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1、20142014 年上海市普通高等学校年上海市普通高等学校招收应届中等职业学校毕业生统一文化考试招收应届中等职业学校毕业生统一文化考试数学试卷数学试卷一、填空题一、填空题（本大题共 12 题，每题 3 分，满分 36 分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上.】1.若集合A 2,3,6，B x|x3，则AB.B 2,3.1.2,3【分析】因为A 2,3,6，B x|x3，所以A2.不等式|3x4|2的解集为.22x2【分析】|3x4|2 23x42x2.3313.函数y 2x4 x的定义域为.2 12.3.2，02x40 x2且x 0.【分析】由题意得x0，2 1 04.图 1 是某算法的程序
2、框图，若输入a 的值为 5，则输出 b 的值为.图 14.25【分析】a 5不大于 5，否，b a 25.5.某校6支球队之间进行单循环赛（每两支球队之间只进行一场比赛），共需进行场比赛（结果用数值表示）.5.15【分析】以分布计数原理得5432115.6.某班两位同学上学期的数学期中、期末、平时成绩分别用矩阵A27070、B、809080学期总评成绩为期中成绩的30%、期末成绩的 40%、平时成绩的 30%之和，C 表示，80则这两位同学该学期的数学总评成绩用矩阵表示为.6.70708073【分析】依题意有3040308090808473.843，b 7.已知a、b、c分别是ABC的三个内角
3、A、若C 75，B 60，C所对的边，B、则a.7.2【分析】依题意有A BC A 45,又正弦定理ba a 2.sin Bsin A8.已知正四棱锥P ABCD的底面边长为 2，侧棱长为 2，则侧棱与底面所成角的大小为.222【分析】联结 AC,在面 PAC 中，PA PC且PA PC AC，所以侧棱与底面所成4角即PCA.48.9.在直角坐标平面内，已知定O(0,0)，点A(6,2)，点C(2,6)，四边形OABC是平行四边形，若向量OD 1OB，则点D的坐标为.29.(4,4)【分析】设 B 点为x,y，因为OA6,2,CB x2,y6，又OABC是平行四边形，所以OA CB，求得x 8
4、1，所以OD OB 4,4.2y 82210.直线3x y 2 0与圆x y 4相交所得弦的长为.10.2 3【分析】圆心到直线的距离d 2311，弦长=2 r2d2 2 41 2 3.11.已知为钝角，若sin5，则cos(2).5211.54【分析】cos(2)sin2 2sincos,因为sin且为钝角，所以5252 552 54，cos(2)2.52555cos 12.已知有穷数列an共有 10 项，记a1a2a3a10T1，a2a3a10T2，a9 a10T9，a10T10.若Tn(1 n10)又是首项为 1、公差为 2 的等差数列前n项和，则a3.12.-7【分析】由题意得a3a4
5、 a10T31359,a4a5 a10T413516，所以a3T3T4 7.二、选择题二、选择题（本大题共 4 题，每题 3 分，满分 12 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】13.已知a、bR R，命题甲：ab 0，命题乙：a 0，则命题甲是命题乙的（）bA.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件13.C【分析】因为ab 0 a 0，故选 C.b14.某天半夜，小鹏同学因病开始发烧，清晨服药后，逐渐退烧，中午测得体温为 37.0，午后体温又开始上升，傍晚再次服药，半夜基本退烧.下面大致能反映小鹏这
6、一天（0 时24时）体温T随时间t变化趋势的图只可能是（）ABCD14.C【分析】由题意只有选项 C 符合题意.15.学校选派 6 位学生前往德国 A、B、C、D、E、F 六所不同的学校交流学习，每所学校安排 1 名学生.假设每位学生被安排到各校的可能性相同，则学生甲没被安排到B 校且学生乙被安排到 C 校的概率为（）14151514P5P4P5P5P4PP4P4A.6B.6C.6D.65P6P6P6P66115.A【分析】基本事件为P6，从除甲、乙同学外的 4 个中选出一个安排到 B 校P4，乙被安排到 C 校，对其余四个全排P4，故学生甲没被安排到B 校且学生乙被安排到C 校的概率414P
7、4P为64.P6x2y1016.设x、y满足不等式组2x y80，其中a为常数，当且仅当x y 1时，目标函数3x ya0z x2y取得最小值，则目标函数z的最大值为（）A.12B.10C.7D.316.B【分析】由x2y10得到一个交点为3,2，又x y 1时，目标函数z x2y2x y80取得最小值，故3x y a 0过1，1，得a 2，则求出另外一个交点为2，4，所以目标函数z的最大值为 10.三、三、解答题解答题（本大题共 6 题，满分 52 分）【解答下列各题必须在答题纸的相应位置上写出必要的步骤.】17.(本题满分 7 分)第（1）小题满分为 3 分，第（2）小题满分为 4 分.设
8、复数z x yi（x、yR R，i为虚数单位）.(1)若(x 3)yi 12i，且复数z在复平面内对应的点在第二象限，求复数z；（2）若y 1，且17.（本题满分 7 分）【解】（1）由已知得y 2,x 31，.1 分解得x 2，.2 分又x 0，故z 22i3 分(2)22z是实数，求|z|.1izx1(x1)i,.2 分1i(2)由已知得x 1，z 1i，3 分故|z|2.4 分18.(本题满分 7 分)第（1）小题满分为 3 分，第（2）小题满分为 4 分.图 2 是一个圆柱钻去一个同轴小圆柱得到的工件的实物图.图 3 为该工件的直观图，底面在水平面上，大圆柱的底面半径为8，小圆柱的底面
9、半径为4，它们的高都是 5.(1)画出图 3 所示的几何体的主视图；（2）求图 3 所示的几何体的体积.图 2图 318.（本题满分 7 分）【解】(1)A3 分（2）设大、小圆柱的体积分别为V1、V2，几何体的体积为V，V1=825 320,V2 425 80,3 分V=V1V2=240.4 分19.(本题满分 8 分)每小题满分为 4 分.毕达哥拉斯树的生长方式如图4 所示：以边长为 1 的正方形的一条边为斜边向外作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为边各向外作一个正方形，得到 2 个新的小正方形，实现了一次生长；再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去.设an为第n次
10、生长得到的新小正方形的个数，bn为第n次生长得到的新小正方形中的一个正方形的面积.当n 1和n 2时，an、bn的值见表 1.(1)请在答题纸上的表 1 中填写n 3时，相应的an、bn的值；表 1n12243anbn1214图 4判断数列bn是否为等比数列，若是，写出公比的值；若不是，举反例说明；(2)若经过 n 次生长，累计得到了 1022 个新的正方形，求其中最小正方形的个数.19.（本题满分 8 分）【解】（1）表 1n122438anbn1118241数列bn是等比数列，公比为.4 分2（2）因为an是以首项为 2、公比为 2 的等比数列，2(2n1)1022，2 分故21得2 51
11、2，即最小正方形个数为 512.4 分20.(本题满分 10 分)每小题满分各为 5 分.设函数f(x)asin xbcosx（a、b 为常数）.（1）若f()0,f()n42，求f(x)的解析式，并化为f(x)Asin(x)(A 0,0,|)的形式；2（2）若a 2,b 0,g(x)f(x)，写出g(x)的解析式；当x6 11,时，66按照“五点法”作图步骤，在答题纸上完成表 2 的填空，并画出函数g(x)的图像；写出一个区间 D，D 11,，使得在区间 D 上，g(x)660，且g(x)单调递减.20.（本题满分 10 分）2f()0(ab)0,【解】（1）由4,得 2b 2f()2解得a
12、 2,b 2，2 分f(x)2sin x2 cos x,故f(x)2sin(x).5 分（2）g(x)2sin(x),1 分表 246x60 x602325602343-221160g(x).4 分 5,（或其子区间）.5 分3621.(本题满分 10 分)第（1）小题满分为3 分.第（2）小题满分为2 分，第（3）小题满分为5 分.在直角坐标平面 xOy 内，抛物线 C 的方程为y x.2图 5（1）某水杯内壁与其轴截面的交线为抛物线C 的一段弧AOB，如图 5 所示.若杯口的直径 AB 与杯深之比为 2:3，求杯口直径的大小（坐标轴的单位长度为 1 厘米）；（2）在平面 xOy 内存在唯一
13、的点 F 和唯一的直线 l,满足抛物线 C 上任意一点到直线 l的距离相等，写出点 F 的坐标和直线 l 的方程；（3）过原点O 且斜率为 k 的直线与抛物线 C 交于另外一点 Q，线段OQ 的垂直平分线与 y 轴交于点 P（0，m）,若m1，求 k 的取值范围.21.（本题满分 10 分）【解】（1）设点B的坐标为（x,y）(x0),依题意得，2x2，.1 分y3与y x联立，解得 x=3,.2 分故杯口的直径为 6 厘米.3 分（2）F(0,),l:y 2141.2 分4y kx（3）设y kx(k 0)，由，解得 x=k,2y x故点 Q 的坐标为(k,k)，.1 分2k k2线段 OQ
14、 的中点坐标为(,)，.2 分22k21k(x)，.3 分线段 OQ 的中垂线方程为y 2k2k21，得m 22又由m1，解得k 1，.4 分故k,121,+.5 分222.(本题满分 10 分)第（1）小题满分为 2 分.第（2）小题满分为 8 分.设函数f(x)x axb（a、b 为常数）.（1）如果函数f(x)是区间b2,b上偶函数，求 a、b 的值；（2）设函数g(x)log2x.判断 g(x)在区间1,4上的单调性，并写出 g(x)在区间1,4上的最小值和最大值；阅读下面题目及解法：题目：对任意x1,4，2 m恒大于 1，求实数 m 的取值范围.解：设h(x)2 mx则对任意x1,4
15、，2 m恒大于 1当x1,4时，h(x)min1.xx由h(x)在区间1,4上递增，知h(x)min h(1)2 m 1，所以m 1.学习上面题目的解法，是解决下面的问题：当f(x)中的a 4时，若对任意x1、x21,4，f(x1)恒大于g(x2)，求 b 的取值范围.22.（本题满分 10 分）【解】（1）由已知得b2 b,且f(x)f(x)，解得a 0,b 1.2分（2）g(x)在区间1,4上的单调递增，.1 分g(x)的最小值为 0，最大值为2.3 分由题意知：对任意x1、x21,4，f(x1)恒大于g(x2)当x1,4时,f(x)min g(x)max,5 分f(x)x24xb,因为x1,4，所以f(x)min f(2)b4，.7 分又 g(x)在1,4上的最大值为 2，所以b4 2，得b 6.8 分