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1、2023年高考数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，三角形AOB的面积为，则p=（ ）A1BC2D32已知是边长为的正三角形，若，则ABCD3已知为定义在上的奇函数，若当时，（为实数），则关于的不等式的解集是（ ）AB
2、CD4已知，是函数图像上不同的两点，若曲线在点，处的切线重合，则实数的最小值是（ ）ABCD15已知函数，若对，且，使得，则实数的取值范围是（ ）ABCD6的图象如图所示，若将的图象向左平移个单位长度后所得图象与的图象重合，则可取的值的是（ ）ABCD7赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设，若在大正六边形中随机取
3、一点，则此点取自小正六边形的概率为（ ）ABCD8已知双曲线C：=1(a0，b0)的右焦点为F，过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ）ABC2D+19如图，是圆的一条直径，为半圆弧的两个三等分点，则（ ）ABCD10已知等比数列满足，等差数列中，为数列的前项和，则（ ）A36B72CD11若直线与圆相交所得弦长为，则（ ）A1B2CD312已知实数，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若实数，满足不等式组，则的最小值为_.14已知随机变量服从正态分布，则_15在正方体中，为棱的中点
4、，是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为_16给出下列四个命题，其中正确命题的序号是_（写出所有正确命题的序号）因为所以不是函数的周期；对于定义在上的函数若则函数不是偶函数；“”是“”成立的充分必要条件；若实数满足则三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，三棱锥中，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点.（1）证明:平面（2）若，求二面角的余弦值.19（12分）如图，是矩形，的顶点在边上，点，分别是，上的动点（的长度满足需求）.设，且满足.（1）求；（2）若，
5、求的最大值.20（12分）已知数列满足，其前n项和为.（1）通过计算，猜想并证明数列的通项公式；（2）设数列满足，若数列是单调递减数列，求常数t的取值范围.21（12分）已知，分别是三个内角，的对边，（1）求；（2）若，求，22（10分）已知函数，其中e为自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性；（2）用表示中较大者，记函数.若函数在上恰有2个零点，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】试题分析：抛物线的准线为，双曲线的离心率为2，则，渐近线方程为，求出交点，则；选C考点：1.双曲线的渐近线
6、和离心率；2.抛物线的准线方程；2、A【解析】由可得，因为是边长为的正三角形，所以，故选A3、A【解析】先根据奇函数求出m的值，然后结合单调性求解不等式.【详解】据题意，得，得，所以当时，.分析知，函数在上为增函数.又，所以.又，所以，所以，故选A.【点睛】本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.4、B【解析】先根据导数的几何意义写出 在 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出，令函数 ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案.【详解】解：当 时，则;当时，则.设 为函数图像上的两点，当 或时，不符合题意，故.则在 处的切线方程为；在
7、处的切线方程为.由两切线重合可知 ，整理得.不妨设则 ，由 可得则当时， 的最大值为.则在 上单调递减，则.故选:B.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出 和 的函数关系式.本题的易错点是计算.5、D【解析】先求出的值域，再利用导数讨论函数在区间上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可.【详解】因为，故，当时，故在区间上单调递减；当时，故在区间上单调递增；当时，令，解得，故在区间单调递减，在区间上单调递增.又，且当趋近于零时，趋近于正无穷；对函数，当时，；根据题意，对，且，使得成立，只需，即可得
8、，解得.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.6、B【解析】根据图象求得函数的解析式，即可得出函数的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于的等式，即可得出结果.【详解】由图象可得，函数的最小正周期为，则，取，则，可得，当时，.故选：B.【点睛】本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题.7、D【解析】设，则，小正六边形的边长为，利用余弦定理可得大正六边形的边长为，再利用面积之比可得结论.【详解】由题意，设，则，即小正六边形的边长为，所以，在
9、中，由余弦定理得，即，解得，所以，大正六边形的边长为，所以，小正六边形的面积为，大正六边形的面积为，所以，此点取自小正六边形的概率.故选：D.【点睛】本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题8、B【解析】以为圆心，以为半径的圆的方程为，联立，可求出点，则，整理计算可得离心率.【详解】解：以为圆心，以为半径的圆的方程为，联立，取第一象限的解得，即，则，整理得，则（舍去），.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.9、B【解析】连接、，即可得到，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得；【详解】解：连接、，是半圆弧的两个三
10、等分点， ，且，所以四边形为棱形，故选：B【点睛】本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题.10、A【解析】根据是与的等比中项，可求得，再利用等差数列求和公式即可得到.【详解】等比数列满足，所以，又，所以，由等差数列的性质可得.故选：A【点睛】本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题.11、A【解析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.【详解】圆的标准方程,圆心坐标为,半径为,因为直线与圆相交所得弦长为,所以直线过圆心,得,即.故选：A【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.12、D【解析】根据题意，
11、对于函数分2段分析：当，由指数函数的性质分析可得，当，由导数与函数单调性的关系可得，在上恒成立，变形可得，再结合函数的单调性，分析可得，联立三个式子，分析可得答案.【详解】解：根据题意，函数在上单调递增，当，若为增函数，则，当，若为增函数，必有在上恒成立，变形可得：，又由，可得在上单调递减，则，若在上恒成立，则有，若函数在上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有，联立可得：.故选：D.【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5【解析】根据题意，画出图像，数形结合，将目标转化为求动直线纵
12、截距的最值，即可求解【详解】画出不等式组，表示的平面区域如图阴影区域所示，令，则.分析知，当，时，取得最小值，且.【点睛】本题考查线性规划问题，属于基础题14、0.22.【解析】正态曲线关于x对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。【详解】【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题15、【解析】根据题意画出几何题，建立空间直角坐标系，写个各个点的坐标，并求得.由空间向量的夹角求法即可求得异面直线与所成角的余弦值.【详解】根据题意画出几何图形，以为原点建立空间直角坐标系：设正方体的棱长为1，则 所以所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，故答案为：.【点睛】本题考查了异面直
13、线夹角的求法，利用空间向量求异面直线夹角，属于中档题.16、【解析】对,根据周期的定义判定即可.对,根据偶函数满足的性质判定即可.对,举出反例判定即可.对,求解不等式再判定即可.【详解】解：因为当时, 所以由周期函数的定义知不是函数的周期,故正确；对于定义在上的函数,若,由偶函数的定义知函数不是偶函数,故正确；当时不满足则“”不是“”成立的充分不必要条件,故错误；若实数满足则所以成立,故正确正确命题的序号是故答案为：【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见详解；（2）【解析】（1）取中点，根据，利用线面垂
14、直的判定定理，可得平面，最后可得结果.（2）利用建系，假设长度， 可得，以及平面的一个法向量，然后利用向量的夹角公式，可得结果.【详解】（1）取中点，连接，如图由，所以由,平面所以平面，又平面所以（2）假设，由，.所以则，所以又，平面所以平面，所以，又，故建立空间直角坐标系，如图设平面的一个法向量为则令，所以则直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查线面垂直、线线垂直的应用，还考查线面角，学会使用建系的方法来解决立体几何问题，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.18、（1）详见解析；（2）.【解析】（1）连接，由菱形的性质以及中位线，得，由平面平面，且交线，得平面，故而，最后由线面垂直的判
15、定得结论.（2）以为原点建平面直角坐标系，求出平面平与平面的法向量，最后求得二面角的余弦值为.【详解】解：（1）连结 ，且是的中点，平面平面，平面平面，平面. 平面，又为菱形，且为棱的中点，.又，平面平面.（2）由题意有，四边形为菱形，且 分别以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则设平面的法向量为由，得，令，得取平面的法向量为二面角为锐二面角，二面角的余弦值为【点睛】处理线面垂直问题时，需要学生对线面垂直的判定定理特别熟悉，运用几何语言表示出来方才过关，一定要在已知平面中找两条相交直线与平面外的直线垂直，才可以证得线面垂直，其次考查了学生运用空间向量处理空间中的二面角问题
16、，培养了学生的计算能力和空间想象力.19、（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简，根据勾股定理逆定理求得.（2）设，由此求得的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值.【详解】（1）设，由，根据正弦定理和余弦定理得.化简整理得.由勾股定理逆定理得.（2）设，由（1）的结论知.在中，由，所以.在中，由，所以.所以，由，所以当，即时，取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题考查正弦定理，余弦定理，勾股定理，解三角形，三角函数性质及其三角恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转换思想，应用意识.20、（1），证明见解析；（2）【解析】（1）首先利用赋值法求出的值，
17、进一步利用定义求出数列的通项公式；（2）首先利用叠乘法求出数列的通项公式，进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数的范围【详解】（1）数列满足，其前项和为所以，则，所以猜想得：证明：由于，所以，则：（常数），所以数列是首项为1，公差为的等差数列所以，整理得（2）数列满足，所以，则，所以则，所以，所以，整理得，由于，所以，即【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，函数的单调性在数列中的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型21、（1）； （2），或，.【解析】（1）利用正弦定理，转化原式为，结合，可得，即得解；（2）由余弦定理
18、，结合题中数据，可得解【详解】（1）由及正弦定理得因为，所以，代入上式并化简得由于，所以又，故（2）因为，由余弦定理得即,所以而，所以，为一元二次方程的两根所以，或，【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.22、（1）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.【解析】（1）由题可得,结合的范围判断的正负,即可求解；（2）结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解【详解】（1）,当时,函数在内单调递增；当时,令,解得或,当或时,则单调递增,当时,则单调递减,函数的单调递增区间为和,单调递减区间为（2）（）当时,所以在上无零点；（）当时,若,即,则是的一个零点；若,即,则不是的零点（）当时,所以此时只需考虑函数在上零点的情况,因为,所以当时,在上单调递增。又，所以（）当时,在上无零点；（）当时,又,所以此时在上恰有一个零点； 当时,令,得,由,得；由,得,所以在上单调递减,在上单调递增,因为,所以此时在上恰有一个零点,综上,【点睛】本题考查利用导数求函数单调区间,考查利用导数处理零点个数问题,考查运算能力,考查分类讨论思想