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1、CAPM模型Capital Asset Pricing Model资本资产定价模型本节内容提示l 重点：理解单指数模型、CAPM模型的内涵，掌握CAPM模型的应用l 难点：CML和SML模型的推导、风险的分解和系统性风险的定价依据l 目标：理解资产定价是风险与收益相匹配的本质 本节主要内容l单指数模型lCAPM模型的内涵lCAL，SML，CML的区别及联系l市场组合重要性l风险的分解单指数模型l 单指数模型（single index model，简称SIM）是由夏普（William Sharpe）提出，其基本思想为风险资产的收益率只与一个因素有关。l 在夏普的单指数模型中并没有给出明确的内涵，
2、在模型中应为特征线方程与纵轴的截距，可以称为风险资产的特有收益率或超额收益率。 iiiiryi模型假设l 即随机扰动项的期望收益为0；l 不同随机扰动项之间是互不相关的；l 系统性风险与非系统性风险之间是相互独立的。l 若用这 种风险资产构建的组合满足： ，说明组合是一个完全分散化的投资组合。 ( )0iE()0ijE ,(| )0ii EyN10Niiix单指数模型的均衡定价l 首先对组合中第 种证券求期望收益率和风险 iiii mrr 2222222222 2 iiiii miii mimmiimmiimmiimmiE rrrrErrE rrErrEE rrE222 imi 市场风险贡献市
3、场风险贡献市场风险贡献市场风险贡献总风险总风险l 组合中不同风险资产的协方差可计算为： 22 ijiijjimmijmmjijmmjimmijmmijijmErrrrErrrrE rrErrErrE l 对于风险资产组合 而言，组合的期望收益和风险为：P111NNNpi iiiii miiirx rxxr2222222221111111NNNNNNNPiiijijiimijijmiiiijiijij ij ixx xxx xX 我们假设1NPiiix，1NPiiix为组合P的特征值，则有： PPP mrr 若我们构建的组合P与市场指数组合m 一样，则有Pmrr，此时P应为零，而P应为 1，也即
4、市场组合的超额收益为0m，敏感系数1m 。 在单指数模型中，被认为是单个风险资产或风险资产组合的某种属性。我们把市场指数组合m 作为比较的基准。若风险资产组合的1p， 则称其为比市场平均水平更激进，若1p，则称其为比市场平均水平更保守。 l在单指数模型下，组合的方差为： 2222222111122211122211122221 NNNNPiimijijmiiiijij iNNNijijmiiijiNNNiijjmiiijiNPmiiixx xxx xxxxxx 多指数模型假设风险资产的收益率受到若干个共同因素12,KI II的影响， 则多指数模型可以表示为： 1 12 2iiiiiKKirab
5、 Ib Ib I 其中：12,KI II分别表示K个指数，12,iiiKb bb为风险资产i对这K个指数的敏感性，i表示随机扰动项。 * i 在多指数模型中，同样存在以下假设： （1）( )0iE，即随机扰动项的期望收益为0； （2） ()0ijE ，不同随机扰动项之间是互不相关的； （3） ()0ijEI，随机扰动与不同的指数之间不相关，这条假设很重要，表明除了K个因素外，没有其它因纱影响证券收益的相关性。 （4）对于一切ij， ()()0iijjE IIII，表明指数之间互不相关。 1 122iiiiiKKrab Ib Ib I222222221122iiIiIiKIKibbb222111
6、222ijijIijIiKjKIKb bb bb b CAPM模型的认识l Mean-Variance模型的简化，同样刻画的是风险与收益之间的均衡l 前提假设l 金融市场是有效的l 投资者均是理性的（风险厌恶的），且具有相同的预期l 市场无摩擦且存在无风险资产的借贷市场无摩擦且存在无风险资产的借贷 CAPM的推导l 引入了无风险资产的概念l 考虑的是在无风险资产和风险资产之间的最优配置决策CAPM模型 用R表示仅由风险资产构成的任意组合，它属于 Markowitz 可行集。P表示引入无风险资产后的任意组合。 x表示在新组合 P中无风险资产所占的比例，1x表示投资于风险资产组合R的比例。 假设无
7、风险利率为fR， 风险资产组合m的预期收益率为RR ，标准差为R，则由无风险资产和风险资产组合R共同构成的新的组合P的预期收益率为： (1)pfRrxrx r 其中，当0 x 时，表示投资者将初始资金一部分以无风险利率借出，一部分投资于风险资产组合R；当0 x 时，表示全部资金投资于该风险资产组合R；当0 x 时，则表示以无风险利率借入资金，与初始资金一起投资于风险资产组合R。 组合P的方差为： 22222,(1)2 (1)PfRf RfRxxxx 其中，2f为无风险资产收益率的方差，显然，20f；为无风险资产与风险资产组合R的相关系数。组合的可以简化为： 222(1)PRx 所以，组合P收益
8、率的标准差为： (1)PRx 1.资本配置线 我们用资本配置线（Capital Allocation Line）来描述引入无风险借贷后，将资本在某一特定的风险资产组合R与无风险资产之间分配， 从而得到所有可能的新组合的预期收益与风险之间的关系。 由式(1)PRx得： 1PRx 将式(1)pfRrxrx r和1PRx 联立， 可推导出资本配置线的函数表达式，即： fpfPRrrrr fr M pr p 图1 资本配置线 m mr A B “两基金分离原理”l (two mutual fund theorem)，即所有投资者的最优资产组合仅包括两个子组合：一个为市场风险资产组合，另一个为无风险资产
9、，不同投资者之间的差异仅仅取决于在无风险资产和市场风险资产组合之间配置的资金比例不同，而对持有的风险资产组合的构成均相同。 2.资本市场线（CML） 通过对切点组合 M 的分析可知， 所得到的线性有效集实际上是从无风险资产所对应的点 F 出发，经过市场组合对应点 M 的一条射线，它反映了市场组合 M和无风险资产的所有可能组合的收益与风险的关系。 这个线性有效集就是我们通常所说的资本市场线（Capital Market Line，简记 CML） ，见图。其函数表达式如下： MfPfPMrrrr 其中，Mr 是市场组合M的预期收益率；M是市场组合M收益率的标准差。 我们可认为MFMrR 是有效风险
10、资产组合单位风险的市场价格，它和P的乘积表示由于该组合承受风险而得到的报酬，fr是无风险资产收益， 可看作是对延迟消费的一种补偿，故上式可表述为如下意义方程式： 风险资产收益无风险资产的时间价格单位风险的市场价格风险量 F fr m ()mE r 图 2 资本市场线（CML） M CML p ()pE r A D E i 本讲内容：证券市场线本讲内容：证券市场线内容提要l 重点：证券市场线的内涵、应用及与资本市场线的区别l 难点：证券市场线的推导过程l 要求：掌握证券市场线的内涵、能利用证券市场线方程对风险资产定价的合理性进行判断，并对风险资产的投资提出建议。内容回顾l 资本市场线资本市场线反
11、映了市场达到均衡时均衡时有效组合的预期收益与风险预期收益与风险之间的关系。但作为构成市场组合的单个资产以及它们的其他组合，往往是非有效的，资本市场线并没有体现其预期收益与风险之间的关系。1小明将其财富的30%投资于一项预期收益为 15%，方差为0.04 的风险资产，将其财富的70%投资于收益为 6%的国库券，他的资产组合的预期收益率与标准差分别为（ ） A11.4%与0.12 B8.7%与 0.06 C29.5%与 0.12 D8.7%与0.12 2在资本资产定价模型中，是用（ ）来测度风险的。 A非系统性风险 B贝塔值 C收益率的标准差 D收益率的均值 5假定小李有 1000 元用于投资，该
12、 1000 元全部投资于股票或全部投资于无风险国债的预期收益见下表，则投资于股票的风险溢价是（ ） 投资方式 概率 预期净收益（元） 0.6 500 投资于股票 0.4 -300 投资于无风险国库券 1.0 50 A20% B15% C18% D13% 1.单个风险资产对市场组合的风险贡献我们假设组合中有n种风险资产，则组合的风险可表示为： 211221cov(,)nMi iMMMMMnMnMixr rxxx 其中，iMx表示风险资产i在市场组合M中所占的比例；iM为风险资产i与市场组合的相关系数。 可见， 市场组合收益的方差等于构成组合的所有资产与市场组合的协方差的加权平均和， 权重为各项资
13、产在组合中所占的比重， 单个资产与组合的协方差代表它对整个组合的风险贡献程度。 2.单个资产预期收益与风险的关系达到均衡时市场组合的预期收益率可以表示为： ()MfMfrrrr F 2m ()pE r 图 3 证券市场线-协方差 M SML ()mE r fr 2p F 1 ( )pE r 图 4 证券市场线-贝塔系数 M SML ()mE r fr 推导证券市场线的三种方法l 基于市场均衡定价模型l 基于组合最优化定价模型l 基于单指数模型1.基于市场均衡定价模型()MfMfrrrr22()MfMfMMrrrr21()NMfMfiiMiMrrrrx211()NNMfMifiiMiiMrrrx
14、 rx21()NMfMifiMiMrrrxr211()NNMfi iifiMiiMrrxrxr2()MfifiMMrrrr2iMiM定义()ifiMfrrrr1.基于组合优化的定价模型l 当证券市场达到均衡时，无法通过改变市场组合中任意一项资产或资产组合的比重，而使得整个组合的预期收益相对于风险有所上升或使得单位风险的回报增加。PiMrrrPiMMiP)21 ()1 (22MMiMPMiMP2202()/00/MiMPPPPiMMrrrr2()MfMiMMiMMrrrr2MfifiMMrrrrl 风险回避风险回避的投资者都尽量通过资产的多元化来降低风险资产的多元化来降低风险，当市场达到均衡时，
15、所有的投资者都会建立市场组合与无风险资产的某种比例的组合，从而最大限度地降低风险，最终使得非系统风险等于0，只剩下不可分散的系统风险。因此因此单个资产的风险回报就应该与它对系统风险的贡献单个资产的风险回报就应该与它对系统风险的贡献而不是与总风险成比例，因为其中的非系统风险已经通过而不是与总风险成比例，因为其中的非系统风险已经通过组合消除了。组合消除了。所以不能认为总风险很大的资产，相对于总风险较小的资产，必然会给市场组合带来较大的风险，从而应该提供较大的回报。习题习题 l 1假设市场组合由两个证券A和B组成，它们的投资比例和方差分别是0.39、160以及0.61、340。两种证券的协方差为19
16、0。计算两种证券的系数。l 2假设市场组合由两个证券A和B组成，它们的投资比例分别是40%和60%。已知这两个证券的期望收益率分别是10%、15%，标准差分别是20%、28%，其相关系数为0.3。假设无风险收益率为5%。写出资本市场线方程。习题（续）习题（续） l 3假设无风险收益率为3%，市场已处于CAPM所描述的均衡状态。如果已知市场上有一种风险证券，其期望收益率为6%、系数为0.5，那么系数为1.5的证券的期望收益率为多少？l 4基于资本资产定价模型中风险与收益之间的关系，补充下表中未填写的数据。证券期望收益率% 系数 标准差%非市场风险 市场风险A0.881B19.01.536C15.
17、0 120D7.008E16.6152在资本资产定价模型中，是用（ ）来测度风险的。 A非系统性风险 B贝塔值 C收益率的标准差 D收益率的均值 4在存在无风险资产时，零贝塔证券的预期收益率是（ ） A市场收益率 B零收益率 C负收益率 D无风险资产收益率 5无风险收益率为 7%，市场期望收益率为 15%。某证券X的期望收益率为12%，贝塔值为 1.3，那么他应该（ ） A买入X，因为它被高估了 B卖空X，因为它被高估了 C卖空X，因为它被低估了 D买入X，因为它被低估了 6一投资组合的收益率在不同市场状况下的表现如下表，那么其预期收益率是（ ） 市场情况 熊市 正常 牛市 概率 0.2 0.
18、5 0.3 收益率（%） -25 10 20 A4% B10% C8% D6% 3根据 CAPM 模型，某个证券的收益应等于（ ） A ()fMrE r B ()fMfrE rr C ()fMfrE rr D()fMrE r 多因子模型假设风险资产的收益率受到若干个共同因素12,KI II的影响， 则多指数模型可以表示为： 1 12 2iiiiiKKirab Ib Ib I * i 其中：12,KI II分别表示K个指数，12,iiiKb bb为风险资产i对这K个指数的敏感性，i表示随机扰动项。 在多指数模型中，同样存在以下假设： （1）( )0iE，即随机扰动项的期望收益为0； （2）()0
19、ijE ，不同随机扰动项之间是互不相关的； （3）()0ijEI，随机扰动与不同的指数之间不相关，这条假设很重要，表明除了K个因素外，没有其它因纱影响证券收益的相关性。 （4）对于一切ij，()()0iijjE IIII，表明指数之间互不相关。 在实际经济结构中， 所选取的宏观因素的各指数之间可能有互相相关现象存在， 在运用多指数模型估计时， 需要将这K个指数先正交化， 以满足多指数模型的上述四个假设条件。 由上面的模型可推导得到一些结果： 1 12 2iiiiiKKrab Ib Ib I 222222221122iiIiIiKIKibbb 222111222ijijIijIiKjKIKb b
20、b bb b 我们利用单因素模型来进行推导，单因素模型如下： iiiirbF 对于 APT 模型，证明其能够成立的充分条件是：在市场上存在着多种风险资产，使得能够构造这样一种含有N种风险资产的组合。该组合满足两个条件：零投资和零风险， 即10Niix和10Niiixb。 同时要求组合风险资产的数量N要充分大，这样可以保证组合不受非因素风险的影响，即：10Niiix。 由于该组合为零投资和零风险，在不存在套利机会的情况下，其收益必将为零，这也必然意味着该组合的预期收益率为零，即：10Ni iix r 利用数学知识我们可以给出如下解释： （1）10Niix， 意味着组合中不同风险资产的权重向量12
21、(,)TNxx xx与N维单位向量1(1,1,1)T正交； （2）10Niiixb意味着权重向量x与不同风险资产相对于因素的敏感系数向量12( ,)TNbb bb正交； （3）10Ni iixr意味着权重向量x与组合中不同风险期望收益向量12( , ,)TNrr rr正交； 若一个向量和1N 个向量正交就意味着和第N个向量也正交，则这N个向量可以被1N 个向量线性组合而成。在这里也就意味着r向量可被向量1和b线性表示，即： 011rb 对于组合中第i个风险资产，意味着套利方程如下： 01iirb (1,2,iN) 那么在套利定价方程中出现的常数0和1表示何种涵义呢？ 首先，假设存在一种风险资产
22、，这种风险资产具有常数的预期收益率fr，那么由于该风险资产对因素无敏感性，则有0ib ，这意味着0ir，可见0表示的是与风险资产和因素无关的常数，从而可知0fr,。此时套利方程可改写为： 1ifirrb 若此时我们构建一个纯因素组合， 用F来表示， 那么该组合对因素就具有单位的敏感性，这意味着1Fb ，从而可推得1： 1Ffrr 这表明1是相对于因素具有单位敏感性的组合的预期超额收益率，即因素风险溢价。 从而可得到套利定价方程的一般形式： ()ifFfirrrr b 若此时因素为市场组合，则有 ()ifmfirrrr b 若此时套利模型中假定有多种因素共同影响，假设市场上有N种风险资产，有12
23、,KF FF共K个因素，每一种风险资产在K因素模型中具有K个敏感性，记敏感系数向量为12(,)TiiiKb bb。此时，多因素的套利方程可以描述为： 1 122iiiiiKKirab Fb Fb F 1,2,iN 在均衡状态下，如果不存在套利组合或套利机会，则应有：10Niix、10(1,2,)NiikixbkK、10Ni iixr，这意味着r可由1K 个向量线性表示，即可得到套利定价方程为： 01122iiiK iKrbbb 在多因素的套利方程中，0为无风险利率， 因为无风险资产对任何因素均无敏感性。 设jFr代表一个因素组合jF的预期收益率， 该组合只对因素j有单位敏感性而对其他因素无敏感
24、性，该组合的因素敏感系数为1Pjb，0()Pkbkj ，则多因素的定价模型为： 1122()()()ifFfiFfiFKfiKrrrr brr brr b 因此， 风险资产的预期收益率等于无风险收益率与风险资产对K个因素敏感性的风险溢价之和。 APTAPT 与与 CAPMCAPM 的关系的关系 APT 是比 CAPM更为一般的资产定价模型，其区别在于： （1）APT 是一个多因素模型，它假设均衡状态下风险资产的收益取决于多个不同的外生因素， 而 CAPM中的资产收益只取决于一个单一的市场组合因素。从这个意义上看，CAPM只是 APT的一个特例。 （2）CAPM 成立的条件是投资者具有均值-方差
25、偏好、资产的收益分布呈正态分布，而 APT则不作这类限制，但它与 CAPM一样，要求所有投资者对资产的期望收益和方差、协方差的估计一致。 （4）APT 可以对任意资产子集进行定价；人们不必为检验理论而去对无穷尽的资产进行计量；在 APT中，市场证券组合没有特殊的作用，而 CAPM必须要求市场证券组合是有效的； （5）APT 容易扩展到多期模型中。 （3） 由于套利定价模型并不专注于真正市场指数的构建合理生， 因而其理论具有一定的可检验性。 l 设市场的标准差的18%，单个股票的标准差为40%，该股票与市场的相关系数为0.5。计算该股票的贝塔值。给定市场组合的期望收益率为 10%，无风险收益率为
26、 6%，证券 A 的贝塔系数为 0.85，证券 B 的贝塔系数为 1.20 （1）画出证券市场线 （2）证券市场线的方程是什么？ （3）证券 A、B 均衡期望收益率是多少？ （4）在证券市场线上描出两种风险证券 假设证券市场有三种证券，下表给出了它们的期望收益率和贝塔系数： 证券 A B C 期望收益率 0.1 0.4 0.6 贝塔系数 1.0 2.0 2.5 试问：可以用上述三种证券构造套利组合吗？说明理由。 设 F1 和 F2 是两个独立的经济指标，并设证券 A 和 B 关于这些指标的信息如下表所示： 证券 b1 b2 期望收益率 （%） A 1.8 2.1 40 B 2.0 -0.5 10 无风险利率为 4%，用 APT 模型求出两个指标的收益率.