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1、数学试卷数学试卷本试卷共本试卷共 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟。分钟。一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共8 8 小题，每小题小题，每小题5 5 分，共分，共4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的x21121 已知集合A=x x4x+30，B=y y=，则AB=2A 2,3)B(1,3)C2,+)D(3,+)3+z2 设z是纯虚数，若是实数，则z的虚部为1+iA 3B1C1D 33 已知函数f(x)=3sin(x+)cos(x+)0,，则“函数f(x)是偶函数”是“=()3”的B必
2、要不充分条件D 既不充分也不必要条件2A 充分不必要条件C充要条件24 若圆(xa)+(y3)=20上有四个点到直线2xy+1=0的距离为5，则实数a的取值范围是A,1317,+22B13 17,2237C,+22nn 115 若7+Cn+17+3 7D,2 2C奇数D 偶数n 1nn+Cn+C7+1n+1是 9 的倍数，则自然数为A 4 的倍数B3 的倍数6 现将 0-9 十个数字填入右方的金字塔中，要求每个数字都使用一次，第一行的数字中最大的数字为a，第二行的数字中最大的数字为b，第三行的数字中最大的数字为c，第四行的数字中最大的数字为d，则满足abcd的填法的概率为（第 6 题图）第页，
3、共页1A 101B52C152D 57 在矩形ABCD中，已知AB=2AD=4，E是AB的中点，将当二面角ADE沿直线DE翻折成A1DE，连接AC1A1DEC的平面角的大小为60时，则三棱锥A1CDE外接球的表面积为A 563B18D（第 7 题图）53312B，A=x 2xlog xB=x y=lnx+lnx8 已知a0且a1，若集合且Aa，2则实数a的取值范围是C19114eA 0,1,e4112eC,11,e4114eB0,e,+4112eD,1e,+4二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共4 4 小题，每小题小题，每小题5 5 分，共分，共2020 分在每小题给出的选项中，有多项
4、符合题目分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得要求，全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分9 设a0,b0，满足3a+2b=1，下列说法正确的是A ab的最大值为124B21+的最小值为8 3ab1D 9a2+4b2的最小值为 11310已知等差数列an的前n项和为Sn，满足a1+a2+a3=21，S5=25，下列说法正确的是Ca2+b2的最小值为A an=2n+32BSn=n+10n110CSn的最大值为S5D 10的前项和为99a ann+111已知ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，已知b
5、=4,c=6，ABC的面积S满足(b+c)2=4 3+8 S+a2，点O为ABC的外心，满足AO=AB+AC，则下列结论正()确的是第页，共页A S=6BCBAO=10CAO=x29y212已知P(x1,y1),Q(x2,y2)是椭圆+=1上两个不同点，且满足x1x2+9y1y2=2，则下44列说法正确的是A 2x1+3y13+2x2+3y23的最大值为6+2 5B2x1+3y13+2x2+3y23的最小值为352 213D=22 332 105D x13y1+5+x23y2+5的最小值为102 2Cx13y1+5+x23y2+5的最大值为2 5+三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4
6、小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分213已知点M为抛物线y2=8x上的动点，点N为圆x+(y4)=5上的动点，则点M到y轴的2距离与点M到点N的距离之和最小值为214已知f(x)为R R上的偶函数，函数h(x)=x f(x)在0,+)上单调递增，则不等 式(1x)2f(1x)(3+x)f(3+x)0的解集为215用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的六位数，要求任意两个偶数数字之间至少有一个奇数数字，则符合要求的六位数的个数有16若关于x的不等式ex个(2kx)x+3对任意的x(0,+)恒成立，则整数k的最大值为423，(3n+9)(n+1)an+1=(
7、n+2)an9四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）在数列an中，a1=（1）求an的通项公式；52n+5n44 318（12 分）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2bcosAa=2c（2）设an的前n项和为Sn，证明：Sn（1）求角B；（2）设ABC的角平分线BD交AC于点D，若BD=2，求ABC的面积的最小值19（12 分）如图所示，在三棱锥ABCD中，满足BC=CD=3 3，点M在CD上，且DM=5MC，ABD为边长为 6 的等边三角形，
8、E为BD的中点，F为AE的三等分点，且2AF=FE（1）求证：FM面ABC；第页，共页（第 19 题图）（2）若二面角ABDC的平面角的大小为2，求直线EM与面ABD所成角的正弦值320（12 分）为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校 30 名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%（1）根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？感兴趣男生女生合计12530不感兴趣合计（2）若感兴趣的女生中恰有4 名是高三学生，现从
9、感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望n(adbc)2附：K=，其中n=a+b+c+d(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2k0)0.152.0720.102.7060.053.8410.0255.0240.0106.6350.0057.8790.00110.8282k021（12 分）已知双曲线C以2x5y=0为渐近线，其上焦点F坐标为(0,3)（1）求双曲线C的方程；（2）不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于P,Q两点，PQ的中垂线交y轴于点T，问TF是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由PQx22（12 分）设f(
10、x)=x(xR)e1（1）求f(x)的单调性，并求f(x)在x=处的切线方程；2（2）若(ex)f(x)k(lnx+1)在x(1,+)上恒成立，求k的取值范围第页，共页中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 20232023 年年 3 3 月测试月测试数学参考答案数学参考答案一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共8 8 小题，每小题小题，每小题5 5 分，共分，共4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的1A2D3B4D5C6C7A8B二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共4 4 小题，每小题
11、小题，每小题5 5 分，共分，共2020 分在每小题给出的四个选项中，有多项分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 5 分，部分选对但不全的得分，部分选对但不全的得 2 2 分，有错选的得分，有错选的得 0 0 分分9AC10BCD11ABD12AD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分13521510814(,1)161四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17
12、（10 分）（1）23(3n+9)(n+1)3(n+3)an+1an+1=(n+2)an(n+2)2n+2)an(=2(n+1)(n+3)an+1=1(n+2)an 2 分即22 3n+2n+1()()(1+2)a1=111(n+2)an又，所以数列是首项为，公比为的等比数列2233(1+1)3n+1)(n+2)an从而2(n+1)（2）1(n+1)=，则an=5 分n3(n+2)32n2(n+1)an=(n+2)3n=n+1 n+1n+1 6 分nn+23n3Sn23+2+13323设Tn=1+2+33+n+1n3n+1123+n，则Tn=2+3+3333+n+13n+1第页，共页两式相减得
13、：221Tn=1+2+333111931n+12+nn+1=+133313n 1n+13n+1n 1211n+152n+5=+1n+1=9 分n+1363362 3从而Tn=52n+552n+5 10 分S，故nnn44 344 318（12 分）（1）由已知及正弦定理得：2sinB cosAsinA=2sinC 2 分又在ABC中，sin C=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB 2sinB cosAsinA=2sinAcosB+2cosAsinB即2sinAcosB=sinA1 4 分222 5 分又0B，B=，即角B的大小为33又sinA0，cosB=（2）13 6 分S
14、ABC=acsinB=ac 24BD是ABC的角平分线，而SABC=SABD+SBCD311ac=ABBDsin60+BDBCsin60422ac33BD=8 分，ac=BD(a+c)a+c44BD=2，ac=2(a+c)10 分a+c2 ac，ac4 ac，即ac16 即当且仅当a=c=4时取等号，则SABC=13ac sinB16=4 324 12 分即ABC的面积的最小值为4 3 第页，共页19（12 分）（1）在BE上取一点N，使得BN=1NE，连接FN，NM21BD=6，BN=BD=1，NE=2，ED=36AF1BNAF1=，=FE2NEFE2则FNAB 2 分面ABCFN面ABC，
15、AB面ABC，FNBNCM1=，NMNDMD5BC 4 分面ABCNM面ABC，BC面ABC，NMFNNM=N，面FNM面ABCFM面FNM，FM（2）5 分面ABCAE BD，CE BD所以二面角ABDC的平面角为AEC=又2 6 分3AECE=E，BD 面AECBD面ABD，面ABD 面AEC面ABD面AEC=AE，过点C作CH AE，则CH 面ABD则CH=CE sin3=3CE233 6 8 分3 2=22CE=()3 332=3 2，CH=3 622即C到面ABD的距离为553 65 6MD=CD，M到面ABD的距离为 9 分=6624计算EM：cos CDB=33 3=13在DME
16、中，DM=5 3，DE=32第页，共页5 322+3EM1251 11 分=EM=235 32325 65 34EM与面ABD所成角的正弦值为4=12 分34512（其他方法酌情给分）20（12 分）（1）列联表如下：男生女生合计感兴趣12921不感兴趣459合计161430 2 分230(12 54 9)K2=0.4082 2.07216 14 21 9 5 分所以没有 85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关 （2）由题意可知X的取值可能为 0，1，2，33C55 6 分则P(X=0)=3=C94212C4C510P(X=1)=7 分3C92121C4C5P(X=2)=3
17、5=8 分C9143C41P(X=3)=3=9 分C9212故X的分布列为XP01235421021514121第页，共页E(X)=021（12 分）510514 12 分+1+2+3=422114213（1）因为双曲线C以2x5y=0为渐近线设双曲线方程为2x+5y()(2xy25y=，即4x25y2=1 分)F(0,3)，0，即：=154x254=9，9 3 分=9，即=2020y2x2 4 分所以双曲线C的方程为：=145（2）设直线l:y=kx+3，P(x1,y1)，Q(x2,y2)5y24x2=2025 kx+34x2=20()y=kx+322 6 分化简得：5k4 x+30kx+2
18、5=0()30kx+x=125k24此方程的两根为x1,x2，则25x x=125k24PQ=1+k2900k2(5k24)2229k5k4)(10022=10 1+k225k4(5k4)=10 1+k24k2+4(5k24)2=20(k2+1)5k24 8 分 1215k,2PQ中点M坐标为2 9 分5k4 5k4PQ中垂线方程为：y+12115k=x+5k24k5k24令x=0，y=2727T 0,，25k245k4第页，共页2715k2+15=11 分则TF=3+2 5k45k24TF3=12 分PQ20(k2+1)45k2415k2+155k2422（12 分）（1）令f(x)=exx
19、ex(e)x2=1x0 1 分xex1，即函数f(x)的单调递增区间为(,1)，函数f(x)的单调递减区间为(1,+)2 分1111112x=当时，f，切点为,=1=22 2 e2 e22e11，f(x)在x=1处的切线方程为：12f=1=22 e22e又y12 e=1111xy=x+4 分22 e2 e4 exlnx+1lnx+1ex2=klnx+1（2）xk(lnx+1)，xkeexeexxlnx+1ex(1,+)，lnx+10，k 6 分lnx+1eelnx+1x由（1）可知f(x)=x在(1,+)上单调递减，下证：xlnx+1e即证：x lnx1在x(1,+)恒成立令g(x)=x lnx，则g(x)=11x 1=0 xxg(x)在(1,+)上单调递增又 9 分x1，g(x)g(1)=1 ln1=1xlnx+1 1第页，共页f(x)在x(1,+)上单调递减xxxlnx+1e1f(x)f(lnx+1)，即xlnx+1，11 分lnx+1eeelnx+1 12 分k1 第页，共页