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1、2023年高考数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设为等差数列的前项和，若，则ABCD2刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在九章算术中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂
2、，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形为朱方，正方形为青方”，则在五边形内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）ABCD3已知集合，集合，则AB或CD4各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为()ABCD或5已知点、若点在函数的图象上，则使得的面积为的点的个数为（ ）ABCD6已知复数满足：，则的共轭复数为（ ）ABCD7复数的共轭复数记作，已知复数对应复平面上的点，复数:满足.则等于（ ）ABCD8已知集合为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）ABCD9某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是
3、（ ）A月收入的极差为60B7月份的利润最大C这12个月利润的中位数与众数均为30D这一年的总利润超过400万元10已知函数且，则实数的取值范围是( )ABCD11已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是（ ）ABCD12设，命题“存在，使方程有实根”的否定是( )A任意，使方程无实根B任意，使方程有实根C存在，使方程无实根D存在，使方程有实根二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若变量，满足约束条件，则的最大值为_14已知向量，则_.15已知x，y满足约束条件，则的最小值为_16已知，且，则的最小值为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
4、17（12分）在中，角的对边分别为，已知（1）求角的大小；（2）若，求的面积18（12分）已知函数.（1）若在上为单调函数，求实数a的取值范围：（2）若，记的两个极值点为，记的最大值与最小值分别为M，m，求的值.19（12分）已知，.（1）求的值；（2）求的值.20（12分）设等比数列的前项和为，若（）求数列的通项公式；（）在和之间插入个实数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：.21（12分）在中， .求边上的高.，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.22（10分）如图,四棱锥中,平面平面,底面为梯形.，且与均为正三角形.为的中点为重心,与相交于点.(1)求
5、证:平面；(2)求三棱锥的体积.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据等差数列的性质可得，即，所以，故选C2、C【解析】首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解.【详解】因为正方形为朱方，其面积为9，五边形的面积为，所以此点取自朱方的概率为.故选：C【点睛】本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.3、C【解析】由可得，解得或，所以或，又，所以，故选C4、C【解析】分析：解决该题的关键是求得等比数列的公比，利用题
6、中所给的条件，建立项之间的关系，从而得到公比所满足的等量关系式，解方程即可得结果.详解：根据题意有，即，因为数列各项都是正数，所以，而，故选C.点睛：该题应用题的条件可以求得等比数列的公比，而待求量就是，代入即可得结果.5、C【解析】设出点的坐标，以为底结合的面积计算出点到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于的方程，求出方程的解，即可得出结论.【详解】设点的坐标为，直线的方程为，即，设点到直线的距离为，则，解得，另一方面，由点到直线的距离公式得，整理得或，解得或或.综上，满足条件的点共有三个故选：C.【点睛】本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于
7、中等题6、B【解析】转化，为，利用复数的除法化简，即得解【详解】复数满足：所以 故选：B【点睛】本题考查了复数的除法和复数的基本概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.7、A【解析】根据复数的几何意义得出复数，进而得出，由得出可计算出，由此可计算出.【详解】由于复数对应复平面上的点，则，因此，.故选：A.【点睛】本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.8、D【解析】集合为自然数集，由此能求出结果【详解】解：集合为自然数集，在A中，正确；在B中，正确；在C中，正确；在D中，不是的子集，故D错误故选：D【点睛】本题考查命题真假的判
8、断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9、D【解析】直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由图可知月收入的极差为，故选项A正确；1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B正确；易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C正确，选项D错误.故选：.【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.10、B【解析】构造函数，判断出的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集.【详解】构造函数，由解得，所以的定义域为，且，所以为奇函数，而，所以在定义域上
9、为增函数，且.由得，即，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.11、A【解析】先求出函数在处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当时，所以函数在处的切线方程为：，令，它与横轴的交点坐标为.在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是.故选：A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.12、A【解析】只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可.【详解】由特称命题的否定是全称命题，知“存在，使
10、方程有实根”的否定是“任意，使方程无实根”.故选：A【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，此类问题要注意在两个方面作出变化：1.量词，2.结论，是一道基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据约束条件可以画出可行域，从而将问题转化为直线在轴截距最大的问题的求解，通过数形结合的方式可确定过时，取最大值，代入可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示： 将化为，则最大时，直线在轴截距最大；由直线平移可知，当过时，在轴截距最大，由得：，.故答案为：.【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在轴截距的最值的求解问题，通过数
11、形结合的方式可求得结果.14、【解析】求出，然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算【详解】由题意得，.，.，.故答案为：【点睛】本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积的运算15、【解析】先根据约束条件画出可行域，再由表示直线在y轴上的截距最大即可得解.【详解】x，y满足约束条件，画出可行域如图所示.目标函数，即.平移直线，截距最大时即为所求.点A（，），z在点A处有最小值：z2，故答案为：.【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法16、【解析】由，先将变形为，
12、运用基本不等式可得最小值，再求的最小值，运用函数单调性即可得到所求值.【详解】解：因为，且，所以 因为，所以 ，当且仅当时，取等号，所以 令，则，令，则，所以函数在上单调递增，所以所以则所求最小值为故答案为： 【点睛】此题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形和满足的条件：一正二定三相等，考查利用单调性求最值，考查化简和运算能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】(1)利用正弦定理边化角,再利用二倍角的正弦公式与正弦的和角公式化简求解即可.(2)由(1)有,根据正弦定理可得,进而求得的值,再根据三角形的面积公式求解即可.【详解
13、】（1）由,得,得,由正弦定理得,显然,同时除以,得.所以.所以.显然,所以,解得.又,所以.（2）若,由正弦定理得,得,解得.又,所以.【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式在解三角形中的运用,需要根据题意用正弦定理进行边角互化,再根据三角恒等变换进行化简求解等.属于中档题.18、（1）；（2）【解析】（1）求导.根据单调，转化为对恒成立求解（2）由（1）知，是的两个根，不妨设，令. 根据，确定，将转化为. 令，用导数法研究其单调性求最值.【详解】（1）的定义域为，.因为单调，所以对恒成立，所以，恒成立，因为，当且仅当时取等号，所以；（2）由（1）知，是的两个根.从而，不妨设，则. 因为
14、，所以t为关于a的减函数，所以. 令，则. 因为当时，在上为减函数.所以当时，.从而，所以在上为减函数.所以当时，.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.19、（1）（2）【解析】（1）先利用同角的三角函数关系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解即可；（2）由（1）可得和,利用余弦的二倍角公式求得,再由正切的和角公式求解即可.【详解】解:（1）因为,所以又,故,所以,所以（2）由（1）得,所以,所以,因为且,即,解得,因为,所以,所以,所以,所以【点睛】本题考查已知三角函数值求值,考查三角函数的化简,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函
15、数关系的应用,考查运算能力.20、（）；（）详见解析.【解析】（），两式相减化简整理利用等比数列的通项公式即可得出（）由题设可得，可得，利用错位相减法即可得出【详解】解：（）因为，故，两式相减可得，故，因为是等比数列，又，所以，故，所以；（）由题设可得，所以，所以，则，得：，所以，得证.【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21、详见解析【解析】选择，利用正弦定理求得，利用余弦定理求得，再计算边上的高.选择，利用正弦定理得出，由余弦定理求出，再求边上的高.选择，利用余弦定理列方程求出，再计算边上的高.【详解】选择，在中，由正
16、弦定理得，即，解得；由余弦定理得，即，化简得，解得或（舍去）；所以边上的高为.选择，在中，由正弦定理得，又因为，所以，即；由余弦定理得，即，化简得，解得或（舍去）；所以边上的高为.选择，在中，由，得；由余弦定理得，即，化简得，解得或（舍去）；所以边上的高为.【点睛】本小题主要考查真闲的了、余弦定理解三角形，属于中档题.22、（1）见解析（2）【解析】（1）第（1）问，连交于,连接.证明/ ，即证平面. (2)第(2)问，主要是利用体积变换，,求得三棱锥的体积.【详解】（1）方法一：连交于,连接.由梯形，且，知 又为的中点，为的重心，在中， ,故/ .又平面, 平面, 平面.方法二：过作交PD于N,过F作FM|AD交CD于M,连接MN, G为PAD的重心，又ABCD为梯形，AB|CD,又由所作GN|AD,FM|AD,得/ ，所以GNMF为平行四边形.因为GF|MN, （2） 方法一:由平面平面， 与均为正三角形， 为的中点， ，得平面，且 由（1）知/平面， 又由梯形ABCD，AB|CD，且，知 又为正三角形，得，得三棱锥的体积为. 方法二: 由平面平面， 与均为正三角形， 为的中点， ，得平面，且由， 而又为正三角形，得，得.，三棱锥的体积为.