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1、2020上海考研数学三真题及答案一、选择题：18 小题,每小题 4 分,共 32 分下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的(1) 设lim f (x) - a = b，则lim sin f (x) - sin a = ()xax - axax - a(A). b sin a(B). b cos a(C). b sin f (a)(D). b cos f (a)【答案】B【解析】lim sin f (x) - sin a = lim sin f (x) - sin a f (x) - a = cos f (x) b = b cos f (a)xax - axaf (x) - ax
2、 - ax=a 设 f (x) = u ，则lim sin f (x) - sin a = limsin u - sin a = cos u= cos f (a)xaf (x) - au f (a)u - au = f (a)lim sin f (x) - sin a = lim sin f (x) - sin a f (x) - a = lim sin f (x) - sin a lim f (x) - a 则 xax - axaf (x) - ax - axa=b cos af (x) - axax - a(2) 函数 f (x) =(A).1(B).2(C).31ex-1 ln 1+ x
3、(ex -1)(x - 2)，则第二类间断点个数为（ ）(D).4【答案】C【解析】本题考查的是第一类间断点与第二类间断点的定义，判断间断点及类型的一 般步骤为：1. 找出无定义的点（无意义的点）；2.求该点的左右极限；3.按照间断点的定义判 定。第二类间断点的定义为 f- (x0 ), f+ (x0 ) 至少有一个不存在，很显然 f (x) 不存在的点为x = -1, x = 0, x = 1, x = 2 。在 x = -1 处， limx-1-f (x) = -, limx-1+f (x) = - ；在 x = 0 处，limx0-f (x) = limx0+f (x)= - 1 ；2e
4、1在 x = 1 处， lim ex-1 = 01， lim ex-1 = + ， lim f (x) = 0 ， lim f (x) = - ；x1-在 x = 2 处， limx2-x1+f (x) = - ， limx2+x1-f (x) = + ；x1+所以，第二类间断点为 3 个。(3) 对奇函数 f (x) 在(-, + ) 上有连续导数，则()(A). cos f (t) + f (t)dt 是奇函数x0(B). cos f (t) + f (t)dt 是偶函数x0(C). x cos f (t) + f (t)dt 是奇函数00(D). x cos f (t) + f (t)d
5、t 是偶函数【答案】：A【 解析】 f (x)为奇函数， 则其导数 f (x)为偶函数，又 cos x 为偶函数，则 cos f (x) = cos f (-x)，则cos f (x) 为偶函数，故cos f (x) + f (x)为偶函数，以 0 为下限、被积函数为偶函数的变限积分函数为奇函数。所以，本题选 A ;对于C和D 选项， f (x) 为偶函数，则cos f (x) = cos f (-x) 为偶函数， f (x) 为奇函数，则cos f (x) + f (x)既非奇函数又非偶函数。(4).已知幂级数 na (x - 2)n 的收敛区间为(-2, 6) ，则 a (x + 1)2n
6、 的收敛区间为nn=1nn=1(A).(-2,6)(B).(-3,1)(C).(-5,3)(D).(-17,15)【答案】Ba(x + 1)2n+ 2a【解析】由比值法可知，幂级数收敛时， lim n+1= lim n+1 (x + 1)2 1na (x + 1)2nn a则要求 a (x + 2)2n 的收敛区间，只需要求出limnnan+1 an的值即可，nn=1nn而条件告诉我们幂级数 na (x - 2)n 的收敛区间为(-2, 6) ，即收敛半径为 4limn= lim(n + 1)an+1 nannn=1n + 1 an+1 nanan+1 an= lim= 1n4an+1 an则
7、lim(x + 1)2n = 1 (x + 1)2 1 ，即-3 x 1n4所以本题选B 。(5) 设 4 阶矩阵 A = (aij ) 不可逆，a12 的代数余子式 A12 0 ，1 , 2 , 3 , 4 为矩阵 A 的列向量组，A* 为 A 的伴随矩阵，则 A* x = 0 的通解为（）（A） x = k11 + k22 + k33（C） x = k11 + k23 + k34（B） x = k11 + k22 + k34（D） x = k12 + k23 + k34【答案】（C）【解析】 A = (a ) 不可逆知， A = 0 及r( A) 4 ；由 A 0 知 A* O 且 , ,
8、 线性无关（无ij12134关组的延长组仍无关），故r( A) = 3 及r( A* ) = 1 ，故 A* x = 0 的基础解系含有 3 个向量。由A* A =A E = O 知， A 的列向量均为 A* x = 0 的解，故通解为 x = k + k + k 。1 12 33 4(6) 设 A 为 3 阶矩阵，1, 2 为 A 的特征值1对应的两个线性无关的特征向量，3 为 A 的特 100 征值-1的特征向量。若存在可逆矩阵 P ，使得 P -1 AP = 0-10 ，则 P 可为（）（A） (1 + 3 , 2 , -3 )（C） (1 + 3 , -3 , 2 ) 001 （B）
9、(1 + 2 , 2 , -3 )（D） (1 + 2 , -3 , 2 )【答案】（D）【解析】因为1, 2 为 A 的特征值1对应的两个线性无关的特征向量，故1 + 2 , 2 仍为特征值1的两个线性无关的特征向量；因为3 为 A 的特征值-1的特征向量，故-3 仍为特征值-1的特征向量，因为特征向量与特征值的排序一一对应，故只需 P = (1 + 2 , -3 , 2 ) ， 100 就有 P -1 AP = 0-10 。(7) 001 P(A) = P(B) = P(C ) = 1 , P(AB) = 0, P(AC ) = P(BC ) = 1412，则 A, B, C 恰好发生一个
10、的概率为（）(A). 34(B). 23(C) . 12(D). 512【答案】（D）【解析】P( ABC) + P( ABC) + P( ABC)= P( A IB UC) + P(B IA UC) + P(C IA U B)= P( A) - P( AB) - P( AC) + P( ABC) + P(B) - P( AB) - P(BC) + P( ABC)+ P(C) - P( AC) - P(BC) + P( ABC)又 ABC AB ， P( ABC) P( AB) = 0原式 = 1 - 1412+ 1 - 1412+ 1 - 1 - 1 = 54121212(8) .若二维随机
11、变量(X ,Y ) 服从- 1 ，则下列服从标准正态分布且与 X 独立的N 0,0;1,4;2是（）(A).(B).(C).(D).5 ( X + Y )55 ( X - Y )53 ( X + Y )33 ( X - Y )3【答案】（C）【解析】由二维正态分布可知 X N (0,1) ，Y N (0,4) ， r XY= - 12DXDYD( X + Y ) = DX + DY + 2r XY= 3 ，所以 X + Y N (0,3) ，3 (X + Y ) N (0,1)3DXDY又cov(X , X + Y ) = cov(X , X ) + cov(X ,Y ) = DX + r X
12、Y= 0所以 X 与3 (X + Y )独立3二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分(0,)(9) z = arctan ( xy + sin(x + y) ，则dz= .(0,)【答案】dz= ( -1)dx - dy【解 析】 dz =dxy + cos(x + y)1+ ( xy + sin(x + y)2, dz =dyx + cos(x + y)1+ ( xy + sin(x + y)2，将 x = 0, y = 带入 可知 ，(0,)dz= ( -1)dx - dy(10) 已知曲线满足 x + y + e2 xy = 0 ，求曲线在点(0, -1) 处的切线方程【
13、答案】 y = x -1【解析】在 x + y + e2 xy = 0 两侧同时对 x 求导有1+ dy +e2 xy (2 y + 2x dy ) = 0 ，将 x = 0, y = -1 带入dxdx可知dy = 1，所以切线方程为 y = x -1 dx(11) 设产量为Q ，单价为 P ,厂商成本函数为C(Q) = 100 +13Q ，需求函数为Q(P) =求厂商取得最大利润时的产量800P + 3- 2 ，【答案】Q = 8【解析】由Q(P) =800P + 3- 2 可知P =800Q + 2- 3 ，则利润函数为L(Q) = 800 - -+，dL(Q) =1600-16 ，令
14、dL(Q) = 0 可得， Q = 8 ，此时 Q + 23 Q(100 13Q)dQ(Q + 2)2dQd2 L(Q) = -dQ23200(Q + 2)3 0 时,不妨设在点c(0, 2) 处取得最大值| f (c) |= M .f (c) - f (0)c - 0由拉格朗日中值定理得,存在x (0,c) ,使得|f (x )| = M ;存在x2 (c, 2),使得|f (x21f (2) - f (c)2 - c) |=1cM ;2 - c所以( M -M )( M- M ) = -M2 (c -1)2 0 ,即M介于 M 与 M之间,从而有c2 - cc(2 - c)c2 - c|f
15、 (x1 )|M 或 f (x2 )| M ,结论得证.（）当c 1时,采用反证法,假设M 0 .则|f (x1 )|M 或|f (x2 )|M ,与已知矛盾,假设不成立.当c = 1时,此时| f (1) |= M ,易知 f (1) = 0 .设G(x) =f (x) - Mx , 0剟x1 ;则有G(x) =f (x) - M0 ,从而G(x) 单调递减.又G(0) = G(1) = 0 ,从而G(x) = 0 ,即 f (x) = Mx , 0剟x 1 .因此 f-(1) = M ,从而M = 0 .综上所述,最终M = 0(20)(本题满分 11 分)二次型 f (x , x ) =
16、 x2 - 4x x + 4x2 经正交变换 x1 = Q y1 化为二次型1211 22 x y g( y , y ) = ay2 + 4 y y + by2 ， ab 。求： 2 2 1211 22（I） a, b 的值；（II） 正交矩阵Q 4- 3 【答案】（I） a = 4, b = 1；（II） Q =55 . - 3- 4 【解析】（I）记 x = x1 , y = y1 , A = 155 -2 , B = a2 ，故 f= xT Ax, g = yT By 。 x y -24 2b 2 2 因为 x = Qy ，故 f = yT QT AQy ，所以 B = QT AQ ，其
17、中Q 为正交矩阵。所以 A, B 相似，故特征值相同，故tr( A) = tr(B) 知， a + b = 5，故a = 4, b = 1。 A = Bab - 4 = 0（II）由A = l1l2 = 0, tr( A) = l1 + l2 = 5 ，知 A, B 的特征值均为l1 = 5, l2 = 0 。解齐次线性方程组(li E - A) x = 0 及(li E - B) x = 0 ，求特征向量并直接单位化，对l = 5 ，由5E - A = 42 21 知， =1 1 ；2100115 -2 对l = 0 ，由0E - A = -12 1-2 知， =1 2 ；2 2-4 00
18、25 1 同理， B 的属于特征值l = 5 的特征向量为 = 1 2 ，5 111 B 的属于特征值l = 0 的特征向量为 =1 1 .记Q = ( , ) =21 12 ， Q2= ( , ) =5 -2 1 21 ，就有1125 -21 2125 1-2 Q T AQ= Q T BQ= 50 ，00因此 B = Q Q T AQ Q T ，只需令11222 11 2 4- 3 Q = QQ T =1 12 1 21 = 55 ，1 25 -21 5 1-2 34 -55 则B = QT AQ ，二次型 f (x , x ) 经正交变换 x = Qy 化为 g( y , y ) 。121
19、2(21)(本题满分 11 分)设 A 为 2 阶矩阵， P = (, A) ， 是非零向量且不是 A 的特征向量。（I） 证明矩阵 P 可逆；（II） 若 A2 + A - 6 = 0 ，求 P -1 AP 并判断 A 是否相似于对角矩阵。【解析】（I）设k1 + k2 A = 0 若k2 = 0 ，则由 0 知k1 = 0 ； 若k 0 ，则 A = - k1 ，所以 是 A 的属于特征值- k1 的特征向量，与已知条件产生kk222矛盾。所以， k1 = k2 = 0 ，向量组, A 线性无关，故矩阵 P 可逆。（II）因为 A2 = 6 - A ，所以，( A, A2) = ( A,
20、6 - A) = (, A) 06 ， 1-1记B = 06 ，因此， 1-1A(, A) = (, A) 06 ， 1-1即 AP = PB ，由 P 可逆知 A, B 相似且 P -1 AP = B = 06 。 1-1由 l E - B = l-6 = (l - 2)(l + 3) = 0 知，矩阵 A, B 的特征值均为l = 2, l= -3 ，-1l +112因为特征值互不相同，故矩阵 A 相似于对角矩阵 20 。 0-3(22)(本题满分 11 分)二维随机变量(X ,Y ) 在区域 D = (x, y)0 y 0, Z= 1, X + Y 0X + Y 0,01212求（1）二
21、维随机变量(Z , Z )的概率分布；（2）求Z , Z 的相关系数.【解析】（1）由题意 f(x, y)p , (x, y) D= 2 0, (x, y) D，所以可计算11P(Z P(Z= 0, Z2= 0, Z2= 0) = P(X - Y 0, X + Y 0) = 14= 1) = P(X - Y 0, X + Y 0) = 1212P(Z = 1, Z = 0) = P(X - Y 0, X + Y 0) = 01P(Z= 1, Z2= 1) = P(X - Y 0, X + Y 0) = 14可得Z2Z101014121014（2）由（1）可计算 E(Z ) = 1 , E(Z)
22、 = 3 , D(Z ) =3 , D(Z ) =3 , E(Z Z) = 11214241162161 24DZ1DZ2所以可得 r =Cov(Z , Z )E(Z Z )- EZ EZ1DZ1DZ2=1 212 =3(23)(本题满分 11 分)设某元件的使用寿命T 的分布函数为 t m( ) = 1- e- q , t 0 ，其中q为参数且均大于零.F t , m0, t t与P(T s + t T s)；（2） 任取n 个元件试验，其寿命分别为t1 , t2 ,., tn ，若m 已知，求q 得最大似然估计q .【解析】 t m（1） P(T t ) = 1- P(T t ) = e-
23、 q q- s+t m()P(T s + t )e P T s + t T s =P(T s)= t m- q e mtm-1 t m- q （2）由题意可得概率密度函数为 f (t ) = F (t ) = e , t 0 q m0, t 0似然函数 (q ) =nm tnm-1in t m i - q=iL i=1eq mni=1 , t0, i1,2,., nn( )()n t mi取对数有ln L q= n ln m +m - 1 ln ti - mn lnq - q i=1i=1 求导并令导数等于零， d ln L(q ) = - mn + m ntm = 0n1 ntm ii=1m解得q =.dqqq m+1ii=1