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1、第7章 资本资产定价 第三节第三节 资本资产定价模型资本资产定价模型第三节 资本资产定价模型 （Capital Asset Pricing Model ，CAPM） CAPM是由夏普（William Sharpe）、 林特纳（John Lintner）、特里诺（Jack Treynor）和莫森（Jan Mossin）等人在现代投资组合理论的基础上提出的，在投资学中占有很重要的地位，并在投资决策和公司理财中得到广泛的运用。 1963年，夏普研究简化马科维茨模型取得了重大的进展，提出了单因素模型，极大地减少了挑选资产组合所需的工作量，1964年提出了著名的资本资产定价模型。资本资产定价模型的进步在
2、于以系数作为度量资产风险的指标 一、CAPM模型的基本假设J 1存在着大量投资者，每个投资者的财富相对于所有投资者的财富总和来说是微不足道的。J 2所有投资者都在同一证券持有期计划自己的投资行为。J 3投资者投资范围仅限于公开金融市场交易的资产，譬如股票、债券、借入或贷出无风险的资产安排等。J 4假定投资者可以在固定的无风险利率基础上借入或贷出任何额度的资产。J 5对资产交易没有制度性限制，比如说卖空是可行的。 一、CAPM模型的基本假设J6不存在证券交易费用及税赋。J7所有投资者均是理性的，追求投资资产组合方差最小化，期望收益率最大，这意味着他们都采用马科维茨的资产选择模型。J8所有投资者对
3、证券的评价和经济局势的看法都一致，这样，投资者关于有价证券收益率的概率分布期望是一致的。依据马科维茨模型，给定一系列证券的价格和无风险利率，所有投资者的证券期望收益率与协方差矩阵相等，从而产生了有效集（效率边界）和一个独一无二的最优风险资产组合，这一假定也被称为同质期望或信念。马科维茨投资组合理论的缺陷 忽略无风险资产的存在，只考虑风险资产的投资； 忽略借入资金，只考虑自有资金的投资。投资者可以构建无风险资产和风险资产之间的投资组合，直接导致了投资者可行集的扩展和有效边界的优化，同时，也使投资者可获取的最大效用上升。二、资本市场线 CML（一）允许无风险贷出下的可行集与有效集1无风险贷款或无风
4、险资产的定义 无风险贷款相当于投资于无风险资产，其收益是确定的，其风险（标准差）应为零。 无风险资产收益率与风险资产收益率之间的协方差也等于零。 现实生活中，到期日和投资期相等的国债是无风险资产。为方便起见，常将1年期的国库券或货币市场基金当作无风险资产。2、允许无风险贷款下的投资组合（1）投资于无风险资产A和单个风险资产B的情形 设：设：收益收益 风险风险 比例比例 无风险资产无风险资产A 风险资产风险资产B fr0ffxiRiix该新组合p的预期收益率和标准差22222222iiififiiffpxxxxxiiffpRxrxR 1 , 0,1ififxxxx，其中, 0ipiipx，其中该
5、组合的预期收益率和标准差的关系为： （7-17） 其中， 为单位风险报酬，又称为夏普比率 由这两种资产构成的投资组合的预期收益率和风险一定落在AB这个线段上，见图（7-8） 0ifirRiipfippRrR)1 (PififPprRrfR)(xkbxfy)(图7-80投资于无风险资产A和单个风险资产B的可行集线段ABpRB)(frApiiRPififpRRrR（2）投资于无风险资产A和风险资产组合B的情形 假设风险资产组合B是由风险证券C和D组成。B一定位于经过C、D两点的向上凸出的弧线上。 上式结论也适用于由无风险资产和风险资产组合构成的投资组合的情形。在图（7-9）中，这种投资组合的预期收
6、益率和标准差一定落在AB线段上。PififPprRrfR)(图7-90投资于无风险资产A和风险资产组合B的可行集许多线段AB构成的区域pRB)(frApiiRPififprRrRDC图7-9*0无风险贷款情形下的可行集pRB)(frApiiRDCT特殊的B?PififprRrR图7-1003、无风险贷款对有效集的影响 NB 线段AT+TBpR)(frApCT(min)pNB4.无风险贷款对投资组合选择的影响无风险贷款对投资组合选择的影响 对于厌恶风险程度较轻，从而其选择的投资组合位于弧线DT上的投资者而言，其投资组合的选择将不受影响。 因为只有弧线DT上的组合才能获得最大的满足程度，如图10(
7、1)所示。 对于该投资者而言，他仍将把所有资金投资于风险资产，而不会把部分资金投资于无风险资产。 对于较厌恶风险的投资者而言，由于代表其原来最大满足程度的无差异曲线与线段AT相交，因此不再符合效用最大化的条件。 因此该投资者将选择其无差异曲线与线段AT的切点O所代表的投资组合，如图10(2)所示。 对于该投资者而言，他将把部分资金投资于风险资产，而把另一部分资金投资于无风险资产。（二）无风险借款对有效集的影响1、允许无风险借款下的投资组合 在推导马科维茨有效集的过程中，我们假定投资者可以购买风险资产的金额仅限于他期初的财富。然而，在现实生活中，投资者可以借入资金并用于购买风险资产。 由于借款必
8、须支付利息，而利率是已知的，在该借款本息偿还上不存在不确定性。因此我们把这种借款称为无风险借款。 假定投资者可按相同的利率进行无风险借贷。（1 1）无风险借款并投资于一种风险资产的情形）无风险借款并投资于一种风险资产的情形 （7-17） PififprRrR可可以以把把无无风风险险借借款款看看成成负负的的投投资资，则则投投资资组组合合中中风风险险资资产产和和无无风风险险资资产产借借款款的的比比例例也也可可用用fx和和ix表表示示，且且fxix1 1，fx0 0、ix1 1。这这样样式式（7 7. .1 14 4）到到（7 7. .1 17 7）也也完完全全适适用用于于无无风风险险借借款款的的情
9、情形形。 图7-120无风险借款（A）和单个风险资产B的可行集AB的延长线pRB)(frApiiRPififprRrR（2）无风险借款并投资于风险资产组合的情形 假设风险资产组合B是由风险证券C和D组成 则由风险资产组合B和无风险借款A构成的投资组合的预期收益率和标准差一定落在线段AB向右边的延长线上。 如图7-13所示。图7-130风险借款（A）和风险资产组合B的可行集许多AB延长线构成的区域pRB)(frApiiRDCPififprRrR无风险借款情形下的可行集特殊的B?2、无风险借款对有效集的影响 有效集： 弧线弧线CD=CT+TD 弧线弧线TC +线段线段AT向右边的延长线向右边的延长
10、线 在允许无风险借款的情况下，投资者可以通过无风险借款并投资于风险资产或风险资产组合T，使有效集由弧线TD变成线段AT向右边的延长线。 图714 允许无风险借款时的有效集3、无风险借款对投资组合选择的影响 对于厌恶风险程度较轻，从而其选择的投资组合位于弧线DT上的投资者而言，其投资组合的选择将受影响。 由于代表其原来最大满足程度的无差异曲线I1与AT直线相交，因此不再符合效用最大化的条件。 因此该投资者将选择其无差异曲线与AT直线相切点所代表的投资组合O，如图15（1） 对于该投资者而言，他将进行无风险借款并投资于风险资产。 对于较厌恶风险的投资者而言，即其选择的投资组合位于弧线上的投资者而言
11、，其投资组合的选择将不受影响。 如图15（2）所示。对于该投资者而言，他只会用自有资金投资于风险资产，而不会进行无风险借款。（三）引入无风险借贷后的可行集和有效集 BHNCATDEFpR在允许无风险借贷的情况下，有效集变成一条直线(AT)，该直线经过无风险资产A点并与马科维茨有效集相切。 图717 风险资产组合与无风险资产的新组合 在这条直线上，所有的组合都是无风险资产与切点T组合而成的新组合。 在新的效率边界上，只有一点对某一个投资者来说是最佳的，即该投资者的无差异曲线（效用曲线）与效率边界的切点。 如果切点如果切点O2刚好落在刚好落在T点上点上，说明该投资者的资金全部，说明该投资者的资金全
12、部购买风险资产组合，无风险资产的持有量为零，购买风险资产组合，无风险资产的持有量为零，投资者投资者即不借入资金，也不借出资金；即不借入资金，也不借出资金； 如果切点如果切点O1落在新效率边界落在新效率边界T点的左下方点的左下方，说明投资者，说明投资者的全部投资组合中即包括风险资产，又包括无风险资产。的全部投资组合中即包括风险资产，又包括无风险资产。也就是说他也就是说他将部分资金投资于无风险资产，将另一部分将部分资金投资于无风险资产，将另一部分资金投资于风险资产组合资金投资于风险资产组合T。 如果切点如果切点O3落在新效率边界落在新效率边界T点的右上方点的右上方，说明投资者，说明投资者购买的风险
13、资产的量已超过他的总资金量，也就是说他购买的风险资产的量已超过他的总资金量，也就是说他将以无风险利率借入资金投资于风险资产组合将以无风险利率借入资金投资于风险资产组合T。 虽然虽然最优投资组合最优投资组合O1 、O2 和和O3的位置不同，的位置不同，但它们都是由但它们都是由无风险资产无风险资产A和和相同的风险资产组合相同的风险资产组合T组成。组成。 引入无风险借贷后的有效集的确定步骤： 2将上述结果代入公式 和 就可以求出最优风险组合的期望收益率和标准差； 3求出夏普比率； 4代入 ，写出有效集的方程。iiffPRxrxRfiififiiffPxxxx22222PififprRrR 例例7-1
14、7-1 假设市场上只有A、B两种证券，其预期收益率分别为8%和13%，标准差分别为12%和20%。A、B两种证券的相关系数为0.3。市场无风险利率为5%。则此时的有效边界是什么？如何根据自己的投资效用函数来进行最优的资产配置呢？ 资本配置决策，是对整个资产组合中各项资产比例的选择，放在安全但收益低的货币市场证券的资产比例的选择与放在有风险但收益高的证券资产比例的选择。 若投资者的投资效用函数（U）为： 其中： 投资者的目标是通过选择最优的资产配置比例XT，Xf来使他的投资效用最大化。 221PPARUffTTPrXRXR222pTTX1fTXX如何根据自己的投资效用函数来进行最优的资产配置呢？
15、 将 代入投资效用函数中，可以把这个问题写成如下的数学表达式： 将上式对XT求偏导并令其等于0，就可以得到最优的资产配置比例XT*： （7.18）2PPR和22,0.5TfffTTTTXXMaxUX rX RAX2TfTTRrXA例例 7 7- -2 2： 继续用例 7-1 的数据，通过前面的计算，投资者面临的最优风险组合的预期收益率和标准差分别为TR=11%，T=14.2%，市场无风险利率（rf）为5%。 如果该投资者的风险厌恶系数A=4， 则其XT*=(11%-5%)/(414.2%2)=0.7439。 也就是说，该投资者应将74.39%的资金投入最优风险组合，25.61%投入无风险资产。
16、 如果投资者的风险厌恶系数 A 等于 2，则他的最优资产配置比例 XT*=(11%-5%)/(214.2%2)=1.4878。也就是说，该投资者应借入 48.78%的无风险资金，加上自有资金全部投资于最优风险组合。 （四）市场组合 根据相同期望或信念的假定，可以推导出每个投资者的切点处投资组合（最优风险组合）都是相同的（如图7-17的T点），从而每个投资者的线性有效集都是一样的。习惯上，人们将切点处组合叫做市场组合，并用M代替T来表示。 市场组合是指由所有证券构成的组合，在这个组合中，每一种证券的构成比例等于该证券的相对市值。一种证券的相对市值等于该证券市值除以所有证券的市值总和。 （四）市场
17、组合 在均衡状态下，每一个投资者都对每一种证券都愿意持有一定的数量，市场上各种证券的价格都处于使该证券的供求相等的水平上，无风险利率的水平也正好使得借入资金的总量等于贷出资金的总量。 在均衡时，切点处投资组合中各证券的构成比例等于市场组合(M)中各证券的构成比例。（五）资本市场线（CML_有效集） 资本市场线允许无风险借贷情况下的线性有效集。 任何不利用市场组合以及不进行无风险借贷的其他组合都将位于资本市场线的下方。 其表达式为： （19） pMfMfprRrR图7-18 资本市场线R MR f M M pMfMfprRrR（六）分离定理 图7-17给出的是三名投资者的无差异曲线。 投资者I1
18、借出资金，即他的一部分资金投放在无风险资产上，一部分资金投放在最优风险资产组合T上。 投资者I3借入资金并把原有的资金以及借入的资金都投放在最优风险资产组合T上。 投资者I2遵循的却是“不借入也不借出”的古老信条。 所有这三个投资者都有共同的策略：他们都投资于相同的风险资产组合T。（六）分离定理以相同的无风险利率借贷资金的可能性把这一投资过程分成了两个步骤： 第 一 步 ， 确 定 证 券 组 合T ， 即 通 过 求 解,ABTfXXTRrMax， 得 到BAfBfAAfBBfABAfBBfAArRrRrRrRrRrRX222，这一切点处的证券组合是所有投资者都期望的风险证券组合。 第二步，
19、 每个投资者都通过借贷资金使他的效用倾向最大化， 即投资者根据自己的风险厌恶系数A，将资金合理地分配于无风险资产和最优风险资产组合。 （六）分离定理 第一个步骤对所有的投资者来说都是客观的和共同的，无需为了确定最优风险资产组合T而了解每个投资者的独特偏好（即了解各自的无差异曲线）。 第二个步骤则带有主观性，因而必须了解每个投资者的偏好。 把投资过程划分成两个步骤，被称为分离特性（separation property）或分离定理（separation theorem）。三、证券市场线（SML） Def:是一条反映达到均衡时所有单个证券和所有证券组合的预期收益及其风险关系的直线。 其衡量风险的指
20、标贝塔系数 （25） immfmfiRRRR2三、证券市场线（SML）由市场模型知：代入（25）式得 （26）2mimiifmfiRRRR三、证券市场线（SML） 图7-20 证券市场线ifmfiRRRRRiMMRfRM 1.0 SML SML要点一：线性 向上倾斜系数大的证券的期望收益率高于系数小的证券的期望收益率 直线市场均衡状态，所有证券的期望收益率与系数间的关系均将服从这条直线SML要点二：亦适用于投资组合 证明？SML要点三：与CML的区分 度量风险的指标度量风险的指标SML横轴为贝塔系数 ，CML为标准差 模型成立的范围模型成立的范围SML对单个证券或所有可能的证券组合均成立，而CML仅对有效组合有效组合方才成立。所以最优风险组合既落在资本市场线上，也落在证券市最优风险组合既落在资本市场线上，也落在证券市场线上场线上。思考：请利用证券组合的预期收益率Rp与风险p的定义来推导SML。应用1：CAPM的一般表现形式fmmjmfmjjxCovRExEP1),()()(应用2：证券价值的高估与低估