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1、2019年福建省南平市中考数学真题及答案一、选择题（每小题4分，共40分）1（4分）计算22+（1）0的结果是（）A5B4C3D2【分析】分别计算平方、零指数幂，然后再进行实数的运算即可【解答】解：原式4+15故选：A【点评】此题考查了实数的运算，解答本题关键是掌握零指数幂的运算法则，难度一般2（4分）北京故宫的占地面积约为720000m2，将720000用科学记数法表示为（）A72104B7.2105C7.2106D0.72106【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a10n，其中1|a|10，n为整数，据此判断即可【解答】解：将720000用科学记数法表示为7.2105故选：B【点
2、评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值3（4分）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A等边三角形B直角三角形C平行四边形D正方形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确故选：D【点评】本题考查了中心对称图形与
3、轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合4（4分）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（）ABCD【分析】从正面看几何体，确定出主视图即可【解答】解：几何体的主视图为：故选：C【点评】此题考查了简单组合体的三视图，主视图即为从正面看几何体得到的视图5（4分）已知正多边形的一个外角为36，则该正多边形的边数为（）A12B10C8D6【分析】利用多边形的外角和是360，正多边形的每个外角都是36，即可求出答案【解答】解：3603610，所以这个正多边形是正十边形故选：B【点评】本题主要考查了多边形的
4、外角和定理是需要识记的内容6（4分）如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（）A甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好【解答】解：A甲的数学
5、成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确；B乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确；C丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确D就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故D错误故选：D【点评】本题是折线统计图，要通过坐标轴以及图例等读懂本图，根据图中所示的数量解决问题7（4分）下列运算正确的是（）Aaa3a3B（2a）36a3Ca6a3a2D（a2）3（a3）20【分析】各项计算得到结果，即可作出判断【解答】解：A、原式a4，不符合题意；B、原式8a3，不符合题意；C、原式a3，不符合题意；D、原式0，符合题意，故选：D【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是
6、解本题的关键8（4分）增删算法统宗记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部孟子，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知孟子一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（）Ax+2x+4x34685Bx+2x+3x34685Cx+2x+2x34685Dx+x+x34685【分析】设他第一天读x个字，根据题意列出方程解答即可【解答】解：设他第一天读x个字，根据题意可得：x+2x+4x34685，故选：A【点评】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，
7、找出合适的等量关系，列方程9（4分）如图，PA、PB是O切线，A、B为切点，点C在O上，且ACB55，则APB等于（）A55B70C110D125【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得AOB110，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解【解答】解：连接OA，OB，PA，PB是O的切线，PAOA，PBOB，ACB55，AOB110，APB360909011070故选：B【点评】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出AOB的度数10（4分）若二次函数y|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3m，n）
8、、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）Ay1y2y3By1y3y2Cy3y2y1Dy2y3y1【分析】由点A（m，n）、C（3m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x，再由B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y1y3y2；【解答】解：经过A（m，n）、C（3m，n），二次函数的对称轴x，B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，|a|0，y1y3y2；故选：D【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键二、填空题（每小题4分，共24分）11（4分）因式分解：x29（x+3）
9、（x3）【分析】原式利用平方差公式分解即可【解答】解：原式（x+3）（x3），故答案为：（x+3）（x3）【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键12（4分）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是4和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是1【分析】根据A、B两点所表示的数分别为4和2，利用中点公式求出线段AB的中点所表示的数即可【解答】解：数轴上A，B两点所表示的数分别是4和2，线段AB的中点所表示的数（4+2）1即点C所表示的数是1故答案为：1【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键13（4分）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、
10、丙三种图案为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有1200人【分析】用总人数乘以样本中喜欢甲图案的频率即可求得总体中喜欢甲图案的人数【解答】解：由题意得：20001200人，故答案为：1200【点评】本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中喜欢甲图案的频率，难度不大14（4分）在平面直角坐标系xOy中，OABC的三个顶点O（0，0）、A（3，0）、B（4，2），则其第四个顶点是（1，2）【分析】由题意得出OA3，由平行四边形的性质得出BCOA，BCOA3，即可得出结果【解答
11、】解：O（0，0）、A（3，0），OA3，四边形OABC是平行四边形，BCOA，BCOA3，B（4，2），点C的坐标为（43，2），即C（1，2）；故答案为：（1，2）【点评】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键15（4分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与O的交点，则图中阴影部分的面积是1（结果保留）【分析】延长DC，CB交O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论【解答】解：延长DC，CB交O于M，N，则图中阴影部分的面积（S圆OS正方形ABCD）（44）1，故答案为：1【点评】本题
12、考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键16（4分）如图，菱形ABCD顶点A在函数y（x0）的图象上，函数y（k3，x0）的图象关于直线AC对称，且经过点B，D两点，若AB2，BAD30，则k6+2【分析】连接OC，AC，过A作AEx轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DGx轴于点G，得O、A、C在第一象限的角平分线上，求得A点坐标，进而求得D点坐标，便可求得结果【解答】解：连接OC，AC，过A作AEx轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DGx轴于点G，函数y（k3，x0）的图象关于直线AC对称，O，A，C三点在同直线上，且COE45，OEAE，不妨设OEAE
13、a，则A（a，a），点A在在反比例函数y（x0）的图象上，a23，a，AEOE，BAD30，OAFCADBAD15，OAEAOE45，EAF30，AF，EFAEtan301，ABAD2，AEDG，EFEG1，DG2AE2，OGOE+EG+1，D（+1，2），故答案为：6+2【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，菱形的性质，解直角三角形，关键是确定A点在第一象限的角平分线上三、解答题（共86分）17（8分）解方程组【分析】方程组利用加减消元法求出解即可【解答】解：，+得：3x9，即x3，把x3代入得：y2，则方程组的解为【点评】此题考查了解二
14、元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法18（8分）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DFBE求证：AFCE【分析】由SAS证明ADFBCE，即可得出AFCE【解答】证明：四边形ABCD是矩形，DB90，ADBC，在ADF和BCE中，ADFBCE（SAS），AFCE【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键19（8分）先化简，再求值：（x1）（x），其中x+1【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可【解答】解：原式（x1）（x1），当x+1，原式1+【点评】本题考查了分式的化简求
15、值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键20（8分）已知ABC和点A，如图（1）以点A为一个顶点作ABC，使ABCABC，且ABC的面积等于ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D、E、F分别是ABC三边AB、BC、AC的中点，D、E、F分别是你所作的ABC三边AB、BC、CA的中点，求证：DEFDEF【分析】（1）分别作AC2AC、AB2AB、BC2BC得ABC即可所求（2）根据中位线定理易得DEFABC，DEFABC，故DEFDEF【解答】解：（1）作线段AC2AC、AB2AB、BC2BC，得ABC即可所求证明：AC2AC、AB2AB、BC2BC，ABCABC
16、，（2）证明：D、E、F分别是ABC三边AB、BC、AC的中点，DE，DEFABC同理：DEFABC，由（1）可知：ABCABC，DEFDEF【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定方法，本题用到的是三边法21（8分）在RtABC中，ABC90，ACB30，将ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到DEC，点A、B的对应点分别是D、E（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求ADE的大小；（2）若60时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得CACD，ECDBCA30，DECABC90，
17、再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出CAD，从而利用互余和计算出ADE的度数；（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BFAC，利用含30度的直角三角形三边的关系得到ABAC，则BFAB，再根据旋转的性质得到BCEACD60，CBCE，DEAB，从而得到DEBF，ACD和BCE为等边三角形，接着证明CFDABC得到DFBC，然后根据平行四边形的判定方法得到结论【解答】（1）解：如图1，ABC绕点C顺时针旋转得到DEC，点E恰好在AC上，CACD，ECDBCA30，DECABC90，CACD，CADCDA（18030）75，ADE907515；（2）证明：如图2，点F是边AC中点，
18、BFAC，ACB30，ABAC，BFAB，ABC绕点C顺时针旋转60得到DEC，BCEACD60，CBCE，DEAB，DEBF，ACD和BCE为等边三角形，BECB，点F为ACD的边AC的中点，DFAC，易证得CFDABC，DFBC，DFBE，而BFDE，四边形BEDF是平行四边形【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了平行四边形的判定22（10分）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常
19、无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元（1）求该车间的日废水处理量m；（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围【分析】（1）求出该车间处理35吨废水所需费用，将其与370比较后可得出m35，根据废水处理费用该车间处理m吨废水的费用+第三方处理超出部分废水的费用，即可
20、得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设一天产生工业废水x吨，分0x20及x20两种情况考虑，利用每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论【解答】解：（1）358+30310（元），310370，m35依题意，得：30+8m+12（35m）370，解得：m20答：该车间的日废水处理量为20吨（2）设一天产生工业废水x吨，当0x20时，8x+3010x，解得：15x20；当x20时，12（x20）+820+3010x，解得：20x25综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为15x25【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式
21、的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式23（10分）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下
22、表；维修次数89101112频率（台数）1020303010（1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；（2）试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？【分析】（1）利用概率公式计算即可（2）分别求出购买10次，11次的费用即可判断【解答】解：（1）“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率0.6（2）购买10次时，某台机器使用期内维修次数89101112该台机器维修费用2400024500250003000035000此时这100台机器维修费用的平均数y1（2400010+2
23、450020+2500030+3000030+3500010）27300购买11次时，某台机器使用期内维修次数89101112该台机器维修费用2600026500270002750032500此时这100台机器维修费用的平均数y2（2600010+2650020+2700030+2750030+3250010）27500，2730027500，所以，选择购买10次维修服务【点评】本题考查利用频率估计概率，加权平均数，列表法等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型24（12分）如图，四边形ABCD内接于O，ABAC，ACBD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DFDC，连
24、接AF、CF（1）求证：BAC2CAD；（2）若AF10，BC4，求tanBAD的值【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出ABCACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到，即可得到ABCADB，根据三角形内角和定理得到ABC（180BAC）90BAC，ADB90CAD，从而得到BACCAD，即可证得结论；（2）易证得BCCF4，即可证得AC垂直平分BF，证得ABAF10，根据勾股定理求得AE、CE、BE，根据相似三角形的性质求得DE，即可求得BD，然后根据三角形面积公式求得DH，进而求得AH，解直角三角函数求得tanBAD的值【解答】解：（1）ABAC，ABCACB，ABCADB，ABC（180BA
25、C）90BAC，BDAC，ADB90CAD，BACCAD，BAC2CAD；（2）解：DFDC，DFCDCF，BDC2DFC，BFCBDCBACFBC，CBCF，又BDAC，AC是线段BF的中垂线，ABAF10，AC10又BC4，设AEx，CE10x，由AB2AE2BC2CE2，得100x280（10x）2，解得x6，AE6，BE8，CE4，ACDABD，CEDBEA，CEDBEA，DE3，BDBE+DE3+811，作DHAB，垂足为H，ABDHBDAE，DH，BH，AHABBH10，tanBAD【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形
26、的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握并灵活运用性质定理，属于中考压轴题25（14分）已知抛物线yax2+bx+c（b0）与x轴只有一个公共点（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：ykx+1k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y1，垂足为点D当k0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且ABC为等腰直角三角形求点A的坐标和抛物线的解析式；证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线【分析】（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，即可求解；（2）ykx+1kk（x1）+1过定点（1，1），且当k0时，直线l
27、变为y1平行x轴，与轴的交点为（0，1），即可求解；计算直线AD表达式中的k值、直线AC表达式中的k值，两个k值相等即可求解【解答】解：（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：ya（x2）2ax24ax+4a，则c4a；（2）ykx+1kk（x1）+1过定点（1，1），且当k0时，直线l变为y1平行x轴，与y轴的交点为（0，1），又ABC为等腰直角三角形，点A为抛物线的顶点；c1，顶点A（1，0），抛物线的解析式：yx22x+1，x2（2+k）x+k0，x（2+k），xDxB（2+k），yD1；则D，yC（2+k2+k），C，A（1，0），直线AD表达式中的k值为：kAD，直线AC表达式中的k值为：kAC，kADkAC，点A、C、D三点共线【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质等知识点，本题关键是复杂数据的计算问题，难度不大