上海市浦东新区进才中学2023届高三二诊模拟考试数学试卷含解析.doc

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知直线过双曲线C:的左焦点F,且与双曲线C在第二象限交于点A,若(O为坐标原点),则双曲线C的离心率为ABCD2给定下列四个命题:若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面相互

2、平行;若一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面相互垂直;垂直于同一直线的两条直线相互平行;若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中,为真命题的是( )A和 B和 C和 D和3设复数满足(为虚数单位),则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4已知三棱锥中,是等边三角形,则三棱锥的外接球的表面积为( )ABCD5函数的图象在点处的切线为,则在轴上的截距为( )ABCD6设点,P为曲线上动点,若点A,P间距离的最小值为,则实数t的值为( )ABCD7己知,则( )ABCD8已知函数下列命题:函数的图象关于原点对称

3、;函数是周期函数;当时,函数取最大值;函数的图象与函数的图象没有公共点,其中正确命题的序号是( )ABCD9已知纯虚数满足,其中为虚数单位,则实数等于( )AB1CD210已知圆关于双曲线的一条渐近线对称,则双曲线的离心率为( )ABCD11已知双曲线()的渐近线方程为,则( )ABCD12已知函数,则函数的零点所在区间为( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知双曲线的一条渐近线为,则焦点到这条渐近线的距离为_14在中,内角的对边分别是,若,则_.15在正奇数非减数列中,每个正奇数出现次.已知存在整数、,对所有的整数满足,其中表示不超过的最大整数.则等于_.16某

4、陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75;则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为_;经过前后两次烧制后,合格工艺品的件数为,则随机变量的期望为_.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知实数x,y,z满足,证明:.18(12分)已知直线:(为参数),曲线(为参数)(1)设与相交于,两点,求;

5、(2)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线距离的最小值19(12分)已知,.(1)求函数的单调递增区间;(2)的三个内角、所对边分别为、,若且,求面积的取值范围.20(12分)百年大计,教育为本.某校积极响应教育部号召,不断加大拔尖人才的培养力度,为清华、北大等排名前十的名校输送更多的人才.该校成立特长班进行专项培训.据统计有如下表格.(其中表示通过自主招生获得降分资格的学生人数,表示被清华、北大等名校录取的学生人数)年份(届)2014201520162017201841495557638296108106123(1)通过画散

6、点图发现与之间具有线性相关关系,求关于的线性回归方程;(保留两位有效数字)(2)若已知该校2019年通过自主招生获得降分资格的学生人数为61人,预测2019年高考该校考人名校的人数;(3)若从2014年和2018年考人名校的学生中采用分层抽样的方式抽取出5个人回校宣传,在选取的5个人中再选取2人进行演讲,求进行演讲的两人是2018年毕业的人数的分布列和期望.参考公式:,参考数据:,21(12分)传染病的流行必须具备的三个基本环节是:传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在,方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径,为了有效防控新冠状病毒的流行,人们出行都

7、应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人,为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况,用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本,统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况,得到下面列联表:戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020(1)能否有的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关?(2)用样本估计总体,若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人,求恰好有2人是青年人的概率.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822(10分)的内角所对的边分别是,且,.(1)求;(2)若边上的中线,求的面积.参考答案一、选择题:本题共12

8、小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】直线的倾斜角为,易得设双曲线C的右焦点为E,可得中,则,所以双曲线C的离心率为.故选B2、D【解析】利用线面平行和垂直,面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择【详解】当两个平面相交时,一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面,故错误;由平面与平面垂直的判定可知正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面,故错误;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故正确综上,真命题是.故选:D【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面

9、面间的位置关系等基础知识,考查空间想象能力,是中档题3、D【解析】先把变形为,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,求出,得到其坐标可得答案.【详解】解:由,得,所以,其在复平面内对应的点为,在第四象限故选:D【点睛】此题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.4、D【解析】根据底面为等边三角形,取中点,可证明平面,从而,即可证明三棱锥为正三棱锥.取底面等边的重心为,可求得到平面的距离,画出几何关系,设球心为,即可由球的性质和勾股定理求得球的半径,进而得球的表面积.【详解】设为中点,是等边三角形,所以,又因为,且,所以平面,则,由三线合一性质可知所以三棱锥为

10、正三棱锥,设底面等边的重心为,可得,所以三棱锥的外接球球心在面下方,设为,如下图所示:由球的性质可知,平面,且在同一直线上,设球的半径为,在中,即,解得,所以三棱锥的外接球表面积为,故选:D.【点睛】本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算,正三棱锥的外接球半径求法,球的表面积求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.5、A【解析】求出函数在处的导数后可得曲线在处的切线方程,从而可求切线的纵截距.【详解】,故,所以曲线在处的切线方程为:.令,则,故切线的纵截距为.故选:A.【点睛】本题考查导数的几何意义以及直线的截距,注意直线的纵截距指直线与轴交点的纵坐标,因此截距有正有负,本题属于基础题.6、C

11、【解析】设,求,作为的函数,其最小值是6,利用导数知识求的最小值【详解】设,则,记,易知是增函数,且的值域是,的唯一解,且时,时,即,由题意,而,解得,故选:C【点睛】本题考查导数的应用,考查用导数求最值解题时对和的关系的处理是解题关键7、B【解析】先将三个数通过指数,对数运算变形,再判断.【详解】因为,所以,故选:B.【点睛】本题主要考查指数、对数的大小比较,还考查推理论证能力以及化归与转化思想,属于中档题.8、A【解析】根据奇偶性的定义可判断出正确;由周期函数特点知错误;函数定义域为,最值点即为极值点,由知错误;令,在和两种情况下知均无零点,知正确.【详解】由题意得:定义域为,为奇函数,图

12、象关于原点对称,正确;为周期函数,不是周期函数,不是周期函数,错误;,不是最值,错误;令,当时,此时与无交点;当时,此时与无交点;综上所述:与无交点,正确.故选:.【点睛】本题考查函数与导数知识的综合应用,涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解;本题综合性较强,对于学生的分析和推理能力有较高要求.9、B【解析】先根据复数的除法表示出,然后根据是纯虚数求解出对应的的值即可.【详解】因为,所以,又因为是纯虚数,所以,所以.故选:B.【点睛】本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值,难度较易.若复数为纯虚数,则有.10、C【解析】将圆,化为标准方程为,求

13、得圆心为.根据圆关于双曲线的一条渐近线对称,则圆心在渐近线上,.再根据求解.【详解】已知圆,所以其标准方程为:,所以圆心为.因为双曲线,所以其渐近线方程为,又因为圆关于双曲线的一条渐近线对称,则圆心在渐近线上,所以.所以.故选:C【点睛】本题主要考查圆的方程及对称性,还有双曲线的几何性质 ,还考查了运算求解的能力,属于中档题.11、A【解析】根据双曲线方程(),确定焦点位置,再根据渐近线方程得到求解.【详解】因为双曲线(),所以,又因为渐近线方程为,所以,所以.故选:A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于基础题.12、A【解析】首先求得时,的取值范围.然后求得时

14、,的单调性和零点,令,根据“时,的取值范围”得到,利用零点存在性定理,求得函数的零点所在区间.【详解】当时,.当时,为增函数,且,则是唯一零点.由于“当时,.”,所以令,得,因为,所以函数的零点所在区间为.故选:A【点睛】本小题主要考查分段函数的性质,考查符合函数零点,考查零点存在性定理,考查函数的单调性,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2.【解析】由双曲线的一条渐近线为,解得求出双曲线的右焦点,利用点到直线的距离公式求解即可【详解】双曲线的一条渐近线为 解得: 双曲线的右焦点为焦点到这条渐近线的距离为:本题正确结果:【点睛】本题

15、考查了双曲线和的标准方程及其性质,涉及到点到直线距离公式的考查,属于基础题14、【解析】由,根据正弦定理“边化角”,可得,根据余弦定理,结合已知联立方程组,即可求得角.【详解】根据正弦定理:可得根据余弦定理:由已知可得:故可联立方程:解得:.由故答案为:.【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角,解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.15、2【解析】将已知数列分组为(1),共个组.设在第组,则有,即.注意到,解得.所以,.因此,.故.16、0.38 0.9 【解析】考虑恰有一件的三种情况直接计算得到概率,随机变量的可能取值为,计算得到概率

16、,再计算数学期望得到答案.【详解】第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为:.甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为:,.故随机变量的可能取值为,故;.故.故答案为:0.38 ;0.9.【点睛】本题考查了概率的计算,数学期望,意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、见解析【解析】已知条件,需要证明的是,要想利用柯西不等式,需要的值,发现,则可以用柯西不等式.【详解】,.由柯西不等式得,.【点睛】本题考查柯西不等式的应用,属于基础题.18、(1);(2)【解析】(1)将直线和曲线化为普通方程,联立直线和曲线,可得交点坐标,可得的值;(2)可得

17、曲线的参数方程,利用点到直线的距离公式结合三角形的最值可得答案.【详解】解:(1)直线的普通方程为,的普通方程联立方程组,解得与的交点为,则(2)曲线的参数方程为(为参数),故点的坐标为,从而点到直线的距离是,由此当时,取得最小值,且最小值为【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的转化及参数方程的基本性质、点到直线的距离公式等,属于中档题.19、(1);(2).【解析】(1)利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为,然后解不等式,可求得函数的单调递增区间;(2)由求得,利用余弦定理结合基本不等式求出的取值范围,再结合三角形的面积公式可求得面积的取值范围.【详解】(1),解不等式,解得.因此,函数

18、的单调递增区间为;(2)由题意,则,解得.由余弦定理得,又,当且仅当时取等号,所以,的面积.【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解,同时也考查了三角形面积取值范围的计算,涉及余弦定理和基本不等式的应用,考查计算能力,属于中等题.20、(1);(2)117人;(3)分布列见解析,【解析】(1)首先求得和,再代入公式即可列方程,由此求得关于的线性回归方程;(2)根据回归直线方程计算公式,计算可得人数;(3)和被选中的人数分别为2和3,利用超几何分布分布列的计算公式,计算出的分布列,并求得数学期望.【详解】(1)由题,所以线性回归方程为(若第一问求出 .)(2)当时,所以预测2019年高考该校考入

19、名校的人数约为117人(3)由题知和被选中的人数分别为2和3,进行演讲的两人是2018年毕业的人数的所有可能取值为0,1,2,的分布列为012【点睛】本小题主要考查平均数有关计算,考查回归直线方程的计算,考查期望的计算,考查超几何分布和数据处理能力,属于中档题.21、(1)有的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.(2)【解析】(1) 根据列联表和独立性检验的公式计算出观测值,从而由参考数据作出判断.(2) 因为样本中出行不戴口罩的居民有30人,其中年轻人有10人,用样本估计总体,则出行不戴口罩的年轻人的概率为,是老年人的概率为.根据独立重复事件的概率公式即可求得结果.【详解】(1)由题意可

20、知,有的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.(2)由样本估计总体,出行不戴口罩的年轻人的概率为,是老年人的概率为.人未戴口罩,恰有2人是青年人的概率.【点睛】本题主要考查独立性检验及独立重复事件的概率求法,难度一般.22、(1),(2)【解析】(1)先由正弦定理,得到,进而可得,再由,即可得出结果;(2)先由余弦定理得,再根据题中数据,可得,从而可求出,得到,进而可求出结果.【详解】(1)由正弦定理得,所以,因为,所以,即,所以,又因为,所以,.(2)在和中,由余弦定理得,.因为,又因为,即,所以,所以,又因为,所以.所以的面积.【点睛】本题主要考查解三角形,灵活运用正弦定理和余弦定理即可,属于常考题型.

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