法种取法;第二第二类办法法:取黑球、取黑球、红球球,共有共有N2=67=42种取法种取法;第三第三类办法法:取取红球、白球球、白球,共有共有N3=75=35种取法种取法.由分由分类加法加法计数原理数原理,共有共有N=30+42+35=107种不同的种不同的取法取法.【补偿训练补偿训练】为举为举行某活行某活动动招募了招募了2020名志愿者名志愿者,他他们们的的编编号分号分别别是是1 1号、号、2 2号、号、1919号、号、2020号号.
26、若要从中任若要从中任意意选选取取4 4人再按人再按编编号大小分成两号大小分成两组组去做一些去做一些预备预备服服务务工工作作,其中两个其中两个编编号号较较小的人在一小的人在一组组,两个两个编编号号较较大的在大的在另一另一组组.那么确保那么确保5 5号与号与1414号入号入选选并被分配到同一并被分配到同一组组的的选选取种数有多少取种数有多少?【解解题指南指南】解决解决问题的关的关键是分析出是分析出5号与号与14号分到号分到一一组对所所选号号码的限制的限制,再再选取需要的号取需要的号码即可即可.【解析解析】要要“确保确保5号与号与14号入号入选并被分配到同一并被分配到同一组”,则另外两人的另外两人的
27、编号或都小于号或都小于5或都大于或都大于14.第一第一类:从从14号中号中选取两人取两人,有有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共共6种种选取方法取方法;第二第二类:从从1520号中号中选取两人取两人,有有(15,16),(15,17),(15,18),(15,19),(15,20),(16,17),(16,18),(16,19),(16,20),(17,18),(17,19),(17,20),(18,19),(18,20),(19,20)共共15种种选取方法取方法.由分由分类加法加法计数原理数原理,共有不同的共有不同的选取方法取方法6+15=21(种种).