2022-2023学年安徽省蚌埠铁路中学高三下学期第六次检测数学试卷含解析.doc

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项1考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回2答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效5如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

2、1某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )ABCD2计算等于( )ABCD3若满足约束条件则的最大值为( )A10B8C5D34设是虚数单位,复数()ABCD5函数的图象大致为( )ABCD6一个封闭的棱长为2的正方体容器,当水平放置时,如图,水面的高度正好为棱长的一半若将该正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,则容器里水面的最大高度为( )ABCD7的展开式中的系数为( )A30B40C40D508在棱长为a的正方体中,E、F、M分别是AB、AD、的中点,又P、Q分别在线段、上,且,设平面平面,则下列结论中不成立的是( )A平面BC当时,平面D当m变化时,直线l的位置

3、不变9函数的图象大致为( )ABCD10已知角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边经过点,则( )ABCD11羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从名男生,和名女生,中各随机选出两名,把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛,则和两人组成一队参加比赛的概率为( )ABCD12第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行,为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P,某学生做如图所示的模拟实验:通过计算机模拟在长为10,宽为6的长方形奥运会旗内随机取N个点,经统计落入五环内部及其边界上的点数为n个,已知圆环半径为1,则比值P

4、的近似值为( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13边长为2的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分,将所留部分折成一个正四棱锥.当该棱锥的体积取得最大值时,其底面棱长为_.14设函数,若存在实数m,使得关于x的方程有4个不相等的实根,且这4个根的平方和存在最小值,则实数a的取值范围是_.15已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆的焦距为2c,过C外一点P(c,2c)作线段PF1,PF2分别交椭圆C于点A、B,若|PA|AF1|,则_.16在平面直角坐标系xOy中,直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上,其中A(0,1)为直角顶点若该三角形的面积的

5、最大值为,则实数a的值为_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知数列中,前项和为,若对任意的,均有(是常数,且)成立,则称数列为“数列”.(1)若数列为“数列”,求数列的前项和;(2)若数列为“数列”,且为整数,试问:是否存在数列,使得对任意,成立?如果存在,求出这样数列的的所有可能值,如果不存在,请说明理由.18(12分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,且过点.求椭圆的方程;已知是椭圆的内接三角形,若点为椭圆的上顶点,原点为的垂心,求线段的长;若原点为的重心,求原点到直线距离的最小值.19(12分)随着时代的发展,A城市的竞争力、影响力日益

6、卓著,这座创新引领型城市有望踏上向“全球城市”发起“冲击”的新征程.A城市的活力与包容无不吸引着无数怀揣梦想的年轻人前来发展,目前A城市的常住人口大约为1300万.近日,某报社记者作了有关“你来A城市发展的理由”的调查问卷,参与调查的对象年龄层次在2544岁之间.收集到的相关数据如下:来A城市发展的理由人数合计自然环境1.森林城市,空气清新2003002.降水充足,气候怡人100人文环境3.城市服务到位1507004.创业氛围好3005.开放且包容250合计10001000(1)根据以上数据,预测400万2544岁年龄的人中,选择“创业氛围好”来A城市发展的有多少人;(2)从所抽取选择“自然环

7、境”作为来A城市发展的理由的300人中,利用分层抽样的方法抽取6人,从这6人中再选取3人发放纪念品.求选出的3人中至少有2人选择“森林城市,空气清新”的概率;(3)在选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中有100名男性;在选择“人文环境”作为来A城市发展的理由的700人中有400名男性;请填写下面列联表,并判断是否有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关?自然环境人文环境合计男女合计附:,.P()0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820(12分)在平面直角坐标系中,点是直线上的动点,为定点,点为的中点,动点满足,且,设点的轨迹为曲线.(1)

8、求曲线的方程;(2)过点的直线交曲线于,两点,为曲线上异于,的任意一点,直线,分别交直线于,两点.问是否为定值?若是,求的值;若不是,请说明理由.21(12分)设函数其中()若曲线在点处切线的倾斜角为,求的值;()已知导函数在区间上存在零点,证明:当时,.22(10分)已知动点到定点的距离比到轴的距离多.(1)求动点的轨迹的方程;(2)设,是轨迹在上异于原点的两个不同点,直线和的倾斜角分别为和,当,变化且时,证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】观察可知,这个几何体由两

9、部分构成,:一个半圆柱体,底面圆的半径为1,高为2;一个半球体,半径为1,按公式计算可得体积。【详解】设半圆柱体体积为,半球体体积为,由题得几何体体积为,故选A。【点睛】本题通过三视图考察空间识图的能力,属于基础题。2、A【解析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值,结合对数运算,求得所求表达式的值.【详解】原式.故选:A【点睛】本小题主要考查诱导公式,考查对数运算,属于基础题.3、D【解析】画出可行域,将化为,通过平移即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值.【详解】解:由约束条件作出可行域如图,化目标函数为直线方程的斜截式,.由图可知当直线过时,直线在轴上的截距最大,有最大值为3.故选:

10、D.【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为 的形式,在可行域内通过平移找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.4、D【解析】利用复数的除法运算,化简复数,即可求解,得到答案【详解】由题意,复数,故选D【点睛】本题主要考查了复数的除法运算,其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题5、A【解析】根据函数的奇偶性和单调性,排除错误选项,从而得出正确选项.【详解】因为,所以是偶函数,排除C和D.当时,令,得,即在上递减;令,得,即在上递增.所以在处取得极小值,排除B.故选:A【点睛】

11、本小题主要考查函数图像的识别,考查利用导数研究函数的单调区间和极值,属于中档题.6、B【解析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半,由此得到结论【详解】正方体的面对角线长为,又水的体积是正方体体积的一半,且正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半,即最大水面高度为,故选B.【点睛】本题考查了正方体的几何特征,考查了空间想象能力,属于基础题7、C【解析】先写出的通项公式,再根据的产生过程,即可求得.【详解】对二项式,其通项公式为的展开式中的系数是展开式中的系数与的系数之和.令,可得的系数为;令,可得的系数为;故的展开式中的系数为

12、.故选:C.【点睛】本题考查二项展开式中某一项系数的求解,关键是对通项公式的熟练使用,属基础题.8、C【解析】根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可.【详解】因为,所以,因为E、F分别是AB、AD的中点,所以,所以,因为面面,所以.选项A、D显然成立;因为,平面,所以平面,因为平面,所以,所以B项成立;易知平面MEF,平面MPQ,而直线与不垂直,所以C项不成立.故选:C【点睛】本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.9、A【解析】确定函数在定义域内的单调性,计算时的函数值可排除三个选项【详解】时,函数为减函数,排除B,时,函数也是减函数,排除D,又时,排除C,只有A可满足故选:A.【点睛

13、】本题考查由函数解析式选择函数图象,可通过解析式研究函数的性质,如奇偶性、单调性、对称性等等排除,可通过特殊的函数值,函数值的正负,函数值的变化趋势排除,最后剩下的一个即为正确选项10、A【解析】由已知可得,根据二倍角公式即可求解.【详解】角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边经过点,则,.故选:A.【点睛】本题考查三角函数定义、二倍角公式,考查计算求解能力,属于基础题.11、B【解析】根据组合知识,计算出选出的人分成两队混合双打的总数为,然后计算和分在一组的数目为,最后简单计算,可得结果.【详解】由题可知:分别从3名男生、3名女生中选2人 :将选中2名女生平均分为两组:将选中2名男生

14、平均分为两组:则选出的人分成两队混合双打的总数为:和分在一组的数目为所以所求的概率为故选:B【点睛】本题考查排列组合的综合应用,对平均分组的问题要掌握公式,比如:平均分成组,则要除以,即,审清题意,细心计算,考验分析能力,属中档题.12、B【解析】根据比例关系求得会旗中五环所占面积,再计算比值.【详解】设会旗中五环所占面积为,由于,所以,故可得.故选:B.【点睛】本题考查面积型几何概型的问题求解,属基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】根据题意,建立棱锥体积的函数,利用导数求函数的最大值即可.【详解】设底面边长为,则斜高为,即此四棱锥的高为,所以此四棱锥体积为,

15、令,令,易知函数在时取得最大值.故此时底面棱长.故答案为:.【点睛】本题考查棱锥体积的求解,涉及利用导数研究体积最大值的问题,属综合中档题.14、【解析】先确定关于x的方程当a为何值时有4个不相等的实根,再将这四个根的平方和表示出来,利用函数思想来判断当a为何值时这4个根的平方和存在最小值即可.【详解】由题意,当时,此时,此时函数在单调递减,在单调递增,方程最多2个不相等的实根,舍;当时,函数图象如下所示:从左到右方程,有4个不相等的实根,依次为,即,由图可知,故,且,从而,令,显然,要使该式在时有最小值,则对称轴,解得.综上所述,实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了函数和方程的知识,但需要

16、一定的逻辑思维能力,属于较难题.15、【解析】根据条件可得判断OAPF2,且|PF2|2|OA|,从而得到点A为椭圆上顶点,则有bc,解出B的坐标即可得到比值.【详解】因为|PA|AF1|,所以点A是线段PF1的中点,又因为点O为线段F1F2的中点,所以OAPF2,且|PF2|2|OA|,因为点P(c,2c),所以PF2x轴,则|PF2|2c,所以OAx轴,则点A为椭圆上顶点,所以|OA|b,则2b2c,所以bc,ac,设B(c,m)(m0),则,解得mc,所以|BF2|c,则.故答案为:2.【点睛】本题考查椭圆的基本性质,考查直线位置关系的判断,方程思想,属于中档题.16、3【解析】设直线A

17、B的方程为ykx+1,则直线AC的方程可设为yx+1,(k0),联立方程得到B(,),故S,令t,得S,利用均值不等式得到答案.【详解】设直线AB的方程为ykx+1,则直线AC的方程可设为yx+1,(k0)由消去y,得(1+a2k2)x2+2a2kx0,所以x0或xA的坐标(0,1),B的坐标为(,k1),即B(,),因此AB,同理可得:AC.RtABC的面积为SABAC令t,得S.t2,SABC.当且仅当,即t时,ABC的面积S有最大值为.解之得a3或a.a时,t2不符合题意,a3.故答案为:3.【点睛】本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.三、解答题:共7

18、0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)存在,【解析】由数列为“数列”可得,,两式相减得,又,利用等比数列通项公式即可求出,进而求出;由题意得,两式相减得,据此可得,当时,进而可得,即数列为常数列,进而可得,结合,得到关于的不等式,再由时,且为整数即可求出符合题意的的所有值.【详解】因为数列为“数列”,所以,故,两式相减得, 在中令,则可得,故所以,所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,所以,因为,所以. (2)由题意得,故,两式相减得 所以,当时,又因为所以当时,所以成立,所以当时,数列是常数列, 所以 因为当时,成立,所以,所以在中令,因为,所以可得,所以,由时,

19、且为整数,可得,把分别代入不等式可得,,所以存在数列符合题意,的所有值为.【点睛】本题考查数列的新定义、等比数列的通项公式和数列递推公式的运用;考查运算求解能力、逻辑推理能力和对新定义的理解能力;通过反复利用递推公式,得到数列为常数列是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.18、;.【解析】根据题意列出方程组求解即可;由原点为的垂心可得,轴,设,则,根据求出线段的长;设中点为,直线与椭圆交于,两点,为的重心,则,设:,则,当斜率不存在时,则到直线的距离为1,由,则,得出,根据求解即可.【详解】解:设焦距为,由题意知:,因此,椭圆的方程为:;由题意知:,故轴,设,则, ,解得:或,不重合,

20、故,故;设中点为,直线与椭圆交于,两点,为的重心,则,当斜率不存在时,则到直线的距离为1;设:,则,则,则:,代入式子得:,设到直线的距离为,则时,;综上,原点到直线距离的最小值为.【点睛】本题考查椭圆的方程的知识点,结合运用向量,韦达定理和点到直线的距离的知识,属于难题.19、(1)(万)(2)(3)填表见解析;有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关【解析】(1)在1000个样本中选择“创业氛围好”来A城市发展的有300个,根据频率公式即可求得结果.(2) 由分层抽样的知识可得,抽取6人中,4人选择“森林城市,空气清新”,2人选择“降水充足,气候怡人”求出对应的基本事件数,即

21、可求得结果.(3)计算的值,对照临界值表可得答案.【详解】(1)(万)(2)从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展理由的300人中,利用分层抽样的方法抽取6人,其中4人是选择“森林城市,空气清新”,2人是选择“降水充足,气候怡人”.记事件A为选出的3人中至少有2人选择“森林城市,空气清新”,则,.(3)列联表如下自然环境人文环境合计男100400500女200300500合计3007001000,所以有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关.【点睛】本题主要考查独立性检测的相关知识、分层抽样与古典概念计算概率、考查学生的综合分析与计算能力,难度较易.20、(1);(2)是定值,

22、.【解析】(1)设出M的坐标为,采用直接法求曲线的方程;(2)设AB的方程为,,,求出AT方程,联立直线方程得D点的坐标,同理可得E点的坐标,最后利用向量数量积算即可.【详解】(1)设动点M的坐标为,由知,又在直线上,所以P点坐标为,又,点为的中点,所以,由得,即;(2)设直线AB的方程为,代入得,设,则,设,则,所以AT的直线方程为即,令,则,所以D点的坐标为,同理E点的坐标为,于是,所以,从而,所以是定值.【点睛】本题考查了直接法求抛物线的轨迹方程、直线与抛物线位置关系中的定值问题,在处理此类问题一般要涉及根与系数的关系,本题思路简单,但计算量比较大,是一道有一定难度的题.21、 ();(

23、)证明见解析【解析】()求导得到,解得答案.() ,故,在上单调递减,在上单调递增,设,证明函数单调递减,故,得到证明.【详解】(),故,故.() ,即,存在唯一零点,设零点为,故,即,在上单调递减,在上单调递增,故,设,则,设,则,单调递减,故恒成立,故单调递减.,故当时,.【点睛】本题考查了函数的切线问题,利用导数证明不等式,转化为函数的最值是解题的关键.22、(1)或;(2)证明见解析,定点【解析】(1)设,由题意可知,对的正负分情况讨论,从而求得动点的轨迹的方程;(2)设其方程为,与抛物线方程联立,利用韦达定理得到,所以,所以直线的方程可表示为,即,所以直线恒过定点【详解】(1)设,动点到定点的距离比到轴的距离多,时,解得,时,解得.动点的轨迹的方程为或(2)证明:如图,设,由题意得(否则)且,所以直线的斜率存在,设其方程为,将与联立消去,得,由韦达定理知,显然,将式代入上式整理化简可得:,所以,此时,直线的方程可表示为,即,所以直线恒过定点.【点睛】本题主要考查了动点轨迹,考查了直线与抛物线的综合,是中档题

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