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1、第五章相交线与平行线第五章相交线与平行线复习复习知识结构知识结构相相交交线线两条直线相交邻补角、对顶角对顶角相等垂线及其性质点到直线的距离两条直线被第三条直线所截同位角、内错角、同旁内角平平行行线线平行公理判定性质1.互为邻补角互为邻补角:两条直线相交所构成的四了角中,有公共顶点且 有一条公共边的两个角是邻补角。如图(1)122.对顶角对顶角:(1)两条直线相交所构成的四个角中，(1)有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角。如图(2).(2)1234(2)一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角是对顶角。3.邻补角的性质邻补角的性质:同角的补角相等。4.对顶角性质对顶角性质:对顶
2、角相等。两个特征:(1)具有公共顶点;(2)角的两边互为反向延长线。5.n条直线相交于一点，6.就有n(n-1)对对顶角。相交相交1.1.直线直线ABAB、CDCD相交与于相交与于O,O,图中有图中有几对对顶角？邻补角几对对顶角？邻补角?当一个角确定了当一个角确定了,另外三个角的大另外三个角的大小确定了吗小确定了吗?OABCD12342.2.直线直线ABAB、CDCD、EFEF相交与于相交与于O,O,图中图中有几对对顶角？有几对对顶角？AOCAOC的对顶角是的对顶角是_COFCOF的对顶角是的对顶角是_AOCAOC的邻补角是的邻补角是_ 。EODEOD的邻补角是的邻补角是_ 。BODBODDO
3、EDOECOB,COB,AODAODDOF,DOF,COECOEABCDO在解在解决与角的计算有关决与角的计算有关的问题时，经常用的问题时，经常用到代数方法。到代数方法。例2.已知直线AB、CD、EF相交于点O，OABCDEF1.1.垂线的定义垂线的定义:两条直线相交，所构成的四个角中，有一个角是 时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫垂足。2.垂线的性质垂线的性质:(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质(2):直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。简称:垂线段最短。3.点到直线的距离点到直线的距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长
4、度，叫做点到直线的距离。4.如遇到线段与线段，线段与射线，射线与射线，线段或射线与直线垂直时，特指它们所在的直线互相垂直。特指它们所在的直线互相垂直。5.垂线是直线，垂线段特指一条线段是图形，点到直线距离是指垂线段的长度，是指一个数量，是有单位的。你能量出你能量出C C到到ABAB的距离的距离,B,B到到ACAC的距离的距离,A,A到到BCBC的距离吗的距离吗?A D C B E F拓拓 展展 应应 用用 如图：要把水渠中的水引到水池如图：要把水渠中的水引到水池C C中，中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能最短？请画出图来，并说明理由。能最短？请画出图来，
5、并说明理由。C C理由理由:垂线段最短垂线段最短ABCDOE此题需要正确地此题需要正确地应用、对顶角、应用、对顶角、邻补角、垂直的邻补角、垂直的概念和性质。概念和性质。OADCB由垂直先找到由垂直先找到 的的角，再根据角之间角，再根据角之间的关系求解。的关系求解。1.平行线的概念平行线的概念:在同一平面内，不相交的两条直线叫做在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行线。2.2.两直线的位置关系两直线的位置关系:在同一平面内，两直线的位置关系只有在同一平面内，两直线的位置关系只有两两3.种种:(1)相交相交;(2)平行。平行。4.3.平行线的基本性质平行线的基本性质:(1)平行公理平行公理
6、(平行线的存在性和唯一性平行线的存在性和唯一性)5.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。6.(2)推论推论(平行线的传递性平行线的传递性)如果两条直线都和第三条直线平行，如果两条直线都和第三条直线平行，7.那么这两条直线也互相平行。那么这两条直线也互相平行。8.4.同位角、内错角、同旁内角的概念同位角、内错角、同旁内角的概念9.同位角、内错角、同旁内角，指的是一条直线分别与两条直同位角、内错角、同旁内角，指的是一条直线分别与两条直线线10.相交构成的八个角中，相交构成的八个角中，不共顶点的角之间的特殊位置关系。不共顶点的角之间的特殊位
7、置关系。它它11.们与对顶角、邻补角一样，们与对顶角、邻补角一样，总是成对存在着的。总是成对存在着的。同位角的位置特征是同位角的位置特征是:(1)在截线的同旁，在截线的同旁，(2)被截两直线的同方向。被截两直线的同方向。内错角的位置特征是内错角的位置特征是:(1)在截线的两旁，在截线的两旁，(2)在被截两直线之间。在被截两直线之间。同旁内角的位置特征是同旁内角的位置特征是:(1)在截线的同旁，在截线的同旁，(2)在被截两直线之间在被截两直线之间。判定两直线平行的方法有三种判定两直线平行的方法有三种:(1)定义法定义法;在同一平面内不相交的两条直线是平行线。在同一平面内不相交的两条直线是平行线。
8、(2)传递法传递法;两条直线都和第三条直线平行两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也平行。这两条直线也平行。(3)三种角判定(3种方法):同位角相等,两直线平行。内错角相等,两直线平行。同旁内角互补,两直线平行。在这五种方法中，定义一般不常用。在这五种方法中，定义一般不常用。读下列语句读下列语句,并画出图形并画出图形点点p是直线是直线AB外的一点外的一点,直线直线CD经过点经过点P,且与直且与直线线AB平行平行;直线直线AB、CD是相交直线是相交直线,点点P是直线是直线AB外的一点外的一点,直线直线EF经过点经过点P与直线与直线AB平行平行,与直线与直线CD交于交于E.PABCDCDABPE
9、F1111和和和和2 2 2 2不是同位角，不是同位角，不是同位角，不是同位角，练练 一一 练练 如图中的如图中的1 1和和2 2是同位角吗是同位角吗?为什么为什么?1 1 1 12 2 2 21 1 1 12 2 2 2 1111和和和和2 2 2 2无一边共线。无一边共线。无一边共线。无一边共线。1111和和和和2 2 2 2是同位角，是同位角，是同位角，是同位角，1111和和和和2 2 2 2有一边共线、同向有一边共线、同向有一边共线、同向有一边共线、同向且不共顶点。且不共顶点。且不共顶点。且不共顶点。如图：直线如图：直线a、b被直线被直线 l 截的截的8个角个角中中 同位角：同位角：1
10、与与5 ,2与与6,3与与7,4与与8.内错角：内错角：3与与5,4与与6.同旁内角：同旁内角：4与与5,3与与6.14328765balABDCFE12345 6789101112练一练（1 1）1 1和和 9 9是由直线是由直线 、被直线被直线 所截成的所截成的 角角 ；（2 2）6 6和和 1212是由直线是由直线 、被直线被直线 所截成的所截成的 角角 ；（3 3）4 4和和 6 6是由直线是由直线 、被直线被直线 所截成的所截成的 角角 ；（4 4）由直线）由直线ABAB、CDCD被直线被直线EF EF 所截成的同位角有所截成的同位角有 ；（5 5）7 7和和 1212是是 角角；在
11、判断两个角时一在判断两个角时一定要先知道由哪两定要先知道由哪两条直线被哪条直线条直线被哪条直线所截呦！所截呦！ABCDEF同位同位ABEFCD内错内错ABCDEF同旁内同旁内1 1 和和9 9、4 4和和 1212、2 2和10、3 和11同旁内同旁内例例1.1与哪个角是内错角？与哪个角是内错角？ACBDE12答：答：EAC答：答：DAB答：答：BAC,BAE,2 1与哪个角是同旁内角？与哪个角是同旁内角？2与哪个角是内错角与哪个角是内错角?1 1 1 1、观察右图并填空：观察右图并填空：观察右图并填空：观察右图并填空：(1)(1)(1)(1)1111 与与与与 是同位角是同位角是同位角是同位
12、角;(2)(2)(2)(2)5555 与与与与 是同旁内角是同旁内角是同旁内角是同旁内角;(3)(3)(3)(3)1111 与与与与 是内错角是内错角是内错角是内错角;随堂练习随堂练习b ba an nmm2 23 31 14 45 54 4 4 43 3 3 32 2 2 2 2 2 2 2、指出图中的同位角指出图中的同位角指出图中的同位角指出图中的同位角、内错内错内错内错角、同旁内角角、同旁内角角、同旁内角角、同旁内角a ab bl lmmn n1 12 23 34 4同位角同位角同位角同位角:4444与与与与1 1内错角内错角内错角内错角:4444与与与与2 2同旁内角同旁内角同旁内角同
13、旁内角:3333与与与与1 1平平行行线线的的性性质质平平行行线线的的判判定定两直线平行两直线平行条件条件结论结论同位角相等同位角相等内错角相等内错角相等同旁内角互补同旁内角互补条件条件同位角相等同位角相等内错角相等内错角相等同旁内角互补同旁内角互补结论结论两直线平行两直线平行夹夹在在两两平平行行线线间间的的垂垂线线段段的的长长度度,叫叫做做两两平平行行线线间间的的距距离离。综合应用综合应用:ABCDEF1231、填空：、填空：(1)、A=_,(已知）已知）ACED ,(_)(2)、AB _,(已知）已知）2=4，(_)45(3)、_ _,(已知）已知）B=3.(_ _)试一试一试，你准行！试
14、，你准行！模仿上题自己编题。模仿上题自己编题。（考查平行线的性质或判定）（考查平行线的性质或判定）4同位角相等，两直线平行。同位角相等，两直线平行。DF两直线平行两直线平行,内错角相等。内错角相等。ABDF两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等.判定判定性质性质 性质性质ABCDEF123456如图：如图：填空，并注明理由。填空，并注明理由。（1）、）、1=2 （已知）（已知）（）3=4 （已知）（已知）（）5=6（已知）（已知）（）5+AFE=180（已知）已知）（）AB FC,ED FC（已知）已知）（）ABED内错角相等。两内错角相等。两直线平行，直线平行，AFBE同位角相等，两直线
15、平行。同位角相等，两直线平行。BCEF 内错角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。AFBE同旁内角互补，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。ABED平行于同直线的两条直线互相平行。平行于同直线的两条直线互相平行。平行线的判定应用练习：平行线的判定应用练习：例例2.已知已知DAC=DAC=ACB,ACB,D+D+DFE=180DFE=1800,求证求证求证求证:EF/BC:EF/BC 证明证明:DAC=DAC=ACB ACB(已知已知)AD/BCAD/BC (内错角相等内错角相等内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行)D+D+DFE=180DFE=1800(已知已
16、知)AD/EFAD/EF (同旁内角互补同旁内角互补同旁内角互补同旁内角互补,两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行)EF/BCEF/BC (平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行)ABCDEF例例1.如图如图 已知：已知：1+2=180，求证：求证：ABCD。证明：由：证明：由：1+2=1801+2=180(已知已知)，1=31=3（对顶角相等）（对顶角相等）.2=4 2=4（对顶角相等（对顶角相等)根据：根据：等量代换等量代换得：得：3+4=1803+4=180.根据：根据：同旁内角互补，两
17、直线平行同旁内角互补，两直线平行 得：得：AB/CDAB/CD.4123ABCEFD例2.如图，已知：已知：ACDE，1=2，试证明，试证明ABCD。证明：证明：由由ACDE（已知）（已知）ACD=2 (两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等)1=2（已知）（已知）1=ACD(等量代换等量代换)AB CD (内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行)ADBE12C例例3.已知已知 EFAB，CDAB，EFB=GDC，求证：求证：AGD=ACB。证明：证明：EFAB，CDAB（已知）（已知）ADBC (垂直于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一条直线的两条直线互相平行)EFB DCB
18、 （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）EFB=GDC（已知）（已知）DCB=GDC（等量代换）（等量代换）DGBC（内错角相等（内错角相等,两直线平行）两直线平行）AGD=ACB （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）ABCDE1F2操作与解释：操作与解释：v数学课上有这样一道题：数学课上有这样一道题：“如图，以如图，以点点B B为顶点为顶点,射线射线BCBC为一边，利用尺规作为一边，利用尺规作EBCEBC，使得使得EBC=AEBC=A，EBEB与与ADAD一定平一定平行吗？行吗？”。小王说。小王说“一定平行一定平行”；而；而小小李说李说“不不一定平行一定平行”。你更赞同谁的观。你更赞同谁的观点？点？已知：已知：ABABCDCD。试探索试探索A A、C C与与A AECEC之间的关系；之间的关系；B B、D D与与B BFDFD之间的关系。之间的关系。ABCDEF几 何之 旅ll1234 再再 见见